Mathematik - TO

Lernstoff für die Technische Oberschule
im Fach
Mathematik
Lernstoff übermittelt von: Jörg Schmid
Digitalisiert von: Andreas Baumgartner
Klasse: OI/II 302
Abiturjahrgang 2009
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 1
Inhalt
0 Wiederholung .......................................................................................................................... 7
0.1 Klammern ......................................................................................................................... 7
0.2 Brüche ............................................................................................................................... 8
0.3 Potenzen ........................................................................................................................... 9
0.4 Wurzeln........................................................................................................................... 10
0.5 Gleichungen .................................................................................................................... 11
Rechnen mit 10er Potenzen ............................................................................................. 13
0.6 Lineare Funktion ............................................................................................................. 14
0.7 Quadratische Gleichungen ............................................................................................. 16
Mitternachtsformel .......................................................................................................... 17
1 Funktionen ............................................................................................................................. 19
1.1 Eine Funktion kann beschrieben werden durch: ............................................................ 19
1.2 Funktionsgleichung: ........................................................................................................ 20
1.3 Besondere Geraden ........................................................................................................ 20
1.4 Proportionale Zuordnung ............................................................................................... 21
1.5 Schnitte mit Geraden ...................................................................................................... 22
1.5.1 Schnitte mit Achsen ................................................................................................. 22
1.5.2 Schnitte von Geraden .................................................................................................. 23
1.6 Anwendungen von linearen Funktionen ........................................................................ 24
1.7 Mittelpunkt einer Strecke ............................................................................................... 25
1.8 Steigungs- und Schnittwinkel von Geraden.................................................................... 27
1.9 Schargeraden .................................................................................................................. 28
2 Quadratische Funktion .......................................................................................................... 29
2.1 Quadratische Funktion Allgemein .................................................................................. 29
2.2 Scheitelpunktform der quadratischen Funktion ............................................................ 30
2.3 Nullstellenform oder Zerlegung in Linearfaktoren ......................................................... 31
2.4 Arten von Nullstellen ...................................................................................................... 33
2.5 Verschieben von Funktionen .......................................................................................... 35
2.6 Lage von Geraden und Parabeln .................................................................................... 36
2.7 Monotonie ...................................................................................................................... 38
3 Potentzfunktion ..................................................................................................................... 39
3.1 Potenzfunktionen allgemein........................................................................................... 39
3.2 Symmetrie bei Potenzfunktionen: .................................................................................. 39
3.2.1 Symmetrie zur y-Achse ............................................................................................ 40
3.2.2 Punktsymmetrie ...................................................................................................... 40
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3.2.3 Achsensymmetrie zu einer allgemeinen Senkrechten ............................................ 41
3.3 Das Verhalten von Potenzfunktionen: für → ±∞ ...................................................... 43
4 Ganzrationale Funktionen ..................................................................................................... 45
4.1 Ganzrationale Funktionen allgemein ............................................................................. 45
4.2 Nullstelen von Ganzrationale Funktionen ...................................................................... 45
4.3 Verhalten von Ganzrationalen Funktionen → ±∞.................................................... 47
4.4 Das Aufstellen von Ganzrationalen Funktionen ............................................................. 48
4.5 Stetigkeit ......................................................................................................................... 49
4.6 Ordinatenaddition .......................................................................................................... 49
5 Differentialrechnung.............................................................................................................. 50
5.1 Die Änderungsrate .......................................................................................................... 50
5.2 Von der Änderungsrate zur Steigung in einem Punkt .................................................... 51
5.3 Die Ableitungsfunktion ................................................................................................... 54
5.4 Die Schaubilder der Ableitungsfunktion - Grafische Ableitung ...................................... 55
5.5 Ableitung der Potenzfunktion ........................................................................................ 58
Potenzregel ....................................................................................................................... 59
5.6 Bestimmung von Hoch/Tiefpunkt .................................................................................. 60
5.7 Bestimmung des Scheitels einer Parabel 2ter Ordnung................................................. 61
5.8 Tangenten an Funktion ................................................................................................... 62
1. Punkt auf Funktion ....................................................................................................... 62
2. Tangente an Kurve von kurvenfernen Punkt................................................................ 63
5.9 Extremwertaufgaben ...................................................................................................... 64
5.10 Wendepunkte ............................................................................................................... 65
5.11 Mehrfache Ableitungen ................................................................................................ 66
5.12 Anwendung der zweiten Ableitung .............................................................................. 67
5.13 Weiterführender Gedanke: .......................................................................................... 69
5.14 Wendetangenten .......................................................................................................... 73
5.15 Ortskurve/Ortslinie ....................................................................................................... 74
5.16 Kontrolle der Randwerte .............................................................................................. 75
6 Integralrechnung ................................................................................................................... 76
6.1 Fakten und Herleiten des Integrals ................................................................................ 76
6.2 Schreibweisen ................................................................................................................. 80
6.3 Flächeninhalte zwischen Funktion und x-Achse ............................................................. 82
6.4 Fläche zwischen zwei Kurven ......................................................................................... 83
6.5 Flächen unterhalb der x-Achse ....................................................................................... 83
6.6 Integrationsregeln .......................................................................................................... 84
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6.7 Uneigentliche Integrale .................................................................................................. 85
6.8 Anwendung der Integralrechnung ................................................................................. 87
7 Exponentialfunktionen .......................................................................................................... 89
7.1 Eigenschaften der Funktion = ∙ ....................................................................... 89
Vereinfachung: Basiswechsel ........................................................................................... 90
Prozentuale Abnahme ...................................................................................................... 91
7.2 Ableitung der Exponentialfunktion ................................................................................ 92
7.3 Die Exponentialfunktion ................................................................................................. 93
7.4 Kurvendiskussion von e-Funktionen............................................................................... 96
7.5 Scharfunktion.................................................................................................................. 97
7.6 Fallunterscheidung ......................................................................................................... 99
7.7 Scharfunktion mit e-Funktion ....................................................................................... 100
Extremwertaufgaben ...................................................................................................... 101
7.8 Punktsymmetrie zum Punkt .................................................................................... 102
7.9 Rechnen mit Logarithmen ............................................................................................ 103
Logarithmusgesetze:....................................................................................................... 103
8 Logarithmusfunktionen ....................................................................................................... 104
8.1 Definition ...................................................................................................................... 104
8.2 Ableitung der -Funktion ............................................................................................ 106
8.3 Rechenbeispiel für die -Funktion.............................................................................. 107
9 Trigonometrische Funktionen ............................................................................................. 109
9.1 Trigonometrische Funktionen allgemein...................................................................... 109
9.2 Die Parameter der trigonometrischen Funktion .......................................................... 110
9.3 Die Ableitung der allgemeinen Sinunsfunktion ............................................................ 111
9.4 Periodizität .................................................................................................................... 112
9.5 Eigenschaften der Tangensfunktion ............................................................................. 114
9.6 Nachweis von Periodizität ............................................................................................ 115
10 Lineares Gleichungssystem (LGS) ...................................................................................... 117
10.1 Einführung .................................................................................................................. 117
10.2 Gauss-Verfahren ......................................................................................................... 118
10.3 Vereinfachung des Rechenweges ............................................................................... 120
10.4 Lösungsmengen vom LGS ........................................................................................... 120
10.5 Auswirkungen/Kennzeichen in einem LGS ................................................................. 122
10.6 Veranschaulichung in 2D ............................................................................................ 123
10.7 Parameteraufgabe ...................................................................................................... 124
10.8 Über/Unterbestimmte LGS ......................................................................................... 125
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11 Vektorgeometrie................................................................................................................ 126
11.1 Koordinatensysteme................................................................................................... 126
11.2 Kartesisches Koordinatensystem in 3D ...................................................................... 127
11.3 Körper und Flächen (2D geometrische Figuren) ........................................................ 128
11.4 Vektoren ..................................................................................................................... 130
11.5 Schreibweisen/Notation ............................................................................................. 132
Rechenzeichen: ............................................................................................................... 133
11.6 Lineare Abhängigkeit von Vektoren ........................................................................... 133
11.7 Beweisen mit Vektoren .............................................................................................. 136
11.8 Geraden im R³ (3-dimensionaler Raum) ..................................................................... 138
11.9 Aufstellen von Geraden .............................................................................................. 139
11.10 Punkt auf einer Geraden .......................................................................................... 140
11.11 Zeichnen von Geraden.............................................................................................. 141
11.12 Besondere Geraden .................................................................................................. 142
11.13 Spurpunkte von Geraden ......................................................................................... 143
11.14 Lage von Geraden ..................................................................................................... 145
11.15 Winkel ....................................................................................................................... 147
11.16 Genauerere Betrachtung des Skalarprodukts .......................................................... 149
11.17 Normalenvektor........................................................................................................ 150
11.18 Das Kreuzprodukt ..................................................................................................... 151
11.19 Gegenüberstellung Skalar-/Kreuzprodukt ................................................................ 153
12 Ebenen ............................................................................................................................... 154
12.1 Bedingungen für eine Ebene ...................................................................................... 154
12.2 Die Parameterdarstellung einer Ebene ...................................................................... 154
12.3 Zeichnen einer Ebene ................................................................................................. 156
12.4 Ebenen ........................................................................................................................ 157
12.5 Die Normalenform der Ebene .................................................................................... 159
12.6 Die Umformung in die verschiedenen Formen .......................................................... 160
Parameterform Normalenform ................................................................................. 160
Normalenform Koordinatenform .............................................................................. 161
Koordinatenform Parameterform ............................................................................. 161
Koordinatenform Normalenform .............................................................................. 161
Parameterformform Koordinatenform ..................................................................... 162
Normalenform Parameterform ................................................................................. 162
12.7 Schnittwinkel .............................................................................................................. 163
12.8 Abstände ..................................................................................................................... 164
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Die Hessesche Normalenform (HNF) .............................................................................. 166
12.9 Abstand Punkt - Gerade.............................................................................................. 169
12.10 Abstand windschiefer Geraden ................................................................................ 171
13 Kreis und Kugel .................................................................................................................. 174
13.1 Kreis und Kugel allgemein .......................................................................................... 174
13.2 Aufstellen einer Kugel aus 4 Punkten ......................................................................... 177
13.3 Tangenten an Kugeln und Kreise ................................................................................ 179
13.4 Gemeinsame Tangenten an zwei Kugeln ................................................................... 182
13.5 Kugel und Ebenen ....................................................................................................... 184
13.6 Tangentialebene von beliebigem Punkt aus .............................................................. 187
13.7 Schnittkreis Kugel-Kugel ............................................................................................. 188
14 Exkurs ................................................................................................................................. 190
14.1 Polynomdivision ......................................................................................................... 190
14.2 Taylor Polynom (Taylor Reihen) ................................................................................. 191
14.3 Komplexe Zahlen ........................................................................................................ 192
Vorgriff: Anwendungen: ................................................................................................. 193
Rechenregeln: ................................................................................................................. 194
Zeichnerische Addition ................................................................................................... 195
Zeichnerische Multiplikation (einfache) ......................................................................... 196
Division von komplexen Zahlen ...................................................................................... 197
Gleichungen .................................................................................................................... 199
Polardarstellung von komplexen Zahlen ........................................................................ 200
Potenzen von komplexen Zahlen ................................................................................... 202
Der Körper der komplexen Zahlen ................................................................................. 204
Lösen von Gleichungen................................................................................................... 204
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0 Wiederholung
0.1 Klammern
Rechenreihenfolge:
Klammer vor Potenz vor Punkt-vor-Strich
Produkt von Summen:
+ ∙ + = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ Bsp.: 1 + 4 ∙ 7 − 3
= 7 − 3 + 28 − 12 −12² + 25 + 7
Bsp.: 1 + + ∙ − 2 − = 1 + + 2 − − 2 + = 2 − − 2 + + 2 − ² − 2 + ² + 2 − − 2 + − ! = − − − = − 2 + − = ³ − ² − 2² + 2² + ² − ³
= ! − 3 + 3 − !
Ausklammern:
− 2 = − 2
#$%$& '$(
$
Mathematik
=
$)#%*&+,*&+& $
= − + .
.
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0.2 Brüche
/
Zähler
!0
*
(
1
2
- Nenner nie Null
%$
Nenner
- Bruch: (Zähler) : (Nenner) Bsp.:
= ∙
.
!
/
3
45678
45678
= 9:;ℎ ∙ =>ℎ::;ℎ =
!'#
/
.
1 4 1+4 5
+ =
=
3
3
3 3
1 1 1∙3 1∙2 3 2 5
+ =
+
= + =
2 3 2∙3 3∙2 6 6 6
2 3
2
3
2 3
2 + 3
+ =
+ =
+ =
² ∙ ² ² ²
²
Schweres Beispiel:
=
7
1
7
1
+ =
+
− + − − − 2 + −
1 ∙ − 7 ∙ + 8 + 6
+
=
− + ∙ − − − ∙ + − ∙ + Mathematik
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0.3 Potenzen
a²
a³
∙ = ∙ ∙ ∙ ∙ = 0
!
∙ @ = '@
/ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ =
= 0
∙∙∙∙
= %@
@
3! 3 ∙ 3 ∙ 3
3 !
=
=A B
7! 7 ∙ 7 ∙ 7
7
=C D
33 = 33 ∙ 33 = 3E = 33∙
@ = @∙
Definition:
F = G
%G = G
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0.4 Wurzeln
H = H = &
*
&
Begründung:
)H- = .
)H- = &∙ = .
*
H = (
(
*
H = *2
*2
*
Rechenregeln:
H ∙ I = I ∙ H: I = KL
#
H + I ≠ I + N
N
)H- = C & D = &∙O = N∙& = H N
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*
*
*
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0.5 Gleichungen
2 + 4 = 7 − 3 | + 3
Immer alles auf beiden Seiten „machen“
2 + 4 + 3 = 7 − 3 + 3
2 + 7 = 7 | − 2
7 = 5 |: 5
/
0
=
Bsp.: 3 ∙ 7 − 4 = −2 C − 17D |: 3
#
)3 ∙ 7 − 4-: 3 = Q−2 C − 17DR : 3
2
7 − 4 =
7 − 4 =
%S
%./
&
!
∙ − 17
%
!
#
7 − 4 = − ! +
#
7 = − ! +
!
=
3T
#
!
22 = 46
!3
!
3T
!
= = ..
3T
Gleichung lösen:
1) Klammern auflösen
2) Zusammenfassen
3) Sortieren
4) Dividieren
5) Lsg. angeben
Mathematik
!
|+4
|+
#
!
|∙3
|: 22
Bsp.:
2 − 4 = −5 + 4 − 7
2 − 8 = −5 − 20 − 7
2 − 8 = −12 − 20 |+12| + 8
14 = −12
= − .3 = − /
.
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T
V = W− X
T
/
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Definitionsmenge: Y
Alle Zahlen die in eine Gleichung eingesetzt werden dürfen, sodass kein mathematisches
Gesetz verletzt wird.
2∙# =7
.
Y = ℝ ∖ \0]
2 ∙ H = 7
2H = 7
→
|: 2
+
ℝ
0
H = 3,5 |
= 10,25
H = ±3,5
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Rechnen mit 10er Potenzen
U = 15kV
I=0,1mA
_=
15 ∙ 10! `
15 ∙ 10! `
=
= 15 ∙ 10!%%3 Ω = 15 ∙ 10/ Ω
0,1 ∙ 10%! a 1 ∙ 10%3 a
Präfixe
c c>d 10
10.
= c>ef
0,1
10%.
1000 10!
m = nfllf
0,001
10%!
10r
k = ski
ℎ g>dhi 100
10
n n>o
10T
d dfli
q qfo
t t>:
v v>h
y y
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10.
10.0
10.E
= j>khf
µ = nfd:i
u = vfdi
w = x>khi
= ahli
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0,01
10%
10%T
10%r
10%.
10%.0
10%.E
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0.6 Lineare Funktion
∆
∆
o
Steigung: m
y-Achsenabschnitt: m = ∆#
∆L
o: = m + o = m + Punktprobe:
Liegt der Punkt 1|4 auf der Geraden = 2 − 0,5?
4 = 2 ∙ 1 − 0,5
4 ≠ 1,5
Punkt liegt nicht auf g.
Aufstellen von Geraden:
Gerade mit m=0,5 und y-Achsenabschnitt b=7
= 0,5 + 7
Gerade mit m=4 durch den Punkt 2|−1
= m + −1 = 4 ∙ 2 + = −9
o: = 4 − 9
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Gerade durch v−1|2 und |−3|−4
= m + |2 = m ∙ −1 + | + m
| = 2 + m|
|−4 = m ∙ −3 + | + 3m
2 + m = 3m − 4
6 = 2m
| = −4 + 3m|
|−m |+4
=2+m
3=m
=5
= 3 + 5
Zeichnen von Geraden
k
o: = 2 − 3
g
ℎ: m = −0,5
-1
-3
h
v2|−1
d: 2 − 4 + 2 = 0 | + 4 − 2
2 = 4 − 2 |: 2
= 2 − 1
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0.7 Quadratische Gleichungen
Einfache quadratische Gleichung:
² − 9 = 0 | + 9
² = 9 |H
.} = ±3
V = \3; −3]
4
3
3
² − = 0 | +
3
4
4
4
3
² =
3
4
² = .
r
.} = ±
|∙
3
4
3
4
|H
7² + 17 = 10 | − 17
7² = −7 |: 7
² = −1 |H
= ±H−1
da unter Wurzel nicht negativ!
V=∅=\ ]
− 4 = 0
!
/
² +
/
.!
=0
− 4 = 0
C/ + .!D = 0
SVNP: (Satz vom Nullprodukt)
SVNP:
. = 0
. = 0 oder
− 4 = 0 = 4
!
/
!
/
/
!
+
/
.!
=0
= − .! | ∙ !
/
/
= − !r
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3r
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Mitternachtsformel
a
b
c
2 − 8 + 8 = 0
p
q
a,b,c:
.} =
.} =
=
p,q:
.} = − ± K 3 − ƒ
%±H& %3$7
‚
$
%%E±I%E& %3∙∙E
∙
E±HT3%T3
=2
Wichtig: x²
alleine
3
‚²
2² − 8 + 8 = 0 |: 2
− 4 + 4 = 0
.} = −
=2
%3
± KC D − 4
%3
Wenn unter der Wurzel eine 0 steht, so hat die Gleichung nur 1 Lösung.
Der Term unter der Wurzel heißt auch Diskriminante D
D>0 zwei Lösungen
D=0 eine Lösung
D<0 keine Lösung
Bsp.:
− 4 + 8 = 0
Für welches a hat die Gleichung genau eine Lösung?
Bedingung: D=0
(Hier: Mit A-B-C-Formel gelöst)
² − „… = F
−4 − 4 ∙ ∙ 8 = 0
16 − 32 = 0 | − 16
−32 = −16 |: −32
=
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%.T
%!
=
.
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Rechenbeispiele mit Mitternachtsformel
4 − 8 = 0 4² − 8 + 0
.} =
%%E±I%E& %3∙3∙
=1±1
∙3
. = 0
=E±
E
HT3
E
V = \0; 2]
= 2
4 + 16 = 0 4² + 0 + 16
.} =
%±H& %3∙3∙.T
.} = E ±
Mathematik

∙3
H%0T
E
V=∅
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1 Funktionen
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung von Werten. D.h. einem x-Wert wird genau ein
y-Wert zugeordnet. (Nicht keiner oder 2)
Eine Funktion besitzt einen Definitionsbereich Y:
Bereich aus dem die x-Werte stammen.
Eine Funktion besitzt einen Wertebereich †:
Bereich aus dem die y-Werte stammen.
Hier: Cargo
Y = 50; 140
† = 3,8; 11,9
Intervall zwischen 50 und 140 jeweils eingeschlossen.
1.1 Eine Funktion kann beschrieben werden durch:
Funktionsterm = 0,001 − 0,1 + 6,3
Schaubild:
y
x
Wertetabelle:
x
y
100 7,1
120 8,9
⋮
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⋮
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1.2 Funktionsgleichung:
Funktion:
Namen
oe = e 3 − 2e + 1
Fkts-Term
w: = 2 + 4
o3 = 33 − 2 ∙ 3 + 1
w = 2 + 4
⟼ 2 + 4
= 81 − 6 + 1 = 76
=+2
=+1
v3|76
1.3 Besondere Geraden
1.
Gerade parallel zur x-Achse
Wenn eine Gerade parallel zur x-Achse ist, so gilt @ = F
w = 2. Zwei Geraden sind parallel, wenn @G = @‰ , d.h. die Geraden die gleiche Steigung haben.
3. Zwei Geraden schneiden sich senkrecht, wenn @G = − @
m. ∙ m = −1
G
‰
4. Geraden durch den Ursprung haben den Funktionsterm:
w = m ∙ Mathematik
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1.4 Proportionale Zuordnung
Mittelstufe:
→ 3 →7
∙2
6 → 14
Oberstufe: = m ∙ ∙2
D.h. eine Proportionalität ist eine lineare Funktion ohne y-Achsenabschnitt.
Gegenbeispiel:
Grundgebühr: 5€
1Ct/min
∙2
10 min → 5,10€
20 min → 5,20€
∙2
Die Steigung im Funktionsterm heißt auch Proportionalitätskonstante.
v:iui:hfikl
Bsp.: xŽ ~m
xŽ = o ∙ m
∆~∆h
∆ = ‘ ∙ ∆h
’~“
’ =_∙“
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1.5 Schnitte mit Geraden
1.5.1 Schnitte mit Achsen
y
g
P
Q
0
x
Eigenschaft von P
‚ = 0
Eigenschaft von Q
”• = 0
Bsp.: o1: = 3 − 7
Schnittpunkte mit den Achsen
x-Achse:
=0
0 = 3 − 7 =
y-Achse:
=0
/
!
= 3 ∙ 0 − 7 = −7
v C –0D
/
!
|0|−7
Definition:
Schnittstellen mit der x-Achse heißen Nullstellen (Nst.)
Schnittstellen mit der y-Achse heißen Ordinatenabschnitte
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1.5.2 Schnitte von Geraden
o2
Eigenschaften von s:
S liegt auf g1

