¨Ubungen zur Analysis III WS 07/08 Prof. Dr. C. Deninger Blatt 12 Dr

Übungen zur Analysis III
Prof. Dr. C. Deninger
Dr. G. Quick
Abgabe: Montag, den 21.01.08, vor der Vorlesung, Briefkästen
WS 07/08
Blatt 12
Aufgabe 1. Symn (R) := {X ∈ Mn (R) | X = X t } ⊂ Mn (R) sind endlich-dimensionale
R-Vektorräume und tragen daher kanonisch die Struktur von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
a) ϕ : Mn (R) → Symn (R), X 7→ XX t ist differenzierbar.
b) O(n) := ϕ−1 (I) ⊂ Mn (R) ist abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Bestimmen Sie
dim O(n). Hierbei ist I die Einheitsmatrix.
Hinweis: Satz vom regulären Wert.
(4 P.)
Eine weitere sehr wichtige Konstruktionsmethode für Mannigfaltigkeiten sind Quotienten
nach Gruppenoperationen:
Sei G eine Gruppe, X eine Menge. G operiert (von links) auf X, wenn eine Abbildung
G × X → X, (g, x) 7→ g · x, existiert, so dass für alle g1 , g2 ∈ G gilt g1 · (g2 · x) = (g1 g2 ) · x
und e · x = x für alle x ∈ X. Dann ist für alle g ∈ G die Abbildung x 7→ g · x eine Bijektion
von X und die Abbildung
G −→ Bijektionen von X
g 7−→ (x 7→ g · x)
ein Gruppenhomomorphismus.
Ist X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sind alle Abbildungen x 7→ g · x Diffeomorphismen, so sagt man, G operiere differenzierbar auf X. Man erhält Gruppenhomomorphismen:
G −
7 → Diffeomorphismen von X
g −
7 → (x 7→ g · x) .
Durch x ∼ x′ :⇔ ex. g ∈ G mit x′ = g · x erhält man eine Äquivalenzrelation auf X. Die
Äquivalenzklassen sind die Mengen G · x = {g · x | g ∈ G}. Mit G \ X wird die Menge der
Äquivalenzklassen bezeichnet. Die natürliche Projektion ist die Abbildung
p : X → G \ X , x 7→ G · x .
Durch O ⊂ G \ X offen :⇔ p−1 (O) offen in X erhält man eine Topologie auf G \ X, die
Quotiententop.
Erinnerung: Aufgabe 4 von Blatt 4 der Analysis II.
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass p : X → G \ X offen ist, d.h. offene Mengen auf offene Mengen
abbildet.
(4 P.)
Die Gruppenoperation von G auf der Mannigfaltigkeit X heißt “eigentlich diskontinuierlich”,
wenn zu jedem Punkt x ∈ X eine Umgebung U ∋ x existiert, so dass (g · U) ∩ U = ∅ für
alle g ∈ G, g 6= e = neutrales Element von G. (Überlegen Sie, dass die Operation keine
Fixpunkte hat, d.h. für kein x ∈ X ist gx = x für ein g 6= e.)
Beispiel: Die Gruppe µ2 := {±1} (mit Multiplikation als Verknüpfung operiert auf S n
eigentlich diskontinuierlich durch g · (x1 , . . . , xn ) = (gx1 , . . . , gxn ).
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Der Quotient Pn (R) = µ2 \ S n heißt der (reelle) n-dimensionale projektive Raum. Er ist
kompakt, da S n kompakt und p : S n → µ2 \ S n stetig ist.
Aufgabe 3. Sei nun X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und G operiere eigentlich diskontinuierlich auf X durch Diffeomorphismen, so dass G \ X Hausdorffsch ist.
Zeigen Sie, dass G \ X die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit besitzt, so dass
die Projektionsabbildung p : X → G \ X differenzierbar ist.
Hinweis: Man wähle zu jedem Punkt [x] = G · x in G \ X eine Umgebung U ∋ x mit
(g · U) ∩ U = ∅ für alle g ∈ G, g 6= e. Überlegen Sie sich, dass dann die Abbildung p |U : U →
p(U) ein Homöomorphismus ist. Ist U so klein gewählt, dass auf U eine Kartenabbildung
∼
ϕ : U → U ′ ⊂ Rn , n = dim X, existiert, so erhält man durch ϕ ◦ (p |U )−1 : p(U) → U ′ ⊂ Rn
eine Karte um [x]. Zeigen Sie, dass dies einen differenzierbaren Atlas von G \ X liefert, dass
der zugehörige maximale Atlas die gewünschte Struktur liefert, und dass p : X → G \ X ein
lokaler Diffeomorphismus ist.
(4 P.)
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass in der Situation von Aufgabe 3 gilt:
Ist Y eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und f : X → Y eine differenzierbare Abbildung,
so existiert genau dann eine differenzierbare Abbildung F : G \ X → Y , die folgendes
Diagramm kommutativ macht:
/
X?
??
??
?
f ??
Y
G\X
xx
xx
x
x F
|xx
wenn gilt f (gx) = f (x) für alle g ∈ G, d.h. wenn f G-invariant ist.
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