Einleitung 1. Cayley-Graphen der gleichen Gruppe sind quasi

VORTRAG 10: DIE ENDEN EINER GRUPPE
25.06.2010
LARS MACHINEK
Einleitung
Ziel dieses Vortrags ist es, den Raum der Enden einer Gruppe denieren zu können. Das geschieht
mit Hilfe eines Cayley-Graph der Gruppe.
Es ist bekannt, das Cayley-Graphen von der Präsentation
abhängen. Dass der Endenraum das aber nicht tut, wird hier in zwei Abschnitten gezeigt.
Zunächst wird aus dem Graphen ein metrischer Raum konstruiert, dann wird deniert, was quasiIsometrien sind und wann zwei metrische Räume quasi-isometrisch heiÿen und schlieÿlich wird gezeigt,
dass alle Cayley-Graphen einer Gruppe quasi-isometrisch sind. Dieser Abschnitt, mit Ausnahme von 1.1,
folgt [LR00].
Im zweiten Teil wird der Raum der Enden eines topologischen Raumes eingeführt und mit Hilfe zweier
Lemmata bewiesen, dass quasi-isometrische, eigentliche, geodätische Räume homöomorphe Endenräume
haben. Abschnitt 2 und 1.1 sind [BH99] entnommen.
1. Cayley-Graphen der gleichen Gruppe sind quasi-isometrisch
1.1.
Denition. (Eine Metrik auf einem Graphen)
G = (V, E) ein ungerichteter Graph mit Knoten V und Kantenmenge E ⊆ V × V . Für alle e =
{u, v} ∈ E sei e(0) := u und e(1) := v wobei eine Richtung auf den Kanten festgelegt sei. Diese Richtung
Sei
entspricht nicht der (gewöhnlichen) Interpretation einer gerichteten Kante und kann willkürlich gewählt
werden. Weiter habe
G
keine Schleifen, d.h.
(e, i) ∼ (f, j)
{u, u} ∈
/E
gdw
u∈V.
für alle
i, j ∈ {0, 1}
und
Auf
E × [0, 1]
sei die Relation
e(i) = f (j)
deniert. Die reexive Hülle dieser Relation ist eine Äquivalenzrelation.
M := E × [0, 1]/∼ und p : E × [0, 1] −→ M die Quotientenabbildung.
Man kann jeder Kante e ∈ E eine Länge λ(e) > 0 zuordnen. Hier betrachten wir nur λ(e) = 1 für alle
e ∈ E . Eine Abbildung c : [0, 1] −→ M ist ein Pfad in M , wenn eine Zerlegung 0 = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤
tn+1 = 1 existiert mit c|[ti ,ti+1 ] = p(ei , ci (.)) wobei ei ∈ E und ci : [ti , ti+1 ] −→ [0, 1] eine ane Abbildung
ist (i = 0, . . . , n). Ein Pfad verbindet x, y ∈ M , wenn c(0) = x und c(1) = y . Die Länge eines Pfades c
Nun sei
ist
l(c) :=
n
X
λ(ei )|ci (ti ) − ci (ti+1 )|.
i=0
l(c) unabhängig von der Zerlegung: Seien t0 , . . . tn+1 und t̃0 , . . . , t̃m+1 zwei Zerlegungen und
∅=
6 {τ1 , . . . , τl } = {t̃1 , . . . , t̃m } \ {t1 , . . . , tn }. Dann existiert genau ein j ∈ {0, . . . , n} mit τ1 ∈ (tj , tj+1 ).
Sei cj (t) = αt + β .
Weil λ(ej )|cj (tj ) − cj (tj+1 )| = λ(ej )|α| ((τ1 − tj ) + (tj+1 − τ1 )) gilt, ist dann
t0 , . . . , tj , τ1 , tj+1 , . . . , tn+1 eine Zerlegung mit
Hierbei ist
n
X
i=0
λ(ei )|ci (ti )−ci (ti+1 )| =
n
X
(1)
(1)
(2)
(2)
λ(ei )|ci (ti )−ci (ti+1 )|+λ(ej )|cj (tj )−cj (τ1 )|+λ(ej )|cj (τ1 )−cj (tj+1 )|,
i=0,i6=j
1
wobei
τi
(1)
cj
= cj |[tj ,τ1 ]
und
(2)
cj
= cj |[τ1 ,tj+1 ]
ane Abbildungen sind. Induktiv nimmt man alle weiteren
hinzu und erhält eine Zerlegung mit den Stützpunkten
t̃0 , . . . t̃m+1
{t0 , . . . , tn+1 , τ1 , . . . , τl }.
Genauso kommt man
c erzeugen.
ohne Einschränkung immer eine Zerlegung wählen für die ci surjektiv ist für i ∈ {1, . . . , n − 1}.
n−1
P
Einschränkung ist l(c) = λ(e0 )|c0 (t0 ) − c0 (t1 )| +
λ(ei ) + λ(en )|cn (tn ) − cn (tn+1 )|.
ausgehend von
auf diese Zerlegung, die also alle die gleiche Länge von
Man kann
Mit dieser
i=1
Die Abbildung
dG : M × M −→ R≥0
dG (x, y) := inf{l(c) : c
Pfad der
x
und
y
verbindet}
ist eine Metrik auf M . Lässt man beliebige λ(e) > 0 zu, ist dG eine Metrik, wenn für alle e ∈ E gilt
λ(e) > ε für ein ε > 0.
