Ubungen zur Vorlesung Lie Gruppen H. Klein Blatt 10,16. Juni 2010

Übungen zur Vorlesung Lie Gruppen
H. Klein
Blatt 10,16. Juni 2010
(35) Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und G eine Gruppe die differenzierbar, frei
und diskontinuierlich auf M wirkt.
(a) Weiter seien N eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und q : M → N ein
lokaler Diffeomorphismus mit der folgenden Eigenschaft
∀(x, y ∈ M ) : q(x) = q(y) ⇐⇒ ∃(g ∈ G) : y = xg .
Dann wirkt G sogar stark diskontinuierlich auf M und die Abbildung
f : M/G → N ; xG 7→ q(x)
ist ein Diffeomorphismus.
(b) Sei N ein weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit auf der G differenzierbar, frei und
stark diskontinuierlich wirkt. Sei f : M → N ein Diffeomorphismus mit f (xg ) =
f (x)g für alle x ∈ M , g ∈ G. Dann wirkt G auch auf M stark diskontinuierlich und
die Abbildung f : M/G → N/G; xG 7→ f (x)G ist ein Diffeomorphismus.
(36) Seien G1 , G2 zwei Liegruppen. Zeigen Sie, dass G1 × G2 dann wieder eine Liegruppe ist.
(37) Sei n ∈ N. Zeigen Sie, das die Gruppe Zn durch
xk := x + k
(x ∈ Rn , k ∈ Zn )
differenzierbar, frei und stark diskontinuierlich auf Rn wirkt. Zeigen Sie weiter, dass
f : Rn /Zn → T n ; x 7→ (e2πix1 , . . . , e2πixn )
ein Isomorphismus von Liegruppen ist, also zugleich Gruppenisomorphismus und Diffeomorphismus.
(38) Schreibe S 3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + |z2 |2 = 1}. Seien p, q ∈ N mit 1 ≤ q < p teilerfremd.
Zeigen Sie, dass die zyklische Gruppe Zp dann durch
2πin
2πinq
(z1 , z2 )n := e p z1 , e p z2
((z1 , z2 ) ∈ S 3 , n ∈ Zp )
differenzierbar, frei und stark diskontinuierlich auf S 3 wirkt. Weiter ist der Quotient
L(p, q) := S 3 /Zp eine kompakte, zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit dim L(p, q) = 3 (ein sogenannter Linsenraum).
Sei q ∈ N mit 1 ≤ q < p das multiplikative Inverse zu q modulo p, also qq ≡ 1 (p). Zeigen
Sie das L(p, q) zu L(p, p − q) und zu L(p, q) diffeomorph ist.
Abgabe: Donnerstag, den 24. Juni bis 1400 im Postfach.