R. Geometrie SoSe 05. Blatt 5b Aufgabe 1

Prof. S. Krauter
MODUL 2 – R. Geometrie SoSe 05.
Blatt 5b
Aufgabe 1:
a) Beweisen Sie: Die Verkettung zweier Punktspiegelungen ist eine Verschiebung
um
uuur
den doppelten orientierten Abstand der beiden Punkte. P o Q = 2 · PQ .
b) Beweisen Sie: Die Verkettung von drei Punktspiegelungen ist eine Punktspiegelung
am vierten Parallelogrammpunkt: A o B o C = D, wobei ABCD Parallelogramm.
c) Was ist die Verkettung von vier, fünf, sechs, … n Punktspiegelungen?
Aufgabe 2:
Beweisen Sie durch Rechnen mit Punktspiegelungen:
a) Die Verbindungsstrecke zweier Seitenmitten eines Dreiecks ist parallel zur dritten
Seite und halb so lang wie diese (Satz von der Mittelparallelen).
R
P
Q
Hinweis: Analysieren Sie folgendes Diagramm: A ⎯⎯
→ B ⎯⎯
→ C ⎯⎯
→ A
wobei P, Q und R die Seitenmitten von BC, CA bzw. AB sind.
b) Vier Punkte A, B, C und D bilden genau dann ein (eventuell entartetes) Parallelogramm ABCD, wenn gilt A o B o C o D = i = Identität.
c) Die Seitenmitten P, Q, R und S der Seiten AB, BC, CD bzw. DA eines beliebigen
Vierecks ABCD bilden stets ein Parallelogramm (Satz vom Mittenviereck).
P
Q
R
S
Hinweis: A ⎯⎯
→ B ⎯⎯
→ C ⎯⎯
→ D ⎯⎯
→ A. Was ist P o Q o R o S ?
Aufgabe 3:
Benutzen Sie für diese Aufgabe ein DGS.
a) Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Winkeln α, β und γ. Bilden Sie das Dreieck
durch Punktspiegelungen an den Seitenmitten P von BC und Q von CA ab. Färben
Sie gleichgroße Winkel in der Figur mit gleicher Farbe. Warum ergibt sich aus dieser Figur ein Beweis des Winkelsummensatzes für Dreiecke?
b) Gegeben ist ein beliebiges (evtl. auch nicht konvexes) Viereck ABCD. Bilden Sie
das Viereck durch Punktspiegelungen an den Seitenmitten jeweils weiter ab. Verfahren Sie mit den Bildvierecken genau so und setzen Sie das Muster fort. Warum
kann man die Ebene mit jeder Vierecksform lückenlos parkettieren?
Aufgabe 4:
Es seien p, q und r die Mittelsenkrechten der Seiten AB, BC bzw. CA des Dreiecks
ABC. Warum folgt aus der Analyse des folgenden Diagramms, dass sich die drei Mittelsenkrechten stets in einem gemeinsamen Punkt schneiden müssen?
p
q
r
Hinweis: A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ C ⎯⎯
→ A. Was ist die Verkettung p o q o r ?
Aufgabe 5:
Zwei Geraden p und q schneiden sich im Punkt S unter dem Winkel ϕ.
a) Spiegeln Sie einen Punkt A zuerst an p nach C, dann C an q nach B.
b) Bestimmen Sie die Größen der Winkel ∠ACB und ∠ASB in Abhängigkeit von ϕ.
c) Welche Rolle spielen p, q und S für das Dreieck ABC?
d) Was passiert, wenn man p und q unter Beibehaltung des Winkels ϕ und des
Schnittpunkts S um diesen Punkt S rotieren lässt? (DGS verwenden!)