§4 Liegruppen

Lie Gruppen, SS 2010
Montag 07.06
$Id: liegr.tex,v 1.3 2010/07/30 16:41:37 hk Exp hk $
§4
Liegruppen
Wir wollen jetzt einige erste Beispiele von Liegruppen besprechen. Bevor wir dies
tun ist es allerdings nützlich einige allgemeine Tatsachen über differenzierbare Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten festzuhalten. Für diese Aussagen
ist es wiederum hilfreich eine kleine Hilfsaussage vorauszuschicken.
Lemma 4.3 (Offene Teilmengen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten)
Sei (M, A) eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
(a) Sind ϕ ∈ A und U ⊆ dom(ϕ) offen, so ist auch ϕ|U ∈ A.
(b) Ist U ⊆ M offen, so ist
A|U := {ϕ ∈ A| dom(ϕ) ⊆ U } = {ϕ|U ∩ dom(ϕ) : ϕ ∈ A}
ein C ∞ -Atlas auf U und (U, A|U ) ist wieder eine n-dimensionale differenzierbare
Mannigfaltigkeit.
Beweis: (a) Für jedes ψ ∈ A sind
(ϕ|U ) ◦ ψ −1 = ϕ ◦ ψ −1 |ψ(dom(ψ) ∩ U ) und ψ ◦ (ϕ|U )−1 = ψ ◦ ϕ−1 |ϕ(U ∩ dom(ψ))
beide als Einschränkungen von C ∞ -Abbildungen auf offene Teilmengen wieder C ∞ Abbildungen. Damit ist A ∪ {ϕ|U } eine C ∞ -Präatlas auf M und die Maximalität von
A liefert A ∪ {ϕ|U } = A, d.h. es ist ϕ|U ∈ A.
(b) Die Gleichheit der beiden Mengen folgt aus (a). Ist x ∈ U , so existiert ein ϕ ∈ A
mit x ∈ dom(ϕ)
und damit ist auch ϕ|U ∩ dom(ϕ) ∈ A|U mit x ∈ dom(ϕ|U ∩ dom(ϕ)).
S
Dies zeigt {dom(ϕ)|ϕ ∈ A|U } = U . Wegen A|U ⊆ A ist A|U sogar ein C ∞ -Präatlas
auf U . Wir zeigen jetzt das A|U sogar ein maximaler C ∞ -Präatlas auf U ist. Sei B ein
C ∞ -Präatlas auf U mit A|U ⊆ B. Sind dann ϕ ∈ A und ψ ∈ B, so ist nach (a) auch
ϕ
e := ϕ|U ∩ dom(ϕ) ∈ A, also ϕ
e ∈ A|U ⊆ B und somit ϕ ◦ ψ −1 = ϕ
e ◦ ψ −1 ∈ C ∞ und
ψ ◦ ϕ−1 = ψ ◦ ϕ
e−1 ∈ C ∞ . Damit ist A ∪ B ein C ∞ -Präatlas auf M , und die Maximalität
von A ergibt A∪B = A, also auch B ⊆ A. Es folgt B ⊆ A|U und somit auch B = A|U .
Also ist A|U ein C ∞ -Atlas auf U .
Es verbleibt nur noch zu zeigen, dass U auch hausdorffsch ist und das zweite
Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Ersteres ist dabei klar da Teilräume von Hausdorffräumen wieder hausdorffsch sind. Ebenso überträgt sich das zweite Abzählbarkeitsaxiom
auf Teilräume. Wähle nämlich eine abzählbare Menge B offener Teilmengen von M
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so, dass jede offene Menge in M Vereinigung von Elementen von B ist. Dann ist
B0 := {U ∩V |V ∈ B} eine abzählbare Menge offener Teilmengen von U und ist W ⊆ U
eine beliebige offene Menge, so istSW = U ∩ W 0 mit einer offenen Menge W 0 ⊆ M ,
also S
existiert B∗ ⊆ B mitSW 0 = B∗ und damit ist auch {U ∩ V |V ∈ B∗ } ⊆ B0
mit {U ∩ V |V ∈ B∗ } = B∗ ∩ U = W 0 ∩ U = W . Damit erfüllt auch U das zweite
Abzählbarkeitsaxiom und alles ist bewiesen.
Nach diesem vorbereitenden Lemma kommen wir jetzt zu den Grundaussagen über
differenzierbare Abbildungen. Bezeichne M im folgenden eine m-dimensionale und N
eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Außerdem bezeichne C ∞ (M, N )
die Menge aller C ∞ -Abbildungen von M nach N .
1. Eine stetige Abbildung f : M → N ist genau dann differenzierbar wenn es für
jedes x ∈ M stets eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) und eine Karte ψ von N
mit f (x) ∈ dom(ψ) gibt so, dass die Abbildung ψ ◦ f ◦ ϕ eine C ∞ -Abbildung im
üblichen Sinne ist.
