2.5.1 Binäre Suchbäume 2.5.2 Optimale Suchbäume 2.5.3

2.5 Bäume
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.5.4
2.5.5
1
Binäre Suchbäume
Optimale Suchbäume
Balancierte Bäume
Skip-Listen
Union-Find-Strukturen
Datenstrukturen und Algorithmen
Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer
Optimale Suchbäume
•  In manchen Anwendungen ist die
Zugriffswahrscheinlichkeit auf die
Elemente a priori bekannt.
•  Versuche die Elemente, auf die am
häufigsten zugegriffen wird, in der
Nähe der Wurzel zu speichern.
•  Beispiel: Worthäufigkeiten,
Übersetzungstabelle
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Optimale Suchbäume
1
5
2
3
4
3
3
1
6
4
2
8
7
Datenstrukturen und Algorithmen
Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer
9
Optimale Suchbäume
5
3
6
1
4
8
2
(-∞,1)
(1,2)
7
(2,3)
(3,4)
(4,5)
(5,6)
(6,7)
9
(7,8)
Explizite Blätter für negative Suchanfragen
4
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(8,9) (9,∞)
Optimale Suchbäume
•  Seien N1...Nn die inneren Knoten des
Suchbaums
•  Dann gibt es genau n+1 Blätter I0...In
•  Es sei pi die Wahrscheinlichkeit, dass auf
Knoten Ni zugegriffen wird
•  Es sei qi die Wahrscheinlichkeit, dass auf
Knoten Ii zugegriffen wird, d.h. nach
einem Schlüssel X mit
Ni.X < X < Ni+1.X gesucht wird
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Optimale Suchbäume
5
3
6
1
4
8
2
(-∞,1)
6
(1,2)
7
(2,3)
(3,4)
(4,5)
(5,6)
(6,7)
9
(7,8)
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(8,9) (9,∞)
Aufwand
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Aufwand
•  Betrachte einen Teilbaum mit Wurzel Nk des
optimalen Suchbaums
•  Dieser Baum enthält eine Teilmenge Ni...Nj
der Knoten und Ii-1...Ij der Blatt-Intervalle
•  Dieser Teilbaum ist ebenfalls ein optimaler
Suchbaum (cut & paste)
8
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Aufwand
•  Die Wahrscheinlichkeit, dass auf den
Teilbaum mit Wurzel Nk zugegriffen
wird ist
•  Seien C(i,j) die Kosten, die durch den
Teilbaum Ni...Nj verursacht werden
9
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Aufwand
•  Der Teilbaum mit Wurzel Nk besitzt
zwei weitere Teilbäume mit den
Knoten
–  Ni...Nk-1 und Ii-1...Ik-1
–  Nk+1...Nj und Ik...Ij
die jeder für sich wieder optimal sind
•  Jeder Pfad im Teilbaum Ni...Nk-1 wird
durch Nk um einen Schritt verlängert
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Rekursive Optimierung
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Aufwand
•  Für den Teilbaum Ni...Nj soll der
optimale Wurzelknoten bestimmt
werden...
•  Dynamische Programmierung!
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Aufwand
•  Speichere Zwischenergebnisse in
Tabellen
–  C[i,j] : Kosten des optimalen Suchbaums
für die Knoten Ni...Nj und Ii-1...Ij
–  W[i,j] : Zugriffswahrscheinlichkeit für den
entsprechenden Teilbaum
–  R[i,j] : Wurzelknoten des optimalen
Suchbaums
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Aufwand
OptTree(P[1..n], Q[0..n])
for i ← 1 to n+1 do
C[i, i−1] ← Q[i−1]
W[i, i−1] ← Q[i−1]
for l ← 1 to n do
for i ← 1 to n−l+1 do
j ← i+l−1
W[i, j] ← W[i,j−1] + P[j] + Q[j]
C[i, j] ← min{ C[i,k−1] + C[k+1,j] } + W[i,j]
R[i, j] ← argmin{ C[i,k−1] + C[k+1,j] }
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Aufwand
•  Der optimale Suchbaum muss nicht
immer minimale Höhe besitzen.
•  Das häufigst gefragte Element muss
nicht der Wurzelknoten sein.
•  Berechnungsaufwand mit DP: O(n3)
•  Lohnt nur für viele Anfragen
•  Wahrscheinlichkeiten können aus der
Zugriffsstatistik extrapoliert werden.
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