Sei d = dG
• Positiv Denitheit: d(x, y) ≥ 0 für alle x, y ∈ M . Wenn x = y ist c(t) = x, (t ∈ [0, 1]) ein Pfad
mit Länge Null der x und y verbindet. Wegen l(c̃) ≥ 0 für alle Pfade, ist d(x, y) = 0. Wenn
d(x, y) = 0 ist, so gibt es einen Pfad der x und y verbindet und dessen Länge kürzer ist als Eins
(allgemeiner: jede Kantenlänge). Somit müssen x und y auf benachbarten Kanten oder auf der
gleichen Kante liegen. Im ersten Fall wäre x = p(e1 , τ ) und y = p(e2 , σ) mit τ, σ ∈ [0, 1] und
(o.E.) p(e1 , 1) = p(e2 , 0). Dann aber auch 0 = d(x, y) = d(x, p(e1 , 1)) + d(p(e2 , 0), y) = 1 − τ + σ
und damit τ = 1, σ = 0, also x = y . Im zweiten Fall wäre x = p(e, τ ) und y = p(e, σ) für ein
e ∈ E, τ, σ ∈ [0, 1]. Es ist c(t) = p(e, (1 − t)τ + tσ) ein Pfad der Länge |σ − τ |. Jeder weitere Pfad
enthält mindestens einen Knoten und ist somit länger. Also muss σ = τ gelten und damit x = y .
• Symmetrie: Sei c ein Pfad der x und y aus M verbindet, dann ist e
c(t) := c(1 − t) ein Pfad der y
und x verbindet und die gleiche Länge hat wie c.
• Dreiecksungleichung: Seien x, y, z ∈ M , dann gilt: d(x, z) = inf{l(c) : c Pfad der x und z verbindet}
≤ inf{l(c) : c Pfad der x und z verbindet und c(t) = y für ein t ∈ [0, 1]}
= inf{l(c) : c Pfad der x und y verbindet} + inf{l(c) : c Pfad der y und z verbindet} = d(x, y) +
d(y, z)
Der metrische Raum (M, dG ) heiÿt metrischer Graph. In Zukunft wird nicht zwischen G und M
unterschieden.
1.2.
Denition. (Eine Metrik auf einer Gruppe)
G eine Gruppe mit einer endlichen Präsentation hX|Ri wobei X = X −1
bzgl hX|Ri ist deniert als
Sei
lX (g) := min {|w| : w ∈ X ? , w
präsentiert
gelte. Die
Länge eines
g∈G
g} .
Drei einfache Aussagen können über lX getroen werden:
Die
• lX (g) = 0 ⇐⇒ g ist neutrales Element in G
−1
• lX (g) = lX (g −1 ) für alle g ∈ G, denn ist x1 . . . xn eine Darstellung von g , so ist x−1
n . . . x1 eine
−1
Darstellung von g
und umgekehrt.
• lX (g1 g2 ) ≤ lX (g1 ) + lX (g2 ) für alle g1 , g2 ∈ G (ist g1 = x1 . . . xn und g2 = y1 . . . ym , so ist
x1 . . . xn y1 . . . ym eine Darstellung von g1 g2 in der eventuell noch gekürzt werden kann)
Wort-Metrik dX : G × G −→ R+ ist deniert durch
dX (g1 , g2 ) := lX (g1−1 g2 ), (g1 , g2 ∈ G)
Dies ist (wirklich) eine Metrik:
• dX (g1 , g2 ) ≥ 0 für alle g1 , g2 ∈ G, weil lX (g) ≥ 0 für alle g ∈ G und dX (g1 , g2 ) = lX (g1−1 g2 ) = 0
−1
gdw g1 g2 = 1 in G gdw g1 = g2 in G
• dX (g1 , g2 ) = lX (g1−1 g2 ) = lX (g2−1 g1 ) = dX (g2 , g1 ) für alle g1 , g2 ∈ G
2
• dX (g1 , g2 ) = lX (g1−1 g3 g3−1 g2 ) ≤ lX (g1−1 g3 )+lX (g3−1 g2 ) = dX (g1 , g3 )+dX (g3 , g2 ) für alle g1 , g2 , g3 ∈
G
1.3.
Bemerkung. Sei
Γ = Γ(G, X) = (V, E)
hängend.
lässt sich
G
eine Gruppe mit einer endlichen Präsentation
der zugehörige Cayley-Graph. Dann ist
Γ
hX|Ri
mit
X −1 = X
und
ungerichtet, einfach und zusammen-
Ordnet man in der Konstruktion von 1.1 den Kanten (wie angekündigt) die Länge eins zu,
(G, dX )
in
(Γ, dΓ ) wiedernden. (G, dX ) ist isomorph zur Teilmenge der Knoten von Γ
G∼
= p(E × {0, 1}) und dX (g, h) = dΓ (ḡ, h̄) wenn g ∼
= ḡ und h ∼
= h̄.
