Anhang zum Praktikumsskript

Anhang zum Praktikumsskript
Im folgenden werden einige physikalische Gesetze zusammengefasst, die in der
Vorlesung „Physik für Mediziner und Pharmazeuten“ behandelt werden. Diese kurze
Zusammenfassung ist vor allem als Hilfsmittel bei der Wiederholung des Stoffs der
Vorlesung gedacht: „Wiederholung ist die Mutter des Lernen“.
Es sei ausdrücklich betont, dass diese Zusammenfassung kein Ersatz für ein
Lehrbuch darstellt oder den Besuch der Physikvorlesung obsolet macht.
CAVE: Studierende mit wenig oder keinen Physikkenntnissen werden ausdrücklich
davor gewarnt, folgende Seiten auswendig zu lernen. Dies trägt weder zum
Verständnis der Physik bei, noch hilft es dem Bestehen der Physikprüfungen und ist
daher sinnlos.
1. Mechanik starrer Körper (Reduktion auf Massenpunkte):
Körper werden in der Mechanik häufig als sogenannte Massenpunkte beschrieben,
die ausdehnungslos in sich die gesamte Masse 𝑚𝑚 ([𝑚𝑚] = kg) des Körpers vereinen.
Bei einem ausgedehnten Körper verhält sich der Schwerpunkt hinsichtlich
translatorischer Bewegungen wie ein Massepunkt, der die Gesamtmasse des
Körpers trägt.
Ein Körper mit dem Volumen V hat die Dichte 𝜌𝜌 =
𝑚𝑚
𝑉𝑉
; [𝜌𝜌] =
Gleichförmige Bewegung (1. Newton´sches Axiom):
kg
m3
.
Ein Körper, auf den keine Kräfte einwirken, ist entweder in Ruhe oder er bewegt sich
gleichförmig (geradlinig, mit konstanter Geschwindigkeit).
𝑠𝑠⃗ = Wegstrecke, 𝑡𝑡 = 𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍, 𝑣𝑣⃗ = Geschwindigkeit
𝑠𝑠⃗ = 𝑣𝑣⃗ 𝑡𝑡 ;
[𝑠𝑠⃗] = m ; [𝑡𝑡] = s ;
𝑣𝑣⃗ = const. ;
[𝑣𝑣⃗] =
|𝑣𝑣⃗| = 𝑣𝑣 =
m
s
1
s
t
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
Wirkt auf einen Körper eine konstante Beschleunigung 𝑎𝑎⃗ (𝑎𝑎⃗ kann positiv oder negativ
sein), so ändert sich seine Geschwindigkeit kontinuierlich und es gilt:
Allgemein: 𝑣𝑣⃗ =
1
𝑠𝑠⃗ = 𝑎𝑎
���⃗ 𝑡𝑡 2 ;
𝑑𝑑𝑠𝑠⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑
2
;
𝑎𝑎⃗ =
𝑣𝑣⃗ = 𝑎𝑎⃗ 𝑡𝑡 ;
𝑑𝑑𝑣𝑣�⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑 2 𝑠𝑠⃗
=
𝑑𝑑𝑡𝑡 2
[𝑎𝑎⃗] =
;
|𝑣𝑣⃗| = √2 𝑠𝑠⃗ 𝑎𝑎⃗ ;
m
s2
𝑎𝑎⃗ = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
Beim freien Fall ist 𝑎𝑎⃗ durch die Erdbeschleunigung 𝑔𝑔⃗ zu ersetzen �𝑔𝑔 = 9,81
2ℎ
ein Körper aus der Höhe h, so beträgt die Fallzeit 𝑡𝑡 = � .
𝑔𝑔
m
s2
�. Fällt
Superpositionsprinzip:
geradlinige Bewegungen überlagern sich unabhängig voneinander.
Kraft auf eine Masse (2. Newton´sches Axiom):
Erfährt ein Körper eine Beschleunigung 𝑎𝑎⃗, so wirkt auf seine Masse eine Kraft 𝐹𝐹⃗ :
𝐹𝐹⃗ = 𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗ ;
�𝐹𝐹⃗ � =
kg m
s2
= Newton = N.
Mit der Erdbeschleunigung 𝑔𝑔⃗ folgt daraus für die Gewichtskraft eines Körpers mit der
Masse 𝑚𝑚:
���⃗
⃗
𝐹𝐹
𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑔𝑔
𝑔𝑔 = 𝑓𝑓
𝑀𝑀𝐸𝐸
(𝑅𝑅𝐸𝐸 )²
m
𝑔𝑔 = 9,81 � 2 �
s
Nm2
𝑓𝑓 = Gravitationskonstante = 6,67 ∙ 10−11 �
𝑀𝑀𝐸𝐸 , 𝑅𝑅𝐸𝐸 = Masse, Radius der Erde
kg 2
�,
Reibungskräfte:
Reibungskräfte können proportional zur Beschleunigung eines Körpers sein. In
Strömungen sind sie häufig auch proportional zur Geschwindigkeit 𝑣𝑣 (laminare
Strömung) oder zu 𝑣𝑣 2 . Reibungseigenschaften eines Körpers fasst man durch
benennungslose Koeffizienten zusammen. Man unterscheidet drei Arten der
mechanischen Reibung:
2
a) Haftreibung: 𝐹𝐹⃗𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 = 𝜇𝜇𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐹𝐹⃗𝑁𝑁
𝐹𝐹⃗𝑁𝑁 ist die Kraft, mit der ein Körper senkrecht auf eine Fläche drückt.
b) Gleitreibung: : 𝐹𝐹⃗𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝜇𝜇𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐹𝐹⃗𝑁𝑁
c) Rollreibung: : 𝐹𝐹⃗𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝜇𝜇𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝐹𝐹⃗𝑁𝑁
𝜇𝜇𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 ≪ 𝜇𝜇𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 ≪ 𝜇𝜇𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 .
Allgemein gilt:
Gravitationskraft:
Zwischen zwei Massen 𝑚𝑚1 und 𝑚𝑚2 wirkt stets eine anziehende Kraft, die
Gravitationskraft. Haben die Massen den Abstand 𝑟𝑟, so gilt:
𝑚𝑚 𝑚𝑚
𝐹𝐹⃗ = 𝑓𝑓 1 2 2 𝑟𝑟⃗̂
𝑟𝑟
Nm2
𝑓𝑓 = Gravitationskonstante = 6,67 ∙ 10−11 �
kg 2
�
𝑟𝑟⃗̂ = ein Einheitsvektor (|𝑟𝑟⃗̂| = 1) auf der direkten Verbindungslinie der Massen
Rotationsbewegung:
Eine punktförmige Masse 𝑚𝑚 bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius 𝑟𝑟⃗. In
der
+ r2
t2

v
t1
+ r2
+ r2
∆𝑡𝑡 = 𝑡𝑡2 − 𝑡𝑡1
überstreicht
die
Verbindungslinie zwischen Mittelpunkt und Masse den

∆s
∆ϕ
 
r az
Zeitspanne
+ r2
Winkel ∆𝜑𝜑. Die in ∆𝑡𝑡 zurückgelegte Bahn entspricht
einer Bogenlänge ∆𝑠𝑠. Die Bahngeschwindigkeit 𝑣𝑣⃗ steht
+ r2
+ r2
stets
+ r2
tangential
zur
Kreisbahn,
d.h.
die
Bahngeschwindigkeit ändert kontinuierlich ihre Richtung.
Hierfür muss auf den Körper eine Beschleunigung 𝑎𝑎⃗𝑧𝑧
wirken, die Zentripetalbeschleunigung. Sie ist immer auf den Mittelpunkt hin
gerichtet,
d.h.
auch sie ändert
kontinuierlich ihre Richtung während der
Kreisbewegung.
∆𝜑𝜑 wird im Bogenmaß gemessen.
[∆𝜑𝜑] = rad
∆𝜑𝜑 [rad] ∆𝜑𝜑[°]
=
2𝜋𝜋
360°
∆𝑠𝑠
∆𝜑𝜑 = |𝑟𝑟⃗|
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑟𝑟
oder
3
In Richtung der Drehachse zeigt die Winkelgeschwindigkeit 𝜔𝜔
�⃗. Ihr Betrag ist 2𝜋𝜋 mal
der Zahl der Umläufe pro Sekunde. Zeigen die Finger der rechten Hand in Richtung
der Bewegung des Körpers, so zeigt der Daumen in Richtung von 𝜔𝜔
�⃗.
𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋 ∙ 𝑓𝑓
Es gilt:
(𝑓𝑓 = Frequenz des Umlaufs)
∆𝜑𝜑 = 𝜔𝜔 ∙ ∆𝑡𝑡 oder allgemein
𝜔𝜔 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
;
[𝜔𝜔
�⃗] =
Für die Bahngeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung gilt:
𝑣𝑣 = 𝜔𝜔 ∙ 𝑟𝑟
𝑣𝑣⃗ = 𝜔𝜔
�⃗ × 𝑟𝑟⃗
𝑎𝑎𝑍𝑍 = 𝜔𝜔 ∙ 𝑣𝑣 = 𝜔𝜔2 ∙ 𝑟𝑟
𝑎𝑎⃗𝑍𝑍 = 𝜔𝜔
�⃗ × 𝑣𝑣⃗
1
s
(Vektorprodukt!)
