Blatt 1

Übungen zur Höheren Algebra II
Wintersemester 2014/2015
Übungsblatt 1
Prof. Dr. Lutz Hille
Mark Feldmann MSc.
Aufgabe 1
Wir wiederholen zunächst die einige Denitionen.
(a) Nenne Beispiele für kommutative und nichtkommutative Ringe.
(b) Beschreibe alle Ideale im Ring der ganzen Zahlen Z und im Körper der komplexen Zahlen C.
(c) Sei R ein kommutativer Ring und M ⊂ R eine Teilmenge. Man zeige, dass die Menge
(M ) := {
n
X
ri mi | ri ∈ R, mi ∈ M, für i = 1, . . . , n} ⊆ R
i=1
ein Ideal in R ist, das M enthält.
Man nennt (M ) dann das von M erzeugte Ideal und wir nennen ein Ideal I endlich erzeugt, wenn
es eine endliche Menge E gibt, sodass I = (E).
(d) Sei R ein kommutativer Ring und a, b Ideale in R. Man zeige, dass die Menge
n
X
a · b := {
ai · bi | ai ∈ a, bi ∈ b, i = 1, . . . , n}
i=1
ein Ideal in R ist, dass in a ∩ b enthalten ist.
Aufgabe 2
Man gebe zwei äquivalente Denitionen für den Begri eines topologischen Raumes. (Einmal deniere man oenen Mengen und einmal deniere man abgeschlossene Mengen.)
Aufgabe 3
Sei R ein kommutativer Ring.
(a) Man zeige, dass folgende Bedinungen äquivalent sind:
1. R ist noethersch, d.h. jede aufsteigende Folge von Idealen in R wird stationär.
2. Jedes Ideal in R ist endlich erzeugt.
(b) Man zeige, dass jedes Ideal in C[T1 , . . . , Tn ] endlich erzeugt ist. (Hinweis: Man verwende ohne
Beweis den Hilbertschen Basissatz, d.h. folgende Aussage: Falls R ein kommutativer noetherscher
Ring ist, so ist auch R[T ] ein noetherscher Ring.)
Aufgabe 4
Sei M ein Monoid und
C[M ] := {α : M → C | α(x) = 0 für fast alle x ∈ M }.
und für α, β ∈ C[M ] denieren wir die Faltung
(α · β)(m) :=
X
α(x)β(y) für alle m ∈ M.
xy=m
(a) Man zeige, dass C[M ] mit der Faltung als Multiplikation und der punktweisen Addition ein
Ring ist.
(b) Man zeige, dass C[M ] ein kommutativer Ring ist genau dann wenn M ein kommutativer Monoid
ist.
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Übungen zur Höheren Algebra II
Wintersemester 2014/2015
Übungsblatt 1
Prof. Dr. Lutz Hille
Mark Feldmann MSc.
(c) Sei G eine zyklische Gruppe von Ordnung n. Man zeige, dass C[G] isomorph zu C[T ]/(T n − 1)
ist.
(d) Man zeige, dass der kommutative Ring C[G] sowohl artinsch als auch noethersch ist.
Aufgabe 5
(a) Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Man zeige, dass durch u.g := ugu−1 eine Gruppenaktion von U auf G deniert wird.
(b) Sei M := Mat(n × n, C) und U eine Untergruppe von GL(n, C). Man zeige, dass durch
1. u.m := u · m für u ∈ U, m ∈ M
2. u.m := m · u−1 für u ∈ U, m ∈ M
3. u.m := u · m · u−1 für u ∈ U, m ∈ M (Konjugation)
Gruppenaktionen von U auf M deniert werden.
(c) Es operiere nun G := GL(n, C) auf M := Mat(n × n, C) durch Konjugation. Man nde ein
möglichst einfaches Repräsentantensystem für den Bahnenraum G\M . (Hinweis: lineare Algebra.)
(d) Es operiere C× auf C durch Linksmultiplikation. Bestimme alle Bahnen und den Stabilisator
zu jedem x ∈ C.
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