=V ∼
mit der
eingeschränkten Metrik:
1.4.
Denition. (quasi-Isometrie, quasi-isometrisch)
(A, d), (B, e) metrische Räume. Eine Abbildung f : A −→ B heiÿt quasi-Isometrie (genauer
(λ, ε)-quasi-Isometrie) falls Konstanten λ > 0 und ε ≥ 0 existieren so, dass für alle x1 , x2 ∈ A gelten:
1
d(x1 , x2 ) − ε ≤ e(f (x1 ), f (x2 )) ≤ λd(x1 , x2 ) + ε
λ
Die Räume (A, d) und (B, e) heiÿen quasi-isometrisch, wenn eine quasi-Isometrie f : A −→ B existiert
und eine Konstante δ ≥ 0 so, dass für alle y ∈ B gilt
Seien
e(f (A), y) ≤ δ.
1.5.
Bemerkung. Sind
(A, d), (B, e) quasi-isometrisch und ist f : A −→ B eine (λ, ε)-quasi-Isometrie, so
f 0 : B −→ A und ein K > 0 mit e (y, f (f 0 (y))) ≤ K und d (x, f 0 (f (x))) ≤ K
y ∈ B . Die quasi-Isometrie f 0 heiÿt quasi-Inverse zu f , f ◦ f 0 : B −→ B und
gibt es eine quasi-Isometrie
x ∈ A und
f 0 ◦ f : A −→ A, die
für alle
auch quasi-Isometrien sind, heiÿen
quasi-Identitäten.
y0 ∈ f (A) mit e(y, y0 ) ≤ δ . Setze f 0 : f (A) −→ A, y 7→ x ∈ f −1 (y)
beliebig aber fest gewählt fort zu f : B −→ A durch Festlegung eines y0 ∈ f (A) ∩ Bδ (y) und eines
f 0 (y) ∈ f −1 (y0 ) für jedes y ∈ B \ f (A). Für y ∈ B gilt dann
(
0
, y ∈ f (A)
0
e (y, f (f (y))) =
e(y, y0 ) ≤ δ , y ∈
/ f (A)
Beweis. Zu jedem
y∈B
existiert ein
0
Und für
x∈A
gilt
d (x, f 0 (f (x))) = d(x, x̃) für ein x̃ ∈ f −1 (f (x))
und nach Voraussetzung (f (x) = f (x̃)) gilt
1
d(x, x̃) − ε ≤ e (f (x), f (x̃)) = 0 also d(x, x̃) ≤ λε
λ
0
0
Setze K := max{δ, λε}. Weiter gilt für x1 , x2 ∈ B
1
1
ε
1
e(x01 , x02 ) − (2K + ε) ≤ [e (x01 , f (f 0 (x01 ))) + e (f (f 0 (x01 )), f (f 0 (x02 ))) + e (f (f 0 (x02 )), x02 ) − 2K] −
λ
λ
λ
λ
1
ε
λ
ε
ε
≤ e (f (f 0 (x01 )), f (f 0 (x02 ))) − ≤ d (f 0 (x01 ), f 0 (x02 )) + − = d (f 0 (x01 ), f 0 (x02 ))
λ
λ
λ
λ λ
≤ λe (f (f 0 (x01 )), f (f (x02 ))) + λε ≤ λ [e (f (f 0 (x01 )), x01 ) + e(x01 , x02 ) + e (x02 , f (f 0 (x02 )))] + λε
≤ λe(x01 , x02 ) + λ(2K + ε).
1
0
0
Mit ε := max{λ, }(2K + ε) und λ := λ folgt also
λ
1
e(x01 , x02 ) − ε0 ≤ d (f 0 (x01 ), f 0 (x02 )) ≤ λ0 e(x01 , x02 ) + ε0
λ0
3
1.6.
Satz. Sei
G
Beweis. Schreibe
hX1 |R1 i
eine Gruppe präsentiert durch zwei endliche Präsentationen
Dann sind die metrischen Räume
li = lXi
und
(Γ1 = Γ(G, X1 ), dΓ1 )
dΓi = di = dXi
für
und
i = 1, 2.
(Γ2 = Γ(G, X2 ), dΓ2 )
und
hX2 |R2 i.
quasi-isometrisch.
Eine Verwechslung von
dΓi
und
dXi
hat nach
1.3 keine Folgen.
λ1 , λ2 > 0
l2 (g) ≤ λ1 l1 (g)
l1 (g) ≤ λ2 l2 (g)
Beh1: Es existieren
(i)
(ii)
so, dass für alle
g∈G
gelten
λ1 := max{l2 (a) : a ∈ X1 }. Der Beweis wird mit Induktion über l1 (g) geführt.
= 1 gilt, so ist g ∈ X1 , also gilt l2 (g) ≤ max{l2 (a) : a ∈ X1 } = λ1 · 1 = λ1 l1 (g). IV: (i)
g ∈ G mit l1 (g) < n ∈ N. IS: Sei g ∈ G mit l1 (g) = n. Dann hat g eine Darstellung wa mit
Nachweis: (i) Deniere
IA: Wenn l1 (g)
gelte für alle
w ∈ X1? , l1 (w) = n − 1 und a ∈ X1 .