(Vektorprodukt!)
Bei einer gleichmäßigen Rotationsbewegung ändern sich nur die Richtungen von 𝑣𝑣⃗
und 𝑎𝑎⃗𝑧𝑧 während der Bewegung:
+ r2

v 2 t2

a z2
+ r2
+ r2
+ r2

az1

v1
t1
+ r2
|𝑣𝑣⃗1 | = |𝑣𝑣⃗2 |
�𝑎𝑎⃗𝑍𝑍1 � = �𝑎𝑎⃗𝑍𝑍2 �
+ r2
Während der Bewegung wirkt auf den Körper die Zentripetalkraft, die den Körper auf
seiner Bahn hält:
𝐹𝐹⃗Zentripetal = 𝑚𝑚 ∙ 𝑎𝑎⃗𝑍𝑍
Der Körper selbst spürt jedoch eine Kraft nach außen, die Zentrifugalkraft, da der
Körper aufgrund seiner Trägheit stets bestrebt ist, die Kreisbahn in tangentialer
Richtung zu verlassen und sich geradlinig (gleichförmig) weiter zu bewegen. Nach
dem 3. Newton’schen Axiom („actio“ = „reactio“) gilt:
𝐹𝐹⃗Zentrifugal = −𝐹𝐹⃗Zentripetal
4
Impuls:
Bewegt sich eine Masse 𝑚𝑚 mit der Geschwindigkeit 𝑣𝑣⃗ so hat sie einen Impuls:
𝑝𝑝⃗ = 𝑚𝑚 ∙ 𝑣𝑣⃗
Impulserhaltung:
[𝑝𝑝⃗] = kg
m
s
In einem abgeschlossenen System aus mehreren Körpern mit Massen 𝑚𝑚𝑖𝑖 , die
gegenseitig Kräfte aufeinander ausüben, bleibt die Summe der Impulse erhalten und
ist gleich dem Impuls des Schwerpunktes:
∑𝑖𝑖 𝑝𝑝⃗𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = ∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑣𝑣⃗𝑠𝑠
Arbeit und Energie:
(𝑣𝑣⃗𝑠𝑠 Geschwindigkeit des Schwerpunktes)
Durch eine Kraft 𝐹𝐹⃗ wird längs eines Weges 𝑠𝑠⃗ die Arbeit 𝑊𝑊 verrichtet:
𝑊𝑊 = 𝐹𝐹⃗ ∙ 𝑠𝑠⃗
[𝑊𝑊] = N ∙ m = Joule = J
Richtet sich die Kraft gegen die Schwerkraft (Gewichtskraft des Körpers), so ist die
Arbeit 𝑊𝑊 = 𝐹𝐹𝐺𝐺 ∙ ℎ und der Körper der Masse 𝑚𝑚 hat die potenzielle Energie:
𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ
(ℎ = Höhe des Körpers).
Ein Körper der Masse 𝑚𝑚, der sich mit der Geschwindigkeit 𝑣𝑣⃗ bewegt, hat die
kinetische Energie:
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 =
1
2
𝑚𝑚𝑣𝑣 2
Energieerhaltungssatz:
[𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 ] = �𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 � = kg
m2
s2
=J
In einem abgeschlossenen System können die mechanischen Energieformen
ineinander überführt werden, wobei die Gesamtenergie konstant bleibt.
𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Leistung:
Wird in der Zeit ∆𝑡𝑡 die konstante Arbeit ∆𝑊𝑊 verrichtet, so ist die Leistung:
𝑃𝑃 =
∆𝑊𝑊
∆𝑡𝑡
J
[𝑃𝑃] = = Watt = W
s
5
2. Mechanik ausgedehnter Körper:
Drehmoment:
Wirkt auf einen Körper im Abstand 𝑟𝑟⃗ zu einer Drehachse eine Kraft 𝐹𝐹⃗ , so erfährt der
�⃗, das senkrecht zu 𝑟𝑟⃗ und 𝐹𝐹⃗ steht (= Richtung der
Körper ein Drehmoment 𝑇𝑇
Drehachse)
�⃗ = 𝑟𝑟⃗ × 𝐹𝐹⃗
𝑇𝑇
Achtung:
�⃗� = |𝑟𝑟⃗ |� 𝐹𝐹⃗ � sin 𝛼𝛼
�𝑇𝑇
𝛼𝛼 = Winkel zwischen 𝑟𝑟⃗ und 𝐹𝐹⃗
�⃗ = 𝑟𝑟⃗ × 𝐹𝐹⃗ = − 𝐹𝐹⃗ × 𝑟𝑟⃗
𝑇𝑇
�⃗𝑖𝑖 = 0.
Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn gilt ∑𝑖𝑖 𝑇𝑇
Trägheitsmoment:
Die Massenaufteilung eines ausgedehnten Körpers wird in Bezug zu einer
Drehachse mit dem Trägheitsmoment 𝜃𝜃 beschrieben. Das Drehmoment eines
ausgedehnten Körpers lässt dann beschreiben durch:
���⃗
�⃗ = 𝜃𝜃 𝜕𝜕𝜔𝜔
𝑇𝑇
𝜕𝜕𝜕𝜕
(
���⃗
𝜕𝜕𝜔𝜔
𝜕𝜕𝜕𝜕
= Winkelbeschleunigung)
[𝜃𝜃] = 𝑘𝑘g m2
Rotationsenergie; Drehimpuls:
Ein Körper, der sich mit einer Winkelgeschwindigkeit 𝜔𝜔
�⃗ und dem Trägheitsmoment 𝜃𝜃
um eine Achse dreht, hat die Rotationsenergie:
𝐸𝐸rot =
1
𝜃𝜃𝜔𝜔2
2
und den Drehimpuls:
�⃗ = 𝜃𝜃 𝜔𝜔
𝐿𝐿
�⃗
2
�⃗� = kg m
�𝐿𝐿
s
Eine (punktförmige) Masse 𝑚𝑚, die im Abstand 𝑟𝑟⃗ mit der Bahngeschwindigkeit 𝑣𝑣⃗ um
eine Achse rotiert, hat den Drehimpuls:
�⃗ = 𝑟𝑟⃗ × 𝑝𝑝⃗ = 𝑚𝑚 𝑟𝑟⃗ × 𝑣𝑣⃗
𝐿𝐿
6
Drehimpulserhaltung:
In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtdrehimpuls konstant,
unabhängig von inneren Kräften.
�⃗𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
∑𝑖𝑖 𝐿𝐿
Hook’sches Gesetz:
Auf eine Feder, deren Länge um ∆𝑙𝑙 verändert wird, wirkt die Kraft 𝐹𝐹:
𝐹𝐹 = 𝐷𝐷 ∆𝑙𝑙
𝐷𝐷 = Federkonstante
3. Flüssigkeiten und Gase:
Druck:
Kräfte die senkrecht auf eine Fläche 𝐴𝐴 wirken, erzeugen einen Druck 𝑝𝑝. Der Druck ist
eine skalare Größe.
𝑝𝑝 =
𝐹𝐹
𝐴𝐴
[𝑝𝑝] =
N
m
=Pascal = Pa
Der Schweredruck einer Masse 𝑚𝑚 mit einem Volumen 𝑉𝑉 beträgt:
𝑝𝑝 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ
Auftriebskraft:
𝜌𝜌 =
𝑚𝑚
𝑉𝑉
(Dichte)
Befindet sich ein Körper vom Volumen 𝑉𝑉 in einem Medium (Gas, Flüssigkeit) der
Dichte 𝜌𝜌med. , so erfährt er eine Antriebskraft, die der Gewichtskraft entgegengesetzt
gerichtet ist:
𝐹𝐹⃗Auf = 𝜌𝜌med. ∙ 𝑔𝑔 ∙ 𝑉𝑉
Gesetz von Laplace:
Eine Flüssigkeit mit der Oberflächenspannung 𝜎𝜎 erzeugt in einer Kapillaren vom
Radius 𝑟𝑟 den Kapillarendruck 𝑝𝑝:
𝑝𝑝 =
2𝜎𝜎
𝑟𝑟
7
Kontinuitätsgleichung:
v1
+ r2
v2
+ r2
A2
A1
+ r2
+ r2
Ändert sich die Querschnittfläche einer laminaren Strömung von 𝐴𝐴1 auf 𝐴𝐴2 so ändert
sich die Strömungsgeschwindigkeit im umgekehrten Verhältnis:
𝐴𝐴1 𝑣𝑣1 = 𝐴𝐴2 𝑣𝑣2
Dabei heißt eine Strömung laminar, deren Fließverhalten durch innere Reibung
bestimmt wird.