Die Implikation von links nach rechts ist dabei klar. Nehme jetzt also an das die
rechte Seite gilt. Seien ϕ eine Karte von M und ψ eine Karte von N . Wir müssen
zeigen, dass
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(dom(ϕ) ∩ f −1 (dom(ψ))) → ψ(dom(ψ))
C ∞ ist. Sei also p ∈ ϕ(dom(ϕ) ∩ f −1 (dom(ψ))) gegeben. Dann existiert ein x ∈
dom(ϕ) mit f (x) ∈ dom(ψ) und p = f (x). Nach unserer Annahme gibt es Karten
e f (x) ∈ dom(ψ)
e und ψe ◦ f ◦ ϕ
ϕ
e von M und ψe von N mit x ∈ dom(ψ),
e−1 ∈ C ∞ .
Dann ist
e ∩ dom(ψ))) ⊆ ϕ(dom(ϕ) ∩ f −1 (dom(ψ)))
U := ϕ(dom(ϕ) ∩ dom(ϕ)
e ∩ f −1 (dom(ψ)
eine offene Umgebung von p im Rm und
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 |U = (ψ ◦ ψe−1 ) ◦ (ψe ◦ f ◦ ϕ
e−1 ) ◦ (ϕ
e ◦ ϕ−1 ) ∈ C ∞ .
Also hat jeder Punkt im Definitionsbereich von ψ ◦ f ◦ ϕ−1 eine offene Umgebung
auf der ψ ◦ f ◦ ϕ−1 differenzierbar ist, und dies ergibt ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ∈ C ∞ . Damit
ist auch die Implikation von rechts nach links bewiesen.
Insbesondere reicht es nach dieser Aussage aus C ∞ -Präatlanten zu kennen, um
die Differenzierbarkeit von Abbildungen f : M → N zu überprüfen. Das ist auch
so gewünscht, da diese ja die real gegebenen Objekte sind, während die Atlanten
eher ein theoretisches Konstrukt sind.
2. Wir hatten schon bemerkt das wir eingebettete Untermannigfaltigkeiten M ⊆ Rd ,
N ⊆ Re als differenzierbare Mannigfaltigkeiten auffassen können, indem die Karten im Sinne des §2 als Präatlanten verwendet werden. Mit der eben bewiesenen
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Aussage (1) zusammen mit Aufgabe (14) folgt dann das eine stetige Abbildung
f : M → N genau dann als Abbildung zwischen eingebetteten Untermannigfaltigkeiten C ∞ ist, wenn sie als Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten C ∞ ist. Unser neuer, allgemeiner Differenzierbarkeitsbegriff ist also eine
Verallgemeinerung des älteren Begriffs.
3. Sei f : M → U eine stetige Abbildung von M in eine offene Teilmenge U ⊆ Rn .
Auf U verwenden wir die Standardstruktur, also diejenige die {idU } als C ∞ Präatlas hat. Mit Aussage (1) folgt dann, dass f genau dann C ∞ ist, wenn es für
jedes x ∈ M immer eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) gibt so, dass f ◦ ϕ−1 :
Bild(ϕ) → U im gewöhnlichen Sinne C ∞ ist. Ist auch M = V ⊆ Rm eine offene
Teilmenge, so hat auch M den C ∞ -Präatlas {idV } und eine Abbildung f : V → U
ist genau dann als Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten C ∞
wenn sie im gewöhnlichen Sinn C ∞ ist. Wenn man will kann man dies auch als
Spezialfall von Aussage (2) auffassen.
4. Sind P eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und f : M → N , g : N → P
zwei differenzierbare Abbildungen, so ist auch die Hintereinanderausführung g◦f :
M → P differenzierbar. Sei nämlich x ∈ M gegeben. Wähle eine Karte θ von P
mit g(f (x)) ∈ dom(θ). Da g stetig ist, erhalten wir mit Lemma 3.(a) eine Karte ψ
von N mit f (x) ∈ dom(ψ) und g(dom(ψ)) ⊆ dom(θ). Mit demselben Argument
erhalten wir auch eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) und f (dom(ϕ)) ⊆ dom(ψ).
Dann sind θ ◦ g ◦ ψ −1 und ψ ◦ f ◦ ϕ−1 beide C ∞ , und somit ist auch
θ ◦ g ◦ f ◦ ϕ−1 = (θ ◦ g ◦ ψ −1 ) ◦ (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) ∈ C ∞ .
Nach Aussage (2) ist g ◦ f : M → P wieder differenzierbar.
5. Ist f : M → N eine differenzierbare Abbildung und ist U ⊆ M offen, so ist auch
die Einschränkung f |U : U → N von f auf U eine differenzierbare Abbildung.
Denn zunächst ist f |U überhaupt stetig und da jede Karte von U auch eine Karte
von M ist, folgt ψ ◦ (f |U ) ◦ ϕ−1 = ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ∈ C ∞ für alle Karten ψ von N und
ϕ von U .
6. Eine Abbildung f : M → N ist genau dann differenzierbar wenn es für jeden
Punkt x ∈ M eine offene Umgebung U von x in M gibt so, dass f |U differenzierbar ist. Die Implikation von links nach rechts ist dabei trivial. Wir zeigen nun,
dass auch die Implikation von rechts nach links wahr ist. Zunächst ist f : M → N
nach §3.Lemma 3 überhaupt stetig. Sei jetzt x ∈ M . Nach unserer Annahme
existiert eine offene Umgebung U von x im M so, dass f |U differenzierbar ist.