λ1 (n − 1 + 1) = λ1 l1 (g)
Es gilt l2 (g)
IV
≤ l2 (w) + l2 (a) ≤ λ1 l1 (w) + λ1 l1 (a) = λ1 (l1 (w) + l1 (a)) =
(ii) analog
: (G, d1 ) −→ (G, d2 ), g 7→ g ist eine quasi-Isometrie.
λ := max{λ1 , λ2 }, dann gilt für alle g, h ∈ G:
Beh2: Die Abbildung id
Nachweis: Deniere
(ii)
(i)
1
1
d1 (g, h) ≤
l1 (g −1 h) ≤ l2 (g −1 h) = d2 (g, h) ≤ λ1 l1 (g −1 h) ≤ λd1 (g, h)
λ
λ2
was die Behauptung zeigt.


, x ∈ G ⊆ Γ1
x
Sei nun n(x) :=
e(0) , x ∈ Γ1 \ G, x = (e, t), t ≤ 0.5


e(1) , x ∈ Γ1 \ G, x = (e, t), t > 0.5
zu jedem Punkt
x des metrischen Graphen Γ1
der
nächste Knoten.
Beh3: Die Abbildung
n : Γ1 −→ Γ2 , x 7→ id(n(x))
ist eine quasi-Isometrie.
Nachweis: Zunächst gilt
d1 (x, y) − 1 ≤ d1 (n(x), n(y)) ≤ d1 (x, y) + 1
denn ist
n(y).
c
ein Pfad minimaler Länge von
x
nach
y,
für alle
x, y ∈ Γ1 ,
dann gibt es einen Pfad von
n(x)
über
x
und
y
nach
Also
d1 (n(x), n(y)) ≤ d1 (n(x), x) + d1 (x, y) + d1 (y, n(y)) ≤ d1 (x, y) + 1.
| {z }
| {z }
≤0.5
≤0.5
d1 (x, y) ≤ d1 (n(x), n(y)) + 1 also umgeformt d1 (x, y) − 1 ≤ d1 (n(x), n(y))
ε := max{ λ1 , λ}, dann gilt für alle x 6= y ∈ Γ1 :
Ebenso ist
Sei
Schlieÿlich ist
1
1
1
d1 (x, y) − ε ≤ (d1 (x, y) − 1) ≤ d1 (n(x), n(y)) ≤ d2 (n(x), n(y))
λ
λ
λ
≤ λd1 (n(x), n(y)) ≤ λ(d1 (x, y) + 1) ≤ λd1 (x, y) + ε
d2 (n(Γ1 ), x) ≤ 21 , denn die Knoten in beiden Graphen sind die gleichen und
Satz.
4
damit gilt der
2. Raum der Enden eines topologischen Raumes
2.1.
Wiederholung .
(1) Ein
topologischer Raum ist eine Menge
(a)
(b)
(c)
X
und ein Mengensystem
τ ⊆ P(X)
mit
Mengen
eine
∅, X ∈ τ
∀A, B ∈ τS: A ∩ B ∈ τ
∀s ⊆ τ :
A∈τ
A∈s
A ⊆ X heiÿt. . .
• oen, wenn A ∈ τ gilt
• abgeschlossen, wenn X \ A ∈ τ gilt
• kompakt, wenn jede Überdeckung
Eine Teilmenge
A
von
durch
oene
endliche
Teilüberdeckung hat
f : X −→ Y zwischen zwei topologischen Räumen heiÿt. . .
• stetig, wenn für alle O ⊆ Y oen gilt f −1 (O) ist oen in X , oder äquivalent wenn für
−1
alle A ⊆ Y abgeschlossen f
(A) abgeschlossen in X ist.
• eigentliche Abbildung, wenn für alle C ⊆ Y kompakt gilt f −1 (C) ist kompakt in
X.
• Homöomorphismus, wenn f stetig und bijektiv und f −1 stetig ist.
Eine Teilmenge Z ⊆ X eines topologischen Raumes heiÿt wegzusammenhängend, wenn für
alle x, y ∈ Z eine stetige Abbildung c : [0, 1] −→ X (ein Weg) existiert mit c([0, 1]) ⊆ Z , c(0) = x
und c(1) = y .
(2) Eine Abbildung
(3)
Eine inklusionsmaximale wegzusammenhängende Menge heiÿt
Pfadkomponente.
I ⊆ R ein Intervall. Eine Abbildung γ : I −→ A heiÿt
geodätisch, falls d(γ(t), γ(t0 )) = |t − t0 | für alle t, t0 ∈ I . Ist I = [0, b] und γ(0) = x und γ(b) = y
dann ist γ eine Geodäte von x nach y. Ist I = [0, ∞) so ist γ ein geodätischer Strahl.
(Allgemeiner nenne jede stetig Abbildung r : [0, ∞) −→ A einen Strahl).