Bernoulli-Gleichung:
Eine Flüssigkeit der Dichte 𝜌𝜌 fließt mit der Geschwindigkeit 𝑣𝑣, es gilt:
horizontale Strömung:
1
𝑝𝑝 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑣𝑣 2 = const.
2
𝑝𝑝 = statische Druck (Außendruck)
1
2
vertikale Strömung:
𝜌𝜌 ∙ 𝑣𝑣 2 Staudruck
1
𝑝𝑝 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑣𝑣 2 + 𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ = const.
2
𝜌𝜌 ∙ 𝑔𝑔 ∙ ℎ =
Stokes’sches Gesetz:
Schweredruck der Flüssigkeitssäule
mit der Höhe ℎ.
Eine Kugel vom Radius 𝑟𝑟, die sich mit einer Geschwindigkeit 𝑣𝑣 in einer Newton’schen
Flüssigkeit der Viskosität 𝜂𝜂 bewegt, erfährt eine Reibungskraft:
𝐹𝐹 = 6 𝜋𝜋 ∙ 𝜂𝜂 ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝑣𝑣
Eine Flüssigkeit, deren Zähigkeit 𝜂𝜂 nicht von der Strömungsgeschwindigkeit abhängt,
nennt man eine Newton’sche Flüssigkeit.
8
Hagen-Poiseuille-Gesetz:
Für eine Flüssigkeit mit der Viskosität 𝜂𝜂, die laminar durch eine Röhre mit der Länge
𝑙𝑙 und dem Radius 𝑟𝑟 fließt, ist bei einem Druckgefälle ∆𝑝𝑝 längs der Röhre der
Volumenfluss 𝐽𝐽:
ΔV
𝐽𝐽 =
Δt
=
𝜋𝜋∙𝑟𝑟 4 ∙∆𝑝𝑝
8 𝜂𝜂 ∙𝑙𝑙
[𝑙𝑙] = [𝑟𝑟] = m
[∆𝑝𝑝] = Pa
[𝜂𝜂] = Poise = P = 0,1 Pa ∙ s
Der Strömungswiderstand 𝑅𝑅 der Röhre ist:
𝑅𝑅 =
Δp 8 𝜂𝜂 ∙ 𝑙𝑙
=
𝜋𝜋 𝑟𝑟 4
J
Sind Röhren mit den Widerständen R i hintereinander geschaltet, so gilt für den
Gesamtwiderstand:
R ges = ∑i R i
Verzweigt eine Röhre in Teilröhren mit den jeweiligen Strömungswiderständen 𝑅𝑅𝑖𝑖 , so
gilt für den Gesamtwiderstand:
1
R ges
= ∑i
1
Ri
4. Wärmelehre:
Temperatur:
Für die absolute Temperatur gilt:
0 [K] = −273,16 [℃]
[𝑇𝑇] = Kelvin = K
Ein Mol eines Gases hat unter Normalbedingungen (273,16 [K]; 1013 [hPa]) ein
Volumen von 22,4 [l].
Für die Temperaturmessung nutzt man sich linear mit der Temperatur ändernde
Eigenschaften eines Körpers, wie z.B. die Längenänderung eines Drahtes.
9
𝑙𝑙 = 𝑙𝑙0 (1 + 𝛾𝛾 ∙ ∆𝑇𝑇)
𝑙𝑙 = Länge nach der Temperaturänderung,
𝑙𝑙0 = Länge vor der Temperaturänderung
∆𝑇𝑇 = Temperaturänderung, 𝛾𝛾 = Längenausdehnungskoeffizient
Wärmeenergie eines festen Körpers, einer Flüssigkeit:
Die für die Änderung der Temperatur ∆𝑇𝑇 eines Körpers/einer Flüssigkeit benötigte
Wärmemenge ∆𝑄𝑄 beträgt:
∆𝑄𝑄 = 𝑐𝑐 ∙ 𝑚𝑚 ∙ ∆𝑇𝑇
[∆𝑄𝑄] = J ;
Ideales Gas:
𝑐𝑐 = spezifische Wärme
[𝑚𝑚] = kg ;
[∆𝑇𝑇] = K ;
[𝑐𝑐] =
m2
s2 K
=
J
kg K
Ein ideales Gas besteht aus identischen Gasteilchen (Massenpunkten), deren
einzige Wechselwirkung elastische Stöße untereinander und mit den Wänden ist.
Dabei gilt für den Zusammenhang von Druck 𝑝𝑝, Volumen 𝑉𝑉 und Temperatur 𝑇𝑇 eines
idealen Gases die Gasgleichung:
𝑝𝑝 ∙ 𝑉𝑉 = 𝜈𝜈 ∙ 𝑅𝑅 ∙ 𝑇𝑇
𝜈𝜈 = Zahl der Mole des Gases
𝑅𝑅 = Gaskonstante 8,31 �
J
�
mol K
Ein Mol eines Gases hat 𝑁𝑁𝐴𝐴 Teilchen: 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 6,022 ∙ 1023 �
𝑅𝑅 = 𝑘𝑘𝐵𝐵 ∙ 𝑁𝑁𝐴𝐴
𝑘𝑘𝐵𝐵 = Boltzmann Konstante
1
mol
� (Avogadro Zahl)
J
𝑘𝑘𝐵𝐵 = 1,38 ∙ 10−23 � �
K
In einem Gemisch von 𝑖𝑖 Gasen hat jedes Gas einen Partialdruck 𝑝𝑝𝑖𝑖 und eine Anzahl
an Molen 𝜐𝜐𝑖𝑖 , so dass bei einer Temperatur T in einem Gesamtvolumen V gilt:
(∑𝑖𝑖 𝑝𝑝𝑖𝑖 ) ∙ 𝑉𝑉 = (∑𝑖𝑖 𝜈𝜈𝑖𝑖 ) ∙ 𝑅𝑅 ∙ 𝑇𝑇
wobei 𝑝𝑝𝑖𝑖 proportional zur Partialkonzentration 𝑐𝑐𝑖𝑖 ist (Henry-Gesetz).
In einer Gassäule der Höhe ℎ nimmt im Schwerefeld der Erde der Druck ab:
𝑝𝑝(ℎ) = 𝑝𝑝0 ∙ 𝑒𝑒
𝜌𝜌
−𝑝𝑝 0 ∙𝑔𝑔∙ℎ
0
𝑝𝑝0 Druck auf der Erde
𝜌𝜌0 Dichte der Erde (𝜌𝜌 ist proportional zu 𝑝𝑝)
10
Für Luft gilt die sog. Barometrische Höhenformel:
ℎ
𝑝𝑝(ℎ) = 𝑝𝑝0 ∙ 𝑒𝑒 −𝐻𝐻
𝑝𝑝0 = 1013 [ℎ𝑃𝑃𝑃𝑃] ;
𝐻𝐻 =
𝑝𝑝 0
𝜌𝜌 0 ∙𝑔𝑔
𝜌𝜌0 = 1,3 �
kg
m3
�
= Skalenhöhe = 8000 m
Die kinetische Energie eines Gasteilchens beträgt:
𝑓𝑓
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = ∙ 𝑘𝑘𝐵𝐵 ∙ 𝑇𝑇
2
𝑓𝑓 = Zahl der Freiheitsgrade des Gases
Mit 𝑅𝑅 =∙ 𝑘𝑘𝐵𝐵 ∙ 𝑁𝑁𝐴𝐴 gilt für ein Mol eines Gases:
𝑓𝑓
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 2 ∙ 𝑅𝑅 ∙ 𝑇𝑇
Die kinetische Energie, die man einem Gas zuführen muss, um seine Temperatur um
1
∆𝑇𝑇 = 1K zu ändern beträgt je Freiheitsgrad 𝑅𝑅 ≈ 1 �
Wärmetransportphänomene:
2
cal
� (1[cal] = 4,19[J]).
mol∙K
Gase nehmen jedes Volumen so ein, dass alle Teilchen im Volumen gleich verteilt
sind. Diese Gleichverteilung wird durch Diffusion erreicht. Dasselbe gilt für Teilchen
in Flüssigkeiten.
1. Fick’sches Gesetz der Diffusion:
Die Teilchenstromdichte (= Änderung der Teilchenzahl 𝑛𝑛 pro Zeiteinheit 𝑡𝑡 und
Querschnittsfläche 𝐴𝐴) in eine Richtung 𝑥𝑥 ist proportional zur Dichteänderung in 𝑥𝑥:
𝑗𝑗 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙𝐴𝐴
= −𝐷𝐷
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐷𝐷 = Diffusionskoeffizient
2. Fick’sches Gesetz der Diffusion:
Die zeitliche Änderung der Dichte ist proportional zum Dichtegefälle längs 𝑥𝑥:
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕 2 𝜌𝜌
= 𝐷𝐷 2
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
Osmose:
Ist ein gelöster Stoff der Konzentration 𝑐𝑐 bei der Temperatur 𝑇𝑇 durch eine selektiv
permeable („semipermeable“) Wand von seinem Lösungsmittel getrennt, so wirkt auf
dieses ein osmotischer Druck 𝛱𝛱 der durch das van’t Hoff Gesetz beschrieben wird:
11
𝛱𝛱 = 𝑐𝑐 ∙ 𝑅𝑅 ∙ 𝑇𝑇
Es strömt solange Lösungsmittel durch die selektiv permeable Wand bis Außen- und
Innendruck gleich sind.