S liegt auf g2
o1
Bsp.: o1: = 3 − 6
o2: = −2 + 4
SP:
Punktprobe muss wahr sein
— |— o1: — = 3 ∙ — − 6
o2: — = −2 ∙ — + 4
Gleichsetzen:
3— − 6 = −2— + 4 | + 2— + 6
5— = 10
|: 5
— = 2
In g1: — = 3 ∙ 2 − 6
— = 0
Kürzer:
2|0
o1 = o2
3 − 6 = −2 + 4
=2
= o12
2|0
Mathematik
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Seite 23
1.6 Anwendungen von linearen Funktionen
Regression von Messdaten
Abstände möglichst klein!
Durch eine Ausgleichsgerade soll ein ungefährer Mittelwert über die Messdaten gebildet
werden.
Vorgehen:
Durch die Punkte „Wolke“ wird eine Gerade so durchgezogen, dass die Summe der Fehler
(d.h. die Abstände zwischen Punkten und Gerade) minimal wird.
Die Gerade kann, muss aber nicht durch Punkte gehen.
Mathematik
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Seite 24
1.7 Mittelpunkt einer Strecke
n
∙
x
a
a™ |™ 9
94 |4 ∙ q
∆Ÿ
2
∙
∆
2
Strecke: Kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten
˜ = ™ +
= ™ +
=
=
#š %#›
#› '#š %#›
œš 'œ›
˜ = ™ +
= ™ +
=
∆#
∆L
Lš %L›
Lš 'L›
Begründung/Beweis:
 in der Hälfte.
Mittelpunkt M teilt die Strecke a9
 :
Länge an
l = žA
∆ ∆ B +A B
2
2
Wegen Satz des Pythagoras im Dreieck AFM
:
Länge n9
l = žA
∆ ∆ B +A B
2
2
Wegen Satz des Pythagoras im Dreieck MGB
Mathematik
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Seite 25
 = n9

Da an
 in der Hälfte.
M teilt a9
Anderes Beispiel für einen Beweis:
H2 ist irrational, d.h. H2 ist nicht aus ℚ
Beweisidee:
H2 = ¡
‚
2 = ¡&
‚&
|
ƒ =1
Mathematik
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Seite 26
1.8 Steigungs- und Schnittwinkel von Geraden
y
g
Steigungswinkel einer Geraden
ist der spitze Winkel zwischen
der x-Achse und de Geraden.
¤
∆
∆
Spitzer Winkel:
x
tan¤ =
0 ≤ ¤ ≤ 90°
∆
=m
∆
o: = −3 + 4 → 71,56° = ¤
ℎ: =
1
−2
2
→ 26,5° = ¤
1
l: = − + 2 → 26,5° = ¤
2
y
g
¤
x
Der Schnittwinkel zwischen zwei
Geraden ist der spitze Winkel den
die beiden Geraden am
Schnittpunkt haben.
h
tan¤ =
|m. − m |
1 + m. ∙ m
Schnittwinkel von g und h: ¤ = 81,87°
Mathematik
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Seite 27
1.9 Schargeraden
Bsp.: Dosenvolumen in Abhängigkeit von Höhe und Radius.
`5 ℎ = : ∙ § ∙ ℎ
Parameter
‘h = o ∙ h
Variable Parameter
Variable
( x-Achse)
Bsp.: w¨ = h ∙ + 2 Schargerade: Alle Geraden mit ©v0|2
y
w!
w.
2
w%
Mathematik
w. = 1 ∙ + 2
w! = 3 ∙ + 2
w% = −2 ∙ + 2
x
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Seite 28
2 Quadratische Funktion
2.1 Quadratische Funktion Allgemein
+ ein lineares Glied ∙ w = ∙ + w = ∙ + ∙ + mfh ≠ 0
Schaubild einer quadratischen Funktion nennt man Parabel.
Scheitel/Scheitelpunkt
Der Punkt mit dem größten bzw. kleinsten Funktionswert heißt Scheitelpunkt der Parabel:
y
y
x
x
x
x
Nullstellen
Nullstellen sind die Punkte, wo die Parabel die x-Achse schneidet. wª = 0
y nullsetzen.
Normalparabel
= + oder: w = ² + Mathematik
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Seite 29
2.2 Scheitelpunktform der quadratischen Funktion
Hauptform:
= + + Bsp.: = 2 + 12 + 1
Ziel:
= ∙ − + >
Scheitel |>
= 2 + 12 + 1
Binom
= 2 + + 1
Binom: ² + 2 + ² = + ²
= 2 + 2 ∙ 3 + 3 − 3 + 1
= 2 ∙ + 3 − 3² + 1
= 2 ∙ + 3 − 2 ∙ 3 + 1
= 2 ∙ + 3 − 17
©−3|−17
Scheitelpunkt ist der Punkt mit min/max Funktionswert.
= 2 ∙ + 3 − 17
≥0
Die Klammer wird 0 für: = −« → ¬ = −G­
Für ≠ −3 ist das Quadrat der Klammer positiv.
> −17
Mathematik
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Seite 30
2.3 Nullstellenform oder Zerlegung in Linearfaktoren
Bsp.: w = 3 + 2 − 4
Nst.:
w = 0
CAS:
. = −
°
H.!'.
!
H.!%.
!
Satz vom Nullprodukt:
3 ∙ C − D ∙ −
%H.!'.
!
∙ − . − = 0
H.!%.
!
Nullstellenform
w = 3 ∙ C −
Bsp.2:
Nst.:
CAS:
D ∙ − C
%H.!'.
!
H.!%.
D
!
ℎ = 2 − 8
ℎ = 0
. = 2
= −2
SVNP: 2 ∙ − 2 + 2 = 0
ℎ = 2 − 2 + 2
Definition:
Die Darstellung einer quadratischen Funktion in der Form:
w = − . − heißt Nullstellenform der quadratischen Funktion. Dabei sind . und die Nullstellen der
Funktion.
Mathematik
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Seite 31
Bsp.: Eine quadratische Funktion habe die Nullstellen . = 1 und = −2. Weiterhin geht
sie durch den Punkt 3|4. Bestimmen Sie die Funktion.
1. Möglichkeit: Nullstellenform
w = ∙ − . − Einsetzen:
w = − 1 − −2
P einsetzen:
4 = 3 − 13 − −2
4 =∙2∙5
=
3
.
=
0
w = − 1 + 2
0
2. Möglichkeit
Nst.:
v. 1|0
. = 1
Vergleiche Gerade:
= m + = −2 v −2|0
v! 3|4
Hauptform:
I
= + + II
I.
II.
III.
CAS:
4 =m∙1+
v. 1|4
v 3|7
7 =m∙3+
0 = ∙ 1 + ∙ 1 + 0 = ∙ −2 + ∙ −2 + 4 = ∙ 3 + ∙ 3 + = 0; = 0; = −0
3
w: = 0 + 0 − 0
Mathematik
3
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Seite 32
2.4 Arten von Nullstellen
o
y
3
-1
x
w
w = ) − −1-) − +3o = 2 + 1 − 3
ℎ
y
= + 1 − 3
x
1
ℎ = − 1 + 0
− — + —
ℎ = − 1
= − 1 − 1
m = + 1 + 1
y
-1
Mathematik
x
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Seite 33
1. Einfache Nullstelle:
w = ⋯ −  . …
y

x
2. Doppelte/Zweifache Nullstelle:
y
w = ⋯ −  …
x
-1
3. Dreifache Nullstelle:
w = ⋯ −  ! …
Mathematik
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Seite 34
2.5 Verschieben von Funktionen
= w + Durch die Addition von dem Wert wird die Funktion um
diesen Wert nach „oben“ bzw. „unten“ verschoben. Sprich
es findet eine Verschiebung parallel zur -Achse statt.
= w − Wenn man anstatt für „ − “ einsetzt, so wird die Funktion
um den Wert parallel zur -Achse verschoben. Für ein negatives
nach „links“ und für ein positives nach „rechts“.
= ∙ w
Durch die Multiplikation von wird die Funktion gestreckt
oder gestaucht. Die gilt für ein positives .
= −w
Durch die Multiplikation mit −1 wird die Funktion an der
-Achse gespiegelt.
= ∙ w mit < 0
Hier ist die Kombination. Es wird um den Wert a gestreckt
und an der x-Achse gespiegelt.
= ∙ w − + Hier die vollständige Kombination. Es wird um den Faktor
gestreckt, um den Wert parallel zur -Achse und um den
Wert parallel zur -Achse verschoben.
Mathematik
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Seite 35
2.6 Lage von Geraden und Parabeln
Begriffe:
Kostenfunktion:
Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Stückzahl K(x)
Erlösfunktion:
Einnahmen beim Verkauf von x-Stück E(x)
Gewinnfunktion:
Einnahmen - Kosten: G(x)=E(x)-K(x)
Nutzenschwelle:
Stückzahl ab der Gewinn gemacht wird.
Nutzengrenze:
Stückzahl bis zu der Gewinn gemacht wird.
Beispiel:
= = E + + 200
.
0 ≤ ≤ 90
!
Erlös pro Stück 14€
y = 14
y
K
E
q = 14 − CE + + 200D
.
!
Schnittpunkte:
y = =
x
14 = + + 200
.
E
!
. = 20
= 80
= − 4 + 3H3
Verschieben Sie die Parabel so, dass sie mit der x-Achse einen gemeinsamen Punkt hat.
Neue Funktion:
Nst.:
ℎ´ = − 4 + 3H3 + ℎ´ = 0
− 4 + 3H3 + = 0
Für genau eine Lösung: D=0 (Diskriminante) Hier: p-q-Formel angewendet
%3 C D − )3H3 + - = 0
Mathematik
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Seite 36
4 − 3H3 − = 0
| − 4 | + 3H3 | ∙ −1
= 4 − 3H3
→ ℎ = − 4 + 3H3 + 4 − 3H3
= − 4 + 4
= − 2 ∙ 2 + 2
= − 2
w = 2 − 4 + 1
oµ = m − 4
Bestimmen Sie m so, dass Parabel und Gerade genau einen Punkt gemeinsam haben.
SP:
w = oµ 2² − 4 + 1 = m − 4
2 − 4 − m + 5 = 0
| − m + 4
2 − 4 + m + 5 = 0 −
Genau eine Lösung, wenn D=0
Q
3'µ
&
&
R − =0
µ&
.T
3'µ
+
0
0
−=0 |+
0
µ&
.T
=
0
0
| ∙ 16
m² = 40 |H
m.} = ±2H10
Mathematik
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Seite 37
2.7 Monotonie
v. fallend
steigend
v fallend
steigend
v— steigend
steigend
fallend
w . w. Wir nennen eine Funktion monoton steigend, wenn > .
w ≥ w. Wir nennen eine Funktion monoton fallend, wenn > .
w ≤ w. Mathematik
≤ .
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Seite 38
3 Potentzfunktion
3.1 Potenzfunktionen allgemein
Potenzfunktion:
Sind alle Funktionen mit einem Term der Form N . n=Grad der Potenzfunktion Alle reellen
Zahlen.
%N :
w%. = %. = # und w%/ = %/ = # 2 alle reelle Zahlen außer 0!
.
.
ℝ: reelle Zahlen ( alle Zahlen)
ℕ: natürliche Zahlen 1,2,3,4,…
3.2 Symmetrie bei Potenzfunktionen:
ℤ: ganze Zahlen …-4,-3,-2,-1,0,1,2…
Bei geraden Exponenten:
Die Schaubilder sind achsensymmetrisch zur y-Achse.
Es gilt: w− = w
Gerade natürliche Zahlen n:
Gerade neg. ganzen Zahlen -n:
w− = −N = N = w
w− = −%N = %#O = # O = %N = w
.
.
Definition: Die Funktion w = µ mit m ∈ ℤ ∖ \0] heißt Potenzfunktion
m gerade
m ungerade
m>0
m>0
w = ²
m ungerade
m gerade
w = %!
w = % =
m<0
m<0
Mathematik
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1
Seite 39
3.2.1 Symmetrie zur y-Achse
w = ²
−


w− = w @ gerade: Alle Funktionen Achsensymmetrisch
w− = −µ = µ = w
3.2.2 Punktsymmetrie
−
∆
∆
0

−
∆
∆

= Punktsymmetrisch
w− = −w Mathematik
@ ungerade:
Alle Funktionen sind
Punktsymmetrisch
w− = −µ = − µ = −w
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Seite 40
3.2.3 Achsensymmetrie zu einer allgemeinen Senkrechten
-x
x
Verschiebung in
x-Richtung
w− = w → w3 − = w3 + w → w − 3
² → − 3²
Bedingung für Symmetrie:
« − = « + (zur Achse x=3)
Symmetrie zur y-Achse
w = 3 + 3
Bedingung:
w− = w w− = − 3 + 3 = 3 + 3 = w f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse
oe = −e 3 + 2e − 1
o−e = oe
Mathematik
o−e = −−e3 + 2−e − 1
o−e = −e 3 + 2e − 1
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Seite 41
− ²

− 
+ 
Symmetrisch zu x=a
w −  =  = w +  Bedingung für Achsensymmetrie zur Achse x=a
w − = w + Bsp.: w = 3 − + 2
Vermutung: Achsensymmetrisch zur y-Achse: a=0
w0 −  = 0 −  3 − 0 −  + 2
= 3 −  + 2
= w = w0 +  Bsp.2:
o = −0,1 − 2 ∙ + 4
Vermutung: Achsensymmetrie zu x=-1
o − = o−1 − = −0,1)−1 − − 2- ∙ )−1 − + 4-
= −0,1− − 3 ∙ − + 3
Mathematik
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Seite 42
= −0,1−1 ∙ − 3 ∙ −1 ∙ + 3
= −0,1)−1 + − 2- ∙ )−1 + + 4-
= −0,1−3 + ∙ + 3
= o−1 + Achsensymmetrie zu x=-1
3.3 Das Verhalten von Potenzfunktionen: für → ±∞
y
0 3
x
w = 3
Für → +∞: w → +∞
Für → −∞: w → +∞
o = 0
Für → +∞: o → +∞
Für → −∞: o → −∞
ℎ = − T
Für → +∞: ℎ → −∞
Für → −∞: ℎ → +∞
m = − /
Für → +∞: m → −∞
Für → −∞: m → +∞
Mathematik
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Seite 43
Mathematische Schreibweise:
lim#→'» w → +∞
lim#→'» o → +∞
lim#→%» w → +∞
Problem:
d =
CAS: limit(f(x),x,∞)
%.
#&
= − %
lim#→'» d = 0
lim#→%» d = 0
k =
1
0
lim#→, d → −∞
Y ∖ ℝ\0]
Y ∖ ℝ\0]
lim#→, k → +∞
lim#→¼ d → −∞
lim#→'» k = 0'
lim#→¼ k → −∞
1
+2
− 20
lim#→%» k = 0%
Definition:
Linien/Kurven an die sich eine Funktion immer näher annähert heißen Asymptoten.
Waagerechte
Asymptote
senkrechte
Asymptote
Mathematik
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Seite 44
4 Ganzrationale Funktionen
4.1 Ganzrationale Funktionen allgemein
Definition:
Eine Funktion der Form:
w = N ∙ N + N%. ∙ N%. + N% ∙ N% + ⋯ 
heißt Ganzrationale Funktion n-ten Grades.
n=natürliche Zahl
Bsp.:
w = 2 ! + 21 + + 1
! ∙ ³ + ∙ ² + . ∙ . +  ∙ 
GRF von Grad 3
o = −2 − 7 + 15
o = + + = + . . + 
GRF von Grad 2
4.2 Nullstelen von Ganzrationale Funktionen
Bsp.:
w = − 2 + 1
w = 0
− 2 + 1 = 0
.} = 1
w = 3 − 2 + 1
Methoden zur Bestimmung von Nullstellen:
1. Zerlegung in Faktoren
o = ! − 2 + ℎ = / − 219
o = 0 → ! − 2 + → − 2 + 1 = 0
SVNP: . = 0 }! = 1
Mathematik
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Seite 45
d = / + T − 3
= 3 ! + − 1
Nst.:
d = 0
3 = 0 i>: ! + − 1 = 0
.}}!}3 = 0 0 = 0,754 …
2. Substitution
w = 3 + 2 − 4
w; = ;3 + 2; − 4
Substitution
Nst.:
e = we = e + 2e − 4
we = 0
e + 2e − 4 = 0
e.} =
%±I& %3∙.∙%3
∙.
e. = −1 + H5
Resubstitution
e = .} = ±He.
. = I−1 + H5
e = −1 − H5
!}3 = ±He
= −I−1 + H5
! = I−1 − H5
3 = −I−1 − H5
Mathematik
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Seite 46
4.3 Verhalten von Ganzrationalen Funktionen → ±∞
Bsp.: w = − / 3 + 20 !
Problem:
lim#→» w → "-∞" + " + ∞"
keine direkte Aussage möglich
Lösung:
w = − 3 + 20 !
/
= − 3 C −
lim#→» w
!
/

#&
D
= lim#→» ¿− 3 ∙ C/ − # & DÀ
!

3
"-∞" ∙ − 0
7
→ −∞
lim#→» w → −∞
lim#→%» w
lim#→%» − 3 ∙ C −
!
/

#&
"-∞" + dikh.
D
→ −∞
lim#→%» w → −∞
Feststellung:
Die höchste Potenz einer Ganzrationalen Funktion bestimmt das Verhalten der Funktion für
→ ±∞
Mathematik
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Seite 47
4.4 Das Aufstellen von Ganzrationalen Funktionen
Eine Ganzrationale Funktion von Grad 4 geht durch die Punkte
a1|1 92|4 j7|49 c−1|4 y0|0
Idee: Vgl. 3 Punkte in Parabel
w = 3 ∙ 3 + ! ∙ ! + ∙ + . ∙ . + 
I w1 = 1
II w2 = 4 III w7 = 49 IV w−1 = 4
CAS:
. = −
7
8
=
39
16
! = −
5
8
3 =
w0 = 0 ←  = 0
1
16
Übung:
Eine Punktsymmetrie (zum Ursprung), Funktion 5. Grades geht durch die Punkte
a1|−4 93|6 j4|9 c0|0
1. Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung
3 = =  = 0
w = 0 ∙ 0 + ! ∙ ³ + . ∙ .
I w1 = −4 II w3 = 6 III w4 = 9
CAS:
. = −
145
28
! =
103
84
0 = −
w = − . 0 +
.
Mathematik
.!
E3
1
21
! −
.30
E
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Seite 48
4.5 Stetigkeit
Eine Funktion wird stetig genannt, wenn ihr Graph in einem Zug durchzuzeichnen ist (d.h.
ohne Absetzen des Stiftes)
Gegenbeispiel:
1
w =
Porto
140ct
110ct
55ct
20g
500g
4.6 Ordinatenaddition
Zeichnen ohne CAS
d = ! + d. = !
d = l; = ℎÃ:e + :ih
Mathematik
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Seite 49
5 Differentialrechnung
5.1 Die Änderungsrate
Die mittlere Geschwindigkeit in einem Zeitintervall h. ; h kann berechnet werden durch
‘Ä =
—¨& %—¨* C=
¨& %¨*
∆—
Ƭ
D
Verallgemeinerung:
Der Quotient:
Å#& %Å#* #& %#*
heißt Änderungsrate der Funktion f(x) im Intervall . ; Geometrisch:
Die Steigung der Verbindungsgeraden der beiden Punkte v). Æw. - und |) Æw x
-1
0
1
3
6
f(x) -1 -2 -1 7 34
m -1 1 4 9
w = − 2
m=
Å#& %Å#* Mathematik
#& %#*
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Seite 50
5.2 Von der Änderungsrate zur Steigung in einem Punkt
x
x
Q
Q‘
x Q‘‘
P x
Änderungsrate zwischen P und Q ist die Steigung der Verbindungsgeraden (Sekante I).
(Physik: Durchschnittsgeschwindigkeit)
Durch Verschiebung des Punktes Q (Q‘Q‘‘Q‘‘‘…) wird schließlich aus der Sekante
eine Tangente. Die Steigerung der Tangente ist die Steigung der Funktion im Berührpunkt.
w = 5 Steigung im Punkt . = 3
m = ∆#
∆L
=
=
=
=
Å!'8%Å!
!'8%!
0∙!'8& %0∙!&
8
0∙)!& 'T8'8& -%0∙!²
!8'08&
Mathematik
8
8
= 30 + 5 ∙ ℎ
3 3+h
Steigung der Tangente
für ℎ → 0
m¨ = lim 30 + 5 ∙ 0 = 30
8→
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Seite 51
Wird der Punkt Q immer näher an P „heran geschoben“, so
Q x wird aus der Änderungsrate im Intervall “ = Ç ; È die
ª •
lokale Änderungsrate im Punkt P. Diese stellt auch die
Steigung der Tangenten an die Funktion im Punkt P dar und
heißt auch Ableitung der Funktion im Punkt P.
x
Q‘
x
P
Der Term zur Berechnung der Änderungsrate
Å)#É -%Å#Ê #É %#Ê
heißt Differenzquotient. Der Term
zur Berechnung der Ableitung heißt Differenzialquotient. lim8→
Å#Ê '8%Å#Ê #Ê '8%#Ê
Für den Wert des Differentialquotienten existieren mehrere Schreibweisen:
m¨,Å =
´Å#Ê ´#
= wª = ´# = w Ë ª ≠ wª ´L
Steigung
Funktion
Bsp.:
Steigung der Funktion
1) o = 2³
2) ℎ =
in  = 4
1)
oË  = lim8→
= lim8→
= lim8→
= lim8→
= lim8→
= lim8→
in = 7
.
#
Ì#Í '8%Ì#Í #Í '8%#Í
3) m = 2 − 4
in = 21
∙#Í '8³%∙#Í ³
8
∙3'8( %∙3
8
∙)3( '!∙3∙8& '!∙3& ∙8'8( -%.E
8
.E'38& 'rT8'8( %.E
8
rT8'38& '8(
8
= lim8→ 96 + 24ℎ − 2ℎ
= 96
Mathematik
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Seite 52
2)
ℎ =
ℎË = lim8→
CAS:
3)
8#'8%8#
#'8%#
ℎË 7 = − 3r
m = 2 − 4
mË 21 = lim8→
CAS:
=7
.
#
.
= 21
µ.'8%µ.
mË 21 = 2
8
Bedeutung in der Physik
Strecke
s(t)
Änderungsrate
Ableitung
Durchschnittsgeschwindigkeit
im Intervall “ = h. ; h
Momentangeschwindigkeit
“ = h. ; h
‘Ä =
Geschwindigkeit
v(t)
Mathematik
∆
∆h
‘h. =  Ë h. ∆‘
∆h
h. = ‘ Ë h. Mittlere Beschleunigung im
Intervall h. ; h
=
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Momentane Beschleunigung
Seite 53
5.3 Die Ableitungsfunktion
w
m=1
=
m=-2
1
− 1 + 0,5
2
Funktion

w Ë Funktion
m=0
w Ë  w Ë  = − 1
x _2|1
x
v1|0

|−1|−2
x
Mathematik
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Seite 54
5.4 Die Schaubilder der Ableitungsfunktion - Grafische Ableitung
Schaubild der Funktion f(x)
Schaubild der Funktion
w′ 
w′ 
w′ 
Mathematik
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Seite 55
w
w
+
w′
w′
w′
w′
=
Verschiebung nach oben/unten sind für das Schaubild der Ableitungsfunktion gleichgültig.
Verschiebung links/rechts verschiebt auch die Ableitungsfunktion.
Steigung: -2
w′
w′
Steigung positiv
pos. Steigung
pos. Steigung
neg. Steigung
Mathematik
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Tiefpunkt von
f‘(x) ist das
größtmögliche
Gefälle von f(x)
Seite 56
w
Ableitung
Integrieren
Aufleitung
Integrieren
Differenzieren
Ableitung

