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Formelsammlung Elektrotechnik II (10 Seiten)
1)
Prof. Dr. G. Andersson
Allgemein (Mathematik / Physik)
SI-Präfixe
2
Symbol Name
Wert
T
Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion
G
Giga 109
1.000.000.000 Milliarde
M
Mega 106
1.000.000 Million
k
Kilo 103
1.000 Tausend
2
h
Hekto 10
100 Hundert
da
Deka 101
10 Zehn
----100
1 Eins
d
Dezi 10−1
0,1 Zehntel
c
Zenti 10−2
0,01 Hundertstel
m
Milli 10−3
0,001 Tausendstel
µ
Mikro 10−6
0,000.001 Millionstel
n
Nano 10−9
0,000.000.001 Milliardstel
p
Piko 10−12 0,000.000.000.001 Billionstel
Differentalgleichungen
Harmonischer Oszillator /
Exponentiallösungen
λ ⋅x
y( x ) = e
=x
e − ln( x ) =
Gegenkathete
Hypothenuse
cos(α ) =
Ankathete
Hypothenuse
tan(α ) =
tan(α ) =
(a + bi) + (c + di) = ( a + c) + (b + d )i
(a + bi) ⋅ (c + di) = (ac − bd ) + (ad + bc)i
a +bi
c + di
=
Kraft
( a +bi )( c −di )
( c + di )( c −di )
=
−ad
+ bc
i
c2 +d 2
ac+bd
c 2 +d 2
F = m ⋅ a = m ⋅ dv
dt
a n a m = a n+m
an
= a n−m
m
a
(a n ) m = a nm
a b = (ab)
n
n
−n
=
n
a
n m
n
n
1
an
m
=a
2
y = log a x ⇔
m
n
n
a
n
b
=n
n
a =1
log a ( x) =
a1 = a
sin(α ) =
2
1
2i
sin 2 ( x) = 1− cos(2 2 x )
cosh(α ) = 12 (eα + e −α )
1+ cos( 2 x )
2
cos ( x) =
2 sin( x) cos( x ) = sin(2 x )
1
cos2 (α )
= 1 + tan 2 (α )
e iϕ = cos(ϕ ) + i sin(ϕ )
1
sin 2 (α )
= 1 + cot 2 (α )
a ⋅ sin(bx + c) + d
a : Amplitude, b : Periode= 2bπ , c : Nullstelle, d : y-Verschiebung
sin 2 ( x ) =
cos(γ − a) = cos(γ ) cos(α ) + sin(γ ) sin(α )
sin(γ − a) = sin(γ ) cos(α ) − cos(γ ) sin(α )
sin( x + y ) = sin( x) cos( y ) + cos( x ) sin( y )
cos( x + y ) = cos( x) cos( y) − sin( x) sin( y )
V = G⋅h
M =U ⋅h
(nur gerader Zylinder)
O = M + 2⋅G
(1 + cos(2 x) )
cos ( x) = (3 cos( x) + cos(3 x) )
cos 4 ( x) = 18 (cos(4 x ) + 4 cos(2 x) + 3)
cos 2 ( x ) =
1
2
 a1   b1   a2b3 − a3b2 

r r     
a × b =  a2  ×  b2  =  a3b1 − a1b3 
 a  b   a b − a b 
2 1
 3  3  1 2
Zylinder:
r
(1 − cos(2 x) )
3
1
sin ( x ) = 4 (3 sin( x) − sin(3x) )
sin 4 ( x ) = 18 (cos(4 x) − 4 cos(2 x) + 3)
1
2
Geometrie
log(−1) = ?
cos(α ) = 12 (e i⋅α + e −i⋅α )
sinh(α ) = 12 (eα − e −α )
sin / cos
log(1) = 0
ln( x) log( x)
=
ln(a) log(a)
(e i⋅α − e − i⋅α )
sin 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1
2
ay = x
log b (u r ) = r ⋅ log b (u )
0
a
b
Rechenregeln sin/cos/tan:
)
n +1
|0,n = 1−1q−q
log b (u / v) = log b (u ) − log b (v)
a b = ab
n
(cos(x − y ) − cos(x + y))
1
cos(x) cos( y ) = 2 (cos(x − y) + cos(x + y) )
sin(x) cos( y) = 12 (sin( x − y ) + sin( x + y ) )
(
i
log b (u ⋅ v) = log b (u ) + log b (v)
a = nm a = m n a
a = b + c − 2bc cos(α )
r r r r
r
a × b = a ⋅ b ⋅ sin(θ ) ⋅ n
∑q
Reihe
y ( x) = A ⋅ sin( − k x) + B ⋅ cos( − k x)
Cosinussatz:
Kreuzprodukt
r = z = a 2 + b2
y ( x ) = C 1 ⋅ e α x sin( ω x ) + C 2 ⋅ e α x cos( ω x ) + C 3 ⋅ x ⋅ e α x sin( ω x ) + C 4 ⋅ x ⋅ e α x cos( ω x ) + ...