1. Hauptsatz der Wärmelehre:
Als innere Energie 𝑈𝑈 bezeichnet man die gesamte Energie, die in einem Gas
gespeichert ist, d.h. sowohl die gespeicherte Wärmeenergie 𝑄𝑄 als auch die
gespeicherte mechanische Energie 𝑊𝑊 (𝑈𝑈 = 𝑄𝑄 + 𝑊𝑊).
Damit lautet der 1. Hauptsatz der Wärmelehre:
Die Summe der einem System zu-/abgeführten Wärme ∆𝑄𝑄 und der an/von ihm
verrichteten Arbeit ∆𝑊𝑊 ist gleich der Zu-/Abnahme der inneren Energie.
∆𝑈𝑈 = ∆𝑄𝑄 + ∆𝑊𝑊
∆𝑄𝑄, ∆𝑊𝑊 > 0 zugeführte Wärme, am System verrichtete Arbeit
∆𝑄𝑄, ∆𝑊𝑊 < 0 abgeführte Wärme, vom System verrichtete Arbeit
Führt man einem Gas die Wärmemenge ∆𝑄𝑄 zu, ändert sich die Temperatur um ∆𝑇𝑇,
wobei gemäß der Gasgleichung entweder der Druck oder das Volumen konstant
gehalten werden können. Es gilt:
für 𝑝𝑝 = const:
∆𝑄𝑄 = 𝑐𝑐𝑝𝑝 ∙ 𝑚𝑚 ∙ ∆𝑇𝑇
𝑐𝑐𝑝𝑝 = spezifische Wärme des Gases bei konstantem Druck
∆𝑄𝑄 = 𝑐𝑐𝑉𝑉 ∙ 𝑚𝑚 ∙ ∆𝑇𝑇
𝑐𝑐𝑉𝑉 = spezifische Wärme des Gases bei konstantem Volumen
für 𝑉𝑉 = const:
bezogen auf 1 Mol eines Gases:
𝑓𝑓
𝑐𝑐𝑉𝑉 (Mol) =
𝜅𝜅 =
𝑐𝑐𝑝𝑝
𝑐𝑐 𝑉𝑉
=
2
𝑓𝑓+2
𝑅𝑅 ;
𝑐𝑐𝑝𝑝 (Mol) =
𝑓𝑓+2
2
𝑅𝑅
𝑓𝑓 = Zahl der Freiheitsgrade
𝜅𝜅 = Adiabatenkoeffizient
𝑓𝑓
12
2. Hauptsatz der Wärmelehre
Die Entropie ist ein Maß für die Zahl der möglichen Zustände, die ein Gas einnehmen
kann oder umgekehrt, ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gas einen
bestimmten Zustand einnimmt. Bei reversiblen Zustandsänderungen bleibt die
Entropie konstant. Dagegen nimmt sie bei irreversiblen Zustandsänderungen stets
zu. Der 2. Hauptsatz besagt, dass ein abgeschlossenes System stets den Zustand
seiner maximalen Entropie anstrebt. Anders ausgedrückt: Es ist nicht möglich
Energie nur durch Abkühlen eines Systems zu gewinnen.
Zustandsänderungen:
𝑈𝑈 = const, 𝑇𝑇 = const
a) isotherm
∆𝑈𝑈 = 0
⇒
∆𝑄𝑄 = −∆𝑊𝑊
⇒
𝑝𝑝 ∙ 𝑉𝑉 = const
∆𝑄𝑄 = 0
⇒
∆𝑈𝑈 = ∆𝑊𝑊
⇒
𝑝𝑝 ∙ 𝑉𝑉 𝜅𝜅 = const
𝑄𝑄 = const
b) adiabatisch
Wärmeleitung:
In einem Medium, in dem die einzelnen Teilchen gekoppelt sind, so dass sie
Schwingungen
übertragen
können
(z.B.
Metallatome),
wird
Wärme
durch
Wärmeleitung transportiert. Die Wärmestromdichte 𝑗𝑗 ist dabei proportional zum
Temperaturunterschied ∆𝑇𝑇 längs einer Strecke ∆𝑙𝑙.
𝑗𝑗 = −
[𝑗𝑗] =
1 ∆𝑄𝑄
𝐴𝐴 ∆𝑡𝑡
W
m2
= −𝜆𝜆
∆𝑇𝑇
∆𝑙𝑙
𝐴𝐴 = Querschnittfläche
𝜆𝜆 = Wärmeleitfähigkeit
Konvektion:
In Flüssigkeiten und Gasen findet Wärmetransport auch durch Konvektion statt. Sie
beruht auf einem Stofftransport, da erwärmte Schichten sich ausdehnen und
aufgrund ihrer geringeren Dichte in einer kälteren Umgebung einen Auftrieb erfahren.
13
Wärmestrahlung:
Bei der Wärmestrahlung (auch Temperaturstrahlung) eines Körpers handelt es sich
um elektromagnetische Wellen, die ein Körper der absoluten Temperatur 𝑇𝑇
aussendet. Die Wärmeleistungsdichte (= Wärmeenergie / Zeit . Fläche) wird durch
das Stefan-Boltzmann Gesetz beschrieben:
𝑆𝑆 = 𝜎𝜎 ∙ 𝑇𝑇 4
[𝑆𝑆] =
𝜎𝜎 = 5,67 ∙ 10−8 [
W
m2 ∙K 4
𝑊𝑊
]
𝑇𝑇 = absolute Temperatur; [𝑇𝑇] = K
m2
5. Elektrizitätslehre:
Es
gibt
positive
und
negative
Ladungen.
Die
Elementarladung
beträgt
𝑒𝑒 = 1,6 ∙ 10−19 [C]. Ladungen treten immer paarweise auf und können weder erzeugt
noch vernichtet werden. In einem abgeschlossenen System ist die Summe der
Ladungen konstant (Ladungserhaltungssatz).
Coulomb-Kraft:
Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an.
Die Kraft zwischen zwei Punktladungen 𝑞𝑞1 und 𝑞𝑞2 beträgt:
𝐹𝐹⃗ =
1 𝑞𝑞1 ∙ 𝑞𝑞2 ̂
𝑟𝑟⃗
4𝜋𝜋𝜋𝜋0 𝜖𝜖𝑟𝑟 𝑟𝑟 2
𝐹𝐹 > 0 abstoßend; 𝐹𝐹 < 0 anziehend
𝑟𝑟⃗̂ = ein Einheitsvektor (|𝑟𝑟⃗̂| = 1) in Richtung der direkten Verbindung der Ladungen
𝜖𝜖0 = Dielektrizitätskonstante = 8,854 ∙ 10−12 �
A∙s
�
V∙m
𝜖𝜖𝑟𝑟 = relative Dielektrizität des Mediums, in dem sich die Ladungen befinden
(reine Zahl!)
𝑟𝑟 = Abstand der Ladungen
[𝑞𝑞] = Coulomb = C = Ampere ∙ s = A∙s.
14
Elektrisches Feld:
Elektrische Felder beginnen auf positiven Ladungen und enden auf negativen
Ladungen. Elektrische Felder stehen immer senkrecht auf ladungstragenden
Oberflächen.
Kugelförmige
Ladungsverteilungen
mit
der
Gesamtladung
symmetrische elektrische Felder 𝐸𝐸�⃗ .
+
+
+
𝐸𝐸�⃗ =
1
4𝜋𝜋𝜋𝜋 0 𝜖𝜖 𝑟𝑟
+
+
+
+
+
𝑞𝑞
𝑟𝑟 2
𝑟𝑟⃗̂
-
-
-
V
m
radial-
-
-
�𝐸𝐸�⃗ � =
𝑞𝑞 haben
-
-
; 𝑟𝑟⃗̂ = Einheitsvektor in radialer Richtung
Flächen gleicher elektrischer Feldstärke nennt man Äquipotenzialflächen. Ein Feld
hat in einem Abstand 𝑟𝑟 ein Potenzial 𝜑𝜑, das der „Arbeitsfähigkeit“ des Feldes auf
eine Probeladung entspricht.
𝜑𝜑 =
1
𝑞𝑞
𝑞𝑞 = Gesamtladung, die das Feld erzeugt.
4𝜋𝜋𝜋𝜋 0 𝜖𝜖 𝑟𝑟 𝑟𝑟
Die Spannung 𝑈𝑈 ist die Potenzialdifferenz zwischen 2 Punkten im elektrischen Feld.
Zwischen ebenen Ladungsverteilungen im Abstand 𝑑𝑑 entsteht ein homogenes
elektrisches Feld:

E
+
+ r2
-
+ r2
+ r2
+
𝐸𝐸 =
𝑈𝑈
𝑈𝑈 =
𝑑𝑑
+ r2
-
+ r2
+ r2
+
-
+ r2
+ r2
+
-
+ r2
+ r2
d
+ r2
Ladungsebenen
[𝑈𝑈] = Volt = V
+ r2
+
Spannung zwischen den
15
Durchläuft eine Ladung 𝑞𝑞 ein elektrisches Feld so ändert sich seine Energie um ∆𝑊𝑊.