Aufleitung
x Integralfunktion

h
Ableitung
Ableitung
‘h
h
h
h
h
h
‘
h
h
h
‘h
h
h
h
‘h
h
Mathematik
w′
Differenzieren
h
h
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h
Seite 57
5.5 Ableitung der Potenzfunktion
v.
v
m=
ÏL
#ÍO 'N∙8∙#ÍO¼* '8& ∙Ð %#ÍO
8
&
*
Å#Í '8%Å#Í =
8
8∙)N∙#ÍO¼* '8∙Ð8
+ = + 2 + + ! = ! + 3 + 3 + !
w Ë lim8→ m8 = k ∙ N%.
3 + ℎ
L %L
mfh k ≠ 0
8
m8 =
m=
 + ℎ
#Í '8O %#Í O
Fall A: k > 0
ℎ ∙ t:

m = Ï# = #& %#*
m8 = k ∙ N%.
t
Fall B: k < 0
k = −d
m8
 + ℎÑ
Ñ
1
1
−
−
 + ℎN − N  + ℎÑ Ñ Ñ ∙  + ℎÑ Ñ ∙  + ℎÑ
=
=
=
ℎ
ℎ
ℎ
Í
− 8∙#
# Ò '#Í '8Ò
=−
Ò Ò
Í '8 ∙#Í
=−
Ñ∙#ÍÒ¼* ' 8∙Ð
#Í '8Ò ∙#ÍÒ
#ÍÒ 'Ñ∙8∙#ÍÒ¼* '8& ∙Ð %#ÍÒ
8∙#Í '8Ò ∙#ÍÒ
w Ë = lim8→ m8 =
−d ∙ Ñ%. ∙ %Ñ = −d ∙ %Ñ%. = k ∙ N%.
Mathematik
Ñ∙#ÍÒ¼*
#ÍÒ ∙#ÍÒ
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Seite 58
Potenzregel
Für w = N mit k ∈ ℕ ist.
Für w Ë = k ∙ N%.
w = w Ë = 2.
Ableitung
Parabel
Gerade
w = → w Ë = 2.
Funktion 3. Grades
w = ! → w Ë =
Parabel
w = N Ableitung w Ë = k ∙ N%.
 + ℎ =  + 2ℎ ∙  + ℎ²
 + ℎ! = ! + 3 ∙ ℎ + 3 ∙ ℎ + ℎ!
 + ℎ3 = 3 + 4! ∙ ℎ + 6 ∙ ℎ + 4 ∙ ℎ! + ℎ3
 + ℎN = N + k ∙ N%. ∙ ℎ +
N% ∙ ℎ +
Mathematik
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N%! ∙ ℎ! +
ℎ _>h
∙
t
Seite 59
5.6 Bestimmung von Hoch/Tiefpunkt
1. Notwendige Bedingung m=0
w
2. Hinreichende Bedingung
m=0
HP:
Vorher Steigung positiv
Nachher Steigung negativ
m=0
Ъ
Óª
Vorzeichenwechsel der Steigung
TP:
Vorher Steigung negativ
Nachher Steigung positiv
Vorzeichenwechsel der Steigung
Überlegung am Schaubild von w Ë w′
m
+
Vzw m > 0
+
Steigung > 0
Vzw
-
TP
HP
m<0
Steigung < 0
Nullstellen von w Ë mit Vorzeichenwechsel
Mathematik
von + -
HP
von - +
TP
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Seite 60
5.7 Bestimmung des Scheitels einer Parabel 2ter Ordnung
Bisher quadratische Ergänzung
w = − 3 + 4
w = − — + —
w = − 3 + 4
= − 2 ∙ 1,5 + 1,5 − 1,5 + 4
= − 1,5 − 1,5 + 4
= − 1,5 + 1,75
©1,5|1,75
Neu: Ableitung
Im Scheitel gilt Ë Ô = F
w Ë = 2 − 3
Scheitel:
w Ë = 0
2 − 3 = 0
Ô = 1,5
¬Ô = w— = 1,5 − 31,5 + 4
= 1,75
©1,5|1,75
Mathematik
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Seite 61
5.8 Tangenten an Funktion
1. Punkt auf Funktion
w
h
ª
x
Idee:
Steigung der Tangenten
= Steigung von w in ª
Tangente muss Punkt P enthalten
Punkt-Steigungsform
Bsp.: w = − ! + 2 − 4
v)1Æw1-
Tangente durch P:
w1 = −1! + 2 ∙ 1 − 4 ∙ 1
= −3
Steigung von w bei = 1
w Ë = −3 + 4 − 4
Steigung in = 1
w Ë 1 = −3 ∙ 1 + 4 ∙ 1 − 4
= −3 = m¨
Tangente:
h: = m + m = −3
= −3 + Mathematik
v in h:
−3 = −3 ∙ 1 + 0=
h: = −3
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Seite 62
2. Tangente an Kurve von kurvenfernen Punkt
∆
|
x
xv
t
∆
w
m = ∆#
∆L
w Ë )• - =
|.
#Ê %#É
• = w• Ë )Õ - =
geg.: w = − + 4
LÊ %LÉ
¬Ö %)Õ Ö %Õ
v1|6
LÊ %Å)#É -
x
#Ê %#É
= w Ë )• -
w Ë = −2
Einsetzen:
&
T%)%#É
'3-
|
.%#É
CAS:
w
= −2•
. = H3 + 1
= −H3 + 1
Um die Berührpunkte |. und | zu bestimmen • in w einsetzen.
w)• , 1- = −2H3
|. )H3 + 1Æ−2H3-
w)• , 2- = 2H3
| )−H3 + 1Æ2H3-
Aufstellen der Tangente (wie bisher)
Mathematik
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Seite 63
5.9 Extremwertaufgaben
w = E ! − 3 + 6
.
!
=Å#
v;|w;
_0|0
v;|0
ges.: Dreieck mit maximaler Fläche.
0≤;≤4
Vorgehensweise:
0) Skizze
1) Dreiecksfläche:
a = o∙ℎ
.
a; = ; − 0 ∙ w; − 0
.
a; = ; ∙ w;
.
a; = ; ∙ C ;! − ; + 6D
.
.
E
!
3
Wichtig: Hier darf kein „x“ mehr stehen!
2) Randbedingungen: 0 ≤ ; ≤ 4
3) Bestimmen von max./min. Wert der Zielfunktion
EW:
aË ; = 0
aË ; = 3 ;! − E ; + 3
.
CAS:
4) Antwort
Mathematik
r
;. = −1,4 fh l;h _k>fko;ko ;o>ℎli>k
; = 2,378
;! = 3,545
aus Graph: HP
aus Graph: TP
a; = 4,08986 xy Wichtig: Nicht vergessen die Randwerte zu prüfen!
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Seite 64
5.10 Wendepunkte
w = ! − 4 + 3
Definition:
Ein Wendepunkt eines Schaubildes ist der
Punkt an dem das Schaubild seine Krümmung von
rechts nach links bzw. von links nach rechts ändert.
Anmerkung:
Die Wendepunkte sind die Punkte mit max./min. Steigung!
Gesucht: Extremwerte der 1. Ableitungsfunktion
Notwendige Bedingung:
Ë
w ËË = 0
, da )w Ë - = 0 die Extremwerte von w′ sucht
oder
, da w′′ die Krümmung angibt.
w ËË < 0 rechtsgekrümmt
w ËË > 0 linksgekrümmt
w ËË = 0 nicht gekrümmt
Vorsicht: Allein w ËË = 0 reicht nicht um sicher sagen zu können Wendepunkt.
w = 3 + 3 + 4
w Ë = 4 ! + 3
w ËË = 12 w ËËË = 24
w ×Ø = 24
WP: w ËË = 0 12 = 0
Mathematik
. = 0
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Seite 65
Hinreichende Bedingung:
w ËËË > 0 Wechsel von rechts nach links gekrümmt
w ËËË < 0 Wechsel von links nach rechts gekrümmt
Vorsicht für w ËËË = 0!
Mehr Gedanken (Siehe 5.13)
Angabe der Bereiche:
Zum Beispiel:
−∞; 2 rechtsgekrümmt
. ; rechts/linksgekrümmt
Allgemein:
Offene Klammern bedeuten, dass die angegeben Zahl nicht mehr dazugehört. Sind die
Klammern geschlossen, so gehören sie dazu.
5.11 Mehrfache Ableitungen
Die Ableitung einer Ableitungsfunktion heißt zweite Ableitung.
w Ë ′ = w ËË Analog
w ×Ø vierte
w N = ´# & = w
´& Å
Ë Ë
C)w Ë - D = w ËËË dritte Ableitung
w 3 = w ×Ø w = 3 3 + 2 w ËËË = 72
Mathematik
w Ë = 12 ! + 4
w ×Ø = 72
w ËË = 36 + 4
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Seite 66
5.12 Anwendung der zweiten Ableitung
Bestimmen von Hoch-(HP)/Tiefpunkten(TP)
HP:
Bei einem HP ist die Krümmung rechts
w ËË Óª < 0
Óª
Für TP: w ËË Ðª > 0
TP:
Ъ
Bsp.:
1) Nst.
2) EW
Nst.:
w = ! − 3
w = 0
! − 3 = 0
EW:
. = 0
}! = ±H3
s. 0|0
s )H3Æ0-
w Ë = 0
s! )−H3Æ0-
w Ë = 3 − 3
3 − 3 = 0
3}0 = ±1
Mathematik
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Seite 67
Überprüfung HP/TP
w ËË = 6
w ËË 1 = 6 > 0
TP
w ËË −1 = −6 < 0 HP
y-Werte der HP/TP
w1 = −2
tv1| − 2
w−1 = 2
gv−1|2
Zeichnung:
Mathematik
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Seite 68
5.13 Weiterführender Gedanke:
Problem:
Bedeutung:
w ËË = 0 und w ËËË = 0
w ËË = 0
w ËËË = 0
Krümmung 0
Änderung der Krümmung = 0
Ähnliches Problem:
Bedeutung:
w′ = 0 und w′Ë = 0
w Ë = 0
w ËË = 0
keine Steigung
keine Änderung der Steigung
Ähnliches Problem:
w = 0 und w Ë = 0
w = 0 ;k w Ë = 0
Berührpunkt
kein SP, d.h. kein Vzw. der Funktion
y-Wert bleibt positiv oder negativ
Für w Ë = 0 und w ËË = 0
d.h. die Steigung hat keinen Vzw, d.h. Steigung bleibt positiv oder negativ
w
w′
Für w ËË = 0 und w ËËË = 0
d.h. Krümmung hat kein Vzw., d.h. die Funktion ist vorher rechts- bzw. linksgekrümmt
und bleibt rechts- bzw. linksgekrümmt
Mathematik
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Seite 69
Für eine „echte“ Nst braucht man einen Vzw
von w
Für einen EW braucht man einen Vzw von
w Ë Für einen WP braucht man einen Vzw von
w ËË „Mehr Gedanken“ heißt, hat die Funktion
w Ë für EW
w ËË für WP
einen Vorzeichenwechsel
Bsp.: w = 48 + 0,25 ! w′′
w Ë = 32 + 4 !
w ËË = 12 w ËËË = 24
WP:
w ×Ø = 24
w ËË = 12 = 0
Kein Vzw
. = 0
kein WP
w ËËË . = 24 ∙ 0 = 0
Bsp.2: w = 48 + 0,25 3 w Ë = 32 + 5 3
w ËË = 20 !
w ËËË = 60 w ×Ø = 120
w Ø = 120
Mathematik
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Seite 70
WP:
w′′
w ËË = 0
20 ! = 0
. = 0
w ËËË . = 60 ∙ 0 = 0
Vzw
WP von w
Für EW:
o = 3 ! − 4
o′
oË = 9 oËË = 18
oËËË = 18
EW:
kein Vzw
oË = 0
kein EW
9 = 0
. = 0
oËË . = 18 ∙ 0 = 0
ℎ = 3 3 − 4
ℎ′
ℎË = 12 !
ℎËË = 36 ℎËËË = 72
ℎ×Ø = 72
EW:
ℎË = 0
Vzw
EW
12 ! = 0
. = 0
ℎËË . = 36 ∙ 0 = 0
Mathematik
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Seite 71
Einfache Nullstelle:
w = 0
w Ë ≠ 0
Doppelte Nullstelle: w = 0
w Ë = 0
w ËË ≠ 0
Dreifache Nullstelle: w = 0
w Ë = 0
w ËË = 0
w ËËË ≠ 0
Mathematik
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Seite 72
5.14 Wendetangenten
Definition: Die Wendetangente(n) sind die Tangenten der Funktion, in dem(n)
Wendepunkt(en)
Bsp.:
w = ! − 3 − 5
.
1) Bestimmung des WP
2) Steigung der Funktion im WP
3) Tangente über Punkt-Steigungsform (o.ä.)
Bestimmung des WP:
w Ë = − 6 − 5
!
w ËË = 3 − 6
WP:
w ËËË = 3
w ËË = 0
3 − 6 = 0
. = 2
Überprüfung: w ËËË . = 3 ≠ 0 WP
y-Wert des WP:
w. = −18
Ùv2|−18
Steigung der Funktion im WP:
w Ë . = 2 − 6 ∙ 2 − 5 = −11 = m¨
!
Tangentengleichung:
t:
t:
= m + m¨ in h:
WP in h:
= −11 + −18 = −11 ∙ 2 + = −11 + 4
Mathematik
=4
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Seite 73
5.15 Ortskurve/Ortslinie
Die Ortslinie ist die Kurve auf der die HP (oder TP/WP…) „wandern“…
Ortslinie
2 4!
Ùv Q Ú
R
3 27
=
$
!
= !
Setze in Ûª ein:
4!#³
=
27
Ortslinie = !
.
h = ‘ ∙ h
h = o ∙ h .
1
A‘ ∙ hÜ oh B
2
1 ‘ =
∙
2o
Mathematik
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Seite 74
5.16 Kontrolle der Randwerte
0) Skizze
o
=0
w
B
x
xA
1)
2)
0<;<3
 = 9 − a
a9
a9; = w; − d;
a9; = ; − ;; − 12
.
3
3)
a9; = ; − ;! + 3; = − ;! + 4;
.
3
3
a9 Ë ; = − ; + 4
3
EW:
a9 Ë ; = 0
!
.
− 3 ; + 4 = 0
!
;. = ! H3
3
HP
; = − H3 TP liegt nicht in Y
!
3
Mathematik
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Seite 75
6 Integralrechnung
6.1 Fakten und Herleiten des Integrals
Für viele Fragestellungen ist der Flächeninhalt zwischen Funktion und der x-Achse
wichtig
Flächeninhalte können durch „Kästchen-zählen“ bestimmt werden
Je kleiner die Kästchen werden, umso genauer wird das Ergebnis
Der Wert der Änderungsrate/Ableitungsfunktion war ablesbar an der y-Achse Schaubilder waren meist die Ableitungsfunktion/Änderungsraten Aufleitung
interessant Grundfunktion
Es gibt so etwas wie „negative“ Flächen (unterhalb der x-Achse)
Mathematisierung:
w = 3
a; = ; − 0 ∙ w; − 0 = 3 ∙ ;
;
w = a; = ∙ ; − 0 ∙ w; − 0 = ;
.
.
;
Mathematik
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Seite 76
w = 7
a; = ∙ ; − 0 ∙ w; − 0
.
= ∙ ; ∙ 7; = ;²
.
/
;
w = ²
a; = ;³?
!
.
;
a3
ar
aE
a!
a
a.
a.
a
a aa.
1 1
10 4
Mathematik
a!
a
a3
a!
a.
1
4
a0
a3
aT
a0 a
a/
aT
a/
a.
ar
²
aÌݗ = a. + a + a! + ⋯ + a. > aÞÝ$ß
aÌݗ = a + a. + a + ⋯ + ar < aÞÝ$ß
aE
a!
1
4
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aÌݗ = a. + a + a! + a3 > aÞÝ$ß
aÌݗ = a + a. + a + a! < aÞÝ$ß
1
4
Seite 77
1
k
.
n-Teile jedes N breit
a6N¨ÝN = a + a. + a + ⋯ + aN%.
aàÝN = a. + a + a! + ⋯ + aN
a6N¨ÝN < a5Ý$ß < aàÝN
Für n = 10:
a = ∙ ℎ = . ∙ w C0 ∙ .D
.
.
a. = ∙ ℎ = . ∙ w1 ∙ .
.
.
a = ∙ ℎ = . ∙ w2 ∙ .
.
ar = ∙ ℎ =
aÌݗ =
aÌݗ =
⋮
.
.
.
∙ w9 ∙
.
.
a. = ∙ ℎ = . ∙ w10 ∙ .
.
.
1
1
1
1
1
1
1
1
∙ w A0 ∙ B +
∙ w A1 ∙ B +
∙ w A2 ∙ B + ⋯ +
∙ w A9 ∙ B
10
10
10
10
10
10
10
10
1
1
1
1
1
1
1
1
∙ w A1 ∙ B +
∙ w A2 ∙ B +
∙ w A3 ∙ B + ⋯ +
∙ w A10 ∙ B
10
10
10
10
10
10
10
10
Mathematik
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Seite 78
Allgemein:
a = ∙ ℎ = N ∙ w C0 ∙ ND
.
.
a. = ∙ ℎ = N ∙ w C1 ∙ ND
.
⋮
.
aN%. = ∙ ℎ = ∙ w Ak − 1 ∙ B
.
.
N
N
aN = ∙ ℎ = N ∙ w Ck ∙ ND
.
a6N¨ÝN =
.
1
1
1
1
1
1
∙ w A0 ∙ B + ∙ w A1 ∙ B + ⋯ + ∙ w Qk − 1 ∙ R
k
k
k
k
k
k
w = . . = N ∙ 0 + N ∙ CND + N ∙ C2 ∙ ND + ⋯ + N ∙ C
.
.
N(
.
∙
T
.
.
T
∙
N%.
T
T
N%.
∙
N
.
N

≤ aÞÝ$ß ≤ N( ∙
.
≤ aÞÝ$ß ≤ T ∙
.
.
N

N∙N'.∙N'.
N'.
N
∙
T
N'.
N
.
T
.
N

.
N

∙ 1 ∙ 2 ≤ aÞÝ$ß ≤ ∙ 1 ∙ 2
.
≤ aÞÝ$ß ≤ !
!
.
D
∙ 1 − æ ∙ 2 − æ ≤ aÞÝ$ß ≤ ∙ 1 + æ ∙ 2 + æ
Für k → ∞
.
N
1 k ∙ k + 1 ∙ 2k + 1
∙
k!
6
N∙N%.∙N%.
N
N%. O¼*∙O&O¼*
å
a6N¨ÝN < a5Ý$ß < aàÝN
.
.
∙ 0
+ 1 + 2 + ⋯ + k − 1 áâââââââââãâââââââââä
aàÝN = ⋯ =
N(
.
.
T
aÞÝ$ß = !
.
a; = ! ∙ ;³
.
Mathematik
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Seite 79
;=1
a1 = ∙ 1! =
.
!
.
!
a; = ç w, d.h. die Aufleitung der Funktion bestimmen und ; einsetzen
6
Aufleitung
Aufleitung nach x
ç w
6
6.2 Schreibweisen
Flächen
aÌݗ = a. + a + ⋯ + aN
= èNé°. af
addiere
höre bei n auf
Fange bei 1 an
Für k → ∞
aÌݗ = è»
é°. af = ç a
x ist die Stammfunktion. D.h. w = x Ë da x verschiebbar ist, gilt nicht aÌݗ = x;
obere Grenze
aÌݗ = ç w
6
Intengrantenfunktion
untere Grenze
u
Integral
Befehl für das CAS: çw, , ;kh>:> q:>ke>, i>:> q:>ke>
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
ê xläℎ>
ç$ w =