Wählen wir dann eine Karte ϕ von U mit x ∈ dom(ϕ) und eine Karte ψ von N
mit f (x) ∈ dom(ψ), so ist ψ ◦ f ◦ ϕ−1 = ψ ◦ (f |U ) ◦ ϕ−1 ∈ C ∞ . Da ϕ aber auch
eine Karte von M ist, ergibt Aussage (1) das f : M → N differenzierbar ist.
7. Sind V ⊆ N offen und f : M → V eine Abbildung, so ist f : M → N genau dann
differenzierbar wenn f : M → V differenzierbar ist. Dies ist klar, denn die Karten
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von V haben die Form ψ|V ∩ dom(ψ) wobei ψ die Karten von N durchläuft und
für jede Karte ψ von N ist
ψ ◦ (f : M → N ) ◦ ϕ−1 = (ψ|V ∩ dom(ψ)) ◦ (f : M → V ) ◦ ϕ−1 .
8. Die beiden Projektionen pr1 : M × N → M und pr2 : M × N → N sind
differenzierbar. Zunächst sind sie beide zumindest stetige Abbildungen. Sind ϕ
eine Karte von M und ψ eine Karte von N , so ist ϕ × ψ definitionsgemäß eine
Karte von M × N und
ϕ ◦ pr1 ◦(ϕ × ψ)−1 = pr1 , ϕ ◦ pr2 ◦(ϕ × ψ)−1 = pr2
sind wieder Koordinatenprojektionen Bild(ϕ) × Bild(ψ) → Bild(ϕ) beziehungsweise Bild(ϕ) × Bild(ψ) → Bild(ψ), also insbesondere C ∞ . Mit Aussage (1) folgt
die Differenzierbarkeit der beiden Projektionen.
9. Ist P eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und sind f : P → M , g :
P → N zwei Abbildungen, so ist die Abbildung (f, g) : P → M × N genau dann
differenzierbar wenn beide Komponentenfunktionen f : P → M , g : P → N
differenzierbar sind. Die Implikation von links nach rechts ist dabei wegen f =
pr1 ◦(f, g) und g = pr2 ◦(f, g) nach (4) und (8) klar. Nun seien umgekehrt f und
g als differenzierbar vorausgesetzt. Dann sind f und g insbesondere stetig und
damit ist auch (f, g) : P → M × N stetig. Sei x ∈ P und wähle eine Karte
θ von P mit x ∈ dom(θ). Weiter wähle Karten ϕ von M und ψ von N mit
f (x) ∈ dom(ϕ) und g(x) ∈ dom(ψ). Dann ist ϕ × ψ eine Karte von M × N mit
(f (x), g(x)) ∈ dom(ϕ) × dom(ψ) = dom(ϕ × ψ) und die Abbildung
(ϕ × ψ) ◦ (f, g) ◦ θ−1 = (ϕ ◦ f ◦ θ−1 |U, ψ ◦ g ◦ θ−1 |U ),
wobei U := θ(dom(θ) ∩ f −1 (dom(ϕ)) ∩ g −1 (dom(ψ))) ist, ist C ∞ da beide Komponenten C ∞ sind. Nach (1) ist (f, g) differenzierbar.
10. Sind f, g : M → Rd differenzierbar, so ist auch f + g : M → Rd differenzierbar.
Denn zunächst ist die Addition + : Rd × Rd → Rd differenzierbar, und nach (9)
und (4) ist auch
f + g = + ◦ (f, g) : M → Rd
differenzierbar. Ebenso ist λ · f differenzierbar wenn λ : M → R differenzierbar
ist.
Jetzt können wir einige Beispiele von Liegruppen angeben. Wir beginnen mit dem einfachsten Beispiel, der additiven Gruppe G = (Rn , +). Dabei ist der Rn mit der Standardstruktur als differenzierbare Mannigfaltigkeit ausgestattet, d.h. dem Atlas der die
Identität idRn enthält. Nach dem obigen Punkt (3) sind Addition und Inversenbildung,
also x 7→ −x beide C ∞ . Damit wird (Rn , +) eine Liegruppe.
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Als nächstes Beispiel betrachten wir auf dem R2 in der Standardstruktur die folgende Multiplikation
(t1 , s1 ) · (t2 , s2 ) := (t1 + t2 , s1 + et1 s2 ) (t1 , t2 , s1 , s2 ∈ R).