sin α
cos α
sin(x) sin( y ) =
z = a + bi
z = r ⋅ e iϕ
Komplexe Zahlen
λ = α ± iω
Gegenkathete
Ankathete
Parameterwirkung
desolve( z ' '−3z '+3z = f (t ), t , z )
y ( x ) = C 1 ⋅ e λ x + C 2 ⋅ xe λ x + ... + C n x k −1 e λ x
a
sin(α ) =
paral 3(v1, v 2, v3) = ...
solve ( x + y = 2 and x − y = 5, {x, y})
λ 1 = ... = λ n
1
x
2
,
y ( x ) = C 1 ⋅ e λ1 x + C 2 ⋅ e λ 2 x + ...
ln(e) = 1
Rechtwinkliges
Dreieck:
1
1
+1
v1 v 2
λ 1 ≠ ... ≠ λ n
a, b ∈ R +
Potenzen:
n, m ∈ R/
Wurzeln:
n, m ∈ N/
e i⋅x = cos( x) + i ⋅ sin( x)
e
[C ] = [ As ]
paral 2(v1, v 2) =
TR-Funktionen
phase(var) = arctan (Im(Re)
Re(Im) )
y′′( x) − k ⋅ y ( x) = 0
Log/Pot/Wrz.
ln( x )
[J ] = [ kgm
] = [ Nm] = [VAs ] = [CV ] = [Ws ]
s2
Einheiten
3
1
2
1
4
Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, senkrecht
zur von a und b aufgespannten Ebene. Bildet mit
a,b Rechtssystem. Normierung auf 1 liefert den
Normalenvektor n dieser Ebene.
r: Radius, V: Volumen, h: Höhe, A: Fläche, A0: Gesamtoberfläche, G: Grundfläche, U: Umfang, M: Mantelfläche
Kegel (gerade):
2
2
V = h⋅π ( R 2 + Rr + r 2 )
s
s
U
G
h
r
s = h +r
V = 13 r 2πh = 13 Gh
M = r ⋅ s ⋅π
A0 = rπ ( r + s )
h=
s −r
2
Kreissegment (Winkel in Bogenmass):
V = 43 π ⋅ r 3
A=
A0 = 4π ⋅ r 2
r=
(α − sin α ) =
1
2
(rb − s ( r − h) )
4h2 +s2
8h
s = 2r sin( α2 ) = 2 r 2 − ( r − h ) 2
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m = (R − r) 2 + h 2
M = (R + r) ⋅ π ⋅ m
R −r
h = tan(
ϕ)
r = s2 − h2
Kugel:
r2
2
3
2
h = r − (r ⋅ cos( α2 ) ) = r − r 2 − s4 = 2s ⋅ tan( α4 )
2
Grad
b = r ⋅ α = α ⋅( 4 h8 h+ s ) = r ⋅ π ⋅ α180
°
2h
α = 4 ⋅ arctan( s )
2
2
13.04.2010 / LP, ETH Masching FS2010
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2)
Prof. Dr. G. Andersson
Grundlagen
Coulombs LAW
Electric Potential
Elektrische Kraft:
F = k ⋅ qr1q22
k=
1
4πε 0
Gravitational:
g=
F
m0
V=
U
q0
Electrostatic:
E=
F
q0
Amount of Charge (flow):
Q = I ⋅ t [C ]
R = ρ ⋅ LA = ρ ⋅ dL⋅w
Resistors
ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12
[V ] [ CJ ]
Colours (Example): Colour 1: 2, Colour 2:7, Colour 3: 100Ω = 2.7kΩ
Ohms LAW
U = R⋅I
Symbols
Voltage
Source:
Arbeit
W = P ⋅ t [Ws ]
Leistung (Power)
P=
∂U
∂t
Wirkungsgrad
η=
PL
PQuelle
e = 1.6 ⋅ 10 −19 C
I = ∂∂Qt [ A] [ Cs ]
ρ:
Temp.-abh.: R = R + ∆R = R + α ⋅ ∆T ⋅ R
Resistivity (Materialabh. Tabelle)
L:
A:
d:
G:
Resistor Length
Querschnitt (Kreis:
=U ⋅I = I2 ⋅R =
Cathode
Anode
U2
R
Diode:
G = 1/ R
Temperaturbeiwert: [1 / K ]
Leitwert:
∂Q
∂t
I=
[ A] [ Cs ]
PL : Nutzbare Leistung
PQuelle : Zugeführte Leistung
J
[W ] [ Nm
s ][s]
1 −η
Verlustleistung:
A = π ⋅ r2 )
Thickness ( w : Width)
α:
+:
-:
C2
Nm 2
Widerstand-Serienschaltung / Parallelschaltung
RTot = ∑ Ri = R1 + R2 + ...