Mathematik
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Seite 80
x ist die Aufleitung von w
Satz:

ç$ w
obere Grenze
= x − x mit x Ë = w
untere Grenze
Bsp.: w = ²; = 0; = 1; x = ! ³
.
ç w = ! ! − ! !
.
.
.
= ! 1! − ! 0!
.
.
=!
.
Bsp.: w = 3; = 1; = 4
x = !
ç. w = x4 − x1
3
= 4² − 1²
!
!
= 24 −
=
Definition:
Die Funktion “$ = ç$ whh heißt Integralfunktion “$ der
#
Grundfunktion w mit dem Parameter Q
wh
0
#
“ = ç whh
=
30
!
wh = h²
h
1
1
1
! − 0! = !
3
3
3
Mathematik
xh = h !
.
!
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Seite 81
6.3 Flächeninhalte zwischen Funktion und x-Achse
w = ! − 6 + 8
Gesucht: Fläche zwischen x-Achse und Funktion im Bereich 0; 4
ç w = 0??
3
Es gibt „positive“ und „negative“ Flächen
Definition: Orientierte Fläche
In der Mathematik werden Flächen unterhalb der x-Achse (t-Achse…) negativ gewertet,
Flächen oberhalb positiv. Man spricht dann von der orientierten Fläche.
Berechnung der Fläche ≠ Berechnung der orientierten Fläche
Das Integral berechnet die orientierte Fläche.
Idee: Aufteilung in denen die Flächen komplett über/unter der x-Achse liegt.
Bestimmung der Nullstellen
Nst.:
w = 0
CAS: . = 0 = 2 ! = 4
a = –ç w– + –ç w–
„echte“ Fläche
CAS:
= |4| + | − 4|
Betrag
3
a = 8xy
Mathematik
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Seite 82
6.4 Fläche zwischen zwei Kurven
w
1. Berechnung der Schnittpunkte
w = o
o
2.
a = aàÝ5Ý ì6NѨéàN − a6N¨Ý5Ý ì6NѨéàN
Cçíª oD − Cçíª wD
íª!
íª!
Übung:
w = 1) Schnittpunkte
w
o = − + 2
w = o
= − + 2
+ − 2 = 0
. = 1
2)
= −2
o
!
x =
3
a = Cç% oD − Cç% wD
.
.
= xy
r
6.5 Flächen unterhalb der x-Achse
a = −1xy
a = −2xy
Mathematik
w
o
a = aà − a6
a = −1 − −2 = 1xy
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 83
6.6 Integrationsregeln
1. Bestimmen Sie: ç ; und ç 0,5 . Gibt es einen Zusammenhang?
Lösung:
ç = !
Zusammenhang:
ç 0,5 = !
E
3
ç 0,5 = 0,5 ç Faktorregel: ç$ )… ∙ w- = … ∙ ç$ )w-


Konstante Faktoren können vor das Integral gezogen werden.
2. Bestimmen Sie: ç ; ç 1 und ç ² + 1. Gibt es einen Zusammenhang?
Lösung:
ç = !
Zusammenhang:
ç 1 = 2
ç ² + 1 =
E
ç + ç 1 = ç + 1
.3
!
ç$ )w- + ç$ )o- = ç$ )w + o-
Summenregel:






ç$ )w- − ç$ )o- = ç$ )w − o-
3. Bestimmen Sie: ç% ; ç und ç% . Gibt es einen Zusammenhang?

!
!
Lösung:
ç% = !

Zusammenhang:
Intervalladditivität:
Mathematik
ç = 9
!
E
ç% =
!
ç% + ç = ç% 
!
!
!0
!
ç$ )w- + ç )w- = ç$ )w-

7
7
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 84
4. Bestimmen Sie: ç 0,5 und ç 0,5 . Gibt es einen Zusammenhang?

Lösung:
ç 0,5 = − !

ç 0,5 = !
3
3
ç 0,5 = − ç 0,5 
Zusammenhang:
Vertauschen der Intervallgrenzen: ç$ )w- = − ç )w-

$
6.7 Uneigentliche Integrale
Kann eine Rakete aus dem Gravitationsfeld der Erde hinaus befördert werden?
xŽ = q ∙
µî ∙µï
5²
Ù =x∙
F
F
_ð
s
r
Problem:
Fläche unter 5 & geht für → ∞ gegen ???
.
x: = áââãââä
q ∙ mÞ ∙ mð ∙
Å#°7∙
.
#²
1
:²
a = çT!/ѵ)w-
"»"
x = ∙ −
Mathematik
1
∞
w>h>k Ù>:h
Mathematisch:
ñ = òóôõ→» ç÷«­Fõ@)-ö
õ
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 85
a = limÑ→» )xd − x6370-
= limÑ→» −
øÑ + T!/ = T!/ =
a ≠ ∞???

7
7
7
= ∆y
Ž∙µî ∙µï
Þï
`Ìݗ = + 3 + E + .T + ⋯ ≤ 1
.
Bsp.:
1/16
.
.
.
1/8
1/4
1
1/2
Definition:
Integrale bei denen eine oder beide Integrationsgrenzen nicht mehr im, d.h. am Rand, des
Definitionsbereiches liegen heißen uneigentliche Integrale.
Bsp.:
ç. C & D :
5
»
w =
.
ç & :
5
. .
.
#²
Y = −∞; 0 ⋁ 0; ∞
Fläche zwischen 0 und 1?
a = limÑ→ çÑ C & D :
.
= limÑ→ ú
1/4
1/3
1/2
Mathematik
a→∞
%7
.
7
5
− æû
Ñ
%7
→»
`Ìݗ = + + + + ⋯
.
.
!
.
3
.
0
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 86
Wichtig:
Integrale NIE über Definitionslücken a ≠ ç%)w-
6.8 Anwendung der Integralrechnung
1) Flächenberechnung
2) Physik (Ù = ç x ‘h = ç hh
3) Mittelwerte
Bsp.: \1; 2; 17; 34; 12; 8]
Mittelwert m
ü=
.''./'!3'.'E
T
m
ü=
™* '™& '™( '™1 '™ý '™å

m
ü=
ℎ
37
3
a. = 1 ∙ 1 a = 1 ∙ 2 a! = 1 ∙ 3
™þ
aÌݗ = ℎ ∙ ℎ = 
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 87
Bsp.: Tagestemperatur
aÌݗ
ℎ
Welche Höhe hat ein Rechteck, das die gleiche Fläche hat?
ç$ w


1
∙ w
m
ü=
−
$
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 88
7 Exponentialfunktionen
7.1 Eigenschaften der Funktion = ∙ monoton fallend
Hier: Jedesmal Halbierung der Anzahl
Für → ∞ w = 0
waagrechte Asymptote
+2
+1
+1
keine Nullstellen
x
y
1 .
∙A B
0
100
2
1 ∙A B
1
50
1 . 2
2
25
∙A B
2
…
…
n 100*(1/2)^n
Neue Funktionsklasse!
w = ∙ #
.
Neue Funktionsklasse, da im Exponenten auftaucht
(Nicht verwechseln: 2# ≠ ²‼!)
Problem:
2# = 4
Lösen von Exponentialgleichungen
2# = 4 = 2
Exponentenvergleich:
Bsp.:
= ↔ = 5# = 125
125 = 5³ ≝ 5#
3=
Problem:
ungleiche Basen
Bsp.: 2# = 27
Vergleich:
² = 27 |H
= H27
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 89
CAS:
2# = 27 | log 3# = 27 | log ! Nicht ln -Taste
ln → log ,/.E… Bsp.: log 27
= log 27 = 4,75 …
23,/0… = 27
log ! 27 = 3
3# = 27
log ! 81 = 4
33 = 81
Vereinfachung: Basiswechsel
4# = 128 | log 3 = log 3 128
4# = 2/
2 # = 2/
2∙# = 2/
Nun nur noch die Exponenten betrachten: 2 = 7 = /
4# = 2 # = 2∙#
4# = 3#∙
(3 = 37∙#
( 3 # = 4 #
3
(3∙# = 3
áâ
âãâ
âä
3
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
= log ! 4
3# = 4
3
(3 = 4
Seite 90
Bsp.:
10# = 7
2. # = 77∙#
77 = 10 | log / = log / 10
#
2# = )16
*å - = 167∙#
3# = > ! # = > #∙7
Spezialfall:
log Ý = ln
Logarithmus naturalis
log. = lg
log = l
Alle Exponentialfunktionen lassen sich auf w = > 7∙# zurückführen.
Bsp.:
w = 2# = > #∙
o = 17# = > #∙
./
ℎ = 4 ∙ 3# = 4 ∙ > #∙
!
Prozentuale Abnahme
ð¨'.%ð¨
ð¨
Mathematik
= > # … = −0,00 ≈ −0, %
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 91
7.2 Ableitung der Exponentialfunktion
1. Reihe Steigung in 1|0 = 1
3# 2#
In vielen Prozessen tritt die Zahl > auf. In der Mathematik wird die Ableitung der Funktion
besonders einfach.
w = > # → w Ë = > #
o = 2# → oË = 2# ∙ ln2
ℎ = 3# → ℎË = 3# ∙ ln3
Ableitungsregeln:
w = 3 ∙ > # → w Ë = 3 ∙ > #
o = 3 ∙ > # → oË = 3 ∙ > # ∙ 2 = 6 ∙ > #
ℎ = ./ ∙ > #
.
*2 '3#
→ ℎË = ./ ∙ > #
.
# '.
→ mË = 1 ∙ > #
m = æ
∙ >áãä
Å
&
Ì
= >#
= >#
Mathematik
*2 '3#
& '.
& '.
& '.
∙ 17.T + 4
+ ∙ )> #
+ ∙ >#
& '.
2 + 1
& '.
-
Ë
∙ 2
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 92
7.3 Die Exponentialfunktion
Definition: Die Funktion w = > # heißt Exponentialfunktion.
Eigenschaften:
w = > #
Nst: keine
EW: keine
WP: keine
Asymptote: für → −∞ w = 0
Bsp.: o = > # + 2
Asymptote: für → −∞
o = 2
ℎ = > %# − 3 = Ý S − 3
Asymptote: für → ∞
.
ℎ = −3
Kurzschreibweise:
Asymptote:
lim#→» ℎ = −3
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 93
Definition Asymptote:
Eine Asymptote ist eine Kurve/Linie der eine Funktion w immer weiter annähert, ohne sie
in fraglichem Bereich zu berühren oder zu schneiden.
w = ∙ > %# + 1
&
w
Asymptote:
lim#→±» w = 1
Aber es existiert SP zwischen w und = 1
ℎ = > %# + + 3
&
m = + 3
m
ℎ
m ist Asymptote zu ℎ für → ±∞
m ist schiefe Asymptote zu ℎ
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 94
d = + > %#
d
u = u
u ist Asymptote zu d für → ∞
Nachweis:
1.
Asymptote raten/vermuten
2.
?
lim#→±» )d − u- = 0
CAS:
Für → ∞ ist u Asymptote zu d
Für → −∞ ist u keine Asymptote zu d
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 95
7.4 Kurvendiskussion von e-Funktionen
5. Verhalten → ±∞
1. Definitionsbereich
2. Achsenschnittpunkte
6. Symmetrie
3. Extremwerte
7. Asymptoten
4. Wendepunkte
8. Zeichnung
Bsp.: w = > &# + > #
*
1.
Y=ℝ
2.
Nst: w = 0
3.
EW:
CAS: keine Nst.
y-Achsen SP: w0 = 2
w Ë = 0 und w ËË ≠ 0
©vL 0|2
w Ë = > &# + > #
*
.
w ËË = > &# + > #
.
3
4.
w ËËË = > &# + > #
w Ë = 0
CAS: V = \ ] keine EW
w ËË = 0
CAS: V = \ ] kein WP
WP:
*
.
E
*
w ËË = 0 und w ËËË ≠ 0
5. Verhalten für → ±∞
lim#→%» w = 0
lim#→» w → +∞
6. Symmetrie
keine, wegen 5.
7. Asymptoten
lim#→%» w − F = 0
Mathematik
x-Achse ist Asymptote für → −∞
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 96
8. Zeichnung
7.5 Scharfunktion
w = − + 2 = w o = − + 3 = w! ℎ = − + 4 = w3 f = − + 5 = w0 ⋮
w¨ = − + h ∙ w¨Ë = −2 + h
h∈ℝ
w¨ËË = −2
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 97
EW:
w¨Ë = 0
=
¨
Überprüfung HP/TP:
w¨ËË C D = −2 HP
¨
y-Wert:
¨ w¨ Óª = − CD + h ∙ =
¨
¨&
3
gv C – 3 D
¨
¨&
Ortskurve: Linie auf der spezielle Punkte liegen.
Hier: Die Kurve auf der die Hochpunkte liegen.
Óª = → h = 2
¨
Óª =
¨&
3
=
#&
3
o¨ = −2 ! + h ∙ WP:
CAS:
Óª = Óª
oË̈ = −6 + 2h
oË̈Ë = −12 + 2h
oË̈ËË = −12
gesucht: Ortskurve der WP:
oË̈Ë = 0
=T
¨
Überprüfung:
oË̈ËË C D = −12
¨
T
y-Wert:
o¨ CTD = 03
¨
h = 6
Ortskurve:
Mathematik
Ùv CT – 03D
¨(
=
¨
T#(
03
¨(
= 4 !
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 98
7.6 Fallunterscheidung
Es kann (wird) vorkommen, dass zum Beispiel für positive h-Werte ein Hochpunkt existiert,
für negative h-Werte aber nicht.
w¨ = −h + 2
Wir müssen verschiedene Fälle unterscheiden!
Hier: Für h > 0
HP
Für h = 0
kein EW
Für h < 0
TP
Ortskurve der Hochpunkte von o¨ = −2 ! + h ∙ oË̈ = −6 + 2h
EW:
oË̈Ë = −12 + 2h
oË̈ = 0
< 0 (für HP)
. = 0 = !
¨
oË̈Ë = −12 ∙ 0 + 2h = 2h
Für h < 0 ist oË̈Ë 0 < 0 gv0|0
Für h = 0 ist oË̈Ë 0 = 0 ( Sattelpunkt)
Für h > 0 ist oË̈Ë 0 > 0 tv0|0
h
oË̈Ë = −12 ∙ + 2h = −2h
3
Für h < 0 ist oË̈Ë C D > 0 tv A Ü9h C DB
¨
!
¨
!
¨
!
Für h = 0 ist oË̈Ë C D = 0 ( Sattelpunkt)
¨
!
Für h > 0 ist oË̈Ë C D < 0 gv A Ü9h C DB
¨
!
¨
!
¨
!
Ortskurve:
Für h = 0 gibt es keine EW keine Ortskurve
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 99
Für h < 0 liegen die HP bei 0|0 „Ortskurve“ ist ein Punkt
Für h > 0 liegen die HP bei C! – /D
¨
¨(
Óª = ! → h = 3Óª
¨
Óª =
¨(
/
=
!#Ê (
/
!
= Óª
7.7 Scharfunktion mit e-Funktion
w¨ = 10 ∙ > %¨∙#
&
3 vollkommen unterschiedliche Schaubilder
h<0
h=0
h>0
w¨Ë = 10 − 20h ∙ ∙ > %¨∙#
&
w¨ËË = 20h ∙ 2h ∙ − 3 ∙ > %¨∙# ∙ &
w¨ËËË = −20h4h ∙ 3 − 12h ∙ + 3 ∙ > %¨∙#
EW:
w¨Ë = 0
w¨Ë = 0
w¨ËË ≠ 0
. =
CAS:
=
H
H ¨
%H
H¨
&
mit ≥ 0
.
¨
mit ≥ 0
.
¨
w¨ËË . = −20 ∙ > %& ∙ H2 ∙ h HP für h > 0
*
w¨ËË = 20 ∙ > %& ∙ H2 ∙ h
*
Mathematik
TP für h > 0
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 100
y-Werte:
WP:
*
w¨ . =
¼
0∙Ý & ∙H
w¨ =
¼
%0∙Ý & ∙H
H¨
w¨ËË = 0
*
¼
H 0∙Ý & ∙H
gv Q Ú
R
H ¨
H¨
*
tv Q H¨
w¨ËËË ≠ 0
w¨ËË = 0
! = CAS:
3 =
HT
H¨
mit ¨ ≥ 0
H¨
¨
%HT
0 = 0
Überprüfung:
WP für h ≠ 0
(
(
w¨ ! =
¼
0Ý & ∙HT
w¨ ! =
¼
%0Ý & ∙HT
w¨ ! = 0
H¨
(
H¨
R
H¨
.
w¨ËËË 0 = −60h
w¨ËËË 3 = 120 ∙ > %& ∙ h
Ú
mit ≥ 0
WP für h ≠ 0
(
H¨
.
w¨ËËË ! = 120 ∙ > %& ∙ h
y-Werte:
*
¼
%H %0∙Ý & ∙H
WP für h ≠ 0
(
¼
Ùv. Q
HT 0Ý & ∙HT
Ú
H ¨
H¨
(
R
¼
%HT %0Ý & ∙HT
Ùv. Q H¨
Ùv. 0|0
Ú
H¨
R
Extremwertaufgaben
1. Skizze/Def-Bereich angeben
2. „Normale“ Formel für gesuchte Größe
3. Einsetzen mit Funktionsgrößen Zielfunktion
4. Zielfunktion bearbeiten (Max./Min. suchen und Wert berechnen)
5. Randwerte prüfen
6. Entscheidung treffen
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 101
7.8 Punktsymmetrie zum Punkt |
Überlegung:
∆
I
II
I+II
ℎ
v|
ℎ~
v) + ℎÆw + ℎ-
∆~
v ) − ℎÆw − ℎ-
w + ℎ = + ∆
w − ℎ = − ∆
w − ℎ + w + ℎ = + ∆ + − ∆
w − ℎ + w + ℎ = 2
CAS: Bisher:
w− = −w
w− + w = 0
w0 − + w0 + = 2 ∙ 0
v0|0
Ö|
− + + = ‰ ∙ Vorgehen:
Vermutung aufstellen, den vermuteten Punkt einsetzen und schauen ob die Gleichung wahr
ist.
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 102
7.9 Rechnen mit Logarithmen
Definition Logarithmus:
H ! = (
Analog zu:
Bsp.:
log  # = log 2/ = 7
log /. 71./ = 17
log. 10r = 9
3
log
áâãâä
Ý > = 4
Ý 1 Folgerung:
Í °.
=0
log 1
log Ý >  = 0
Logarithmusgesetze:
> $' = > $ ∙ >  | ln Allgemein:
ln ∙ = ln + ln
ln> $' = ln> $ ∙ >  + =?
$

ln>
+ ln>
áãä
áãä
$

ln> $ ∙ >  = ln> $ + ln>  Mathematik
ln A B = ln − ln
ln L = ∙ ln
ln + ≠ ln + ln
Vgl.:
Sonntag, 17. Mai 2009
I + ≠ H + I
Seite 103
8 Logarithmusfunktionen
8.1 Definition
Die Funktion w = ln heißt Logarithmusfunktion.
Eigenschaften:
Definitionsbereich: Y = ℝ' ∖ \0]
># = 7
> # = −7
keine Lsg
ln> # = ln7
= ln7
Wertebereich: † = ℝ
Verhalten für → 0
lim#→ ln → −∞
→∞
lim#→» ln → ∞
Asymptoten: Senkrechte Asymptote für = 0