Wieder nach (3) ist diese Multiplikation C ∞ , es ist aber nicht unmittelbar klar das es
sich um eine Gruppenmultiplikation handelt. Dies sieht man am leichtesten indem wir
zu einer isomorphen Gruppe übergehen, für alle t1 , t2 , s1 , s2 ∈ R gilt
t
t
t +t
e 1 s1
e 2 s2
e 1 2 s1 + et1 s2
·
=
1
1
1
und die Assoziativität unserer Multiplikation auf R2 folgt aus der Assoziativität der
Multiplikation von Matrizen. Die Einheitsmatrix entspricht t = s = 0, d.h. (0, 0) ist
das neutrale Element der Multiplikation. Sind t, s ∈ R2 so haben wir
et s
1
−1
1
= t
e
1 −s
et
=
e−t −e−t s
1
,
und als multiplikatives Inverses von (t, s) ergibt sich
(t, s)−1 = (−t, −e−t s).
Auch dies ist wieder eine C ∞ -Abbildung und wir haben eine Liegruppe L2 := (R2 , ·).
Allgemein ist überhaupt jede Matrixgruppe G ≤ GLn R eine Liegruppe. Denn zunächst
2
ist G eine eingebettete Untermannigfaltigkeit von Rn×n = Rn , kann also als eine differenzierbare Mannigfaltigkeit aufgefasst werden. Weiter sind Multiplikation und Inversenbildung aufgefasst als Abbildungen zwischen eingebetteten Untermannigfaltigkeiten
C ∞ und nach dem obigen Punkt (2) ist G eine Liegruppe. Insbesondere sind all die
klassischen Matrixgruppen SLn R, SLn C, O(n), SU(n) und so weiter, allesamt Liegruppen.
Tatsächlich sind auch unsere beiden anderen Beispiele (Rn , +) und L2 in Wahrheit
im wesentlichen Matrixgruppen. Etwas genauer meint dies das sie zu Matrixgruppen
isomorph sind, nur haben wir den Isomorphiebegriff für Liegruppen bisher noch nicht
eingeführt. Für die Gruppe L2 haben wir die Beschreibung durch Matrizen bereits
gesehen. Auch für die additive Gruppe Rn ist es nicht schwer eine Matrixbeschreibung
zu finden, zum Beispiel ist für als Zeilenvektoren interpretierte v, w ∈ Rn
1 v
1 w
1 v+w
·
=
1
1
1
und so wird (Rn , +) zu einer Untergruppe von GLn+1 R. Es gibt aber auch Liegruppen
die keine Matrixgruppen sind.
Auch an Beispielen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten haben wir bisher konkret
nur eingebettete Untermannigfaltigkeiten des Rd gesehen. Um auch ein etwas anderes
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Beispiel zu haben, wollen wir jetzt den reellen beziehungsweise komplexen projektiven
Raum konstruieren. Gegeben seien hierzu K ∈ {R, C} und ein n ∈ N. Als Menge ist
der n-dimensionale projektive Raum über K dann
Pn K := {K · v|v ∈ K n+1 \{0}}
die Menge der eindimensionalen Untervektorräume des K n+1 . Wir brauchen zunächst
eine Topologie auf Pn K und diese wollen wir als eine Quotiententopologie einführen.
Wir betrachten die surjektive Abbildung
p : K n+1 \{0} → Pn K; v 7→ K · v
und versehen Pn K mit der Topologie, die diese Abbildung identifizierend macht, d.h.
eine Menge U ⊆ Pn K ist genau dann offen wenn p−1 (U ) ⊆ K n+1 \{0} offen ist. Dann
ist p sogar eine offene Abbildung. Sei nämlich U ⊆ K n+1 \{0} offen. Dann ist
p−1 (p(U )) = {v ∈ K n+1 \{0}|∃(u ∈ U ) : K · v = K · u} = {λu|λ ∈ K\{0}, u ∈ U }
[
=
λ·U
λ∈K\{0}
wieder offen in K n+1 \{0}, d.h. p(U ) ⊆ Pn K ist offen. Hiermit ist es leicht einzusehen,
dass Pn K das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Zunächst ist K n+1 \{0} ein separabler
metrischer Raum, und erfüllt somit das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Es gibt also eine
abzählbare Menge B offener Teilmengen von K n+1 \{0} so, dass jede offene Menge
in K n+1 \{0} eine Vereinigung von Elementen aus B ist. Da p eine offene Abbildung
ist, ist auch B∗ := {p(U )|U ∈ B} eine abzählbare Menge offener Teilmengen von X.
−1
n+1
Sei jetzt U ⊆ Pn K eine beliebige offene Menge. Dann
S ist p (U ) ⊆ K \{0} offen,
−1
also existiert eine Teilmenge A ⊆ B mit p (U ) = A. Wir erhalten die Teilmenge
A∗ := {p(V )|V ∈ A} ⊆ B∗ mit
[
A∗ =
[
[
p(V ) = p( A) = p(p−1 (U )) = U.