∆𝑊𝑊 = 𝑞𝑞 ∙ 𝑈𝑈.
Man gibt im Falle der Elementarladung 𝑒𝑒 die Energie der Ladung, die durch eine
Spannung beschleunigt wird, auch in Elektronenvolt [eV] an.
1[eV] = 1,6 ∙ 10−19 [J]
Dielektrische Verschiebung:
�⃗ eines elektrischen Feldes 𝐸𝐸�⃗ ergibt die
Mit der dielektrischen Verschiebung 𝐷𝐷
Energiedichte 𝑊𝑊 pro Volumen des Feldes:
�⃗ = 𝜖𝜖0 ∙ 𝜖𝜖𝑟𝑟 ∙ 𝐸𝐸�⃗
𝐷𝐷
�⃗ � =
�𝐷𝐷
1
�⃗
𝑊𝑊 = ����⃗
∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝐷𝐷
[𝑊𝑊] =
2
Kondensator:
C
m2
J
m3
=
A∙s
m2
Ein Kondensator speichert Ladungen im getrennten Zustand.
Für die Ladung 𝑄𝑄 einer Kondensatorfläche 𝐴𝐴 gilt:
𝑄𝑄 = 𝐶𝐶 ∙ 𝑈𝑈
𝑈𝑈 = Spannung zwischen den Kondensatorflächen
𝐶𝐶 = 𝜖𝜖0 ∙ 𝜖𝜖𝑟𝑟 ∙
𝐶𝐶 = Kapazität des Kondensators
𝐴𝐴
𝐴𝐴 = Kondensatorfläche einer Kondensatorplatte
𝑑𝑑
𝑑𝑑 = Abstand des Kondensators
𝜖𝜖𝑟𝑟 = relative Permeabilität des Dielektrikums zwischen
den Ladungsträgern des Kondensators
[𝐶𝐶] = Farad = F =
𝐴𝐴∙𝑠𝑠
𝑉𝑉
Bei einer Parallelschaltung von 𝑖𝑖 Kondensatoren ist die Gesamtkapazität:
𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = ∑𝑖𝑖 𝐶𝐶𝑖𝑖 .
Bei einer Serienschaltung von 𝑖𝑖 Kondensatoren ist die Gesamtkapazität gegeben
durch:
1
𝐶𝐶𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔
= ∑𝑖𝑖
1
𝐶𝐶𝑖𝑖
.
16
Ein Kondensator speichert die Energie 𝑊𝑊:
1
𝑊𝑊 = 𝐶𝐶 ∙ 𝑈𝑈 2
2
Elektrischer Strom:
Fließt in einer Zeit ∆𝑡𝑡 eine Ladung ∆𝑄𝑄 durch einen elektrischen Leiter, so ist der
Strom 𝐼𝐼:
𝐼𝐼 =
∆𝑄𝑄
[𝐼𝐼] = Ampere = A
∆𝑡𝑡
Liegt dabei eine Spannung 𝑈𝑈 an der Spannungsquelle, so ist die elektrische
Leistung:
𝑃𝑃 = 𝐼𝐼 ∙ 𝑈𝑈
Ohm´sches Gesetz:
[𝑃𝑃] = Watt = W = A∙V
An einem Widerstand 𝑅𝑅 fällt bei einem Strom 𝐼𝐼 die Spannung 𝑈𝑈 ab. Der Widerstand
hat die Länge 𝑙𝑙 und den Querschnitt 𝐴𝐴.
[𝑈𝑈] = V
𝑈𝑈 = 𝑅𝑅 ∙ 𝐼𝐼
𝑅𝑅 = 𝜌𝜌
𝑙𝑙
[𝐼𝐼] = 𝐴𝐴
𝐴𝐴
[𝑅𝑅] = Ohm = 𝛺𝛺
𝜌𝜌 = spezifischer Widerstand
[𝜌𝜌] = 𝛺𝛺
mm 2
m
Bei einer Serienschaltung von 𝑖𝑖
Widerständen ist der Gesamtwiderstand:
𝑅𝑅𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = ∑𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑖𝑖 .
Bei einer Serienschaltung von 𝑖𝑖 Widerständen ergibt sich der Gesamtwiderstand aus:
1
𝑅𝑅𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔
= ∑𝑖𝑖
1
𝑅𝑅𝑖𝑖
.
Galvanische Elemente:
Ein galvanisches Element besteht aus 2 elektrischen Leitern, die durch einen Leiter
2. Art verbunden sind. In einem Leiter 2. Art findet Materialtransport in Form von
Ionen statt.
17
Faraday´sche Gesetze:
1.) In einem galvanischen Element ist die abgeschiedene Masse 𝑚𝑚 proportional zur
transportierten Ladung 𝑞𝑞.
𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∙ 𝑞𝑞 = 𝐴𝐴 ∙ 𝐼𝐼 ∙ 𝑡𝑡
2.) Wenn
𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑍𝑍
𝐴𝐴 = elektromagnetisches Äquivalent
die Äquivalentmasse ist, dann verhalten sich bei gleichen Strömen
zwei abgeschiedene Massen 𝑚𝑚1 und 𝑚𝑚2 wie die Äquivalentmassen.
𝑚𝑚 1
=
𝑚𝑚 2
𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 1 ∙𝑍𝑍2
𝑍𝑍 = Ladungszahl
𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 ∙𝑍𝑍1
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = molare Masse
𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
3.) Zur
Abscheidung
�
𝑍𝑍
einer
� = val
Äquivalentmasse
notwendig.
sind
C
𝐹𝐹 = 96485 � �
val
Ladungen
Magnetostatik:
Es gibt keine magnetischen Monopole. Magnetische Dipole werden mit Nord- und
Südpol bezeichnet N

H
S . Magnetische Felder 𝐻𝐻
�⃗ sind geschlossen.
+ r2
S
N
�⃗ = magnetische Feldstärke
𝐻𝐻

H
+ r2
Gesetz von Biot-Savart:
Ein stromdurchflossener Leiter wird konzentrisch von einem Magnetfeld umgeben. Im
Abstand 𝑟𝑟 ist bei einem Strom 𝐼𝐼 die magnetische Feldstärke 𝐻𝐻:
𝐻𝐻 =
𝐼𝐼
2𝜋𝜋𝜋𝜋
[𝐻𝐻] =
𝐴𝐴
𝑚𝑚
;
�⃗: „rechte Handregel“.
Richtung von 𝐻𝐻
Eine Spule mit 𝑁𝑁 Windungen und der Länge 𝑙𝑙, die von einem Strom 𝐼𝐼 durchflossen
wird, erzeugt ein Magnetfeld 𝐻𝐻:
18
𝐻𝐻 =
𝑁𝑁∙𝐼𝐼
𝑙𝑙
Kraft auf bewegte Ladungen:
Ein Leiter der Länge 𝑙𝑙, durch den ein Strom 𝐼𝐼 fließt, erfährt in einem Magnetfeld eine
Kraft 𝐹𝐹, die senkrecht zur Stromrichtung und senkrecht zur Richtung des
Magnetfeldes steht („3 Finger-Regel der rechten Hand“).
�⃗
𝐹𝐹⃗ = 𝐼𝐼 ∙ 𝑙𝑙⃗ × 𝐵𝐵
𝑙𝑙⃗ = Vektor mit Betrag 𝑙𝑙 und Richtung des Stroms
�⃗ = 𝜇𝜇0 ∙ 𝜇𝜇𝑟𝑟 ∙ 𝐻𝐻
�⃗
𝐵𝐵
V∙s
����⃗
[𝐵𝐵] = Tesla = T = 2
𝜇𝜇0 = 4𝜋𝜋 ∙ 10−7 �
V∙s
m
�
A∙m
�⃗ = magnetische Induktion
𝐵𝐵
𝜇𝜇0 = magnetische Permeabilität
𝜇𝜇𝑟𝑟 = relative magnetische Permeabilität des
magnetischen Materials (Zahl!)
Eine bewegte Ladung 𝑞𝑞 erfährt in einem Magnetfeld eine Kraft 𝐹𝐹⃗ (Lorentz-Kraft), die
�⃗
senkrecht zur Geschwindigkeit 𝑣𝑣⃗ der Ladung und zur magnetischen Induktion 𝐵𝐵
steht. Die Ladung bewegt sich auf einer Kreisbahn.