=0
Nst.: w1 = 0
ln >
.
1|0 ist Nst. der Funktion w = ln
keine waagrechten Asymptoten
Funktion ist streng monoton steigend, wenn auch sehr sehr flach
>#
ln die Funktion ist die Umkehrfunktion der > # -Funktion. D.h. die Spiegelung der
> # -Funktion an der 1. Winkelhalbierenden = y-Achsenabschnitt von > # Nst von ln
waagrechte Asymptote von > # senkrechte Asymptote
v0|1
v1|0
=0
=0
>#
waagrechte Asymptote
Mathematik
ln
senkrechte Asymptote
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 104
Umkehrfunktion: und austauschen und auflösen!!!
v1|>
Bildung der Umkehrfunktion
v>|1
- Tausche und - Löse nach auf
w = > # :
= >#
= >L
| ln ln = Bsp.: o = = = ±H = H
o%. = H
Umkehrfunktion von o
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 105
8.2 Ableitung der -Funktion
w = ln
w Ë = #
.
Bsp.: o = ln2 − 4
oË = #%3 ∙ 2
.
ℎ = 3 + 2 ln = 3 + 2 ∙ 2 ln = 3 + 4 ∙ ln
ℎË = 3 + 2 ∙ # & ∙ 2 = 3 + #
.
3
Stammfunktion:
w = # x = ln
.
Hinweis:
Mathematik
w = N x =
.
N'.
∙ N'. für k ≠ −1
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 106
8.3 Rechenbeispiel für die -Funktion
w = 8 ∙
1)
2)
Y = ℝ' ∖ \0]
#
#
Grenzverhalten:
für → ∞:
für → 0' :
3)
Asymptoten:
4)
EW:
w = 0
CAS:
w → −∞
CAS:
-Achse ist waagrechte Asymptote für → ∞
-Achse ist senkrechte Asymptote für → 0'
w Ë =
E
#&
w ËË = −
w ËËË =
−
3
#(
EE
#1
E #
#&
+
−
=
E
#&
.T #
1 − ln
#(
3E #
#1
w Ë = 0 und w ËË ≠ 0
w Ë = 0
CAS:
. = >
w ËË > = −8> %! < 0 → gv
5)
WP:
w ËË = 0 und w ËËË ≠ 0
w ËË = 0
CAS:
Mathematik
gv)>Æw>- = C>– ÝD
E
= > &
(
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 107
w ËËË C> & D = 16 ∙ > %T ≠ 0 → Ùv
(
> & > > „rechts“ vom HP
(
6)
7)
Ùv Q> & Úw C> & DR = C> & –12> %& D
(
(
(
(
Achsenschnittpunkte:
-Achse: keiner, da Y = ℝ' ∖ \0]
-Achse: w = 0
Symmetrie:
CAS:
! = 1
s1|0
Keine, da eine senkrechte und eine waagrechte Asymptote (Definitionsbereich)
8)
Wertebereich:
† = − ∞; Ý , da senkrechte Asymptote mit Grenzverhalten w → −∞ und
E
gv C>– D, da kein weiterer EW existiert.
E
Ý
9)
Zeichnung:
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 108
9 Trigonometrische Funktionen
9.1 Trigonometrische Funktionen allgemein
Ein Jogger läuft um einen runden See. Wo befindet er sich, wenn er 2km zurückgelegt hat
und der See einen Radius von 1km hat?
v
2km
→ ¤′
1 ∙ sin α
x: zurückgelegter
Weg
∙
1 ∙ cos ¤
¤′
x
u
Start 1|0
: = 1dm
2§ ∙ 1 → 360°
§ → 180°
=
Ë
!T°
∙ 2§
Der Winkel ¤ kann auch im Bogenmaß ausgedrückt werden. Das Bogenmaß ist die
Kreislänge zum Winkel auf einem Kreis mit Radius : = 1.
¤ Deg
CAS:
Rad
In der Mathematik/Physik werden reale Winkel in Grad ausgegeben, sonst Bogenmaß.
¤
x
0°
30°
45°
§}6
0
§}4
60°
§}3
90°
§}2
180°
§
Definition:
Die Zuordnung
1
¤
r=1
x
270°
360°
3§}2
sin ¤ =
x Länge der Gegenkathete sin ¤ =
2§
Ž
ÓL‚
%
.
heißt Sinusfunktion.
w = sin Die Zuordnung
x Länge der Ankathete heißt Cosinusfunktion.
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 109
Zum Jogger:
;|‘ = cos | sin
cos2 | sin2
Vorsicht: Winkel in Rad!
−0,416|0,909
9.2 Die Parameter der trigonometrischen Funktion
= ∙ ó) − …- + ö
a: Amplitude
d: Verschiebung auf der y-Achse
c: Verschiebung in x-Richtung
∙ sin C ∙ − D + Wichtig:
Nicht:
∙ sin − + b: Länge de Periode
=2
Mathematik
Periodenlänge: u =
Sonntag, 17. Mai 2009

Seite 110
9.3 Die Ableitung der allgemeinen Sinunsfunktion
w = sin
w Ë = cos
Problem:
w = 3 sin)2§ − 1- + 3
Abgeleitet
Mitteilung:
w Ë = 3 ∙ cos)2§ − 1- ∙ 2§
Bsp.:
w = 2 sin3
w Ë = 2 ∙ cos3 ∙ 3 = 6 cos3
oh = 1,5 sin2 + 3h
o h = 1,5 cos2 + 3h ∙ 3 = 4,5 cos2 + 3h
ℎe = −2 sin4e − 1
ℎË e = −2 cos4e − 1 ∙ 4 = −8 cos4e − 1
m; = − cos3;
mË ; = 3 sin3;
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 111
9.4 Periodizität
−
Nst:
EW:
§
2
3§
2
. = 0 = § ! = 2§
Ñ = d ∙ § + 0 d ∈ ℤ
7§
2
-3;-2;-1;0;1;2…
„Wiederholungsfaktor“
Óª = d ∙ 2§ + Periode
TP:
@1
@2
Ъ =
3§
2
w = sin
HP:
CAS:
5§
2
@3
d∈ℤ
Verschiebung
Ъ = d ∙ 2§ − = d ∙ 2§ +
!
d∈ℤ
@k1 ℤ beliebig
@k2 ℤ beliebig
bel. Zahl
4d − 1§ 4d§ − § 4d§ §
§
=
=
− = 2d§ −
2
2
2
2
2
ungerade Zahl:
§
2
3§
2
2∙k+1
5§
2
1 ∙
3 ∙
5 ∙
d∈ℤ
gerade Zahl: 2k
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 112
ðÛ = 2d + 1 ∙ Ûª = —¨ = 2d ∙ = d ∙ §
Óª = 4d − 3 ∙ Ъ = 4d − 1 ∙
Óª = 4d − 3 ∙ −3 −3 −3
0 4 8
1 5 9
12
13
+4 +4 +4
0 6 12
2 8 14
6
Mathematik
6
6
18
…
20
Sonntag, 17. Mai 2009
6d + 2
Seite 113
9.5 Eigenschaften der Tangensfunktion
Periode u = §
Y = ℝ ∖ WÑ = 2d + 1 ∙ X
senkrechte Asymptote für Ñ = 2d + 1 ∙ áââââãââââä
tan =
!"#
!#
—¨ àN ! #
Nst:
Ñ = d ∙ § d ∈ ℤ
EW: keine
WP: in Nst
Punktsymmetrisch zu Nst
−
Ableitung der Tangensfunktion:
sin
Q
R = sin ∙ cos%. cos
§
2
§
2
§
Ë
= cos ∙ cos%. + sin ∙ −
1
∙ − sin
cos
sin
=1+
= 1 + tan
cos
áâ
âãâ
âä
#$#&
!#&
=
=
!#&
!"#&
+
!#&
!#& '!"#&
!#&
hkË = =
.
.
!#&
!#&
und hkË = 1 + tan
r=1
fk
i
Mathematik
× v1| tanx
hk
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 114
9.6 Nachweis von Periodizität
w = cos ∙ cos3
Erinnerung:
−
Achsensymmetrie zur -Achse
w− = w
Hier: w = w + u
u
!
+ u
! + u
Problem:
w = w + u = w + 2u = w + 3u = ⋯
Vermutung:
u=§
w = w + § CAS: true
Allgemeine Angabe von EW/NST/WP
w = cos ∙ cos3 u = §
Einschränken des CAS il‘>w, = 0, |0 ≤ < u
Berechnung nur innerhalb 0; u
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 115
. = 0 = 0,911738 … ! =
Allgemeine Angabe
.,Ñ = 0 + d ∙ §
,Ñ = 0,911738 + d ∙ §
§
= 2,22985 …
2 3
d∈ℤ
!,Ñ = + d ∙ §
3,Ñ = 2,22985 + d ∙ §
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 116
10 Lineares Gleichungssystem (LGS)
10.1 Einführung
Wichtig:
Sauberkeit
Struktur
Bekannt: Lösen von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
Einsetzverfahren/Subtraktionsverfahren
Bsp.:
I
II
I‘
II‘
I‘
11. + 5 = 0 | ∙ −7
13. + 7 = 8 | ∙ 5
−77. − 35 = 0
+65. + 35 = 40
−77. − 35 = 0 −77 ∙ C
I‘+II‘ −12.
V = W−
– ! X
. !
= 40 . = −
D − 35 = 0 = .0 =
%.
!
.
//
!
!
Punktklammer
Mengenklammer
2. − 3 − 5! =1 2. − 3−1 − 5 ∙ 2 = 1 . = 4
2 + 1! =0 2 + 2 = 0 = −1
3! =6 ! = 2
V = \4|−1|2]
Besonders einfach, wenn Dreiecksform
Ziel: Dreiecksform
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 117
10.2 Gauss-Verfahren
3.
1.
1.
3.
−
+
−
+
2
2
2
2
−
−
+
+
3.
−
−
2
8
1
4
−
+
−
−
3.
−3.
−3.
−3.
3.
−
−
+
−
−
−
−
2
6
3
2
3.
−
−
−
2
8
1
4
3.
−
−
2
8
3.
−
−
2
8
3.
−
−
2
8
3.
−
−
2
8
2
8
8
8
Mathematik
−
+
−
−
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
−
−
+
−
1!
3!
1!
2!
+
−
+
+
1!
8!
4!
3!
+
+
+
1!
9!
3!
2!
1!
8!
4!
3!
1!
8!
32!
6!
1!
8!
24!
14!
1!
8!
24!
14!
1!
8!
24!
24!
1!
8!
24!
+
+
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
43
13
13
43
43
33
33
43
=
=
=
=
43
73
13
43
73
13
43
73
83
144
0
48
0
= 144
=
0
= −144
=
0
=
=
=
=
144
144
0
144
=
=
=
=
43
73
153
73
43
73
153
73
43
73
153
123
43
73
153
273
| ∙ −3
| ∙ −3
| ∙ −1
144
144
0
144
|““ + “
|“““ + “
|“` + “
|∙8
| ∙ −2
= 144
= 144
=
0
= −288
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
144
144
144 |“““ + ““
−144 |“` + ““
144
144
144
−144
| ∙ 24}14
144
144
144
− 1728}7
144
144
144
− 720}7
Sonntag, 17. Mai 2009
3 = −
= −
E
;
.
! = −
T3
;
.
. =
./T
;
.
T3
.
Seite 118
Problem:
Viel Aufwand beim schriftlichen Erfassen.
Idee:
Konstante Dinge nicht schreiben.
.
2
3
4
2
−
−
−2
−
4
3
2
−
−2
4
6
2
−
4
2
0
−
−
0
0
0
−
−
1
5
.
6
4
6
0
5
14
3
3
2
!
.!
3
6
5 3
7 13 | ∙ −2}3
3 −1 | ∙ −1}2
−
2
2 −
0 −
0 −
4
!
−
−
. = 1
V = \1|1|1]
Mathematik
3
26
−
3
1
−
2
3
./
−!
/
5
3
17
1
−
3
3
13 −7
5
.
!
!E
!
= 1
| ∙ −2
3
./
−
−
!
!E
!
! = 1
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 119
10.3 Vereinfachung des Rechenweges
. !
8 0 0
0 5 −3
4 1 0
! .
0 0 8
−3 5 0
0 1 4
−3 5 0
0 1 4
0 0 8
. = 2
16
9
0
Es ist zulässig
16
9
0
ganze Spalten zu tauschen
ganze Zeilen/Gleichungen
zu verschieben
9
0
16
10.4 Lösungsmengen vom LGS
Bestimmen Sie die Schnittpunkte von
1)
o. : = 2 + 3
2)
o. : = 2 + 3
3)
o. : = 2 + 3
o : = −4 + 5
o3
o.
o
o!
o! : = 2 − 7
o3 : = 6 + 4
.
1) I
II
= 2 + 3
= −4 + 5
−2 + = 3
4 + = 5
−2 1
4 1
−4 2
4 1
Mathematik
3 |∙2
5
6
5
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 120
−4 2
0 3
2) I
II
6
11
=
..
!
1Lsg =
ê 1 Schnittpunkt
= 2 + 3
= 2 − 7
−2 + = 3
−2 + = −7 | ∙ −1
−2 1
2 −1
−2 1
0 0
3
7
3
10
0 ∙ + 0 ∙ = 10 keine Lsg =
ê kein Schnittpunkt
= 2 + 3
3) I
II
= 6 + 4
.
−2 + = 3
−2 + = 3 | ∙ −1
−2 1
2 −1
−2 1
0 0
3
0
3
−3
0∙+0∙ = 0
y beliebig wählbar
∞-viele Lsg =
ê ∞-viele Schnittpunkte
Zusammenfassung:
Ein LGS hat entweder:
eine Lsg
keine Lsg
∞-viele Lsg
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 121
Angabe von Lsg:
Eine Lsg:
V = \|]
Keine Lsg:
V=∅
V = \. | |! ]
∞-viele Lsg:
CAS:
V=\]
= @1
=
@.%!
= h, h ∈ ℝ
V=\
¨%!
|h]
10.5 Auswirkungen/Kennzeichen in einem LGS
∞-viele Lsg:
0
0
0
0 0
0 0
0 0
⋮
⋮
0 mind. eine Nullzeile
0
0
0
0 0
1 beliebige Zahl ≠ 0
keine Lsg:
genau eine Lsg:
alle anderen Fälle
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 122
10.6 Veranschaulichung in 2D
o.
o
keine Lsg
o. : = 2 + 4 o. : − 2 = 4
o : = 2 − 3 o : − 2 = −3
zwei gleiche Zeilen links, aber unterschiedliche Zahlen rechts
keine Lsg!
3 2 1
4 −1 2
7 1 3
0 0
0
4
6
9
−1
Verallgemeinerung:
Ist eine Zeile Summe/Differenz der anderen
(restlichen) Zeilen und steht eine andere Zahl
rechts existiert keine Lsg.
keine Lsg
Umkehrung:
Ist eine Zeile Summe/Differenz der restlichen Zeile auf der linken und rechten Seite.
∞-viele Lsg
Man sagt: Die Gleichungen sind linear abhängig.
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 123
10.7 Parameteraufgabe
∙ .
+
− 1
+!
+!
− 2!
= 1
= 1
= 1
=2→−2=0→0=1
Für welches hat das LGS keine, eine, ∞-viele Lsg?
kritische Fälle immer dann, wenn ein Faktor=0 wird.
Hier: − 2 = 0
oder
oder
−1=0
=0
CAS:
V = \C$∙$%.– $%∙$%. –$%D]
$%!
∈ ℝ ∖ \0; 1; 2]
für
$%!
.
Kritische Fälle tauchen im CAS als 0-Faktoren im Nenner auf Normalerweise!
CAS:
::>w | = 0
0.
0.
0.
+1
+0
+0
+0!
+1!
+0!
keine Lsg für = 0
1
0
0
0
1
= 1 keine Lsg
Analog:
0
=
=
=
0
1
1
= 2 keine Lsg
Vermutung:
kritischer Fall = 0
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 124
CAS:
Lsg.
= −1
für = −1 keine Lsg
für = 0 ∞-viele Lsg
In allgemeiner Lsg = 0 eingesetzt
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
V = \0|0|0]
10.8 Über/Unterbestimmte LGS
Bsp.:
I
II
. + = 4
. + ! = 7
Hier zu wenige Gleichungen um die Variablen . , , ! zu bestimmen.
„Unterbestimmtes LGS“
∞-viele Lsg
eine (oder mehrere) Variablen frei wählbar
z.B.:
! = d
d∈ℝ
(Hinweis: CAS: ! = @1)
V = \7 − d|d − 3|d] d ∈ ℝ
Überbestimmtes LGS
I
II
III
Hier:
. + = 7
2. + 2 = 14
3. − = 0
Reduzierung auf „richtig“ viele Gleichungen und
Überprüfung mit den anderen Gleichungen
. | in II
1
3
1 7
−1 0
1
0
/
/
.
1 7
. = 3 + 3 = 7 = 3
4 7
1 1
−1 3
Mathematik
2∙ +2∙
/
7
0
3
Sonntag, 17. Mai 2009
.
3
= 14 passt
Seite 125
11 Vektorgeometrie
11.1 Koordinatensysteme
bekannt: 2D
/
1
0
.
Achsenbenennung
Einheiten
/.
1
rechter Winkel
Ursprung
e/!
3D
1
1 LE
1 LE
.
LE 0 . . .
H2
/
1
Diagonale im Kästchen,
1 135° in Zeichnung (auf 2D)
auf kariertem Papier
/.
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 126
11.2 Kartesisches Koordinatensystem in 3D
Punkt 3|4|1
Erstellen Sie einen Quader mit den Seiten auf den Koordinatenebenen und setzen Sie
die Eckpunkte an.
Punkte:
a0|0|0; 93|0|0; j3|4|0; c0|4|0; _0|0|1; ©3|0|1; v3|4|1; |0|4|1
Im Normalfall keine
negative Achsen
.
 = |av|
Abstand av
∆.
. = ∆. + ∆ ∆
.
.
∆!
= . + ∆! = ∆. + ∆ + ∆! Mathematik
= I∆. + ∆ + ∆! Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 127
Definition:
Koordinatenebene
. − − y>k>
. − − y>k>
. − − y>k>
Alle Punkte der . − -Ebene haben die ! -Koordinate ! = 0
− ! -Ebene:
. = 0
= 0
. − ! -Ebene:
Allgemein:
Abstand zweier Punkte A und B
|a9| = I.4 − .™ ² + 4 − ™ + !4 − !™ ²
∆.
∆
∆!
Hier:
|a9| = I3 − 0 + 4 − 0 + 1 − 0
= H9 + 16 + 1
= H26
11.3 Körper und Flächen (2D geometrische Figuren)
Würfel:
6-Seitiger Körper mit Quadraten als Seiten
alle Kanten gleich lang
alle Innenwinkel 90°
Quader:
- Gegenüberliegende Flächen sind identische Rechtecke (6-seitig)
- Innenwinkel 90°
- je 4 Seiten sind gleich lang
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 128
Prisma:
- über verschiedene Kantenflächen ist eine parallele, gleiche Fläche
Pyramide:
- über einer (beliebigen) Grundfläche treffen sich alle Seiten (von den
Eckpunkten) in einer Spitze. Diese muss nicht „mittig“ über der
Grundfläche sein.
Kugel (Oberfläche):
- Jeder Punkt der Kugel ist von einem Punkt, der Mittelpunkt,
gleichweit entfernt.
M
Flächen:
Dreiecke:
gleichseitige
gleichschenklige
rechtwinklige
„allgemeine“
= = → ¤ = ( = ) = 60°
=≠→ ¤=(≠)
Ein Winkel = 90°
¤ + ( + ) = 180°
C
A
B
Vierecke:
Quadrat:
Raute:
Drachen(viereck):
Rechteck:
Parallelogramm:
Trapez:
„allgemeines Viereck“: ¤ + ( + ) + * = 360°
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
¤ + * = ( + ) = 180°
Seite 129
11.4 Vektoren
Der Quader soll so verschoben werden (nicht gedreht, gestreckt, gespiegelt,…), dass P auf
P‘2|−1| − 1 abgebildet wird.
Wie viele Angaben brauche ich?
Es reicht eine Angabe, die des „roten Pfeils“. Werden alle Eckpunkte mit diesem
„Pfeil“ verschoben, so ändert sich die Form nicht.
Definition:
„Verschiebungspfeile“ heißen Vektor der Verschiebung, d.h. ein Vektor beschreibt alle Pfeile
die eine Verschiebung erzeugen.
Bsp.: Physik

Ortsveränderung eines Körpers
′
Schreibweisen
+++++++,
vvË
Anfangs- Endpunkt
+++++,
 Ë
Anfangs- Endpunkt
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 130
Definition:
Man stellt einen Vektor als Spalte dar. Jede Zeile dieser Spalte gibt eine Koordinate an.
Dieser Vektor wird mit einem Buchstaben und einem kleinen Pfeil darüber bezeichnet.
.
, = - .
!
Sonderfall:
0
i, = -0. Dieser Vektor heißt Nullvektor.
0
Man kann Vektoren vervielfachen:
.
, = - .
!
: ∙ .
:
: ∙ , = - ∙ .
: ∙ !
Hier wird jede Koordinate mit einer reellen Zahl multipliziert (vervielfacht).
Gegenvektor eines Vektors:
.
Man bildet den Gegenvektor −, eines Vektors , = - ., indem man bei jeder Koordinate
!
von , das Vorzeichen umkehrt. D.h. Der Vektor verläuft im Koordinatensystem genau in die
entgegengesetzte Richtung.
Man kann aus Vektoren die Summe bilden:
.
. +.
.
+,
, = , + = - . + - . = - + .
!
! +!
!
Die Summe der Vektoren nennt man Summenvektor.
Man kann aus Vektoren die Differenz bilden:
.
. −.
.
, = , − +, = - . − - . = - − .
!
! −!
!
Die Differenz der Vektoren nennt man Differenzvektor.
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 131
Jeder „Pfeil“ in einem Koordinatensystem bestimmt einen Vektor.
B
. −.
+++++, − /a
+++++, = - − .
+++++, = /9
a9
! −!
A
O
Unter der Länge eines Vektors versteht man die Länge des „Pfeiles“, welcher den
Vektor im Koordinatensystem darstellt. Statt Länge sagt man auch Betrag des
Vektors.
Unter der Richtung eines Vektors versteht man die Richtung der „Pfeile“, die den
Vektor im Koordinatensystem darstellen.
Der Nullvektor i, hat die Länge 0 und besitzt keine Richtung.
Vorsicht:
1)
. ∙.
, ∙ +, ≠ - ∙ .
! ∙!
Vektoren werden „anders“ multipliziert.
2) Es wird NIE durch Vektoren dividiert.
Aber:
$+,
|$+,|
$+,
+,

