2.5.1 Binäre Suchbäume 2.5.2 Optimale Suchbäume 2.5.3

2.5 Bäume
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.5.4
2.5.5
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Binäre Suchbäume
Optimale Suchbäume
Balancierte Bäume
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Union-Find-Strukturen
Datenstrukturen und Algorithmen
Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer
Union-Find-Strukturen
•  Datenstruktur zur Darstellung von
disjunkten Mengen.
•  Jede Menge A wird durch einen
Repräsentant x∈A identifiziert.
•  Operationen:
–  MakeSet
–  Union
–  Find
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Union-Find-Strukturen
•  MakeSet(x)
–  Erzeugt eine neue Menge Sx deren
einziges Element x ist.
–  Der Repräsentant von MakeSet(x) ist x.
–  Disjunktheit →
•  x darf nicht bereits in einer anderen Menge
enthalten sein
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Union-Find-Strukturen
•  z = Union(x,y)
–  Erzeugt die Vereinigung Sx ∪ Sy der
Mengen Sx und Sy (x und y müssen keine
Repräsentanten sein!)
–  z ist der Repräsentant der Vereinigung
–  Disjunktheit →
•  Sx und Sy müssen disjunkt sein
•  Sx und Sy werden zerstört
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Union-Find-Strukturen
•  z = Find(x)
–  Liefert den Repräsentant der Menge, die x
enthält
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Union-Find-Strukturen
•  Idee
–  Jede Menge A wird durch einen Baum
dargestellt.
–  Die Knoten des Baums enthalten die
Elemente von A.
–  Die Wurzel des Baums enthält den
Repräsentant von A.
–  Implementierung: Jeder Knoten hält einen
Zeiger auf seinen Vater.
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Union-Find-Strukturen
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•  MakeSet(x)
p[x] ← x
?
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Union-Find-Strukturen
•  Find(x)
if x = p[x] then
return x
else
return Find( p[x] )
z
y
z = Find(x)
x
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Union-Find-Strukturen
•  Union(x,y)
q ← Find(x)
r ← Find(y)
p[q] ← r
return q
r
q
x
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Datenstrukturen und Algorithmen
y
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Union-Find-Strukturen
•  Union(x,y)
q ← Find(x)
r ← Find(y)
p[q] ← r
return r
r
q
x
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Datenstrukturen und Algorithmen
y
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Union-Find-Strukturen
•  Laufzeitverbesserungen
1.  Höhenbalancierung
2.  Pfadkompression
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Höhenbalancierung
•  Speichere in jedem Element x die Höhe
h[x] des darunterhängenden Baumes
•  Hänge bei Vereinigung stets die
niedrigeren Bäume an die höheren und
aktualisiere ggfs die Höhe der Wurzel.
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Höhenbalancierung
•  MakeSet(x)
p[x] ← x
h[x] ← 0
?
0
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Höhenbalancierung
•  Union(x,y)
q ← Find(x)
r ← Find(y)
if h[q] > h[r] then
p[r] ← q
return q
else
p[q] ← r
if h[q] = h[r] then
h[r] ← h[r] + 1
return r
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Höhenbalancierung
•  Union(x,y)
q ← Find(x)
r ← Find(y)
if h[q] > h[r] then
p[r] ← q
return q
else
p[q] ← r
if h[q] = h[r] then
h[r] ← h[r] + 1
return r
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Datenstrukturen und Algorithmen
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Höhenbalancierung
•  Union(x,y)
q ← Find(x)
r ← Find(y)
if h[q] > h[r] then
p[r] ← q
return q
else
p[q] ← r
if h[q] = h[r] then
h[r] ← h[r] + 1
return r
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Datenstrukturen und Algorithmen
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Höhenbalancierung
•  Union(x,y)
q ← Find(x)
r ← Find(y)
if h[q] > h[r] then
p[r] ← q
return q
else
p[q] ← r
if h[q] = h[r] then
h[r] ← h[r] + 1
return r
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Datenstrukturen und Algorithmen
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Pfadkompression
•  Hänge nach jeder Find(x) Operation die
Elemente auf dem Pfad zu x an die
Wurzel.
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Pfadkompression
•  Find(x)
if x ≠ p[x] then
p[x] ← Find(p[x])
return p[x]
z
Find(x)
z
y
x
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Datenstrukturen und Algorithmen
x
y
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Union-Find-Strukturen
•  Aufwand (ohne Beweis):
Sei n die Zahl der MakeSet()
Operationen und m die Zahl aller
MakeSet(), Union() und Find()
Operationen. Dann lässt sich der
Aufwand bei Verwendung von Höhenbalancierung und Pfadkompression
durch
O(m×a(n))
abschätzen, wobei a(n) ≤ 5 in allen
praktischen Fällen.
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Datenstrukturen und Algorithmen
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