Wahrscheinlichkeitstheorie - Klenke, ReadingSample - Beck-Shop

Springer-Lehrbuch Masterclass
Wahrscheinlichkeitstheorie
von
Achim Klenke
überarbeitet
Wahrscheinlichkeitstheorie – Klenke
schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG
Thematische Gliederung:
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Springer 2008
Verlag C.H. Beck im Internet:
www.beck.de
ISBN 978 3 540 76317 8
Inhaltsverzeichnis: Wahrscheinlichkeitstheorie – Klenke
undlagen der Maßtheorie
m Kapitel führen wir die Mengensysteme ein, die eine systematische Beng von Ereignissen und zufälligen Beobachtungen in der Wahrscheinlichorie erlauben. Ferner sollen Maße, insbesondere Wahrscheinlichkeitsmaße,
hen Mengensystemen konstruiert werden. Schließlich werden wir Zufallsn als messbare Abbildungen definieren.
engensysteme
genden ist stets Ω = ∅ eine Menge und A ⊂ 2Ω (Potenzmenge von Ω)
milie von Teilmengen. Später wird die Menge Ω als Raum von Elementarsen interpretiert werden und A als ein System von beobachtbaren Ereignisr wollen in diesem Abschnitt Mengensysteme, die abgeschlossen sind unter
en mengentheoretischen Verknüpfungen, mit Namen versehen und einfache
ungen zwischen solchen Systemen herstellen.
on 1.1. Das Mengensystem A heißt
bil (sprich: schnittstabil) oder ein π-System, falls für je zwei Mengen
∈ A gilt, dass auch A ∩ B ∈ A,
stabil (sigma-schnittstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Mengen
∞
A2 , . . . ∈ A gilt, dass auch
An ∈ A,
n=1
bil (vereinigungsstabil), falls für je zwei Mengen A, B ∈ A gilt, dass auch
B ∈ A,
stabil (sigma-vereinigungsstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Men∞
An ∈ A,
A1 , A2 , . . . ∈ A gilt, dass auch
n=1
bil (differenzmengenstabil), falls für je zwei Mengen A, B ∈ A gilt, dass
A \ B ∈ A,
1 Grundlagen der Maßtheorie
nition 1.2 (σ-Algebra). Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω heißt σ-Algebra, falls
olgenden drei Bedingungen erfüllt sind.
Ω ∈ A,
A ist komplementstabil,
A ist σ-∪-stabil.
gebren sind die natürlichen Mengensysteme für zufällige Ereignisse, denn wie
ehen werden, können wir diesen Ereignissen in konsistenter Weise Wahrscheineiten zuordnen.
1.3. Ist A komplementstabil, so gelten die beiden folgenden Äquivalenzen.
A ist ∩ -stabil
⇐⇒
A ist ∪ -stabil,
A ist σ- ∩ -stabil
⇐⇒
A ist σ- ∪ -stabil.
eis. Dies folgt direkt aus den de Morgan’schen Regeln (Erinnerung: ( Ai )c =
). Ist beispielsweise A σ-∩-stabil und sind A1 , A2 , . . . ∈ A, so ist auch
c
∞
∞
c
An =
An
∈ A.
n=1
n=1
ist A auch σ-∪-stabil. Die anderen Fälle folgen analog.
2
1.4. Ist A \-stabil, so gelten die folgenden Aussagen.
A ist ∩-stabil.
Falls A σ-∪-stabil ist, dann ist A auch σ-∩-stabil.
Jede abzählbare (beziehungsweise endliche) Vereinigung von Mengen aus A
lässt sich als abzählbare (beziehungsweise endliche), disjunkte Vereinigung
von Mengen in A schreiben.
eis. (i) Seien A, B ∈ A. Dann ist auch A ∩ B = A \ (A \ B) ∈ A.
Seien A1 , A2 , . . . ∈ A. Dann ist
∞
=1
An =
∞
n=2
(A1 ∩ An ) =
∞
A1 \ (A1 \ An ) = A1 \
n=2
∞
n=2
∞
(A1 \ An ) ∈ A.
n
1.1 Mengensysteme
3
= A1 (A2 \ A1 ) ((A3 \ A1 ) \ A2 ) (((A4 \ A1 ) \ A2 ) \ A3 ) . . . 2
kung 1.5. Manchmal bezeichnen wir, wie imobigen Beweis, die Vereiniarweise disjunkter Mengen mit dem Symbol . Dies soll lediglich der opVerdeutlichung dienen und ist keine neue Verknüpfung.
3
on 1.6. Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω heißt Algebra, falls gilt:
∈ A,
ist \-stabil,
ist ∪-stabil.
r ist in einer Algebra stets ∅ = Ω \ Ω enthalten. Diese Eigenschaft ist im
einen jedoch schwächer als (i) in Definition 1.6.
7. Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω ist genau dann eine Algebra, wenn es folgende
enschaften hat:
∈ A,
ist komplementstabil,
ist ∩-stabil.
Übung!