Betrag, Länge des Vektors Zahl
11.5 Schreibweisen/Notation
v1|2|3 Zeile
Punkt P:
1
+++++,
/v = v+, = -2. Spalte
3
+++++, = Vektor der Ursprung nach P verschiebt)
(/v
Ortsvektor +++++,
/v:
Fußpunkt eines Vektors:
(Anfangspunkt des Vektors)
P
Spitze des Vektors:
(Endpunkt des Vektors)
P
Mathematik
+++++, x P
/v
P‘
++++++,
vv′
P‘
++++++,
vv′
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 132
Betrag/Länge/Norm des Vektors:
(Länge der Strecke PP‘)

+++++++,Ë Æ = vv′
Ævv
P‘
P
 selten auch: PP‘
vvË = vv′
Strecke von P nach P‘:
vv′
Halbgerade von durch P‘:
vv
Gerade durch P und P‘:
x
Ë
x
P
P
x
x
P‘
P‘
Rechenzeichen:
:∙.
: ∙ , = -:∙ .
:∙!
Skalare Multiplikation:
Skalarprodukt (zweier Vektoren):
Kreuzprodukt (zweier Vektoren):
, ∘ +, =?
, × +, =?
¤ = ∢9ac
1. Schenkel
Benennung von Winkeln:
2. Schenkel
Spitze
D
A ¤
2∢),, +,+,
2
C
,
B
11.6 Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Wie viele Vektoren brauche ich um jeden Punkt im Raum zu erreichen?
!
.
,
+,
,
1
0
0
+
,
Bsp.: , = -0. = -1. , = -0.
0
0
1
v+, = 2 ∙ , + 5 ∙ +, + 3 ∙ ,
Für 3 Dimensionen brauche ich 3 Vektoren
Ist dies mit 3 beliebigen Vektoren möglich?
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 133
Anschaulich:
+,
, = , + 1,5 ∙ +,
!
,
.
,
in − ! Ebene
Problem: Alle 3 Vektoren liegen in einer Ebene
kein Punkt außerhalb der Ebene kann erreicht
werden
Nein, die 3 Vektoren müssen Bedingungen erfüllen.
Idee:
h ∙ ,
: ∙ ,
 ∙ +,
Sind die Vektoren in einer Ebene, so können sie so
addiert werden, dass sich ein geschlossenes Dreieck
ergibt.
Rechnerisch:
: ∙ , +  ∙ +, + h ∙ , = i,
: ∙ .$ +  ∙ . + h ∙ .7 = 0
: ∙ $ +  ∙  + h ∙ 7 = 0
: ∙ !$ +  ∙ ! + h ∙ !7 = 0
Wenn dieses LGS eine (oder ∞-viele) Lsg besitzt, dann liegen die Vektoren in einer Ebene.
(Außer der Lsg : =  = h = 0
Definition:
Vektoren heißen linear abhängig, wenn einer der Vektoren durch die restlichen Vektoren
„zusammengesetzt“ werden kann. Sonst heißen die Vektoren linear unabhängig.
,
Test auf lineare Abhängigkeit:
 ∙ , + h ∙ +, + ; ∙ , + ‘ ∙ , + ⋯ = i,
,
,
+,
,, +,, , ;k , sind linear abhängig
Darf nicht nur die (triviale) Lösung  = h = ; = ‘ = ⋯ = 0 haben.
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 134
Gibt es nur die Lsg  = h = ; = ‘ = ⋯ = 0 für die Gleichung
 ∙ , + h ∙ +, + ; ∙ , + ‘ ∙ , + ⋯ = i,
dann heißen die Vektoren ,, +,, ,, ,, … linear unabhängig.
Existiert (mindestens) eine Lsg in der (mind.) ein Parameter , h, ;, ‘, … ≠ 0 ist, so sind die
Vektoren linear abhängig (alles auf einer Ebene)
Definition:
Die maximale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren heißt Dimension des
(Vektor)Raumes. Die Vektoren bilden dann eine Basis.
Definition:
Ein Vektorraum ist eine Menge von „Dingen“ (Vektoren) mit den Eigenschaften:
(VR = Vektorraum)
V1:
V2:
V3:
V4:
V5:
V6:
V7:
V8:
Satz:
,, +, ∈ `_ , + +, ∈ `_
i, ∈ `_ , + i, = ,
, ∈ `_, dann existiert ein Vektor +,, so dass , + +, = i,
), + +,- + , = , + )+, + ,, + +, = +, + ,
h ∙ , ∈ `_, h ∈ ℝ
h ⊕  ∙ , = h ∙ , ⊕  ∙ ,
1 ∙ , = ,
Die Ganzrationale Funktionen mind. 4-ten Grades bilden einen 5-dimensionalen Vektorraum.
w = 3 + ³ + ² + + >
6 9
5 8
4> 7
Mathematik
Haben w und o die Nst . , , …
 ∙ w + h ∙ o = ℎ
ℎ hat Nst . , , …
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 135
11.7 Beweisen mit Vektoren
Aufgabe: Ein beliebiges Viereck a9jc hat die Seitenmitten v| _©. Zeigen Sie, dass v|_©
ein Parallelogramm ist.
©
a
l,
,
v
k+,
,
c
m
++,
,
_
+,
d
|
>,
9
j
+,
Beweis:
Idee: - Geschlossene Vektorzüge
.
.
av|j: , + m
++, + +, − , = i,
v9|:
.
.
.
.
, + +, − m
++, = i, , + +, = m
++,
Dieses Ergebnis setzt man nun in av|j ein:
av|j: m
++, + m
++, − , = i,
2m
++, = , m
++, ∥ ,
zu zeigen: , ∥ k+,
aj_©
©_c
m
++, ∥ , und , ∥ k+,
Beweis analog wie oben.
m
++, ∥ k+,
++++, ∥ ++++++,
9c zu zeigen: l, ∥ >, v©
9c©v
v©a
Mathematik
Beweis analog wie oben.
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 136
l, ∥ >,
+, ∥ >,
zu zeigen: d
|j_
9|_c
I‘)
.
II‘)
.
I‘ in II‘
+,
+++++, = d
+++++, = +,; +++++,
jc = ,; ++++++,
9c = >,; |_
9j
.
+,
+, + , = d
I)
.
+, = >,
+, + , + d
II)
+++++, + j_
+++++, + _|
+++++, = i,
|j
.
.
+, = i,
+, + , − d
+++++, + _c
+++++, + |_
+++++, + c9
++++++, = i,
9|
.
+, + . , − >, = i,
+, + d
+, + d
+, = >,
d
+, = >,
2d
+, ∥ >, und l, ∥ >,
d
+,
l, ∥ d
v|_© ist ein Parallelogramm.
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 137
11.8 Geraden im R³ (3-dimensionaler Raum)
!
v ,
0
+++++,
/v ,
o
×
.
In der Ebene benötigen wir Steigung und y-Achsenabschnitt um eine Gerade zu beschreiben.
(- Möglichkeit: 2 Punkte)
Steigung m Richtung
Achsenabschnitt „Beginn“ der Geraden
Im 3-dimensionalen Raum:
Richtung Richtungsvektor , der Geraden
„Beginn“ der Geraden Aufpunkt v
v ist ein willkürlicher Punkt auf der Geraden o
o: , = +++++,
/v + h ∙ ,
Name
o:
h∈ℝ
Aufpunktsvektor Richtungsvektor
, = +++++,
/v + h ∙ ,
beliebiger Punkt Parameter
auf Gerade
Halbgerade:
Strecke zwischen P und Q:
Mathematik
h ∈ 0; ∞
; ∈ F; <
v×
,
v × ,
Gerade h ∈ ℝ
×|
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 138
11.9 Aufstellen von Geraden
×
a
.
1)
!
0
×
9
o
a0|5| − 4; 96|3|1
+++++, + h ∙ a9
+++++,
o: , = /a
9 − a
6−0
0
=- 5 .+h∙- 3−5 .
1 − −4
−4
0
6
o: , = - 5 . + h ∙ -−2.
−4
5
6
0
o=: , = - 5 . − h ∙ -−2.
5
−4
6
6
o>: , = -3. + h ∙ -−2.
1
5
Durch das −h läuft der Vektor in die andere Richtung
Hier ist B und nicht A der Aufpunkt
12
6
o?: , = -3. + h ∙ -−4.
1
10
Hier ist B Aufpunkt und der Richtungsvektor doppelt
a0|5| − 4; j9|−9|0
Gerade durch A und C aufstellen.
Trotz der Änderungen, beschreibt jede Gleichung dieselbe Gerade.
2)
+++++,
o™@ : , = +++++,
/a + h ∙ aj
9−0
0
, = - 5 . + h ∙ - −9 − 5 .
0 − −4
−4
0
9
, = - 5 . + h ∙ -−14.
−4
4
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 139
11.10 Punkt auf einer Geraden
!
0
9
o: , = - 5 . + h ∙ -−14.
−4
4
_18|−33|12
.
Überprüfung:
0
×
_
o
Liegt _ auf o (Punktprobe)
18
0
9
?
+++++, = -−33. =
- 5 . + h ∙ -−14.
/_
12
−4
4
18 = 0 + h ∙ 9
h =2
12 = 4 + h ∙ 4
h =2
−33 = −5 + h ∙ −14
h =2
_ liegt auf o, da h für alle drei Gleichungen den selben Wert besitzt.
1
1
Bsp.: 2|−1| − 1 o: , = -0. + h ∙ -3.
1
3
2
1
1
-−1. = -0. + h ∙ -3. −1
1
3
h. = 1
h = − 1}3
h! = − 2}3
liegt nicht auf o, da h. ≠ h ≠ h!
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 140
11.11 Zeichnen von Geraden
1
1
o: , = -2. + h - 0 .
3
−1
Für h = 0
Für h = 1
. 1|2|3
2|2|2
1
. = -2.
+++,
3
2
++++,
= -2.
2
1
3
o´ : , = -0. + h -0.
1
2
1
1
oÝ : , = - 2 . + h -3.
−2
2
0
−3
oÅ : , = - 2 . + h - 2 .
−1
0
v´ 1|0|1
|´ 4|0|3
vÝ 1|2| − 2 |Ý 2|5|0
vÅ 0|2| − 1 |Å −3|4| − 1
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 141
11.12 Besondere Geraden
!
Winkelhalbierende
zwischen . − ! -Achse
o
45°
o.
Winkelhalbierende
zwischen − ! -Achse
o!
.
0
1
o. : , = -0. + h -0.
0
0
1
= h ∙ -0 .
0
0
o : , = h -1.
0
0
o! : , = h -0.
1
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 142
11.13 Spurpunkte von Geraden
Spurpunkt einer Geraden mit den Koordinatenebenen (Durchstoßpunkte):
Schnittpunkte der Geraden mit der G − ‰ -Ebene, ‰ − « -Ebene und G − « -Ebene.
!
Skizze:
×
©.!
−1
1
Bsp.: , = -2. + h - 2 .
3
−6
×
©.
×
©!
Spurpunkte
Idee:
. = 0, da der Spurpunkt auf − ! -Ebene.
I
II
III
.
Gesucht:
©!
o
0
+++++,
©! = - .
!
0
1
−1
- . = -2. + h - 2 .
!
−6
3
0 = 1 + h ∙ −1 h = 1
= 2 + 1 ∙ 2 = 4
! = 3 + 1 ∙ −6 = −3
0
+++++,
©! = - 4 .
−3
A‰« F|„| − «
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 143
©.! : = 0
.
+++++,
©
.! = - 0 .
!
.
−1
1
- 0 . = -2. + h - 2 .
!
3
−6
0 = 2 + h ∙ 2 h = −1
. = 2 ! = 9
AG« ‰|F|B
©. : ! = 0
.
+++++,
©
. = Q R
0
.
1
−1
Q R = -2. + h - 2 .
0
3
−6
0 = 3 + h ∙ −6 h =
. = 0,5 = 3
.
AG‰ F, C|«|F
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 144
11.14 Lage von Geraden
!
d
ℎ
o
1)
ℎ ∥ o (nicht identisch!)
2)
+++++++,Ñ
d = o ++++++,
_`Ì = _`
.
!
©v
.
++++++,
+++++, gleich heißt +++++++,
_`Ñ = ¤ ∙ _`
_`
Ì
G
o
l
+++++++,8 aber kein SP
++++++,
_`Ì = _`
∞-viele SP
3)
l schneidet o
4)
j windschief zu g
++++++,
++++++,
_`ß ≠ _`
Ì und einen SP
++++++,
+++++,
_`D ≠ _`
Ì und kein SP
¤∈ℝ
Bei verschiedenen Geraden verschiedene Parameter Ô, ;, E, F, … verwenden!
2
1
Bsp.: o: , = -1. + h -2.
4
4
1
2
ℎ: , = -7. +  - 1 .
−2
7
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 145
1. Überprüfung auf Parallelität:
++++++,
+++++++,8 (Parallelität)
_`Ì = ¤ ∙ _`
2
1
-2 . = ¤ ∙ - 1 .
4
−2
¤. = 2
¤ = 2
¤! = −2
2. Überprüfung auf Schnittpunkt:
o=ℎ
I
II
III
1
2
2
1
-1. + h -2. = -7. +  - 1 .
7
−2
4
4
1 + 2h = 2 + 
1 + 2h = 7 + 
4 + 4h = 7 − 2
2h −  = 1
2h −  = 6
4h + 2 = 3
2
2
4
2
2
−1 1
−1 6
2 3 e;m Ü>:u:üw>k
−1 1
−1 6 | ∙ −1
2 −1
−2 1
2
0
1
−6
−1 1
0 −5
Keine Lsg.
+++++, nicht gleich und keine Schnittpunkte.
o und ℎ sind windschief, da _`
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 146
11.15 Winkel
+,
2
−, + +, = +, − ,
,
Definition:
Das Skalarprodukt der Vektoren , und +, wird definiert als;
2 ist der Spitze Winkel zwischen , und +,.
, ∘ +,
íÑ$ß$5‚5à´6Ѩ
= |,| ∙ Æ+,Æ ∙ cos 2
+,
$+,∘
cos 2 = |$+,|∙Ɓ+,Æ
Kosinussatz:
2
= + − 2 ∙ cos 2
(Gilt für beliebiges Dreieck)
Anwendung:
2 ∙ |,| ∙ Æ+,Æ ∙ cos 2
Æ+, − ,Æ = |,| + Æ+,Æ − áââââãââââä
I
Nebenrechnung:
+,
∙$+,∘
|,| = QK. + + ! R = . + + !
Æ+,Æ = QK. + + ! R = . + + !
|+, − ,| = ⋯ = . − . + − + ! − ! Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 147
=
áââââãââââä
. − 2. . + . + − 2 + + ! − 2! ! + !
* %$* &
in I:
. − 2. . + . + − 2 + + ! − 2! ! + !
= . + + ! + . + + ! − 2 ∙ , ∘ +,
−2. . − 2 − 2! ! = −2 ∙ , ∘ +,
.
.
,
+
, ∘ = - . ∘ - . = . ∙ . + ∙ + ! ∙ !
!
!
Bsp.:
1
, = -2.
3
−1
+,
=- 7 .
4
−1
1
+
,
, ∘ = -2. ∘ - 7 .
4
3
, ∘ +, = −1 + 14 + 12 = 25
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 148
11.16 Genauerere Betrachtung des Skalarprodukts
, ∘ +, = |,| ∙ Æ+,Æ ∙ cos 2
Skalarprodukt:
.
.
- . ∘ - . = . ∙ . + ∙ + ! ∙ !
!
!
Bsp.:
1
, = -3.
1
5
+, = -0.
3
360° − 2
, ∘ +, = |,| ∙ Æ+,Æ ∙ cos 2
,
2
+,
+,
$+,∘
cos 2 = |$+,|∙Ɓ+,Æ
cos 2 =
=
.
0
-!.∘-.
.
!
.
0
J-!.J∙J-.J
.
!
0'!
H..∙H!3
2 ≈ 65,6°
=
E
H..∙H!3
(! Realer Winkel)
Folgerung:
, ⊥ +, ↔ cos 2 = 0
↔ , ∘ +, = 0
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 149
11.17 Normalenvektor
k.
++++,
+,
∙∙
k+,
,
Definition:
Die Normalenvektoren zu , und +, sind die Vektoren, die zu , und +, senkrecht sind. Die
Länge ist (zunächst) nicht festgelegt.
Auch die „Richtung“ nach „oben“ oder „unten“ ist zulässig.
Präziser: Ist k+, Normalenvektor, so ist d ∙ k+,, d ∈ ℝ auch Normalenvektor.
Bsp.:
1
, = -2.
3
I
II
I
II
2
+, = -0.
3
k.
1
, ∘ k+, = -2. ∘ -k . = 0
k!
3
k.
2
+,
k
∘ k+, = -0. ∘ - . = 0
k!
3
k. + 2k + 3k! = 0
2k. + 0k + 3k! = 0
Wähle k! = 1
in I:
(Es wird nur ein Normalvektor gesucht)
k. = − !
− + 2k + 3 ∙ 1 = 0
!
k = −
3
!
Mathematik
3
6 29
k+, = 5 38
−
4
4 1 7
−
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 150
11.18 Das Kreuzprodukt
Definition des Kreuzprodukts:
, × +, = k+,
Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der senkrecht zu , und +, ist.
.
, = - .
!
.
+,
= - .
!
.
.
, × +, = - . × - .
!
!
.
.
∙ ! − ! ∙ = -! ∙ . − . ∙ ! .
. ∙ − ∙ .
Bsp.:
1
, = -2.
3
2
+, = -0.
3
k+, = , × +,
1
2
2∙3−3∙0
6
-2. × -0. = -3 ∙ 2 − 1 ∙ 3. = - 3 .
3
3
1∙0−2∙2
−4
1
2
2
0
Vorsicht:
, × +, ≠ +, × ,
, × +, = i,
↔ ,, +,
Mathematik
linear abhängig
+,
,
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 151
Die Punkte a2|1|7, 9−1|3|4, j3|1|9 bilden ein Dreieck. Berechnen Sie den
Flächeninhalt.
! a
+++++,
aj
1
+++++, Æ ∙ Æ9j
+++++, Æ
a = ∙ Æax
2
.
Einfacher:
G
++++++,Æ
++++++, × LM
ñ = ∙ ÆñL
‰
k+,
−1 − 2
−3
+++++,
a9 = - 3 − 1 . = - 2 .
4−7
−3
3 − −1
4
+++++, = - 1 − 3 . = -−2.
9j
5
9−4
a=
1
+++++, × 9j
+++++, Æ
∙ Æa9
2
j
,
+++++,
a9
x×∙
+++++,
j9
+,
9
a = |k+,|
10 − 6
4
.
= ∙ J-−12 + 15.J = ∙ J- 3 .J
6−8
−2
.
= ∙ I4² + 3² + −2²
.
= H29xy
.
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 152
11.19 Gegenüberstellung Skalar-/Kreuzprodukt
Skalarprodukt (Punktprodukt)
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
, ∘ +, = |,| ∙ Æ+,Æ ∙ cos 2
, × +, = k+, mit
- , ⊥ k+, und +, ⊥ k+,
- |k+,| = a
Zwei Vektoren Zahl
,
+,
Zwei Vektoren Vektor
∙ ! − ! ∙ +,
, × = -! ∙ . − . ∙ ! .
. ∙ − ∙ .
, ∘ +, = . . + + ! !
CAS:
dotp(vekta,vektb)
crossp(vekta,vektb)
Einsatz:
- Längen/Winkelberechnung
- Flächen/Voluminaberechnung
- senkrechter Vektor zu einem
anderen Vektor
- senkrechter Vektor zu zwei Vektoren
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 153
12 Ebenen
12.1 Bedingungen für eine Ebene
zwei Geraden, die sich schneiden
zwei parallele Geraden
Gerade + Punkt
Drei Punkte
Winkel
Punkt + senkrechter Vektor
Es gibt verschiedene Darstellungen einer Ebene
12.2 Die Parameterdarstellung einer Ebene
!
y
©
+++++, ×
/©
ℎ
.
×
+++++++,8
_`
o
++++++,
_`Ì
”
Die Geraden o + ℎ liegen in der Ebene y und schneiden sich im Punkt ©
+++++, + h ∙ _`
++++++,
o: , = /©
Ì
+++++++,8
o: , = +++++,
/© + ; ∙ _`
Beschreibung des (beliebigen) Punktes X auf der Ebene
++++++,
, = +++++,
/© + 2 ∙ +++++++,
_`8 + 2 ∙ _`
Ì
Allgemeine Parameterdarstellung einer Ebene:
+++++++,
y: , = ©, + h ∙ +++++++,
_`. + ; ∙ _`
Aufpunktsvektor
Mathematik
Spannvektoren
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 154
Vorsicht:
Spannvektoren dürfen nicht kolinear sein (gleicher Richtungsvektor)
Aufgabe:
Bestimmen Sie die Ebene die durch die Geraden
2
0
o: , = -0. + h ∙ -4.
7
1
und
2
−1
ℎ: , = -4. +  ∙ - 1 .
8
0
aufgespannt wird.
2
−1
2
y: , = -4. +  ∙ - 1 . + h ∙ -4.
7
0
8
2
−1
0
yN : , = -0. +  ∙ - 1 . + h ∙ -4.
7
0
1
2
−1
1
O
y : , = -5. +  ∙ - 1 . + h ∙ -4.
7
0
8
−4
2
0
yP : , = -0. +  ∙ - 4 . + h ∙ -4.
7
0
1
Problem:
Schneiden sich die Geraden? (Eventuell windschief) ©v2|4|8
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 155
12.3 Zeichnen einer Ebene
Man kann eine Ebene leicht darstellen, wenn man die Ebenenpunkte kennt, die auf den
Koordinatenachsen liegen. Diese Punkte heißen Spurpunkte der Ebene. Die
Verbindungsgeraden, die diese Punkte verbinden heißen Spurgeraden der Ebene.
Spurgerade
Spurpunkt der . -Achse:
Spurpunkt
©v. . |0|0
Spurpunkt der -Achse:
©v 0| |0
Spurpunkt der ! -Achse:
©v! 0|0|! Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 156
12.4 Ebenen
o∥y
y
o∩y
o∈y
3 Fälle möglich:
1) Ebene und Gerade sind parallel
2) Gerade liegt in der Ebene
3) Gerade schneidet Ebene
o∥y
o∈y
o ∩ y = \©]
Einfacher als bei Geraden, da kein windschieder Fall auftreten kann
Möglichkeit 1 zur Lösung
++++++,
Ist _`
Ì linear abhängig von den Spannvektoren der Ebene?
Existiert ein Schnittpunkt?
Analog zu zwei Geraden
Möglichkeit 2 zur Lösung
Im Fall 1 erhält man 0 Schnittpunkte
Im Fall 2 erhält man ∞ Schnittpunkte
Im Fall 3 erhält man 1 Schnittpunkt
Bsp.:
7
−2
o: , = - 1 . + h -8.
6
4
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 157
1
1
0
y: , = -4. + : -−1. +  -0.
1
3
3
Schnittpunkt zwischen y und o:
o=y
7
1
1
0
−2
- 1 . + h -8. = -4. + : -−1. +  -0.
6
1
3
4
3
7
1
| − h -8. − -4.
6
3
−7
1
0
−3
-−3. = : -−1. +  -0. + h -−8.
1
1
−6
3
−3 = 0 ∙ : + 1 ∙  + −7 ∙ h
−3 = −1 ∙ : + 0 ∙  + −8 ∙ h
1 = 1 ∙ : + 3 ∙  + −6 ∙ h
Lösung über Lineares Gleichungssystem
genau einen Schnittpunkt, da genau 1 Lösung existiert
Schnittpunkt 5|9|10
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 158
12.5 Die Normalenform der Ebene
v
×
++++++,
©v
++++++,
©v.
y
×
+++++, +  ∙ +++++++,
, = av
_`. + h ∙ +++++++,
_`
Idee: Ein Punkt und ein senkrechter Vektor auf der Ebene legen die Ebene fest.
k+, Normalenvektor
∙ ∙
v
+++++,
v”
ה
v” = 0
k+, ∘ +++++,
k+, ∘ ), − v+,- = 0
Normalenform der Ebene
++++++,. × ©`
++++++,
k+, = ©`
2
−1
1
y: , = -2. + h ∙ - 1 . +  ∙ -0.
4
4
3
−1
2
4
k+, = - 1 . × -0. = - 12 .
4
4
−2
4
1
y: - 12 . ∘ R, − -2.S = 0
−2
3
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 159
12.6 Die Umformung in die verschiedenen Formen
Parameterform:
y: , = +  + h Normalenform:
+++++, È
0 = k+, ∘ Ç, − av
Koordinatenform:
. . + + ! ! = Parameterform:
1
7
2
y: , = -2. + : -4. +  -1.
3
1
0
Koordinatenform:
2. + 3 − 2! = 7
Normalenform:
y: k+, ∘ ), − v+,- = 0
2
7
1
Bsp.: y: , = -2. + : -0. +  - 1 .
1
−1
3
Parameterform Normalenform
1.
Bestimmung des Normalenvektors k+,
2.
Einsetzen (für v+, Aufpunktsvektor)
7
−1
2
0 ∙ −1 − 1 ∙ 1
++++++,
++++++,
k+, = ©v. × ©v = -0. × - 1 . = -1 ∙ 2 − 7 ∙ −1. = - 9 .
1
−2
7
7∙1−0∙2
−1
1
y: - 9 . ∘ R, − -2.S = 0
7
3
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 160
Normalenform Koordinatenform
.
−1
1
- 9 . ∘ R- . − -2.S = 0
!
7
3
−1 ∙ . − 1 + 9 − 2 + 7! − 3 = 0
−. + 1 + 9 − 18 + 7! − 21 = 0
−. + 9 + 7! = 38
Koordinatenform Parameterform
1.
y: − . + 9 + 7! = 38
Wähle z.B.
. = 
= h
! =
!E'—%r¨
/