V ∈A
Damit erfüllt Pn K zumindest das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Im nächsten Schritt
wollen wir einsehen das Pn K lokal euklidisch ist, und hierfür werden wir explizit Karten konstruieren mit denen dann auch die differenzierbare Struktur definiert werden
wird. Sei h ≤ K n+1 eine Hyperebene, also ein n-dimensionaler Untervektorraum. Wir
betrachten dann die Menge Γ(h) der zu h komplementären eindimensionalen Teilräume,
also
Γ(h) := {q ∈ Pn K|q 6⊆ h} = {q ∈ Pn K|K n+1 = h ⊕ q} ⊆ Pn K,
und behaupten das Γ(h) in Pn K offen ist. Hierzu rechnen wir
p−1 (Γ(h)) = {v ∈ K n+1 \{0}|K · v 6⊆ h} = K n+1 \h,
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d.h. p−1 (Γ(h)) ist offen und K n+1 \{0} und damit ist Γ(h) wirklich offen in Pn K. Wir
wollen einen Homöomorphismus zwischen Γ(h) und h konstruieren. Wähle hierzu einen
Vektor u ∈ K n+1 \h und betrachte die Abbildung
φh,u : h → Γ(h) : v 7→ K · (u + v)
wobei wegen K n+1 = h ⊕ Ku für jedes v ∈ h stets u + v ∈
/ h ist. Wegen φh,u (v) =
p(u+v) für jedes v ∈ h ist φh,u die Hintereinanderausführung der stetigen Abbildungen
h → K n+1 \{0}; v 7→ u + v und p : K n+1 \{0} → Pn K, also selbst stetig. Wir werden
jetzt die Umkehrabbildung zu φh,u konstruieren. Hierzu betrachten wir die Linearform
f ∈ (K n+1 )∗ mit f |h = 0 und f (u) = 1. Dann ist K n+1 \h = f −1 (K\{0}) und ist
w ∈ K n+1 \h, so haben wir
w
f (w)
f
−u =
− f (u) = 0,
f (w)
f (w)
d.h.
g(w) :=
w
− u ∈ Kern(f ) = h,
f (w)
und wir haben eine stetige Abbildung g : K n+1 \h → h. Da p offen ist und die Mengen
K n+1 \h ⊆ K n+1 \{0} sowie p(K n+1 \h) = Γ(h) ⊆ Pn K offen sind, ist auch die Einschränkung p|K n+1 \h → Γ(h) offen. Für w, w0 ∈ K n+1 \h mit p(w) = p(w0 ) existiert
ein λ ∈ K\{0} mit w0 = λw, also ist auch
w0
λw
w
g(w ) =
−u=
−u=
− u = g(w).
0
f (w )
λf (w)
f (w)
0
Nach Aufgabe (21) ist p|K n+1 \h identifizierend und g induziert eine stetige Abbildung
g : Γ(h) → h; K · w 7→ g(w).
Für jedes v ∈ h haben wir
g(φh,u (v)) = g(K · (u + v)) =
u+v
− u = u + v − u = v,
f (u + v)
d.h. es ist g ◦ φh,u = idh . Nun sei q ∈ Γ(h) gegeben und wähle ein w ∈ q\{0}, also auch
w ∈ K n+1 \h. Dann ist
w
−u
φh,u (g(q)) = φh,u (g(K · w)) = φh,u (g(w)) = φh,u
f (w)
w
=K · u+
− u = K · w = q,
f (w)
wir haben also auch φh,u ◦g = idΓ(h) . Damit ist φh,u bijektiv mit der stetigen Umkehrabbildung φ−1
h,u = g, und somit ein Homöomorphismus. Die Abbildung φh,u ist schon fasst
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die gesuchte Karte, beziehungsweise deren Umkehrabbildung, nur ist die Hyperebene
h kein Rd . Wie wir gleich sehen werden, ist dies aber kein grosses Hindernis. Zuvor
wollen wir uns aber kurz klarmachen das Pn K hausdorffsch ist.
Seien nämlich q1 , q2 ∈ Pn K mit q1 6= q2 gegeben. Dann existiert eine Hyperebene
h ≤ K n+1 mit q1 , q2 6⊆ h, also q1 , q2 ∈ Γ(h). Wir wissen bereits das Γ(h) offen in
Pn K und homöomorph zu h ist. Als Teilraum des Hausdorffraums K n+1 ist h aber
hausdorffsch, und damit ist auch das dazu homöomorphe Γ(h) hausdorffsch. Es gibt
also in Γ(h) offene Mengen U1 , U2 ⊆ Γ(h) mit qi ∈ Ui für i = 1, 2 und U1 ∩ U2 = ∅.
Diese beiden Mengen sind aber auch in Pn K offen, und somit ist Pn K hausdorffsch.