0
0
Eine geodätische Abbildung ist stetig (d(γ(t), γ(t )) → 0, t → t) und eigentlich (C ⊆ A kompakt
e := γ −1 (C) abgeschlossen, t, t0 ∈ C
e dann ist |t − t0 | = d(γ(t), γ(t0 )) ≤ diam(C) also C
e
dann C
(4) Sei
(A, d)
ein metrischer Raum und
beschränkt also insgesamt kompakt)
(A, d) ist ein k-Pfad zwischen x, y ∈ A eine endliche Folge x1 , . . . , xn ∈
d(xi , xi+1 ) ≤ k für i ∈ {1, . . . , n − 1}.
metrischer Raum (A, d) heiÿt. . .
• geodätischer Raum, wenn je zwei Punkte x, y ∈ A durch eine Geodäte in A verbun-
(5) In einem metrischen Raum
A
mit
(6) Ein
x = x1 , y = xn
und
den sind.
• eigentlicher Raum,
wenn für alle
x0
die Abbildung
x 7→ d(x0 , x)
eine eigentliche
Abbildung ist was äquivalent dazu ist, dass alle abgeschlossenen Kugeln in
A
kompakt
sind.
Jeder eigentliche Raum ist vollständig ((xn )
n, m ≥ n0 , dann (xn )n≥n0 ⊆ B ε (xn0 )
CF ist schon (xn ) konvergent)
für
2.2.
Denition. Sei
(X, τ )
∼
r1 ∼ r2
∼
auf
R
:⇐⇒
CF und
n0 ∈ N mit d(xn , xm ) < ε
(xn ) konvergente TF. Weil
ein topologischer Raum und
R := R(X) := {r : [0, ∞) −→ X : r
Die Relation
⊆A
kompakt also hat
eigentlich und stetig}
sei deniert durch
Für alle C ⊆ X kompakt existiert ein N ∈ N mit
r1 [N, ∞)und r2 [N, ∞) liegen in der gleichen Pfadkomponente
ist eine Äquivalenzrelation:
5
von
X \C
•
•
reexiv und symmetrisch klar
Seien r1 ∼ r2 und r2 ∼ r3 und C ⊆ X kompakt. Es existieren N1 , N2 ∈ N mit
r1 [N1 , ∞) und r2 [N1 , ∞) liegen in der gleichen Pfadkomponente P1 ⊆ X und r2 [N2 , ∞) und
r3 [N2 , ∞) liegen in der gleichen Pfadkomponente P2 ⊆ X von X \ C . Für N = max{N1 , N2 }
liegt r2 [N, ∞) 6= ∅ in P1 ∩ P2 . Also ist P1 = P2 , da verschieden Pfadkomponenten disjunkt sind.
Also gilt r1 ∼ r3
transitiv:
Man sagt
r∈R
r1 , r2 ∈ R konvergieren zum gleichen Ende,
wenn
r1 ∼ r2
gilt. Die Äquivalenzklasse von
wird mit
end(r)
= {s ∈ R : s ∼ r}
bezeichnet, die Menge der Äquivalenzklassen mit
Ends(X)
= {end(r) : r ∈ R}.
= m, so sagt man X hat m Enden.
(end(rn )) ⊆ Ends(X) konvergiert gegen ein end(r) ∈Ends(X), wenn für alle kompakten
C ⊆ X ein n0 ∈ N und eine Folge (Nn ) ⊆ N existieren mit rn [Nn , ∞) und r[Nn , ∞) liegen in der gleichen
Pfadkomponente von X \ C für alle n ≥ n0 .
Die Menge Ends(X) wird zum topologischen Raum durch Angabe der abgeschlossenen Mengen: Ein
A ⊆ Ends(X) sei abgeschlossen, wenn für alle Folgen (end(rn )) ⊆ A aus end(rn ) → end(r) folgt
end(r) ∈ A.
Ist |Ends(X)|
Eine Folge
2.3.
Lemma. Sei
(X, d)
ein eigentlicher geodätischer Raum,
Gx0 := Gx0 (X) := {r : [0, ∞) −→ X : r
Dann ist die (natürliche) Abbildung
Beweis. Sei
r ∈ R.
Deniere für alle
x0 ∈ X
geodätisch und
Gx0 −→ Ends(X), r 7→ end(r)
n∈N
cn : [0, ∞) −→ X
r(0) = x0 } ⊆ R(X).
surjektiv.
ein
durch
(
γn (t) , t ∈ [0, dn ]
cn (t) :=
r(n) , t > dn
dn = d(x0 , r(n)) sei und γn eine Geodäte von x0 nach r(n). Sei Q = {q1 , q2 , . . . } eine abzählbare
[0, ∞). Dann ist (cn (q1 )) ⊆ B q1 (x0 ), denn falls dn ≤ q1 gilt, ist cn (q1 ) = r(n) ∈
B q1 (x0 ); ist andererseits q1 < dn , so ist, d(cn (0), cn (q1 )) = q1 ≤ q1 also cn (q1 ) ∈ B q1 (x0 ), weil cn
| {z }
wobei
dichte Teilmenge von
=x0
geodätisch ist auf
[0, dn ].