0∙h
0
1∙
.
h û = Tú 0 û ú0 ∙ û ú 1 ∙ h ûU
, = - . = ú!E'—%r¨
.
!E
r
!
∙
− ∙h
/
/
/
0
1
0h
0
0
=.+. + - 1h .
38/7
1/7 ∙ 
−9/7 ∙ h
/
0
1
0
= - 0 .+- 0 .+h- 1 .
−9/7
1/7
38/7
Koordinatenform Normalenform
y: −. + 9 + 7! = 38
1.
Normalenvektor ablesen
Mathematik
−1
k+, = - 9 .
7
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 161
−1
ø . +9
ø +7
ø ! = 38
N*
2.
N&
−1
k+, = - 9 .
7
N(
Beliebiger Punkt ablesen (z.B. Spurpunkt)
−38
−1
y: - 9 . ∘ R, − - 0 .S = 0
0
7
©v. −38|0|0
Parameterformform Koordinatenform
1.
Normalenvektor bestimmen
2.
Einsetzen
3.
Aufpunkt einsetzen in allgemeiner Form
−1
++++++,. × ++++++,
©v = - 9 .
k+, = ©v
7
k. . + k + k! ! = −1. + 9 + 7! = Aufpunkt einsetzen:
−1 ∙ 1 + 9 ∙ 2 + 7 ∙ 3 = 38 = y: − . + 9 + 7! = 38
Normalenform Parameterform
[zu lang]
NormalenformKoordinatenformParameterform (geht so schneller)
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 162
12.7 Schnittwinkel
Gerade - Gerade:
+++++++,
_`.
*
&
cos 2 = ÆÞØ
+++++++,Æ∙ÆÞØ
+++++++,Æ
+++++++,∘ÞØ
+++++++,
ÞØ
2
*
+++++++,
_`
&
Ebene - Ebene:
y
Aufsicht:
90 − 2
y.
k
++++,
2
2
k.
++++,
90 − 2
2 90°
Idee: Berechnung der Schnittwinkel der
Normalenvektoren
y
cos φ =
+++++++,∘
W* +++++++,
W&
+++++++,|∙|
|
W* +++++++,|
W&
y.
Gerade - Ebene:
++++++,
_`Ì
90 − 2
k+,
y
2
o
Mathematik
cos90° − φ = sin φ
+++++,∘XY
W ++++++++,
Z
sin φ = |+++++,|∙|XY
++++++++,|
W
Sonntag, 17. Mai 2009
Z
Seite 163
12.8 Abstände
1.
Punkt - Punkt
+, − v+, Æ = |v|
+++++, |
v, | = Æ|
+++++, ki:m)v|
CAS:
!
+++++,
v|
v×
×|
.
2.
Ebene - Punkt
×
v
y
×∙
x
kð ∙
1. Gerade durch v mit ++++++,
_`Ì = ++++,
kð
2. Schnittpunkt x zwischen o und y
3. Abstand zwischen v und x
3.
Ebene - Ebene
×v
∙
x×
x
y
1. Fall: x ∥ y Wähle beliebigen Punkt v auf einer Ebene (wie 2. Ebene - Punkt)
2. Fall: x ∦ y x, y = 0, da x und y sich schneiden.
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 164
Bsp.: v1|2|3
4
1
0
y: , = -0. + : -1. +  -0.
1
1
1
1
0
1−0
1
++++,
kð = -1. × -0. = -0 − 1. = -−1.
1
1
0
0
1
4
y: -−1. ∘ R, − -0.S = 0
1
1
y: . − = 4
1
1
o: , = -2. + h -−1.
3
0
Schnittpunkt:
o=y
1. Möglichkeit:
0
1
1
4
1
-2. + h -−1. = -0. + : -1. +  -0.
1
1
1
3
0
2. Möglichkeit:
1 + 1h
, = -2 − 1h .
3 + 0h
.
1 + 1h
- . = -2 − 1h .
!
3 + 0h
Einsetzen in Koordinatengleichung:
y: . − = 4
1 + 1h − 2 − 1h = 4
−1 + 2h = 4
h=
0
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 165
h in o:
/
1
1
0
,
x = -2. + -−1. = T− .U
3
0
3
x3,5|−0,5|3
v, y = v, x
3,5 − 1
2,5
+++++, Æ = J-−0,5 − 2.J = J-−2,5.J = I12,5
= Ævx
3−3
0
4.
Gerade - Ebene
v
×
++++++,
_`Ì
v′
× o
kð ∙
++++,
y
1. Fall: o ∥ y Beliebiger Punkt auf o wie Punkt - Ebene
2. Fall: o ∦ y o, y = 0, da o und y einen Schnittpunkt haben.
Vereinfachung:
Die Hessesche Normalenform (HNF)
Idee:
kð
++++,
Mathematik
×v
1
1
∙ 1
2
h=
5
2
y
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 166
Anzahl der „gegangenen“ Normalenvektoren gibt Länge an.
Ist der Normalenvektor 1 lang, so gibt der berechnete Parameter direkt den Abstand an.
+++++++,
+++++++,|
++++,
kð → k
,ð mit |k
,ð = 1
kð
++++,
k,ð
+++++++,
++++,
++++,|
+++++++,
kð = |k
ð ∙k
,ð
ï
+++++++,
k
,ð = |N
+++++,|
+++++,
N
ï
kð
++++,
3
++++,
=
k
4.
ð
5
k,ð
+++++++,
k
+++++++,
∙k
++++,
,ð = |N
ð
+++++,|
|k
++++,|
ð = H3 + 4 + 5 = H50
.
+++++++,
k
,ð =
HNF
|k
++++,|
ð =4
ï
3
∙ -4.
H0
5
.
y: k
+++++++,
, − v+,-È = 0
,ð ∘ Ç)
normierte Koordinatenform
N* #* 'N& #& 'N( #( %´
KN*& 'N&& 'N(&
Mathematik
=0
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 167
Bsp.:
HNF:
y: . − = 4
|k
++++,|
ð = H2
+++++++,
, − v+, È = 0
k
,ð ∘ Ç
1
4
∙ -−1. ∘ R, − -0.S = 0
H
1
0
.
Normierte Koordinatenform:
y:
#* %#& %3
Versuch:
H
=0
kð
++++,
Setze v in y
v1|2|3
.%%3
H
=−
0
H
= −K
0
= −I12,5 = −v, y
×
y
v
Das Ergebnis der normierten Koordinatenform bzw. HNF, wenn ein Punkt der nicht auf der
Ebene liegt eingesetzt wird, ist der Abstand zwischen Ebene und Punkt.
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 168
12.9 Abstand Punkt - Gerade
9¨
×v
×
a ++++++,
_`Ì
×∙
x
o
Verbindungsstrecke
+++++, ist senkrecht auf Gerade
vx
1. Möglichkeit:
+++++++,
++++++,
v9¨ ∘ _`
Ì = 0
. + h ∙ _`.
,
++++++,
o: , = a + h ∙ _`Ì = - + h ∙ _` .
! + h ∙ _`!
áâââãâââä
++++,
4\
Bsp.:
1
2
o: , = -1. + h -1.
2
0
1+2∙h
++++,¨ = -1 + h ∙ 1.
9
2+h∙0
v1|4|3
1 + 2h − 1
2h
+++++++,
v9¨ = - 1 + h − 4 . = -−3h.
2−3
−1
Bedingung:
+++++++,
++++++,
v9¨ ∘ _`
Ì =0
2h
2
-−3h. ∘ -1. = 0
0
−1
4h − 3 + h = 0
h=
Mathematik
!
0
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 169
h in 9¨ einsetzen x
1+
++++,( = T
9
1+
ý
T
0
!U
0
2+0
..
0
= TEU
0
2
Abstand x, v = o, v
1−
−
0
0
.
+++++, Æ = ]T
E U] = ]T . U] = H36 + 144 + 25
x, v = Æxv
4−
0
..
T
0
0
3−2
1
= 0 H205
.
2. Möglichkeit:
++++++,
Ebene durch P mit k+, = _`
Ì aufstellen
x
×o
×
++++++,
_`Ì
F ist Schnittpunkt zwischen Ebene und Gerade
o, v = x, v
2
+++++++, = -1.
Bsp.: _`
0
v1|4|3
y: k+, ∘ Ç, − v+, È = 0
++++++,
k+, = _`
Ì
2
1
y: -1. ∘ R, − -4.S = 0
0
3
y: 2. − 1 + 1 − 4 = 0
o∩y
2. + = 6
2 ∙ 1 + 2h + 1 + h = 6 2 + 4h + 1 + h = 6
h=0
!
Mathematik
Rest: wie oben.
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 170
12.10 Abstand windschiefer Geraden
o
++++,
× |¨
∙
∙×
Bedingung:
und
ℎ
+++,
©5
+++++++++,
|¨ ©5 senkrecht auf o und ℎ
+++++++++,
++++++,
|
¨ ©5 ∘ RV = 0
+++++++++,
+++++++,` = 0
|¨ ©5 ∘ RV
+++++++++,
Länge ||
¨ ©5 | ist Abstand:
2
2
Bsp.: o: , = - 7 . + h -3.
0
−6
2
2
ℎ: , = -−3. + h - 0 .
7
−1
2 + 2h
++++,
|¨ = -7 + 3h .
−6
2 + 2:
+++++++++,
|¨ ©5 = ú −3
7−:
I
II
I
II
−
−
−
+++++++++,
++++++,
|
¨ ©5 ∘ _`Ì = 0
2 + 2:
+++,5 = - −3 .
©
7−:
2 + 2h
2: − 2h
7 + 3hû = -−10 − 3h.
−6
13 − :
+++++++++,
+++++++,
|
¨ ©5 ∘ _`8 = 0
2: − 2h
2
-−10 − 3h. ∘ -3. = 0
13 − :
0
2: − 2h
2
-−10 − 3h. ∘ - 0 . = 0
13 − :
−1
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 171
I
2: − 2h ∙ 2 + −10 − 3h ∙ 3 + 0 = 0
II
2: − 2h ∙ 2 + 0 + ∙ 13 − : ∙ −1 = 0
I
4: − 4h − 30 − 9h = 0
II
4: − 4h − 13 + : = 0
I
4: − 13h = 30
II
CAS:
5: − 4h = 13
CAS:
:=1
: in ©5 einsetzen
h = −2
h in |¨ einsetzen
6
2 ∙ 1 − 2 ∙ −2
++++++++++++,
.
=
©
=
|
−4.
−10 − 3 ∙ −2
% .
12
13 − 1
6
++++++++++++,
o, ℎ = Æ|
©
Æ
=
J.J = I6 + −4 + 12 = 14
−4
% .
12
2. Lösung
o
ℎ
++++++,
_`Ì
++++++,
av
Ì
+++++++,
_`
8
y
1. Stelle Ebene durch eine Gerade auf, die parallel zur anderen Geraden ist.
2. Bestimme Abstand Ebene - Gerade
2
2
Bsp.: o: , = - 7 . + h -3.
−6
0
2
2
ℎ: , = -−3. + h - 0 .
7
−1
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 172
++++++,
++++++,
+++++++,
y: , = av
Ì + a ∙ _`Ì + b ∙ _`8 ist die Ebene durch o parallel zu ℎ
2
2
2
y: , = - 7 . + a ∙ -3. + b ∙ - 0 .
0
−1
−6
o, ℎ = y, ℎ = y, av8 2
2
−3
++++,
kð = -3. × - 0 . = - 2 .
0
−1
−6
++++, =
k
+++++,
Nï
/
y: k+, ∘ Ç, − v+, È = 0
++++, ∘ Ç, − v+,È = 0
yÓì : k
−3
2
2
.
+++++++,
++++++,
y, av8 = k
++++, ∘ Çav
−
av
È
=
.
∘
R.
−
2
−3
7 .S
8
Ì
/
−6
7
−6
−3
0
.
= / - 2 . ∘ -−10. = / −20 − 78 = −14
−6
13
.
o, ℎ = 14cy
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 173
13 Kreis und Kugel
13.1 Kreis und Kugel allgemein
Beschreibung eines Kreises in 2 Dimensionen
:
n
+ = :
∙
Analysis:
= H: − oberer Halbkreis
= −H: − unterer Halbkreis
Vektorgeometrie
. + = : Die Kreislinie ist die Menge aller Punkte, die
für n0|0
den Abstand : vom Mittelpunkt haben.
Für nm. |m − m
:
. − m. + − m = : n
. − m.
Kugel in 3D
n
Mathematik
:×
”
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 174
Kugeloberfläche:
Alle Punkte haben den Abstand : zum Mittelpunkt.
n0|0|0
. + + ! = : zu nm. |m |m! =: . − m. + − m + ! − m! = : beschreibt eine Kugel mit dem Radius : und Mittelpunkt nm. |m |m! Umformung
. − 2. m. + m. + − 2 m + m + ! − 2! m! + m! = : =: . + + ! − 2. m. − 2 m − 2! m! + m. + m + m! = : ++, - = : ++,- ∘ ), − n
), − n
.
m.
.
m.
m
m
R- . − - .S ∘ R- . − - .S = : !
m!
!
m!
.
m. R- . − -m .S = : !
m!
Bsp.: n1|2|3
, = , ∘ ,
:=4
=: . − 1 + − 2 + ! − 3 = 4
.
1 =: R- . − -2.S = 4
!
3
=: . − 1 + − 2 + ! − 3 = 4
. − 2. + 1 + − 4 + 4 + ! − 6! + 9 = 16
=: . + + ! − 2. − 4 − 6! − 2 = 0
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 175
=: . + + ! + 4. − 8 + 6! + 4 = 0
Ziel:
. − m. + − m + ! − m! = : Sortieren:
. + 4. + − 8 + ! + 6! + 4 = 0
. + 2 ∙ 2 ∙ . + 2 − 2 + − 2 ∙ 4 ∙ + 4 − 4 + ! + 2 ∙ 3 ∙ ! + 3 − 3 + 4 = 0
. + 2 − 2 + − 4 − 4 + ! + 3 − 3 + 4 = 0
. + 2 + − 4 + ! + 3 = 25
n−2|4| − 3
:=5
. + + ! − 2. + 10! + 31 = 0
. − 1 − 1 + + ! + 5 − 25 + 31 = 0
. − 1 + + ! + 5 = −5
keine Kugel
Mathematik
n1|0| − 5
:=
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 176
13.2 Aufstellen einer Kugel aus 4 Punkten
a1|1|1 92|1|1 j1|2|1 c0|0|4
=: . + + ! − 2. m. − 2 m − 2! m! + m. + m + m! = : kein LGS
=: . − m. + − m + ! − m! = : I
C in K:
II
A in K:
III
B in K:
IV
D in K:
II-I
I
1 + 2 + 1 − 2m. − 4m − 2m! + m. + m + m! = : 1 + 1 + 1 − 2m. − 2m − 2m! + m. + m + m! = : 2 + 1 + 1 − 4m. − 2m − 2m! + m. + m + m! = : 0 + 0 + 4 − 0m. − 0m − 8m! + m. + m + m! = : 6 − 2m. − 4m − 2m! + m. + m + m! = : III-I
IV-I
II-I
III-I
IV-I
−3 + 2m = 0
2m − 2m. = 0
10 + 2m. + 4m − 6m! = 0
LGS, keine quadratischen Terme mehr!
III‘: m. = !
II‘: m =
!
in IV‘: 10 + 3 + 6 − 6m! = 0 → m! =
nC – – D
! ! .r
T
Mathematik
:: n fk “
CAS: : =
.r
T
H.E/
T
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 177
Problem:
4 Punkte in einer Ebene
Kugel nicht mehr eindeutig
×
×
×
keine Kugel mehr möglich
1)
a0|0|4 94|0|0 j0|4|0 c−1|−1| − 1
1)
=: . − m. + − m + ! − m! = : I
II
III
IV
CAS:
m. + m + 16 − 8m! + m! = : 16 − 8m. + m. + m + m! = : m. + 16 − 8m + m + m! = : 1 + 2m. + m. + 1 + 2m + m + 1 + 2m! + m! = : m. =
.!
.3
m =
=: C. −
Mathematik
.! .3
.!
.3
m! =
D + C −
.!
.3
.! :=
/H!
.3
D + C! −
.3
.! D =C
.3
/H!
.3
Sonntag, 17. Mai 2009
D
Seite 178
o
13.3 Tangenten an Kugeln und Kreise
2
:
:
∙
180 − 2
ה
×
n
×9
∙
=
Merke:
Tangenten/Tangentenebenen stehen im Berührpunkt senkrecht auf der
Verbindungsgeraden Mittelpunkt/Berührpunkt
Vektorielle Bedingung
++++++,
++++++, ∘ _`
n9
Ì = 0
+, − n
++,- ∘ ), − 9
+, - = 0
)9
Für Ebenen
×n
:
9×
=
×
”
y
++++,
++++++,
n9 ist kolinear zu k
ð
+++++, ∘ n9
++++++, = 0
9”
+, − n
++, - = 0
+, - ∘ )9
)”, − 9
+, − n
++,- ∘ Ç, − 9
+, È = 0
)9
áâãâä
+,
N
Aufpunkt
Ebene in Normalenform!
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 179
Bsp.:
1 =: R, − -0.S = 1
0
v3|0|0
. + + ! − 2. = 0
!
Bestimmen Sie den Tangentenkegel
- Öffnungswinkel
×
v
.
- Radius des Berührkreises
×
n
v
×
.
2
∢v9. n = 90°
II
++++++++,
Æ9
. nÆ = :
III
++++++++,
+++++++,
v9. ∘ 9
.n = 0
++++++, Æ = v, n = 2
Ævn
1.
Skizze
2.
Berechnung des Öffnungswinkels ¤ im
3.
 = n9
. + v9
. vn
+++++++,. Æ = H2 − 1 = H3
Æv9
2: cos 2 =
++++++++,
ƪ4
*Æ
++++++,Æ
ƪ˜
× ×
n′ n
:
=
Schema für die Lösung:
Satz des Pythagoras:
:′
×
9
Bekannt:
I
9.
×
∙
4.
Berechnung des Berührkreisradius :‘
Berechnung des
Berührkreises
Mittelpunktes
n9. v
n‘
des
2 = arccos C D = 30°
Öffnungswinkel:
Mathematik
H!
2 ∙ 2 = 60°
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 180
Radius :‘ im Dreieck v9. n′:
sin 2 =
+++++++++,
Æ4
* ˜ËÆ
++++++++,
ª4*
+++++++,
++++++++,
Æ9
. n ′Æ = Æv9. Æ ∙ sin 2
= H3 ∙ sin 30°
:Ë =
Mittelpunkt n‘:
H!
Ë Ë = v9
. − 9

vn
.n Ë | = K3 − ! = Kr = !
|vn
3
nË C3 − |0|0D
!
v
×
! ++++++,
_`Ì
++++++,
|_`
Ì|
.
+++++,
++++++++,Ë Æ ∙
nË = v+, + Ævn
Mathematik
nË C |0|0D
!
3
9
×.
n′
×n
:′
++++++,
_`Ì
o
++++++,
_`Ì
++++++,
Æ_`
ÌÆ
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 181
13.4 Gemeinsame Tangenten an zwei Kugeln
×
n.
¤.
v.
×
n
¤
v
Gesucht: v. , v , ¤. , ¤
Gegeben:
+++++,. È = :.
=. : Ç, − n
+++++, È = :
= : Ç, − n
Fall 1:
Fall 2:
Fall 2:
Skizze
n. n
Strahlensatz

v n
v n. 
=
:.
:



v n. = v n + n
. n

˜ ˜
* &
D v bestimmen
Mit normiertem Vektor C|˜
|
* ˜&
Fall 1:
gleich wie im Fall 2