I Tot = I1 = I 2 = ...
Voltage Divider Rule:
Vi = E ⋅
Ri
RTot
= E⋅
Ri
Rj
∑
= I i ⋅ Ri
I =
3)
⋅I
∑
E
R
P = ∑ Pi =P1 + P2 + ...
RTot =
Current Divider Rule:
R( Tot −i )
i
tot
Ri + R( Tot −i )
I=
Kirchhoffs Voltage LAW (KVL):
1
1
R1
+
1
R2
+ ...
°
Vi = 0
Die Summe der Spannungen
um eine Schaltung ergibt Null!
G=
1
R
Kirchhoffs Current LAW (KCL):
∑I
Zu
=∑ IWeg
VTot = V1 = V2 = ...
I1 ≠ I 2 ≠ ... Kirchhoffs Current LAW:
n = 2 : I1 =
R2
R1 + R2
⋅ I Tot
Dioden
Diode in Durchlassrichtung:
Richtung
Zenerdiode
Verhalten sich in Durchlassrichtung wie normale
Dioden, in Sperrrichtung werden sie ab einer
bestimmten Spannung, der so genannten
Sperrspannung / Durchbruchspannung /
Zenerspannung, niederohmig.
Bipolare Spannungsbegrenung:
2 Zenerdioden in umgekehrter Richtung in Serie,
wobei erst ab einer Spannung grösser als
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4)
Prof. Dr. G. Andersson
Schaltungsverfahren (Potentialberechnung)
Maschenstromverfahren
Vorgehen
1)
2)
3)
4)
5)
Wichtig
-
Maschenströme definieren (mit Richtung)
somit auch Spannungsabfälle definieren
Maschengleichungen aufstellen:
Für jeden Kreis Potentiale berechnen und alle durch das Element laufende
Maschenströme einbeziehen.
Von Maschenströmen auf Ströme zurückrechnen (Strom = Summe der durch diesen
Strom laufende Maschenströme)
Potential v0 = 0 definieren
Restliche Potentiale bestimmen
Ströme fliessen immer vom höheren zum tieferen Potential.
Falls das eingeführte I eine negative Zahl erhält,
zeigt eigentlicher Stromfluss in entgegengesetzte Richtung.
Über einen Widerstand erfolgt in Stromrichtung ein Spannungsabfall.
MASCHENRICHTUNG BEACHTEN!
E − R1 ⋅ I − R2 ⋅ I = 0
E = v1 + v2
Richtung
− E − (− R2 ⋅ I ) − (− R1 ⋅ I ) = 0
− E + R2 ⋅ I + R1 ⋅ I = 0
( E geht positiv ein)
( E geht negativ ein)
Knotenpotentialverfahren
Vorgehen
1)
2)
3)
4)
Alle Knoten Nummerieren
Referenzpotential wählen
Auf jeden Knoten KCL anwenden, ausser auf Referenzknoten (bereits bekannt)
Gleichungssystem lösen
Wichtig
-
Ströme fliessen immer vom höheren zum tieferen Potential, also:
N
∑I
i =1
i
I=
=0
v1 −v2
R
Einsetzen in KCL:
∑I
Zu
=∑ IWeg
Führt auf die gewünschten Gleichungen.
Brückenschaltung
Wenn kein Brückenstrom fliesst (durch ZB), kann
die Brücke durch irgendein Element (Kurzschluss,
Unterbruch, …) ersetzt werden. Dass kein
Brückenstrom fliesst muss gelten:
5)
A1/A2
R oder L
R oder L
C
C
B1/B2
R oder L
C
R oder L
C
Bedingung
A1 / B1 = A2 / B2
A1 · B1 = A2 · B2
A1 · B1 = A2 · B2
B1 / A1 = B2 / A2
Ersatzschaltungen nach Thévenin und Norton
Vorgehen
- RTh / RN:
- ETh:
- IN:
Maximumprinzip
Leistung der Last:
Externe Last entfernen
1) Stromquellen entfernen
2) Spannungsquellen kurzschliessen
3) Widerstand zwischen Klemmen berechne
Superpositionsprinzip anwenden
Spannung über Klemmen messen
Superpositionsprinzip anwenden (Strom von a nach b!)