Wir sind jetzt bereit unsere Karten zu konstruieren. Sei U = (u1 , . . . , un+1 ) eine
geordnete Basis des K n+1 . Dann sind h := hu1 , . . . , un i eine Hyperebene und u :=
un+1 ∈ K n+1 \h, wie bereits gesehen haben wir also die offene Teilmenge Γ(h) ⊆ Pn K
und den Homöomorphismus φh,u : h → Γ(h). Weiter ist auch
τU : K n → h; x 7→
n
X
x i ui
i=1
ein Homöomorphismus. Im reellen Fall K = R steht hier links der Rn und im komplexen
Fall der Cn , den wir uns als R2n denken können. Schreiben wir also
(
1, K = R,
e := dimR K =
2, K = C,
so können wir K n = Ren interpretieren. Wir erhalten die Karte
ψU := (φh,u ◦ τU )−1 : Γ(h) → K n
von Pn K. Da es für jedes q ∈ Pn K immer eine Hyperebene h ≤ K n+1 mit q 6⊆ h gibt, ist
auch q ∈ Γ(h) und wählen wir eine Basis U deren erste n Vektoren gerade h erzeugen,
so ist q ∈ Γ(h) = dom(ψU ). Damit ist Pn K ein (ed)-dimensionaler lokaleuklidscher
Hausdorffraum der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Weiter behaupten wir, dass
die Menge
A := {ψU |U ist eine Basis des K n+1 }
ein C ∞ -Präatlas von Pn K ist. Wir haben bereits gesehen da A aus Karten von Pn K
besteht deren Definitionsbereiche ganz Pn K überdecken. Es ist also nur noch die Differenzierbarkeit der Koordinatentransformationen zu zeigen. Gegeben seien also zwei
Basen U = (u1 , . . . , un+1 ) und U 0 = (u01 , . . . , u0n+1 ) des K n+1 . Schreibe h := hu1 , . . . , un i,
u := un+1 , h0 := hu01 , . . . , u0n i und u0 := u0n+1 . Wir müssen die Abbildung
ψU ◦ ψU−10 = τU−1 ◦ φ−1
h,u ◦ φh0 ,u0 ◦ τU 0
untersuchen. Für die Umkehrabbildung von φh,u verwenden wir die durch f |h = 0 und
f (u) = 1 definierte Linearform auf dem K n+1 . Weiter bezeichne a = (aij )1≤i,j≤n die
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Transformationsmatrix von der Basis U 0 zur Basis U , d.h. es sei
u0i
n+1
X
=
aji uj
j=1
für alle 1 ≤ i ≤ n + 1. Unsere Koordinatentransformation ist auf der Menge
U := {x ∈ K n |f (τU 0 (x) + u0 ) 6= 0} ⊆ K n
definiert. Sei x ∈ U . Für jedes 1 ≤ i ≤ n + 1 gilt
!
n+1
X
f (u0i ) = f
aji uj = an + 1, i
j=1
also ist
0
f (τ (x) + u ) = f
U0
n
X
!
xi u0i
+
u0n+1
=
n
X
i=1
an+1,i xi + an+1,n+1 .
i=1
Weiter folgt
1
Pn
·
φ−1
h,u (φh0 ,u0 (τU 0 (x)))
i=1 an+1,i xi + an+1,n+1
" n
n+1 X
X
i=1
=
j=1
n
X
#
aij xj + ai,n+1 ui
!
− un+1
Pn
aij xj + ai,n+1
ui ,
j=1 an+1,j xj + an+1,n+1
j=1
Pn
i=1
und unsere Koordinatentransformation ist damit gegeben als
!
Pn
a
x
+
a
ij
j
i,n+1
j=1
ψU (ψU−10 (x)) = Pn
j=1 an+1,j xj + an+1,n+1
1≤i≤n
für jedes x ∈ U . Insbesondere ist ψU ◦ ψU−10 eine C ∞ -Abbildung. Versehen wir Pn K
also mit dem A umfassenden C ∞ -Atlas, so wird der projektive Raum Pn K eine (ed)dimensionale, differenzierbare Mannigfaltigkeit. Es ist leicht möglich auch einen rechnerisch etwas bequemeren Präatlas anzugeben. Hierzu bezeichne e1 , . . . , en+1 die kanonische Basis K n+1 . Für jedes 1 ≤ i ≤ n + 1 haben wir dann die geordnete Basis
Ui := (e1 , . . . , ebi , . . . , en , ei )
des K n+1 mit zugehöriger Karte ψi := ψUi . Einen eindimensionalen Teilraum kann man
in der Form
[x1 , . . . , xn+1 ] := K · (x1 , . . . , xn+1 )
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mit x ∈ K n+1 \{0} schreiben. Da für x ∈ K n+1 \{0} und jeden Skalar λ ∈ K dann
[λx1 , . . . , λxn+1 ] = [x1 , . . . , xn+1 ]
bezeichnet man dies auch als die homogenen Koordinaten von Pn K. Ist ein Eintrag
xi 6= 0 so kann dieser durch Multiplikation mit x−1
auf 1 normiert werden. Wir haben
i
dann für jedes 1 ≤ i ≤ n + 1
dom(ψi ) = {[x1 , . . . , xi−1 , 1, xi+1 , . . . , xn ]|x ∈ K n }
S
und für x ∈ K n ist ψi−1 (x) = [x1 , . . . , xi−1 , 1, xi , . . . , xn ]. Wegen Pn K = n+1
i=1 dom(ψi )
ist bereits {ψi |1 ≤ i ≤ n + 1} ein Präatlas der differenzierbaren Struktur von Pn K.