�⃗
𝐹𝐹⃗ = 𝑞𝑞 ∙ 𝑣𝑣⃗ × 𝐵𝐵
(𝑞𝑞 ist entsprechend positiv oder negativ einzusetzen, Vorzeichen
beachten, „3-Finger-Regel der rechten Hand“)
Magnetischer Fluß:
Der magnetische Fluß 𝜙𝜙 durch eine Fläche 𝐴𝐴 ist gegeben durch:
𝜙𝜙 = 𝐵𝐵 ∙ 𝐴𝐴 ∙ cos 𝛼𝛼
Magnetische Induktion:
𝛼𝛼 =
Winkel zwischen der Fläche und der Senkrechten
�⃗
zu 𝐵𝐵
Ändert sich der magnetische Fluß um 𝑑𝑑𝑑𝑑 in einer Zeit 𝑑𝑑𝑑𝑑 in einer Fläche 𝐴𝐴, die von
einem Leiter in 𝑁𝑁 Windungen umgeben wird, so wird in diesem Leiter eine Spannung
𝑈𝑈 induziert. Der resultierende Strom ist dabei so gerichtet, dass er der Flußänderung
𝑑𝑑𝑑𝑑 entgegenwirkt („Lenz´sche Regel“).
𝑈𝑈 = −𝑁𝑁
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
19
Ändert sich in einer Spule ein Strom um 𝑑𝑑𝑑𝑑 in der Zeit 𝑑𝑑𝑑𝑑, so führt dies zu einer
Selbstinduktion mit der Spannung:
𝑈𝑈 = −𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑑𝑑
L= Induktivität der Spule
𝑑𝑑𝑑𝑑
[𝐿𝐿] =
𝐴𝐴∙𝑁𝑁 2
𝐿𝐿 = 𝜇𝜇0 ∙ 𝜇𝜇𝑟𝑟 ∙
𝑙𝑙
Wechselstrom:
𝑈𝑈(𝑡𝑡) = 𝑈𝑈0 ∙ sin(𝜔𝜔𝜔𝜔)
𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼0 ∙ sin(𝜔𝜔𝜔𝜔)
V∙s
A
= Henry =H
𝜇𝜇𝑟𝑟 = relative Permeabilität des Spulenkerns
𝐴𝐴 = Querschnittsfläche der Spule
𝑙𝑙 = Länge der Spule
𝑁𝑁 = Windungszahl der Spule
𝜔𝜔 = 2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝜈𝜈 ; 𝜈𝜈 = Frequenz
𝑡𝑡 = Zeit
𝑈𝑈0 , 𝐼𝐼0 = Maximalwerte (Amplitude) von Spannung und
Strom
Mit
den
Effektivwerten
𝑈𝑈eff =
𝑈𝑈0
√2
und
𝐼𝐼eff =
Schwingungsperiode gemittelte Leistung 𝑃𝑃� zu:
𝐼𝐼0
√2
ergibt
sich
die
über
eine
𝑃𝑃� = 𝑈𝑈eff ∙ 𝐼𝐼eff
In einem Wechselstromkreis gibt es neben Ohm´schen Widerständen (Wärmeverlust
der elektrischen Energie durch den Strom) auch induktive Widerstände 𝑅𝑅𝐿𝐿 (Spulen)
und kapazitive Widerstände 𝑅𝑅𝐶𝐶 (Kondensatoren):
𝑅𝑅𝐿𝐿 = 𝜔𝜔 ∙ 𝐿𝐿
𝑅𝑅𝐶𝐶 =
1
𝜔𝜔 ∙ 𝐶𝐶
In einem Transformator hat die Spule auf der Primärseite 𝑁𝑁1 Windungen und auf der
Sekundärseite 𝑁𝑁2 Windungen. Für die Spannung 𝑈𝑈2 und den Strom 𝐼𝐼2 auf der
sekundären Seite gilt:
𝑈𝑈2 = 𝑈𝑈1 ∙
𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼1 ∙
𝑁𝑁2
𝑁𝑁1
𝑁𝑁1
𝑁𝑁2
𝑈𝑈1 , 𝐼𝐼1 = Spannung, Strom auf der Primärseite
20
6. Schwingungen:
Für eine harmonische Schwingung gilt für einen Schwinger:
Auslenkung: 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴0 ∙ sin(𝜔𝜔𝜔𝜔)
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴0 ∙ 𝜔𝜔 ∙ cos(𝜔𝜔𝜔𝜔)
𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝐴𝐴0 ∙ 𝜔𝜔² ∙ sin(𝜔𝜔𝜔𝜔)
𝐴𝐴0 = Amplitude
𝜔𝜔 = 2 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝑓𝑓 ; 𝑓𝑓 = Frequenz
𝑓𝑓 =
1
𝑇𝑇
; 𝑇𝑇 = Periode
1
[𝑓𝑓] = = Hertz = Hz
s
Ein schwingender Körper der Masse 𝑚𝑚 hat die Energie 𝑊𝑊, die sich aus kinetischer
und potenzieller Energie zusammensetzt.
𝑊𝑊 = 𝑊𝑊𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑊𝑊𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 =
1
1
1
∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑣𝑣 2 + ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝜔𝜔2 ∙ 𝑥𝑥 2 = ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝜔𝜔2 ∙ 𝐴𝐴0 2
2
2
2
7. Wellen:
Wird ein Schwingungszustand durch den Raum transportiert, so entsteht eine Welle.
Eine Welle transportiert kein Material sondern Energie. Man unterscheidet
Longitudinalwellen (z.B. Schall), bei denen die Schwingungsrichtung in Richtung der
Wellenausbreitung steht, und Transversalwellen (z.B. elektromagnetische Wellen),
bei denen die Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht.
Transversalwellen sind im Gegensatz zu Longitudinalwellen polarisierbar, d.h. es
kann eine Schwingungsrichtung ausgezeichnet werden.
𝑓𝑓 ∙ 𝜆𝜆 = 𝑣𝑣 ;
𝜈𝜈 =
𝑘𝑘 =
𝜔𝜔
2𝜋𝜋
2𝜋𝜋
𝜆𝜆
oder
𝜆𝜆 ∙ 𝜈𝜈 = 𝑐𝑐
𝜆𝜆 = Wellenlänge
𝑓𝑓, 𝜈𝜈 = Frequenz
𝑣𝑣, 𝑐𝑐 = Ausbreitungsgeschwindigkeit
= Frequenz, 𝜔𝜔 = Kreisfrequenz
= Wellenzahl
2 gegenläufige Wellen gleicher Amplitude 𝐴𝐴 und gleicher Frequenz 𝑓𝑓 interferieren zu
einer stehenden Welle. Dabei gibt es Orte die immer in Ruhe sind (Knoten) und Orte
mit maximaler Ausdehnung (= 2𝐴𝐴) (Bäuche). In einem Resonator der Länge 𝐿𝐿 bildet
sich eine stehende Welle für folgende Bedingungen von λ:
21
1. An beiden Enden des Resonators befindet sich ein Knoten oder ein Bauch:
𝜆𝜆
𝐿𝐿 = 𝑛𝑛 ∙ ;
𝑛𝑛 = 1, 2, . . .
2
2. An einem Ende des Resonators befindet sich ein Knoten, am anderen Ende
ein Bauch:
𝐿𝐿 = (2𝑛𝑛 − 1) ∙
Schallausbreitung:
𝜆𝜆
2
𝑛𝑛 = 1, 2, . . .
;
Für die Schallgeschwindigkeit in einem Gas gilt:
𝜌𝜌
𝑣𝑣 = �𝜅𝜅 ∙ = �𝜅𝜅 ∙
𝑝𝑝
𝑅𝑅𝑇𝑇
𝑝𝑝 = Druck
𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌 = Dichte
𝜅𝜅 =
𝑐𝑐𝑝𝑝
𝑐𝑐 𝑉𝑉
𝑇𝑇 = Temperatur
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = molare Masse
m
𝑣𝑣(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿) = 331 � � für Normalbedingungen bei 0 °C.
s
An einer Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlicher Schallgeschwindigkeit entsteht ein Wellenwiderstand 𝑧𝑧:
𝑧𝑧 = 𝜌𝜌 ∙ 𝑣𝑣 (𝜌𝜌, 𝑣𝑣 = Dichte, Ausbreitungsgeschwindigkeit hinter der Grenzfläche)
Doppler Effekt:
Bewegen sich Sender 𝑆𝑆 oder Empfänger 𝐸𝐸 eines Schallsignals mit der
Geschwindigkeit 𝑣𝑣 , so ändert sich die Frequenz 𝑓𝑓0 des Schallsignals. Analoges gilt
auch für andere Arten von Wellen, wie z.B. elektromagnetische Wellen (Radar, Licht
etc.)
1. Sender in Ruhe

v
E1
𝑣𝑣
𝑓𝑓(𝐸𝐸1 ) = 𝑓𝑓0 �1 + �
𝑐𝑐

v
S
𝑣𝑣
𝑓𝑓(𝐸𝐸2 ) = 𝑓𝑓0 �1 − �
𝑐𝑐
E2
𝑐𝑐 = Schallgeschwindigkeit,
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle
22
2. Empfänger in Ruhe

v
𝑣𝑣 −1
𝑓𝑓(𝐸𝐸1 ) = 𝑓𝑓0 �1 + �
𝑐𝑐
E1
𝑣𝑣 −1
𝑓𝑓(𝐸𝐸2 ) = 𝑓𝑓0 �1 − �
𝑐𝑐
E2
Lautstärke:
Physikalisch wird die Lautstärke durch die Schallintensität 𝐼𝐼 beschrieben, d.h. die
Energie, die pro Zeitintervall auf eine Fläche trifft. �[𝐼𝐼] =
Daneben verwendet man den Schalldruckpegel 𝐿𝐿𝑝𝑝 :
𝑝𝑝
2
𝑝𝑝
𝐿𝐿𝑝𝑝 = 10 ∙ log � � = 20 ∙ log � �
𝑝𝑝 0
�𝐿𝐿𝑝𝑝 � = dezibel = dB
W
m2
�.
