2. ¨Ubung zur Analysis I

Prof. Dr. L. Kramer
Dr. W. Freyn
Dr. T. Kuessner
WS 09/10
2. Übung zur Analysis I
(Abgabe: bis Freitag 30.10.2009, 8 Uhr in die Zettelkästen im Hörsaalgebäude)
Präsenzübung:
Aufgabe 2.1 (Induktion und Elefanten)
a) Sei M eine Teilmenge von N. Zeigen Sie: wenn M die natürliche Zahl ℓ enthält und wenn M den
Nachfolger m + 1 jeder natürlichen Zahl m ∈ M enthält, dann enthält M alle natürlichen Zahlen,
die größer oder gleich ℓ sind.
b) Behauptung: Alle Tiere sind Elefanten!
Genauer zeigen wir durch vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 folgende
Behauptung: Wenn unter n Tieren wenigstens ein Elefant ist, dann sind es lauter Elefanten.
Beweis: Als Induktionsanfang stellen wir fest, daß die Behauptung für n = 1 richtig ist. Die
Induktionsannahme ist, daß die Behauptung für eine gewisse Zahl n ∈ N gilt, und wir haben im
Induktionsschritt daraus die Behauptung für n + 1 heruzuleiten. Das tun wir folgendermaen. Wir
betrachten n + 1 Tiere, unter denen wenigstens ein Elefant ist. Wir stellen diese Tiere in einer
Reihe auf, wobei wir einen Elefanten unter die ersten n Tiere stellen. Nach der Induktionsannahme
sind die ersten n Tiere Elefanten. Dann ist aber unter den letzten n Tieren wenigstens ein Elefant.
Nach Induktionsannahme sind also auch die letzten n Tiere Elefanten. Also sind alle n + 1 Tiere
Elefanten. Damit haben wir die Behauptung durch vollständige Induktion bewiesen. Aus der
Behauptung folgt, daß alle Tiere Elefanten sind........ oder nicht?
Aufgabe 2.2.
a) Markieren Sie in den folgenden Diagrammen die Mengen A ∩ B, A ∪ B, A ∪ (B ∩ C) und
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
b) Berechnen Sie
S
{{x}, {y, z}} und
S
{{a, b}, {{a}, b}}.
-2-
c) Berechnen Sie die Potenzmengen der Mengen {1} und {1, 2} und die Potenzmenge der leeren
Menge.
Hausübung:
Aufgabe 2.3 (Körper)
√
Wir definieren eine Teilmenge K ⊆ R durch K = {a + b 5|a, b ∈ Q}.
a) Zeigen Sie, daß die Summe und das Produkt von je zwei Elementen von K wieder Elemente von
K sind. Addition und Multiplikation sind also auch Verknüpfungen auf K.
b) Zeigen sie, daß K ein Körper ist.
c) Kann man K anordnen? (d.h.: Kann man eine zweistellige Relation auf K so definieren, daß K
ein angeordneter Körper ist?)
√
d) Was passiert, wenn man 5 durch 4 ersetzt und L = {a + b 4|a, b ∈ Q} ⊆ R betrachtet?
Aufgabe 2.4 (Ungleichungen) Zeigen Sie:
a) Für jedes n ∈ N mit n ≥ 3 gilt: 2n + 1 < n2 .
b) Für jedes n ∈ N mit n 6= 3 gilt: n2 ≤ 2n
Zusatzaufgabe:
Zeigen Sie für alle n ∈ N, n 6= 0, und alle positiven Zahlen x1 , . . . , xn , daß
√
x1 + · · · + xn
≥ n x1 · · · · · xn
n
ist. Gleichheit gilt genau dann wenn x1 = x2 = · · · = xn ist.
Hinweis: 2 Induktionsschritte:
1. Wenn die Aussage für n gilt, dann auch für 2n.
2. Wenn die Aussage für n gilt, dann auch für n − 1.