˜* ˜& %ª
* ˜&
5*
Mathematik
=

ª* ˜&
5&
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 182
Übung:
−1 =. : R, − - 0 .S = 2
0
Gesucht: v. , v , ¤. , ¤
0 = : R, − -0.S = 1
4
×
n.
¤
v
×
n
¤.
Fall 1:
0+1
+++++++++++,
Æn. n Æ = J-0 − 0.J = I1 + 4 = H17
4−1

ª* ˜&
5&
=


ª* ˜& '˜
& ˜*
5*
CAS:
++++++++++,
v. n = H17
Berechnung Punkt 1
+++,
+++++, + Æv
++++++++++,
v. = n
. n Æ ∙
1
H17
+++++++++++,
∙n
. n
1
0
1
H./
∙ -0. = -0.
= -0. +
H./
4
4
8
sin C
v. 1|0|8
:
¤.
D=

2
v. n
¤. = 28,07°
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 183
v.
Fall 2:

 
n v
n
. n + n v
=
:.
:
CAS:
H./

n
v =
!
++++, = n
+++++, + Æn
++++++++++,
v
v Æ ∙
1
H17
+++++++++++,
∙n
. n
.
1
0
!
.
H./
∙
∙ -0 . = T 0 U
= -0. +
!
H./
.T
4
4
v C |0| D
.
!
!
sin C
¤ = 93,37°
Lage von Ebenen + Kugeln:
2)
3)
!
¤
:
D=

2
n v
13.5 Kugel und Ebenen
1)
.T
Schneiden x Schnittkreis
q
×
Berühren y 1 Berührpunkt
keine gemeinsamen Punkte q
n
ש
y
x
Unterscheidung:
Abstand n zur Ebene
1)
2)
3)
y, n < :
y, n = :
y, n > :
Mathematik
×
j
×
j.
×n
:
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 184
Bsp.:
y7 : 2. + − 2! = =: n1|−2|1
y7 soll K berühren:
y7 :
=
Für : = +3:
=
y7 , n ≝ : = 3
æ
!
|O
++,|
=0
∙.'%%∙.%#
!
%%%7
!
%%7
!
≝ ±3 (=Radius)
%%7
= 3 = −11
%%7
= −3 = 7
!
Für : = −3:
!
:=3
#* '#& %#( %7
y, n =
2
k+, = - 1 . → |k+,| = 3
−2
Für Fall 1)
Bestimmung Schnittkreis
++++, = n
++, + N+, ∙ n′
+,|
|N
k+,
y
:
k+,
∙ n′
×
n
= Abstand y, n
Vorsicht:
Überprüfen ob n′ in y
liegt, sonst:
++++, = n
++, −
n′
+,
N
+,|
|N
∙
: Ë = H: − Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 185
y: − 2. + + 2! = 19
=: . − 2 + + 1 + ! − 3 = 64 n2|−1|3 : = 8
Bestimmung Abstand n, y
y =
%#* '#& '#( %.r
n, y =
æ
!
|O
++,|
=0
%∙'%.'∙!%.r
!
n, y = 6 < :
=−
.E
!
= −6
Radius Schnittkreis
: Ë = H: − = H8 − 6 = 2 ∙ H7
Mittelpunkt Schnittkreis n‘
+++++,Ë = n
++, + N+, ∙ n
|N
+,|
−2
2
.
= -−1. + ! ∙ - 1 . ∙ 6
2
3
−2
=- 1 .
7
Überprüfung nË ∈ y
y :
%#* '#& '#( %.r
!
%∙%'.'∙/%.r
!
3'.'.3%.r
!
nË −2|1|7
Mathematik
=0
=0
!Man hätte zur Überprüfung
auch die normale Ebene y
nehmen können.
=0
0=0
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 186
13.6 Tangentialebene von beliebigem Punkt aus
∙
×n
×
v
1) Tangentenkegel von P aus
2) Berührpunkt bestimmen
3) Normalenvektor k+, = n9
+, - ∘ )9
+, − v+, - = 0
++, − 9
)n
Ziel:
y: …
+,
9
×
+, - ∘ )9
+, − n
++,- = 0
), − 9
×
n
++,- − )9
+, − n
++,+, - = ), − n
), − 9
× ,
Einsetzen:
+, − n
++, -È ∙ )9
+, − n
++, - = 0
++, - − )9
Ç), − n
+, - ∘ )9
+, − n
++, - − )9
+, − n
++, - ∘ )9
+, − n
++,- = 0
), − 9
áâââââãâââââä
+,%˜
++,- °5 &
)4
++,- ∘ )9
+, − n
++,- = : y: ), − n
Mathematik
&
Tabellenbuch S. 70
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 187
13.7 Schnittkreis Kugel-Kugel
Fall 1:
Fall 2a:
Fall 2b:
Fall 3:
kein rechter Winkel
×
n.
:.
:′
n′
:
1.
×
n
2.
3.
4.
Ë

n
.n = I
II
III
5.
Ën = 
n

+ =n
. n
: Ë + = :.
: Ë + = :
I‘
in III
II
III‘

II-III‘: − n
. n − = :. − :

 
n
. n′ + n′n = n. n
cos ¤ =
cos ( =

˜* ˜Ë
5*

˜Ë˜&
5&

: Ë + )n
. n′- = :.  - = : : Ë + )n′n

=n
. n − : Ë + = :.

: Ë + n
. n − = :


− n
. n + 2 ∙ n. n ∙ − = :. − :
=
&

5*& %5&& '˜
* ˜&

∙˜
˜
* &
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 188
2. Weg: Koordinatenform
1 =. : R, − -1.S = 7
1
−1 = : R, − - 2 .S = 9
4
=. : . − 1 + − 1 + ! − 1 = 49
= : . + 1 + − 2 + ! − 4 = 81
=. : . − 2. + 1 + − 2 + 1 + ! − 2! + 1 = 49
= : . + 2. + 1 + − 4 + 2 + ! − 8! + 4 = 81
=. − = :
−4. + 2 − 3 + 6! − 15 = −32
Ebene in der der Schnittkreis liegt
yí : − 4. + 2 + 6! = −14
Schnitt mit o durch n. + n liefert n‘
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 189
14 Exkurs
14.1 Polynomdivision
! − + 120: + 5
= ) ! + 0 ∙ − + 120-: + 5 = ² − 5 + 24
− ! + 5 −5 − −−5 − 25
24 + 120
−24 − 120
0
^3 − 4^2 − 16 + 15: + 3 = − 7 + 5
− ! + 3 −7 − 16
−−7 − 21
5 + 15
−5 + 15
0
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 190
14.2 Taylor Polynom (Taylor Reihen)
Sei o eine beliebig oft ableitbare Funktion (Die Ableitung möglicherweise = 0)
Ziel: Annäherung der Funktion o durch eine Ganzrationale Funktion
Idee: Ansatz: wN = N N + N%. N%. + … + . . + 
Funktion n-ten Grades
LGS (Lineares Gleichungssystem aus o und w
I
II
III
w = o w Ë  = o′ (Stelle  in der Nähe des zu
berechnenden Wertes)
w ËË  = w ËË  )k + 1 − ql-
w
N
 = o
N
 In dem Punkt ist die
Ableitung nicht definiert!
Ergebnis:
wN = N! ∙ oN  ∙ −  N
.
+ N%.! ∙ oN%.  ∙ −  N%.
.
+ N%! ∙ oN%  ∙ −  N%
⋮
.

+o  ∙ −  áâãâä
.
Taylor-Polynom
kurz:
(Heron)
wN = èNg°$
.
g!
og  ∙ −  g
Bsp.: 1 + 2 + 3 + 4 … + 100 = è.
é°. f
Summe j von 0 bis n
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 191
14.3 Komplexe Zahlen
Historisch:
Gesucht sind die Zahlen, die in der Summe 10 ergeben und im Produkt 40.
(Cardano)
In „neuer“ Schreibweise:
da
∙ 10 − = 40
+ = 10 = 10 − 10 − = 40
∙ 10 − = 40
+ 10 − = 10
∙ = 40
− 10 + 40 = 0
.} =
da I10 − 4 ∙ 1 ∙ 40 negativ
Bsp.:
H6 = I1 + H−3 + I1 − H−3
Beweis:
)H6- = CI1 + H−3 + I1 − H−3D
6 = CI1 + H−3D + 2 ∙ I1 + H−3 ∙ I1 − H−3 + CI1 − H−3D
= 1 + H−3 + 2 ∙ K)1 + H−3-)1 − H−3- + 1 − H−3
= 1 + 2 ∙ K1 − )H−3- + 1
= 1 + 2 ∙ I1 − −3 + 1
= 1 + 2 ∙ H4 + 1 = 6
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 192
Vorgriff: Anwendungen:
Lösungen von ! -Gleichungen
Formel von Cardano
Winkelfunktionen und Exponentialfunktionen
Schwingungen + Wellen
Wechselstromwiderstände
Aufbau/Begründung der komplexen Zahlen
ℕ = \1; 2; 3 … ]
ℤ = \… ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; … ]
ℚ = W… ; −3; − ; … ; 0; 1; . ; … X
!
ℝ = h−§; −1; 0; H2; … i
/
Zählen
Kontostand
Torten/Pizza
Verdoppl./Quad.
Komplexe Zahlen ℂ
2 = 6
+5=2
2 = 5
= 2
e = −1
Bedingungen:
ℂ muss „mehr“ Zahlen enthalten als ℝ
Rechenregeln müssen gelten
ℝ muss Teil von ℂ sein
Problem:
Zahlenstrahl
ℝ
−3
Mathematik
−2
ℤ
H2 H3
−1 6 0 1 1 9
−
7
2
4
ℚ
2
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 193
Erweiterung:
Imaginäre
f = H−1
×
e
1 2 3
−f = −H−1
4
Real
e3|2
Problem: e. + e =?
Vektorielle Addition
e. C1– D
!
e −2|−4
1 + −2
−1
e+++,. + e+++, = -3
.=C
D
−2,5
+ −4
2
e! −1|−2,5
Vergleiche:
Koordinatenform
ø + −2,5
e! = −1
áâãâä f
ÞÝ$ß
×µÌ.
Rechenregeln:
e. + e = + ∙ f ± + ∙ f
= + ± + ∙ f = e!
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 194
e. ∙ e = + ∙ f ∙ + ∙ f
f = −1
= + f + f + f = − + + ∙ f
Probe:
2+æ
0f = 2
e. = æ
$

e = æ
3 + ǽ
0f = 3
e. ∙ e = 6
7
Übung:
a)
b)
c)
d)
1 + f3 + 2f = 3 + 2f + 3f + 2f = 3 + 5f − 2 = 1 + 5f
3 − 2f5 + 9f = 15 + 27f − 10f − 18f = 15 + 17f + 18 = 33 + 17f
2,5 − 3f−7 + 3f = −
!0
+
.0
f + 21f − 9f = −17,5 +
0/
f + 9 = −8,5 +
)H2 + 3f-)3 − H3f- = 3H2 − H6f + 9f − 3H3f = 3H2 − H6f + 9f + 3H3
0/
f
= 3)H2 + H3- + )9 − H6-f
Zeichnerische Addition
Im
e
×
× e. + e
×e
.
Re
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 195
Zeichnerische Multiplikation (einfache)
Im
×
−e.
180°
e. ∙ −1 = −e.
180°
×
−e
e = + f
−1 ∙ e = − − f
× e
×
e.
Re
Im
×
f ∙ e
90°
e
×
f ∙ e.
×
90°
f ∙ e.
×
e.
e = 4f
f ∙ e = −4
Re
Multiplikation mit f ist die Drehung um 90°
e = + f
∙ e = ∙ + f
z.B. 17
Verlängerung um Faktor Mathematik
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Seite 196
f ∙ e = − + ∙ f
Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn
Bsp.:
2 + f ∙ e.
= 2 ∙ e. + f ∙ e.
ciuu>lh>:
`>dhi:
90° o>:>ℎh>:
`>dhi:
+
©;mm>k‘>dhi:
2 + f ∙ e.
×
Im
×
f ∙ e.
×
e.
×
2 ∙ e.
2 + f ∙ e.
Re
Division von komplexen Zahlen
'é
!%é
Bekannt:
Vorsicht:
=?
'é
!
= + f
!
≠
!%é
'é
.
'é
!
!
−
'é
é
Idee: Nenner real ist einfach
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 197
+ = + 2 + Versuch:
'é&
'é&
'é&
C!%éD = !%é& = !& %∙!∙é'é& = r%.é%3
'é
+ − = − Versuch:
'é∙!'é
!%é∙!'é
=
'é∙!'é
!& %é&
=
T'!é'é& '3é
r'3
=
3'/é
.!
Definition:
e ∗ heißt konjugiert komplexe Zahl zu e
e = + f
e ∗ = − f
l*
l&
l ∙l ∗
= l* ∙l&∗
m
& &
∈ℝ
Übung:
.'é.'é
.'é
b)
!%é
c)
!%0é
d)
/'é
.%é
é
.'é&
= .%é.'é =
a)
=
'é
T%ré
!%é∙é
=
é&
=
!é'.
%.
!%0é%é
'é%é
.'.
=
=
.'é%.
= −1 − 3f
T%!é%.é'0é &
/'éT'ré
= T%réT'ré =
3%é'é%é &
=f
=
.%.!é
3'T!é'.é'.Eé &
!E%E.é &
0
=
3'/0é
../
Grundrechenarten vollständig
(Hinweis: e = e ∙ e)
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 198
Gleichungen
2 + f ∙ e = 3 + f
Analog zu:
2∙ = 3
|: 2
!'é
e = 'é
Mathematischer Einschub: ( Taylorreihe)
> # = 1 + .! ∙ + ! ∙ + !! ∙ ! + 3! ∙ 3 + ⋯
.
.
.
>#
1
= 1 + + 2
sin
.
= 1+
4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4
=1
1
1
= 1 + + + !
2
6
1
= − !
6
=
=−
1 ! 1 0
+ 3!
5!
=0
y = sin Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 199
cos = 1 +
1 1 3
+ −⋯
2!
4!
> é∙# = 1 + f +
1
1
1
1
1
f + f! + f3 + f0 + fT + ⋯
2!
3!
4!
5!
6!
= 1 + f + ! f
m! ! + 3! f
m3 3 + 0! f
m0 0 + T! fT T + ⋯
m + !! f
.
%.
.
é & ∙é°%é
.
.
%.&
= 1 + f − ! − !! f + 3! 3 + 0! f 0 − T! T + ⋯
.
.
.
.
.
> é# = cos + f ∙ sin
cos =
sin =
Ý oS 'Ý ¼oS
.
é 1 ∙é
Ý oS %Ý ¼oS
é
Polardarstellung von komplexen Zahlen
Definition:
Sei die Zahl e = + f
∈ ℂ.
CAS:
Dann heißt _>e = Realteil von z
_>le
“moe
und
“me = Imaginärteil von z
Im
|e| = I + e = + f = |e|
∙ cos2
áââãââä
2
e
∙
× e = + f
Re
$
'|l|∙!"p∙é
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 200
e = |e|
ø ∙ cos2 + f ∙ sin2
5
e = |e| ∙ > ép
Polardarstellung
e. ∙ e = |e. | ∙ > ép* ∙ |e | ∙ > ép&
= |e. | ∙ |e | ∙ > ép* 'p& e. |e. | ∙ > ép*
=
e |e | ∙ > ép&
=
Bsp.:
|e. | ép %p ∙> * &
|e
m
|
∈ℝ
e. = 45
ø +0
ø ∙ f = 45 ∙ > é∙
$

2 = 0°
|e. | = H45 + 0 = 45
45
cos2 = |l| = 30 = 1 → 2 = 0°
$
30
é∙
>m
.
e = 3 − 4f
|e| = I3 + −4^2
|e| = H9 + 16 = 5
−
×
3
= → 2 = 53°
cos2 =
|e| 5
2ð78¨ = 360° − 53° = 307°
e = 5> é∙!/°
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 201
Übung:
a)
e = −98
|e| = I−98 + 0 = 98
cos2 = |l| = − rE → 2 = 180°
$
rE
e = 98 ∙ > é∙.E°
b)
e = 77f
|e| = H0 + 77 = 77
sin2 = |l| = // = 1 → 2 = 90°

e = 77 ∙ > é∙r°
c)
//
e = 2 + 2H3f
|e| = K2 + )2H3- = 4
cos2 = |l| = → 2 = 60°
$
e = 4 ∙ > é∙T°
3
Potenzen von komplexen Zahlen
e = 3 + 4f = 5> é∙0!°
e = 3 + 4f3 + 4f
=⋯=
e = )5> é∙0!° -)5> é∙0!° -
= 25> é∙0!°'0!° = 25> é∙.T°
= 5 ∙ > é∙∙0!°
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 202
e ! = 3 + 4f3 + 4f3 + 4f
=⋯
e ! = 5! ∙ > é∙!∙0!°
e./ = 5./ ∙ > é∙./∙0!°
e N = |e|N ∙ > é∙N∙p
Berechnen Sie:
mit e ; e ! ; e /
e = 1 ∙ > é∙T°
e = 1 ∙ > é∙.°
e ! = 1 ∙ > é∙.E°
e / = 1 ∙ 2é∙3° = 1 ∙ > é∙T°
e = 3 ∙ > é∙!.0°
mit e 3 ; e / ; e %
e 3 = 81 ∙ > é∙.T° = 81 ∙ > é∙.E°
e / = 2187 ∙ > é∙0° = 2187 ∙ > é∙30°
e % =
1 é∙%T!° 1 é∙r°
∙>
= ∙>
9
9
17 Teilabschnitte:
e. = : ∙ > é∙
!T°
./
e = : ∙ > é∙∙
e! = ⋯
!T°
./
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 203
Der Körper der komplexen Zahlen
Eine (Zahlen-)Menge heißt Körper, wenn die Menge folgende Eigenschaften hat:
, ∈ n
+ ∈n
∈n
zu jedem existiert eine Zahl >, sodass + > = gilt
Zu jedem existiert eine Zahl , sodass + = > = − gilt.
+ + = + + + =+
, ∈ n
∙ ∈n
Zu jedem ≠ > existiert eine Zahl, sodass ∙ = 1
Es existiert eine Zahl 1, sodass ∙ 1 = ∙ + = ∙ + ∙ Bsp.:
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
∙
1
2
3
1
1
2
3
2
2
0
2
3
3
2
1
Die Menge ℂ der komplexen Zahlen bildet einen Körper.
Lösen von Gleichungen
1. quadratischen Gleichungen
In ℝ hat eine quadratische Gleichung
+ + = 0
maximal 2 Lösungen.
Präziser: Sie hat entweder keine, eine oder zwei Lösungen.
Mathematik
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 204
In ℂ hat die Gleichung
e + e + = 0
genau zwei Lösungen. (doppelte zählen doppelt)
e.}
%±H& %3$7
$
Übung:
a)
e + e + 1 = 0
e.}
%.±H.& %3∙.∙.
e. =
b)
e =
.'H!é
.%H!é
e − 7e + 12,5 = 0
e.}
%%/±I%/& %3∙.∙.,0
e. =
c)
∙.
3r'é
∙.
e =
e + −1 + f ∙ e − f = 0
e.}
3r%é
%%.'é±I%.'é& %3∙.∙%é
e. =
.%é'Hé
Mathematik
∙.
=1
e =
=
.%é±H.%é%.'3é
.%é%Hé
= −f
=
.%é±Hé
Sonntag, 17. Mai 2009
Seite 205