B q1 (x0 ) kompakt und (cn (q1 )) hat eine konvergente Teilfolge (c1n (q1 )), die eine
k+1
1
)n von (ckn )n so, dass
Teilfolge (cn ) von (cn ) induziert. Induktiv existiert für alle k ≥ 1 eine TF (cn
k+1
n
(cn (qj ))n für alle j ∈ {1, . . . , k + 1} konvergiert. Betrachte nun c̃n := cn . c̃n (qj ) konvergiert für alle
j ∈ N (für n ≥ j ist (c̃n ) TF von (cjn )n ). Für t, s ∈ [0, ∞) und alle n ∈ N ist d(cn (t), cn (s)) ≤ |t − s|
(” = ” falls max(t, s) ≤ dn sonst ” < ”). Gleiches gilt also für c̃n .
ε
Seien ε > 0, t ∈ [0, ∞). Es existiert ein qj ∈ Q mit |t − qj | <
3 . Weil c̃n (qj ) konvergiert existiert ein
ε
n0 ∈ N mit d(c̃n (qj ), c̃m (qj )) < 3 für alle n, m ≥ n0 . Für n, m ≥ n0 gilt also
Weil
X
eigentlich ist, ist
d(c̃n (t), c̃m (t)) ≤ d(c̃n (t), c̃n (qj )) + d(c̃n (qj ), c̃m (qj )) + d(c̃m (qj ), c̃m (t)) < ε
Also ist
(c̃n (t))
eine Cauchyfolge.
Bezeichne den Grenzwert mit
Weil
X
vollständig ist konvergiert
Weiter konvergiert c̃n gleichmäÿig auf jeder kompakten Teilmenge
eine Überdeckung von
C,
c̃n
damit punktweise auf
[0, ∞).
c(t).
die, wegen der Kompaktheit von
6
C,
C ⊆ [0, ∞):
Zu
ε > 0 ist B 3ε (qj ) : j ∈ N
eine endliche Teilüberdeckung hat. Für
alle
t ∈ C kann nun n0 unabhängig von den qj (Maximum einer endlichen Menge) gewählt
c ist geodätisch: Seien t, s ∈ [a, b] ⊆ [0, ∞) und ε > 0. Dann ist für n groÿ genug
werden.
Auch ist
|t − s| − 2ε = d(c̃n (t), c̃n (s)) − 2ε ≤ d(c̃n (t), c(t)) + d(c(t), c(s)) + d(c(s), c̃n (s)) −2ε
{z
}
|
{z
}
|
<ε glm Konv.
<ε glm Konv.
≤ d(c(t), c(s)) ≤ d(c(t), c̃n (t)) + d(c̃n (t), c̃n (s)) + d(c̃n (s), c(s)) ≤ |t − s| + 2ε
|
{z
}
|
{z
}
<ε glm Konv.
<ε glm Konv.
d(c(t), c(s)) = |t − s|. Es ist also c ∈ Gx0 .
= end(r): Für jedes C ⊆ X gibt es ein R > 0 so, dass C ⊆ B R (x0 ) =: B gilt und ein
N0 ∈ N, N0 > R mit r([N0 , ∞)) ⊆ X \ B . Sei t ∈ [N0 , ∞) und n ≥ N0 , dann ist cn (t), c(t), r(t) ∈ X \ B
(t > dn dann cn (t) = r(n), N0 ≤ t ≤ dn dann cn geodätisch und d(x0 , cn (t)) = t > R, c ist geodätisch).
cn (t) und r(t) sind durch die Wegstücke cn (ht, dn i) und r(ht, ni) verbunden (ha, bi = [a, b] bzw [b, a]). Weil
X \ B oen existiert ein δ > 0 mit Bδ (c(t)) ⊆ X \ B und für dieses δ ein m ∈ N so, dass c̃n (t) ∈ Bδ (c(t))
für alle n ≥ m. Weil Kugeln konvex und damit wegzusammenhängend sind, liegen damit c(t) und r(t) in
Also
Schlieÿlich ist end(c)
der gleichen Pfadkomponente.
2.4.
Lemma. Sei
(sn ) ⊆ R(X).
X
ein eigentlicher geodätischer Raum,
x0 ∈ X , k > 0
und
s, r1 , r2 ∈ R(X),
Dann gelten
end(r1 )=end(r2 )
⇐⇒
für alle
r1 (t)
end(sn )→end(s)
⇐⇒
für alle
sn (t)
R > 0 existiert ein N ∈ N so, dass für alle t > N
r2 (t) durch k -Pfad in X \ BR (x0 ) verbunden sind
und
R > 0 existieren n0 ∈ N, (Nn ) ⊆ N so, dass für alle n ≥ n0 , t ≥ Nn
s(t) durch k -Pfad in X \ BR (x0 ) verbunden sind
und
Beweis. Erster Teil:
R > 0 und C ⊇ BR (x0 ) eine kompakte Obermenge, dann existiert ein N ∈ N mit r1 [N, ∞)
r2 [N, ∞) liegen in der gleichen Pfadkomponente K von X \ C . Sei t > N und c : [a, b] −→ K
ein Weg von x1 := r1 (t) nach r2 (t) in X \ C . C und c([a, b]) sind abgeschlossen und X \ C oen,
also gibt es ein ε > 0 mit d(c(τ ), y) > 2ε für alle τ ∈ [a, b], y ∈ C . Deniere induktiv %i ∈ (ε, k) mit
Bi := B%i (xi ) ⊆ X \ C . Weiter sei τi maximal mit c(τi ) ∈ Bi und schlieÿlich xi+1 := c(τi ). Weil c
Pn−1
stetig ist, ist
sup
j=0 d(c(tj ), c(tj+1 )) < ∞ und damit insbesondere xn = c(b) = r2 (t) für
=⇒ Sei
und
n∈N,a=t0 <···<tn =b
n ∈ N. Die xi bilden einen k -Pfad, weil die %i < k gewählt waren.
