Numerische Mathematik

Technische Universität Berlin
Fakultät II – Mathematik und Naturwissenschaften
Institut für Mathematik
Prof. Günter Bärwolff, Dr. Lena Scholz
Wintersemester 2009/2010
Stand: 3. November 2009
Numerische Mathematik
4. Übungsblatt
Themen für die Übung:
1. Betrachte das allgemeine lineare Mehrschrittverfahren
uj+1 + α0 uj = h(β0 fj + β1 fj+1 ),
fj = f (tj , uj ), fj+1 = f (tj + h, uj+1 ), j = 0, 1, . . .
Bestimme die Parameter α0 , β0 , β1 so, dass der lokale Diskretisierungsfehler minimal wird.
2. Zeige, dass bei linearen Mehrschrittverfahren nicht zwingend gilt: Konsistenz ⇒ Konvergenz.
3. Bestimme für k = 2 alle linearen Mehrschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 2 und p = 4.
4. Bestimme die Lösungen der folgenden Differenzengleichungen
(a) um+2 − 2um+1 − 3um = 0 mit u0 = 0, u1 = 1,
(b) um+1 − um = 2m mit u0 = 0.
Hausaufgaben: (Abgabetermin in der Übung am 10. November 2009)
1. Bestimme die Koeffizienten a, b und c des nichtlinearen Zweischrittverfahrens, gegeben durch
um+2 − um = ahf (tm , um ) + bhf (tm + h, um + hfm ) + chf (tm+1 , um+1 )
so, dass das Verfahren von der Konsistenzordnung p = 2 ist.
2. Man zeige, dass für jede Zahl k ∈ N (bis auf Normierung) genau ein lineares k-Schrittverfahren
k
X
αj ul+j = h
j=0
k
X
βj f (tl+j , ul+j )
j=0
mit der Konsistenzordnung 2k existiert, aber keines mit der Konsistenzordnung 2k + 1.
(Hinweis: Man betrachte jeweils das Konsistenzgleichungssystem für die Unbekannten αj und −βj .)
3. Bestimme die Lösungen der folgenden Differenzengleichungen
(a) um+2 − 4um+1 − 5um = 1 mit u0 = 0, u1 = 0,
(b) um+1 − um = m mit u0 = 0.
Programmieraufgaben: (Abgabetermin in der Übung am 17. November 2009)
1. Gegeben sei eine Differentialgleichung
y 0 (t) = f (t, y(t)),
f : [t0 , te ] × Rn → Rn
mit Anfangswert y(t0 ) = y0 . Dieses Anfangswertproblem soll mit Hilfe eines Runge-Kutta Verfahrens mit Schrittweitensteuerung gelöst werden, wobei zur Schrittweitensteuerung folgender Algorithmus benutzt werden soll:
Require: f, t0 , te , y0 , h0 , ²
h ← h0
u0 ← y0
i←0
while (te > ti and ti + h > ti ) do
if ti + h > te then
h ← te − ti
end if
Φ1 ← Φp (ti , ui , h, f )
Φ2 ← Φp+1 (ti , ui , h, f )
τ ← kΦ2 − Φ1 k
ν ← kui k + 1
if τ ≤ ²ν then
ti+1 ← ti + h
ui+1 ← ui + hΦ1
i←i+1
end if
if (τ ≤ ²ν/2 or τ > ²ν) then
h ← h ∗ (²ν/τ )1/p
end if
end while
Eingabeparameter für die Routine seien die Funktion f , das Zeitintervall [t0 , te ], der Anfangswert
y0 , die Genauigkeit ² und eine Schätzung der Anfangsschrittweite h0 . Ausgabe seien die verwendeten Zeiten (ti )i und numerischen Approximationen (ui )i , sowie die Schrittweiten (hi )i . Verwenden
Sie für die Verfahrensfunktionen das eingebettete Verfahren von Runge-Kutta-Fehlberg 4(5).
Betrachten Sie die Bewegungsgleichung eines Satelliten im mitrotierenden System Erde/Mond
y1 − µ̂
y1 + µ
−µ
,
N1
N2
y2
y2
y200 = y2 − 2y10 − µ̂
−µ ,
N1
N2
y100 = y1 + 2y20 − µ̂
mit den Abkürzungen
N1 = [(y1 + µ)2 + y22 ]3/2 ,
N2 = [(y1 − µ̂)2 + y22 ]3/2 ,
sowie den Daten
µ = 0.012277471,
µ̂ = 1 − µ.
Für die Anfangswerte
y1 (0) = 0.994,
y10 (0) = 0,
y2 (0) = 0,
y20 (0) = −2.001585106
ergibt sich der kleeblattförmige Arenstorf-Orbit mit Periode T = 17.0652166.
Berechnen Sie die Lösung dieses Anfangswertproblems auf dem Intervall [0, T ] für die Genauigkeiten ² = 10−1 , . . . , 10−9 und plotten Sie ausgewählte Trajektorien (d.h. (y1 , y2 )-Diagramme
des Phasenraums) für ² = 10−2 , 10−4 , 10−9 . Tabellieren Sie außerdem folgende Werte: Anzahl der
Schritte, Anzahl der Funktionsauswertungen, sowie den Positionsfehler bei T , d.h. k[y1 (0), y2 (0)] −
[y1 (T ), y2 (T )]k2 . Plotten Sie die verwendete Schritweiten für die Genauigkeit ² = 10−9 . Interpretieren Sie die Ergebnisse und vergleichen Sie den Aufwand mit dem des klassischen Runge-KuttaVerfahren vierter Ordnung mit äquidistantem Gitter für h = 0.001.