𝑝𝑝 = Schalldruck
𝑝𝑝 0
𝑝𝑝0 = 2 ∙ 10−5 [Pa](Luft)
𝑝𝑝0 = 1 [𝜇𝜇Pa] (sonst.)
Ein anderes Maß ist der Schallintensitätspegel 𝐿𝐿𝐼𝐼 , der dem Schalldruckpegel
proportional ist:
|𝐼𝐼|
𝐿𝐿𝐼𝐼 = 10 ∙ log � �
[𝐿𝐿𝐼𝐼 ] = dB
𝐼𝐼0
W
𝐼𝐼0 = 10−12 � 2 �
m
Die empfundene Lautstärke wird in Phon gemessen und berücksichtigt die
frequenzabhängige Empfindlichkeit des menschlichen Ohrs. Die Lautstärke wird
dabei mit einem Ton verglichen, der bei einer Frequenz von 1 [kHz] dasselbe Hör-
empfinden auslöst.
|𝐼𝐼|
𝐿𝐿 = 10 ∙ log � �
[𝐿𝐿] = Phon
𝐼𝐼0
W
𝐼𝐼0 = 10−12 � 2 � bei 1 [kHz]
m
23
8. Elektromagnetische Wellen - Optik
Eine elektromagnetische (EM-) Welle (z.B. Radiowelle, Lichtwelle, Mikrowelle,
Röntgenwelle) besteht aus einem sich zeitlich ändernden elektrischen Feld 𝐸𝐸�⃗ und
�⃗, die senkrecht aufeinander
einem sich zeitlich ändernden magnetischen Feld 𝐻𝐻
stehen und in Phase schwingen.
�⃗ ⊥ 𝑐𝑐⃗
𝐸𝐸�⃗ ⊥ 𝐻𝐻
𝜆𝜆 ∙ 𝜈𝜈 = 𝑐𝑐
𝑐𝑐(𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉) =
𝑐𝑐⃗ = Ausbreitungs-/Phasengeschwindigkeit
𝜆𝜆 = Wellenlänge;
1
m
= 3 ∙ 108 � �
s
�𝜀𝜀0 ∙ 𝜇𝜇0
𝜈𝜈 = Frequenz
In einem Medium ist die Phasengeschwindigkeit einer EM-Welle immer geringer als
im Vakuum. Bei einem Übergang von einem Medium mit der Phasengeschwindigkeit
𝑐𝑐1 in ein Medium mit der Phasengeschwindigkeit 𝑐𝑐2 bleibt die Frequenz ν (=Farbe)
erhalten.
1
𝑐𝑐(Materie) =
�𝜀𝜀0 ∙ 𝜀𝜀𝑟𝑟 ∙ 𝜇𝜇0 ∙ 𝜇𝜇𝑟𝑟
=
𝑐𝑐(Materie) < 𝑐𝑐(Vakuum)
𝑐𝑐(Vakuum)
√𝜀𝜀𝑟𝑟 ∙ 𝜇𝜇𝑟𝑟
𝜆𝜆(Materie) < 𝜆𝜆(Vakuum)
Für optisch transparente Stoffe gilt 𝜇𝜇𝑟𝑟 = 1.
Damit wird 𝑐𝑐 =
𝑐𝑐(Vakuum)
√𝜀𝜀 𝑟𝑟
√𝜀𝜀𝑟𝑟 = 𝑛𝑛
.
𝑛𝑛 = Brechungsindex
𝑛𝑛 = 𝑛𝑛(𝜈𝜈)
Gesetz von Snellius (geometrische Optik):
An einer Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Brechungsindex 𝑛𝑛1 und 𝑛𝑛2 wird ein
Lichtstrahl z.T. reflektiert und z.T.
gebrochen.
n1
n2
+ r2
+ r2
αR
+ r2
αE
𝑛𝑛1 < 𝑛𝑛2
β
𝛼𝛼𝐸𝐸 = 𝛼𝛼𝑅𝑅
+ r2
+ r2
24
sin 𝛼𝛼𝐸𝐸 𝑛𝑛2
=
sin 𝛽𝛽
𝑛𝑛1
Lambert-Beer-Gesetz:
Ein Lichtstrahl der Wellenlänge λ habe die Intensität 𝐼𝐼0 (𝜆𝜆) und durchdringe ein
Medium der Dicke 𝑑𝑑. Die nach Absorption im Medium verbleibende Intensität 𝐼𝐼(𝜆𝜆) ist:
𝐼𝐼(𝜆𝜆) = 𝐼𝐼0 (𝜆𝜆) ∙ 𝑒𝑒 −𝑘𝑘(𝜆𝜆)∙𝑑𝑑
𝑘𝑘(𝜆𝜆) = Extinktionskoeffizient
Aus weißem Licht können so subtraktiv Farben erzeugt werden.
Linsen (geometrische Optik):
Eine Linse, die auf der optischen Achse dicker ist als am Rand, heißt konvex. Eine
Linse, die auf der optischen Achse dünner ist als am Rand, heißt konkav. Mit Hilfe
einer gedachten Ebene, der Hauptebene, an der das Beugungsverhalten der
vorderen und hinteren Grenzfläche Linse zusammengefasst wird, lässt sich das
Abbildungsverhalten dünner Linsen beschreiben. Die Hauptebene steht senkrecht
zur optischen Achse des Systems.
n1
Hauptebene
n2
+ r2
+ r2
β
+ r2
f
f
B
+ r2
+ r2
+ r2
g
+ r2
b
reelles Bild
+ r2
𝐺𝐺 = Gegenstandsgröße
𝐵𝐵 = Bildgröße
𝑔𝑔 = Gegenstandsweite
𝑏𝑏 = Bildweite
𝑓𝑓,̅ 𝑓𝑓 = Brennweite
𝑛𝑛1 ,𝑛𝑛2 =Brechungsindizes
Es gilt:
𝐺𝐺 𝑔𝑔
=
𝐵𝐵 𝑏𝑏
25
optische Achse
𝐷𝐷 = Brechkraft =
𝑛𝑛 1
𝑓𝑓 ̅
=
𝑛𝑛 2
𝑓𝑓
=
𝑛𝑛 1
𝑔𝑔
+
𝑛𝑛 2
𝐷𝐷 > 0 (konvex); 𝐷𝐷 < 0 (konkav)
𝑏𝑏
Bei mehreren Linsen in einem System addieren sich die Brechkräfte.
In Luft: 𝐷𝐷 =
1
[𝐷𝐷] =
𝑓𝑓
Linsenschleifergleichung:
𝐷𝐷 =
𝑛𝑛 1
𝑓𝑓 ̅
=
𝑛𝑛 2
𝑓𝑓
=
𝑛𝑛 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 −𝑛𝑛 1
𝑟𝑟1
+
1
𝑚𝑚
= Dioptrie = dpt
𝑛𝑛 2 −𝑛𝑛 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿
𝑟𝑟2
wobei die Konvention für die Radien 𝑟𝑟1 und 𝑟𝑟2 gilt, dass r > 0, wenn die Fläche
konvex zum Gegenstand ist, und r < 0 ist, wenn die Fläche konkav zum Gegenstand
steht.
−r2
+ r1
+ r2
−r1
+ r2
+ r2
+ r2
n1
1
n2
1
in Luft: 𝐷𝐷 = = +
𝑓𝑓
𝑔𝑔
1
𝑏𝑏
+ r2
n1
n2
1
1 1
= (𝑛𝑛𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 − 1) � − �
𝑓𝑓
𝑟𝑟1 𝑟𝑟2
Lupe:
Bei einer Lupe steht der Gegenstand innerhalb der Brennweite. Es wird ein virtuelles
Bild
erzeugt.
Die
Vergrößerung
𝑠𝑠
𝑣𝑣𝐿𝐿 = 0 ,
𝑓𝑓
wobei
Schreibweise und 𝑓𝑓 die Brennweite der Lupe ist.
𝑠𝑠0 = 25 [cm]
die
deutliche
Mikroskop:
Bei einem Mikroskop wird durch das Objektiv ein reelles Bild erzeugt, das in der
Brennweite des Okulars steht. Davon wird ein virtuelles Bild durch das Okular
erzeugt. Die Vergrößerung 𝑉𝑉𝑀𝑀 des Mikroskops wird beschrieben durch:
26
𝑉𝑉𝑀𝑀 =
𝑡𝑡∙𝑠𝑠0
𝑓𝑓𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = Brennweite des Objektivs
𝑓𝑓 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 ∙𝑓𝑓 𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑓𝑓𝑜𝑜𝑜𝑜 = Brennweite des Okulars
𝑡𝑡 = Tubuslänge.