⇐= Sei C ⊆ X kompakt (insbesondere beschränkt) und BR (x0 ) ⊇ C . Dann existiert ein N ∈ N mit für
alle t > N existiert ein k -Pfad in X \ BR+k (x0 ) der r1 (t) und r2 (t) verbindet. Sei zu t0 > N {x1 , . . . , xn }
ein solcher k -Pfad und γi : [0, li ] −→ X eine Geodäte von xi nach xi+1 . Wegen d(xi , BR (x0 )) ≥ k und
d(xi , xi+1 ) ≤ k gilt γi ([0, li ]) ⊆ X \ BR (x0 ). Die γi legen also einen Weg c in X \ BR (x0 ) fest, der r1 (t0 )
mit r2 (t0 ) verbindet. Für t, s > N sind r1 (t) und r2 (s) über die Kombination der Wege r1 |ht,t0 i , c, r2 |ht0 ,si
verbunden. Damit sind r1 (N, ∞) und r2 (N, ∞) in der gleichen Pfadkomponente enthalten, also end(r1 ) =
end(r2 ).
ein
Zweiter Teil ähnlich
2.5.
Satz. Seien die eigentlichen geodätischen Räume
X1
und
X2
quasi-isometrisch, dann sind Ends(X1 )
und Ends(X2 ) homöomorph.
f : X1 −→ X2 eine (λ, ε)-quasi-Isometrie, x0 ∈ X1 beliebig aber fest gewählt, y0 := f (x0 )
r ∈ Gx0 (X1 ). Erhalte f? (r) : [0, ∞) −→ X2 durch Aneinanderfügen von Geodäten von f (r(n)) nach
f (r(n + 1)) für alle n ∈ N0 . Dann ist f? (r) stetig (klar) und eigentlich: Sei C ⊆ X2 kompakt also
Beweis. Sei
und
7
insbesondere beschränkt und abgeschlossen Sei
R>0
mit
C ⊆ BR (y0 ), M1 := {f (r(k)) : k ∈ N} ∩ C
und
M2 := {r(k) : k ∈ N, f (r(k)) ∈ M1 }
M3 := {n ∈ N : f? (r)(n) = f (r(n)) ∈ C} = n ∈ N : f (r(n)) ∈ M1 = n ∈ N : r(n) ∈ M2
Dann ist auch
M1 ⊆ C
beschränkt und
d2 (f (r(n)), f (r(0))) < R
für alle
f (r(n)) ∈ M1 .
Weil
f
eine
quasi-Isometrie ist, folgt
d1 (r(n), r(0)) < λR + λε
M2 beschränkt. Da r geodätisch ist
M3 ⊆ {0, . . . , dλR + λεe}. Sei t ≥ N + λ
| {z }
für alle
r(n) ∈ M2 .
r(n) ∈ M2 , dass n < λR + λε gilt und
btc ≥ N + λ. Dann ist f? (r)(t) ∈
/ C , denn
Also ist auch
folgt aus
daraus
mit
=:N
f? (r)(t) ∈
/ BR (y0 ), denn d2 (f? (r)(btc), y0 ) ≥ R + 1 und d2 (f? (r)(btc), f? (r)(t)) = t − btc < 1. Letzteres
gilt weil f? (r) geodätisch ist auf [btc , btc + 1] ersteres gilt weil r geodätisch ist und f eine quasi-Isometrie:
λR + λε + λ ≤ N + λ ≤ btc = d1 (r(btc), x0 ) ≤ λd2 (f? (r)(btc), y0 ) + λε also R + 1 ≤ d2 (f? (r)(btc), y0 ).
Schlieÿlich ist
(f? (r))
−1
(C) = {t ∈ [0, ∞) : f? (r)(t) ∈ C} ⊆ [0, N + λ + 1)
f? (r)−1 (C)
beschränkt
R(X2 ).
n ∈ N gilt
d2 (f (r(n)), f (r(n + 1))) ≤ λd1 (r(n), r(n + 1)) + ε = λ + ε. Sei C ⊆ BR (y0 ) ⊆ X2 . Falls f (r(n)) oder
f (r(n + 1)) in BR+λ+ε (y0 ) liegen, wähle N > n + 1. Sonst liegen alle Geodäten in Bλ+ε (f (r(n + 1))) ⊆
X2 \ C und natürlich liegen alle Geodäten in der gleichen Pfadkomponente.
