¨Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I Borel-σ

Löhr/Winter
Sommersemester 2017
Übungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I
Übungsblatt 4
Borel-σ-Algebra
Die Borel-σ-Algebra auf einem topologischen Raum (Ω, τ ) ist die von den offenen Mengen
erzeugte σ-Algebra, also B(Ω) := B(Ω, τ ) := σ(τ ). Ist A ⊆ Ω, so ist die Teilraumtopologie
auf A definiert als τA := { U ∩ A | U ∈ τ }.
Aufgabe 4.1 (Teilräume).
(4 Punkte)
Sei (Ω, A) ein messbarer Raum und A ∈ A. Die Einschränkung von A auf A ist A↾A := { B ⊆
A | B ∈ A }.
(a) Zeige, dass A↾A eine σ-Algebra auf A ist.
(b) Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (A, A↾A ). Definiere µ̄(B) = µ(B ∩ A) für alle
B ∈ A. Zeige, dass µ̄ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A) ist.
(c) Sei nun Ω ein topologischer Raum und A = B(Ω) die Borel-σ-Algebra. Zeige, dass
B(A) = A↾A , wobei A natürlich mit der Teilraumtopologie versehen ist.
(d) Sei (Ω′ , A′ ) ein messbarer Raum und f : Ω′ → Ω mit f (Ω′ ) ⊆ A. Zeige: f ist genau dann
A′ -A-messbar, wenn die Abbildung f ′ : Ω′ → A, x 7→ f (x), A′ -A↾A -messbar ist.
Bemerkung: Daher unterscheiden wir f und f ′ in der Regel nicht und bezeichnen beide
Abbildungen mit f .
Aufgabe 4.2 (Einfache (Gegen-)Beispiele).
Beweise oder widerlege für allgemeine Mengen X:
(4 Punkte)
(a) Jede σ-Algebra auf X ist auch eine Topologie auf X.
(b) Ist τ eine Topologie auf X, so bildet { A ⊆ X | A offen oder abgeschlossen bzgl. τ } eine
σ-Algebra auf X.
(c) Ist U eine abzählbare Basis der Topologie τ , so ist die von U erzeugte σ-Algebra gleich
der Borel-σ-Algebra.
(d) Sei I beliebige Indexmenge, Ai ⊆ T
X. Ist A := { Ai | i ∈SI } eine Algebra, so lässt sich
jedes A ∈ σ(A) schreiben als A = i∈I ′ Ai oder als A = i∈I ′ Ai mit I ′ ⊆ I.
Bitte wenden!
Aufgabe 4.3.
(4 Punkte)
Zeige, dass die folgenden Teilmengen von R Borel-messbar sind.
(a) x ∈ R 0 < f (x) ≤ f (x)2 , wobei f : R → R eine (gegebene) stetige Funktion ist.
(b) Die Menge der algebraischen Zahlen. Dabei heißt eine Zahl x ∈ R algebraisch, falls sie
Nullstelle eines nicht-konstanten Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.
Aufgabe 4.4 (Messbarkeit von Stetigkeitsstellen).
(4 Punkte)
Seien (X, d), (Y, r) metrische Räume, f : X → Y eine beliebige Funktion. Zeige, dass die
Menge der Stetigkeitsstellen von f Borel-messbar ist.
Hinweis: Betrachte Mengen des folgenden Typs:
Aε,δ := x ∈ X ∃u, v ∈ Bδ (x) : r f (u), f (v) ≥ ε ,
zeige, dass sie messbar sind, und drücke die Menge Uf der Unstetigkeitsstellen von f mit
ihrer Hilfe aus.
Abgabe Di, 23.05. 14:00
Arbeitsgruppenvorträge:
Am 16.05. gibt Tsiry Randrianasolo (Montan University Leoben) einen Vortrag.
Am 23.05. gibt Zakhar Kabluchko (Universität Münster) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Di, 16:15 – 17:15 in WSC-S-U-3.03