Die Numerische Apertur NA eines Objektivs ist durch den Öffnungswinkel 𝜑𝜑 und den
Brechungsindex 𝑛𝑛 des Mediums zwischen Objektiv und Gegenstand gegeben.
𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑛𝑛 ∙ sin
𝜑𝜑
2
Die Auflösung ∆𝑥𝑥 beschreibt den kleinsten Abstand, den zwei Punkte haben können,
um getrennt detektiert zu werden. Für ein Objektiv gilt:
∆𝑥𝑥 = 0,61
𝜆𝜆
𝑁𝑁𝑁𝑁
Beugung (Wellenoptik):
𝜆𝜆 = Wellenlänge des benutzten Lichtes
Mit Beugung beschreibt man das Phänomen, dass im geometrischen Schatten eines
Hindernisses bei einer EM-Welle (Licht) noch Intensität (Helligkeit) registriert wird.
Beugung ist eine charakteristische Welleneigenschaft.
Beugung am Spalt:
Hinter einem Spalt der Breite 𝑑𝑑 verteilt sich die Intensität in Form von Intensitäts-
minima und –maxima:
I
+ r2
θ
+ r2
d
+ r2
27
Minima:
Maxima:
sin 𝜃𝜃 = 𝑘𝑘 ∙
𝜆𝜆
𝑑𝑑
sin 𝜃𝜃 = (2𝑘𝑘 − 1) ∙
Beugung am Gitter:
𝑘𝑘 = 1, 2, …
𝜆𝜆
2𝑑𝑑
Ein Gitter hat eine Vielzahl kleiner Spalte im Abstand 𝑔𝑔 (𝑔𝑔 = Gitterkonstante). Hinter
einem Gitter entsteht ebenfalls ein Beugungsbild:
Maxima:
Minima:
sin 𝜃𝜃 = 𝑘𝑘 ∙
𝜆𝜆
𝑔𝑔
sin 𝜃𝜃 = (2𝑘𝑘 − 1) ∙
𝑘𝑘 = 1, 2, …
𝜆𝜆
2𝑔𝑔
9. Welle Teilchen Dualismus
Quantenmechanisch kann eine Welle der Frequenz 𝜈𝜈 auch als Teilchen einer Masse
m beschrieben werden. Umgekehrt haben massenbehaftete Teilchen auch die
Eigenschaft von Wellen. Es gilt:
𝐸𝐸 = ℎ ∙ 𝜈𝜈
𝐸𝐸 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑐𝑐 2
h= Planck´sches Wirkungsquantum = 6,63 ∙ 10−34 [Js]
m
𝑐𝑐 = 3 ∙ 108 � �
s
𝑚𝑚 = Masse, [𝑚𝑚] = kg
𝜆𝜆 = de Broglie Wellenlänge
10. Atom- und Kernphysik:
Atome bestehen aus Kern (Protonen und Neutronen) und der Elektronenhülle. Nach
dem Bohr´schen Atommodell bewegen sich die Elektronen auf Kreisbahnen um den
Kern. Die Eigenschaften der Elektronenbahnen werden durch die Quantenzahlen
𝑛𝑛 (Energieniveau), 𝑙𝑙 (Bahndrehimpuls), 𝑚𝑚𝑚𝑚 (Bahnneigung), 𝑠𝑠 (Spin) beschrieben. Die
Energie ∆𝐸𝐸, die ein Quant (Photon) hat, das bei einem Übergang eines Elektrons aus
einem Energieniveau 𝐸𝐸1 in ein anderes Energieniveau 𝐸𝐸2 absorbiert/emittiert wird, ist
gegeben durch:
ℎ ∙ 𝜈𝜈 = ±∆𝐸𝐸 = ±(𝐸𝐸1 − 𝐸𝐸2 )
𝜈𝜈 = Frequenz des Photons
28
Im Kern ist nahezu die gesamte Masse des Atoms vereinigt. Ein Element 𝑋𝑋 mit der
Ordnungszahl
𝑍𝑍
(=
Protonenzahl)
und
der
Massenzahl
𝑁𝑁 = Protonenzahl) wird dargestellt: 𝐴𝐴𝑍𝑍 𝑋𝑋
𝐴𝐴
(= 𝑍𝑍 + 𝑁𝑁;
Radioaktiver Zerfall:
Man unterscheidet folgende Formen des radioaktiven Zerfalls von Atomkernen:
𝐴𝐴
𝑍𝑍 𝑋𝑋
𝛼𝛼 – Zerfall:
𝛽𝛽− – Zerfall:
𝑒𝑒 − = Elektron
𝐴𝐴
𝑍𝑍 𝑋𝑋
𝜈𝜈̅ = Antineutrino
𝛽𝛽+ – Zerfall:
𝑒𝑒 + = Positron
𝜈𝜈 = Neutrino
𝛾𝛾 – Zerfall:
𝐴𝐴
𝑍𝑍 𝑋𝑋
𝛼𝛼 – Zerfall
�⎯⎯⎯⎯⎯�
𝛽𝛽 − – Zerfall
𝐴𝐴−4
𝑧𝑧−2𝑌𝑌
+ 42𝛼𝛼
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝑧𝑧+1𝐴𝐴𝑌𝑌 + 𝑒𝑒 − + 𝜈𝜈̅
𝛽𝛽 + – Zerfall
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝑧𝑧−1𝐴𝐴𝑌𝑌 + 𝑒𝑒 + + 𝜈𝜈
𝐴𝐴 ∗
𝑍𝑍 𝑋𝑋
𝛾𝛾 – Zerfall
�⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐴𝐴𝑧𝑧 𝑋𝑋 + 𝛾𝛾
∗= angeregter Zustand
𝛾𝛾 = Quant
Zerfallsgesetz:
Nach einer Zeit 𝑡𝑡 verbleiben beim radioaktiven Zerfall von 𝑛𝑛0 Kernen noch 𝑛𝑛 Kerne.
𝑛𝑛 = 𝑛𝑛0 ∙ 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆
𝐴𝐴 = −𝜆𝜆 ∙ 𝑛𝑛 =
𝜆𝜆 = Zerfallskonstante
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐴𝐴 = Aktivität
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑇𝑇1� = Halbwertszeit
2
𝜏𝜏 = Lebensdauer
1
𝜆𝜆
[𝐴𝐴] = Becquerel = Bq
1Bq =
ln 2
1 Zerfall
s
𝜆𝜆
Röntgenstrahlung:
In einer Röntgenröhre werden Elektronen durch eine Spannung U beschleunigt und
treffen mit einer Geschwindigkeit v auf die Anode. Es gilt:
29
𝑒𝑒 ∙ 𝑈𝑈 =
𝑣𝑣 = �2
Es
𝑚𝑚
2
𝑒𝑒
𝑚𝑚
∙ 𝑣𝑣 2
𝑚𝑚 = Masse des Elektrons = 9,1 ∙ 10−31 [kg]
𝑒𝑒 = Elementaraladung = 1,6 ∙ 10−19 [C]
𝑈𝑈
entsteht
ionisierte
Strahlung
mit
einem
kontinuierlichen
Spektrum
(Bremsstrahlung), das einen typischen Verlauf zeigt und bei einer minimalen
Wellenlänge beginnt. Dieses kontinuierliche Spektrum wird durch ein Linienspektrum
überlagert, das vom Material der Anode abhängt (charakteristisches Spektrum).
𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =
I
ℎ∙𝑐𝑐
𝑒𝑒∙𝑈𝑈
λ
λmin
Absorption ionisierender Strahlung:
Die Intensität 𝐼𝐼 ionisierender Strahlung nach Durchlaufen eines Absorbers der Dicke
𝑑𝑑 ist gegeben durch:
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼0 ∙ 𝑒𝑒 −𝜇𝜇𝜇𝜇
𝐼𝐼0 = Intensität vor dem Absorber
𝜇𝜇 = Absorptionskoeffizient.
Je nach Energie der ionisierenden Strahlung (ℎ ∙ 𝜈𝜈) und der Ordnungszahl 𝑍𝑍 des
Absorbers tragen verschiedene Effekte zur Absorption bei: Photoeffekt, ComptonEffekt, Paarbildung:
𝜇𝜇 = 𝜇𝜇Photo + 𝜇𝜇Compton + 𝜇𝜇Paar
Dosis / Äquivalentdosis:
Die Energiedosis D ist die bei einem Strahldurchgang pro Masse dm abgegebene
Energie dE. Im Strahlenschutz wird die wirksame Dosis H je nach Strahlenart und
Organ mit einem Gewichtingsfaktor q versehen.
𝐷𝐷 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
; 𝐻𝐻 = 𝑞𝑞
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑞𝑞 𝐷𝐷
[D] = Gray = Gy; [H] = Sievert = Sv
30