Nach Lemma 2.3 gibt es zu jedem e ∈ Ends(X1 ) ein r ∈ Gx0 (X1 ) mit end(r) = e. Es lässt sich die
Wegen der Stetigkeit ist
Das
Ende
end(f? (r))
ist
auch abgeschlossen also kompakt.
unabhängig
von
der
Wahl
der
f? (r)
Geodäten:
ist also in
Für
jedes
Abbildung
fb : Ends(X1 ) −→ Ends(X2 ), end(r) 7→ end(f? (r))
angeben.
fb ist wohldeniert: Seien r, s ∈ Gx0 (X1 ) mit end(r) = end(s), C ⊆ X1 kompakt. Ein k -Pfad der für groÿe
n ∈ N r(n) und s(n) verbindet wird unter der quasi-Isometrie f auf einen λk + λε-Pfad abgebildet der
f? (r)(n) mit f? (s)(n) verbindet. Somit ist nach Lemma 2.4 end(f? (r)) = end(f? (s)).
fb ist stetig: Sei A ⊆ Ends(X2 ) abgeschlossen und (end(rn )) ⊆ fb−1 (A) konvergent mit Grenzwert end(r).
−1
Zu zeigen ist end(r) ∈ fb (A), was äquivalent ist zu fb(end(r)) = end(f? (r)) ∈ A. Betrachte also
b
f (end(rn )) = end(f? (rn )) ∈ A. Wie oben wird aus einem k -Pfad in X1 der rn (m) mit r(m) verbindet ein
λk + λε-Pfad der f? (rn )(m) mit f? (r)(m) verbindet. Lemma 2.4 zeigt, dass end(f? (rn )) → end(f? (r)).
−1
−1
Weil A abgeschlossen ist gilt end(f? (r)) ∈ A also end(r) ∈ fb (A) und somit ist fb (A) abgeschlossen.
0
0
0 ◦ f zur
\
Sei f eine quasi-Inverse zu f mit f (y0 ) = x0 . Mit einer analogen Konstruktion erhalte fb0 und f
0
0
0
b
b
\
quasi-Identität f ◦ f . Es gilt f ◦ f = f
◦ f : Sei e ∈ Ends(X1) und r ∈ Gx0 (X1 ) mit e = end(r). Weiter
0
0
0 ◦ f (e) gdw end(f 0 (r 0 )) =
\
sei r ∈ Gy0 (X2 ) mit end(r ) = end(f? (r)) = fb(e). Dann gilt fb0 ◦ fb (e) = f
?
◦ f )? (r)). Sei R > 0. f 0 (y) ∈ BR (x0 ) ⇐⇒ d1 (f 0 (y), x0 ) < R. Für solche y gilt aber d2 (y, y0 ) ≤
λ d1 (f (y), x0 )+λ0 ε0 < λ0 R+λε0 =: R0 . Somit y ∈ BR0 (y0 ) also (f 0 )−1 (BR (x0 )) ⊆ BR0 (y0 ). Nach 2.4 gibt
0
es ein N ∈ N mit für alle t > N sind r (t) und f? (r)(t) durch k -Pfad in X2 \BR0 (y0 ) verbunden. Sei n ≥ N
0
0
und {y1 , . . . , ym } ein k -Pfad von r (n) nach f? (r)(n). Betrachte {xj := f (yj ) : j ∈ {1, . . . , m}}. Es gelten
0 0
0 0
0
0
x1 = f (r (n)) = f? (r )(n) und xm = f (f (r(n))) = (f ◦ f )? (r)(n) und d1 (xj , xj+1 ) ≤ λ0 d2 (yj , yj+1 ) +
ε0 ≤ λ0 k + ε0 . Schlieÿlich ist d1 (xj , x0 ) ≥ λ10 d2 (yj , y0 ) − ε0 > λ10 R0 − ε0 = R. Insgesamt ist {x1 , . . . , xm }
0
0
0 0
0
0 0
0
ein (λ k + ε )-Pfad von f? (r )(n) nach (f ◦ f )? (r)(n). Nach 2.4 ist end(f? (r )) = end((f ◦ f )? (r)).
0
0
Sei r ∈ Gx0 (X1 ). Für alle x ∈ X1 gilt d1 (x, f (f (x))) ≤ K also sind für alle n ∈ N r(n) und f (f (r(n)))
0
0
durch den K -Pfad {r(n), f (f (r(n)))} verbunden. Nach 2.4 gilt daher end((f ◦ f )? (r)) = end(r) also
0 ◦ f (end(r)) = end(r) also ist fb0 ◦ fb die Identität auf Ends(X ). Analog ist f
\
f\
◦ f 0 = fb ◦ fb0 = idX2 .
1
end((f
0
0
0
8
Literatur
[BH99] M.R. Bridson and A. Haeiger, Metric spaces of non-positive curvature, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1999.
[LR00] C. Leininger and A. Reid, Geometric group theory, informal notes, 2000.
9