Strom zwischen den Klemmen messen
Bei maximaler Last-Leistung ist folgendes gegeben:
PL =
ETh2
= I 2 ⋅ RL
4 RL
=
ETh
RTh + RL
)
VL =
ETh
2
RTh = RN
RL :
IN =
ETh
E
= Th
RTh
RN
Lastwiderstand
U a = Ra ⋅ I
Maximale Leistung der Last = Max. Leistung,
welche die Spannungsquelle ETh liefern kann.
Falls Ra gewählt werden muss, dass
maximale Leistung dem Widerstand Ra
Pa = I 2 ⋅ Ra = U a ⋅ I
zugeführt wird:
I=
Max Power
Theorem
Superposition
(I
RTh = RL
Thévenin / Norton Ersatzschaltung
ETh
RTh + Ra
∂Pa
∂R a
= 0 ⇒ Ra = ...
Strom & Spannungsquellen ersetzen! Schaltungen für einzelne Strom- und
Spannungsquellen berechnen und mit Superpositionsprinzip
zusammenfügen:
ETh = ETh1 + ETh 2 + ...
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Kondensator
DC: Zu Beginn: Kurzschluss:
, mit der Zeit: Leerlauf:
AC: Hohe Frequenzen: Kurzschluss, Tiefe Frequenzen (=DC): Leerlauf
A
[F ]
d
ε = ε1 ⋅ ε 0
Kapazität
C =ε ⋅
E-Feld
E=
Im Feld gespeicherte Energie
U = C ⋅V [J ]
V
d
C=
2
L
1
2
Impedanz
7)
IL =
1
1
C1
+
1
C2
+ ...
Q
t
=
Strom:
ZC =
iC = C ⋅
1
jωC
dvC
dt
vC =
Spannung:
θ = −90°
C
C
ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12 Vm
[ Vm
] =[ mF ]
ε 1 : Abhängig vom Material zw. Platte
ε Glas = 7.5
d:
A:
IL :
C ⋅VL
t
Abstand der Platten
Plattenfläche
Benötigter Strom um Kondensator auf
Q1 = Q2 = ...
VL
U:
Q:
CGes = C1 + C 2 + ...
Parallelschaltung
DifferentialDarstellung
A
d
Q C
[V ]
V
Ladestrom beim
Aufladen:
CGes =
Serieschaltung
⇒ C = ε1 ⋅ ε 0 ⋅
zu laden
Ladekurve:
Spannung
Charge
[C ]
(Coulomb)
1
⋅ iC ⋅ dt
C ∫
Kleinbuchstaben = ändert
sich über die Zeit
Auf den Strom bezogen,
Strom hinkt der Spannung hinterher.
Spule (Induktion)
DC: Zu Beginn: Leerlauf:
, mit der Zeit: Kurzschluss:
AC: Hohe Frequenzen: Leerlauf, Tiefe Frequenzen (=DC): Kurzschluss
Induktion
Induktion bei
einem Toroid
L = µ0 ⋅
(rechteckiger Kern)
Impedanz
Strom:
iL =
Z L = jω L
Magnetische Feldkonstante:
µ 0 = 4π ⋅ 10 −7
2
1
⋅ vL ⋅ dt
L ∫
Vs
Am
Berechnung für Toroid mit eckigem Kern!
h:
r:
LGes = L1 + L2 + ...
1
LGes = 1 1
L1 + L2 + ...
Parallelschaltung
Anzahl Windungen
µ0 :
N ⋅ h  r2 
⋅ ln 
2π
 r1 
Serieschaltung
DifferentialDarstellung
N:
N2
L = µ0 ⋅
⋅ A [H ]
l
vL = L ⋅
Spannung:
θ = 90°
Höhe
Radius ( r1 innen, r2 aussen)
diL
dt
Kleinbuchstaben = ändert
sich über die Zeit
Auf den Strom bezogen,
Strom ist der Spannung voraus.