Damit haben wir Beispiele differenzierbarer Mannigfaltigkeiten kennengelernt, die
zumindest nicht unmittelbar eingebettete Untermannigfaltigkeiten eines Rd sind. Die
projektiven Räume über R und C sind allerdings zu solchen eingebetteten Untermannigfaltigkeiten isomorph, oder wie man bei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten sagt
diffeomorph. Man kann jeden eindimensionalen Teilraum des K n+1 mit der Orthogonalprojektion auf ihn identifizieren, und erhält so eine Beschreibung des projektiven
Raums Pn K als eine Menge von (n + 1) × (n + 1)-Matrizen über K. Dann kann man
weiter zeigen, dass diese Menge von Matrizen eine eingebettete Untermannigfaltigkeit
2
von K (n+1)×(n+1) = Re(n+1) ist. Die exakte Definition eines Diffeomorphismus ist wie
folgt:
Definition 4.8: Seien M, N zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Eine Abbildung
f : M → N heißt ein Diffeomorphismus wenn f bijektiv ist und sowohl f also auch
die Umkehrabbildung f −1 differenzierbar sind. Insbesondere ist f dann ein Homöomorphismus. Gibt es einen solchen Diffeomorphismus f : M → N , so heißen M und N
diffeomorph.
Aus den Grundeigenschaften differenzierbarer Abbildungen folgen sofort auch die
Grundeigenschaften für Diffeomorphismen. Seien hierzu M, N, P drei differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
1. Ist f : M → N ein Diffeomorphismus, so ist auch f −1 : N → M ein Diffeomorphismus. Dies ist klar.
2. Sind f : M → N und g : N → P zwei Diffeomorphismen, so ist auch die
Hintereinanderausführung g ◦ f : M → P ein Diffeomorphismus. Dies ist klar da
Hintereinanderausführungen differenzierbarer Abbildungen wieder differenzierbar
sind und (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 gilt.
3. Die Diffeomorpie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten ist eine Äquivalenzrelation. Dies ergibt sich sofort aus (1) und (2) und der Tatsache das idM für jede
differenzierbare Mannigfaltigkeit M ein Diffeomorphismus ist.
4. Sind f : M → N ein Diffeomorphismus und U ⊆ M offen, so ist auch das Bild
V := f (U ) ⊆ N offen und die Einschränkung f |U : U → V ist wieder ein
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Diffeomorphismus. Denn da f als Homöomorphismus insbesondere eine offene
Abbildung ist, ist V = f (U ) ⊆ N offen. Weiter sind f |U und (f |U )−1 = f −1 |V
als Einschränkungen differenzierbarer Abbildungen auf offene Teilmengen wieder
differenzierbar.
Seien G eine Liegruppe und a ∈ G. Dann sind die Links- und die Rechtsmultiplikation
mit a
la : G → G; x 7→ ax und ra : G → G; x 7→ xa
differenzierbare Abbildungen. Beispielsweise ist die Linksmultiplikation die Hintereinanderausführung la = · ◦ (a, idG ) wobei a für die Abbildung konstant a steht. Weiter
ist la bijektiv mit der Umkehrabbildung la−1 = la−1 , die damit ebenfalls differenzierbar
ist. Somit ist la ein Diffeomorphismus und analog ist auch ra ein Diffeomorphismus.
Ein weiteres Beispiel von Diffeomorphismen wird durch die Karten einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit geliefert. Sei hierzu (M, A) eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Sei ϕ ∈ A etwa ϕ : U → V . Dann ist ϕ auch eine Karte der
differenzierbaren Mannigfaltigkeit U und idV ist eine Karte von V mit idV ◦ϕ◦ϕ−1 = idV
−1
und es folgt die Differenzierbarkeit von ϕ. Weiter ist ϕ ◦ ϕ−1 ◦ id−1
V = idV und auch ϕ
ist differenzierbar. Damit ist ϕ : U → V ein Diffeomorphismus.
Es stellt sich weiter heraus das die Karten von M auch genau die Diffeomorphismen
offener Teilmengen von M auf offene Teilmengen des Rn sind. Die Implikation von links
nach rechts haben wir dabei bereits gezeigt. Seien jetzt umgekehrt U ⊆ M , V ⊆ Rn
offen und ϕ : U → V ein Diffeomorphismus. Sei ψ ∈ A|U . Da ϕ differenzierbar ist,
ist dann ϕ ◦ ψ −1 ∈ C ∞ und da ϕ−1 differenzierbar ist, ist auch ψ ◦ ϕ−1 ∈ C ∞ . Auf V
wurde dabei jeweils die Karte idV verwendet. Damit ist (A|U ) ∪ {ϕ} ein C ∞ -Präatlas
auf U und die Maximalität des C ∞ -Atlas A|U und Lemma 3.(b) ergeben ϕ ∈ A|U ⊆ A.
Damit ist diese Aussage bewiesen.
Als ein weiteres Beispiel von Liegruppen wollen wir jetzt die sogenannten projektiven linearen Gruppen besprechen. Haben wir ein A ∈ GLn K, wobei wieder A ∈ {R, C}
ist, so permutiert A auch die eindimensionalen Teilräume des K n und wir erhalten eine
Permutation [A] von Pn−1 K. Die Menge all dieser Permutationen bildet die projektiv
lineare Gruppe
PGLn K := {[A]|A ∈ GLn K}.
