Funktionentheorie II – Übungsblatt

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. . 
Funktionentheorie II – Übungsblatt 
Aufgabe  ( Punkte)
a) Sei K ⊊ ∂ „ kompakt. Zeige, dass es ür jedes ε > 0 eine Funktion f ∈ H (K (0, 2)) gibt
mit f (0) = 1, und ∥ f ∥K ≤ ε.
b) Zeige, dass es ür K = ∂ „ und ε < 1 kein solches f gibt.
Aufgabe  ( Punkte)
∑
a) Zeige, dass die Reihe ζ (s) := n∞=1 n −s auf D := {s ∈ ƒ | Re(s) > 1} lokal gleichmäßig
konvergiert.
b) Zeige, dass es eine Folge von Polynomen mit reellen Koeffizienten gibt, die auf D lokal
gleichmäßig gegen ζ konvergiert.
∑
c) Es seien (an )n∈Ž >0 , (bn )n∈Ž >0 Folgen komplexer Zahlen und s ∈ ƒ, sodass R = n∞=1 an n −s
∑
und S = n∞=1 bn n −s absolut konvergieren. Zeige, dass dann gilt:


∞  ∑
∑


R ·S =
ad b n  n −s .

n =1 d teilt n
d
d) Sei  die Menge der Primzahlen, p ∈  sowie Ž (P ) B {n ∈ Ž >0 | p ∈  teilt n ⇒ p ≤ P }.
Zeige induktiv:
∞

∏ ∑
∑
 p −ls  =
n −s .


p∈, p≤P
l =0
n∈Ž ( P )
e) Beweise damit die Esche Produktformel: Für jedes s ∈ D gilt:
∏ 1
∏
1
ζ (s) =
B
lim
.
−s
P →∞
1−p
1 − p −s
p∈
p∈, p≤P
) Folgere aus e), dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Aufgabe  ( Punkte)
Für ’-linear unabhängige z, w ∈ ƒ schreiben wir Λz,w := š ·z + š ·w. Zwei Gier Λ, Λ′
nennen wir äquivalent, wenn es eine komplexe Zahl c ∈ ƒ × gibt mit c · Λ = Λ′. Wir schreiben
dann Λ ∼ Λ′.
a) Skizziere die Menge M B {z ∈ ƒ | |Re(z)| ≤ 21 , |z| ≥ 1}.
b) Zeige, dass es zu jedem Gier Λ ein m ∈ M gibt mit Λ ∼ Λ1,m .
c) Sei m ∈ {ti −
1
2
|t ≥
√
3
2 }.
Zeige, dass dann gilt: Λ1,m = Λ1,1+m .
d) Sei m ∈ {z ∈ M | |z| = 1}. Zeige, dass dann gilt: Λ1,m ∼ Λ1,−m .
e) Zeige, dass ür m, m′ ∈ M ◦ mit m , m′ gilt: Λ1,m / Λ1,m′ .
Abgabe: Bis Dienstag, . . , : in den gelben Einwurasten im . Stock des Zähringerhauses (Geb. .) oder vor Beginn der Übung direkt dort.