Sprungantwort für R-L und R-C Netzwerk (Allg. Lösung)
R-L Netzwerk
iL (t ) = iL (t → ∞) + [iL (t = 0) − iL (t → ∞ )] ⋅ e
R
− t
L
Reff
R
− t
di
vL (t ) = L L = [ Reff ⋅ iL (t → ∞) − Reff ⋅i L (t = 0)] ⋅ e L
dt
R-L Netzwerk
dv
iC (t ) = C C = [ R1eff vC (t → ∞) −
dt
1
Reff
vC (t = 0)] ⋅ e
vC (t ) = vC (t → ∞) − [vC (t → ∞) −v C (t = 0)] ⋅ e
Formelsammlung_ElektrotechnikII_06.doc (04.08.2010)
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−
−
:
Effektiver Widerstand
Berechnung als R über Spule mit:
- Spannungsquellen: Kurzschluss
- Stromquellen: Leerlauf
t
Reff ⋅C
t
Reff C
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8)
Prof. Dr. G. Andersson
AC Circuits
Em : Amplitude
E p − p : Wert zw. Max & Min
T : Peiode
f : Frequenz [ Hz ] [ rads ]
ω : Kreisfrequenz []
1
f =
T
ω = 2π ⋅ f =
Schwingkreis
Serieschwingkreis:
Parallelschwingkreis:
Zeigerdarstellung
Spannung
Kondensator und Spule in Serie.
Kondensator und Spule parallel. (In Parallelästen nur Spulen/Kondensatorwirkung)
Phasor / Zeiger (Allg.):
A = A ⋅ e jΦ = abs ( A) ⋅ e
Vm
(Spannung kann als Vektor
angegeben werden.)
2π
T
i⋅angle ( A )
= A ⋅ (cos Φ + i sin Φ) = Re+ Im i
Re :
V0 :
e(t ) :
U = Z ⋅ I [V ]
Zeitabhängig (Allg.):
a (t ) = Re( Ae jΦ ⋅ e jωt )
Realteil ( Im : Imaginärteil)
Spannung über Element
Spannung der Quelle
Zeiger (Spannung)
v(t ) = Vm ⋅ (cos(ωt + θ ) + j sin(ωt + θ ) ) = Vm ⋅ e j (ωt +θ ) = Vm ⋅ ∠(ωt + θ )
Zeiger (Strom)
i (t ) = I m ⋅ (cos( ω t + θ ) + j sin( ω t + θ ) ) = I m ⋅ e j (ω t +θ ) = I m ⋅ ∠ (ω t + θ )
Effektivwert
I=
Amplitudengang
Vm ( A) = A = Re( A) 2 + Im( A) 2
Phasengang
(Phasenverschiebung zw.
Spannung / Strom)
Impedanzen
(Komplexe Widerstände)
U eff = Z ⋅ I eff
ZL ZC
Z
R
Impedanzen in Serie
1
2
I m = VZm
⋅ iˆ
∠θ ( A) = arctan
arctan ba

b
arctan a + π
arctan b − π
a
ϕ = arg( z) = 
π / 2
− π / 2

unbestimmt
Im( A )
Re( A )
Widerstand
Kondensator
ZC =
θ = −90°
1
jωC
Vm = Z ⋅ I m
Serienschaltung:
Vm (V0 ) =
Serienschaltung:
∠θ (V0 ) = ∠
= Re 2 + Im 2
V0
e(t )
a > 0, b beliebig
a < 0, b ≥ 0
a < 0, b < 0
a = 0, b > 0
a = 0, b < 0
Im
= arctan ( Re
)
Z0
∑ Zi
a = 0, b = 0
Keine Phasenverschiebung
Strom und Spannung zeigen in die
gleiche Richtung.
θ =0
ZR = R
Vm = 2 ⋅ Veff
Auf den Strom bezogen,
Strom hinkt der Spannung hinterher.
Wirkspannung:
U W = U eff ⋅ cos θ
Blindspannung:
Auf den Strom bezogen,
Strom ist der Spannung voraus.
Spule
θ = 90°
Z L = jω L
Z Tot = ∑ Z i = Z1 + Z 2 + ...
Spannung über Impedanz
Z:
U B = U eff ⋅ sin θ
Wirkwiderstand:
R = UIW
Blindwiderstand:
X = UIB
U=
Z
∑ 1 Zn
n
⋅E
Spannungsteiler:
Vi = E S
Impedanzen Parallel
Z Tot =
1
∑
1
Zi
=
1
1
Z1
+
1
Z2
+ ...
n = 2: Z =
Z1 ⋅ Z 2
Z1 + Z 2
n = 2 : I1 =
Z2
⋅I
Z1 + Z 2
Stromteiler:
Ii = I
Z tot
Zi
Mit Amplituden rechnen:
gleich wie bei DC
U = R⋅I
Admittance
Y=
1
Z
I = UR
Zi
∑ Zn
= ES
Zi
Z tot
Bei komplizierten Schaltungen: Zuerst
R,C,L-Serieschaltung umwandeln,
danach ZTot berechnen.
E, I
: Nur Amplituden!
E ≠ e(t )
[ Siemens]
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