Wie aus der linearen Algebra bekannt läßt A ∈ GLn K genau dann alle eindimensionalen
Teilräume invariant wenn A eine Streckung ist. Andererseits bilden die Streckungen
gerade das Zentrum von GLn K, also wird
PGLn K = GLn K/Z(GLn K).
Die Gruppe PGLn K kann als Liegruppe aufgefasst werden, allerdings fehlen uns hierzu
noch die Hilfsmittel. Wir gehen hier einen etwas einfacheren Spezialfall an. Ist G ≤
GLn K eine Matrixgruppe, so kann man auch eine zugehörige projektive Gruppe
PG = {[A]|A ∈ G} = G/(G ∩ Z(GLn K))
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bilden. Etwa wird für G = SLn K dann P G = PSLn K = SLn K/(SLn K ∩ Z(GLn )). Ist
A die Streckung um den Faktor λ, so ist det A = λn und somit ist SLn K ∩ Z(GLn K)
endlich. Etwas allgemeiner wird in den Übungen gezeigt das P G eine Liegruppe ist
wenn G ∩ Z(GLn K) diskret ist. Allgemeiner als unmittelbar nötig führen wir dies auf
die Konstruktion von Quotientenmannigfaltigkeiten M/G einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M modulo einer geeigneten Gruppenwirkung zurück. Um dieses geeignete
”
Gruppenwirkung“ genauer zu spezifizieren, verwenden wir die folgende Definition:
Definition 4.9: Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ω : M × G → M
die Wirkung einer Gruppe G auf M .
(a) Die Wirkung von G auf M heißt differenzierbar wenn für jedes g ∈ G die Abbildung
ωg : M → M ; x 7→ xg = ω(x, g)
differenzierbar ist.
(b) Die Wirkung von G auf M heißt frei, wenn für alle x ∈ M , 1 6= g ∈ G auch xg 6= x
gilt.
(c) Die Wirkung von G auf M heißt diskontinuierlich wenn es für jeden Punkt x ∈ M
eine offene Umgebung U von x in M gibt so, dass die Menge
{g ∈ G|U ∩ U g 6= ∅} ⊆ G
endlich ist. Dabei meint U g := {y g |y ∈ U }.
(d) Die Wirkung von G auf M heißt stark diskontinuierlich wenn für jede kompakte
Menge C ⊆ M die Menge {g ∈ G|C ∩ C g 6= ∅} ⊆ G endlich ist.
Die letzten drei Begriffe kann man natürlich auch für allgemeinere Räume als differenzierbare Mannigfaltigkeiten definieren. Da differenzierbare Mannigfaltigkeiten insbesondere lokalkompakt sind, hat jeder Punkt eine kompakte Umgebung und damit
ist eine stark diskontinuierliche Wirkung auch diskontinuierlich. Ebenfalls wichtig wird
für uns die folgende kleine Aussage sein: Die Gruppe G wirkt genau dann frei und
diskontinuierlich auf M wenn es für jeden Punkt x ∈ M eine offene Umgebung U von
x im M mit U ∩ U g = ∅ für alle 1 6= g ∈ G gibt.
Zunächst nehme an, dass G frei und diskontinuierlich auf M wirkt. Sei x ∈ M .
Dann existiert zunächst eine offene Umgebung U von x in M so, dass die Menge
E := {g ∈ G|U ∩ U g 6= ∅} ⊆ G
endlich ist. Sei 1 6= g ∈ E. Dann ist xg 6= x und da M hausdorffsch ist existieren offene
Mengen Vg , Wg ⊆ M mit x ∈ Vg , xg ∈ W g und Vg ∩ Wg = ∅. Da weiter ωg insbesondere
stetig ist, existiert auch eine offene Umgebung Vg0 von x mit (Vg0 )g ⊆ Wg . Da E endlich
ist, ist auch
\
V := U ∩
Vg0 ∩ Vg ⊆ M
16=g∈E
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eine offene Umgebung von x in M . Sei jetzet 1 6= g ∈ G gegeben. Ist dann g ∈
/ E, so
ist U ∩ U g = ∅, also auch V ∩ V g ⊆ U ∩ U g = ∅. Nun sei g ∈ E. Dann ist ebenfalls
V ∩ V g ⊆ Vg ∩ (Vg0 )g ⊆ Vg ∩ Wg = ∅. Damit ist die Implikation von links nach rechts
gezeigt.
Jetzt nehme umgekehrt an, dass es für jedes x ∈ M stets eine offene Umgebung U
von x mit U ∩ U g = ∅ für alle 1 6= g ∈ G gibt. Ist dann x ∈ M und wählen wir ein
solches U , so ist {g ∈ G|U ∩ U g 6= ∅} = {1} trivialerweise endlich, d.h. die Wirkung
von G auf M ist diskontinuierlich. Außerdem ist für jedes 1 6= g ∈ G wegen x ∈ U und
xg ∈ U g auch xg 6= x, d.h. die Wirkung von G auf M ist auch frei.
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