2
on 1.8. Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω heißt Ring, falls gilt:
∈ A,
ist \-stabil,
ist ∪-stabil.
g heißt σ-Ring, falls er σ-∪-stabil ist.
on 1.9. Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω heißt Semiring (oder Halbring), falls
∈ A,
je zwei Mengen A, B ∈ A ist B \ A endliche Vereinigung von paarweise
junkten Mengen aus A,
1 Grundlagen der Maßtheorie
nition 1.10. Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω heißt Dynkin-System (oder λ-Sysfalls gilt:
Ω ∈ A,
für je zwei Mengen A, B ∈ A mit A ⊂ B ist B \ A ∈ A,
für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen A1 , A2 , . . . ∈ A gilt
∞
n=1 An ∈ A.
piele 1.11. (i) Ist Ω eine beliebige nichtleere Menge, so sind A = {∅, Ω} und
2Ω die trivialen Beispiele für Algebren, σ-Algebren und Dynkin-Systeme.
egen sind A = {∅} und A = 2Ω die trivialen Beispiele für Semiringe, Ringe
σ-Ringe.
Sei Ω = R. Dann ist A = {A ⊂ R : A ist abzählbar} ein σ-Ring.
A = {(a, b] : a, b ∈ R, a ≤ b} ist ein Semiring über Ω = R (aber kein
).
Die Menge endlicher Vereinigungen von beschränkten Intervallen ist ein Ring
Ω = R (aber keine Algebra).
Die Menge endlicher Vereinigungen beliebiger (auch unbeschränkter) Interist eine Algebra über Ω = R (aber keine σ-Algebra).
Sei E eine endliche, nichtleere Menge und Ω := E N die Menge aller Folgen
(ωn )n∈N mit Werten in E. Für ω1 , . . . , ωn ∈ E sei
[ω1 , . . . , ωn ] := {ω ∈ Ω : ωi = ωi für jedes i = 1, . . . , n}
Menge aller Folgen, die mit den Werten ω1 , . . . , ωn beginnen. Sei A0 = {∅}.
n ∈ N setze
n ist A :=
∞
An := {[ω1 , . . . , ωn ] : ω1 , . . . , ωn ∈ E}.
n=0
An ein Semiring, aber kein Ring (falls #E > 1).
Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist
A := {A ⊂ Ω : A oder Ac ist endlich}
Algebra. Ist #Ω = ∞, so ist A jedoch keine σ-Algebra.
Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist
A := {A ⊂ Ω : A oder Ac ist abzählbar}
σ-Algebra.
Jede σ-Algebra ist auch ein Dynkin-System.
(1.1)
1.1 Mengensysteme
5
12 (Inklusionen zwischen Mengensystemen).
de σ-Algebra ist ein Dynkin-System, eine Algebra und ein σ-Ring.
der σ-Ring ist ein Ring, jeder Ring ein Semiring.
de Algebra ist auch ein Ring. Eine Algebra auf einer endlichen Menge Ω ist
ch eine σ-Algebra.
(i) Das ist klar.
i A ein Ring. Nach Satz 1.4 ist A schnittstabil und damit ein Semiring.
ei A eine Algebra. Dann ist ∅ = Ω \ Ω ∈ A, also ist A ein Ring. Ist zudem
ch, so ist A endlich und damit jede abzählbare Vereinigung in A schon eine
e Vereinigung.
2
on 1.13 (liminf und limsup). Es seien A1 , A2 , . . . Teilmengen von Ω. Dann
lim inf An :=
n→∞
∞
∞ und
Am
lim sup An :=
n→∞
n=1 m=n
∞
∞ Am
n=1 m=n
nferior beziehungsweise Limes superior der Folge (An )n∈N .
kung 1.14. (i) Es gilt
lim inf An = ω ∈ Ω : #{n ∈ N : ω ∈ An } < ∞ ,
n→∞
lim sup An = ω ∈ Ω : #{n ∈ N : ω ∈ An } = ∞ .
n→∞
mes inferior ist also das Ereignis, dass schließlich alle der An eintreten, der
uperior hingegen das Ereignis, dass unendlich viele der An eintreten. Insbeist A∗ := lim inf n→∞ An ⊂ A∗ := lim supn→∞ An .
ezeichnen wir mit
½A (x) :=
1,
0,
falls x ∈ A,
falls x ∈
A,
(1.2)
katorfunktion auf der Menge A, so gilt
½A∗ = lim inf ½An ,
n→∞
½A∗ = lim sup ½An .
n→∞
t A ⊂ 2Ω eine σ-Algebra und An ∈ A für jedes n ∈ N, so ist A∗ ∈ A und
.
3
1 Grundlagen der Maßtheorie
1.15 (Schnitt von Mengensystemen). Ist I eine beliebige Indexmenge und Ai
σ-Algebra für jedes i ∈ I, so ist
AI := A ⊂ Ω : A ∈ Ai für jedes i ∈ I =
Ai
i∈I
σ-Algebra. Dies gilt analog für: Ringe, σ-Ringe, Algebren und Dynkin-Systeme;
aber für Semiringe.
eis. Wir führen den Beweis hier nur für σ-Algebren durch. Wir prüfen für A
unkte (i)–(iii) aus Definition 1.2.
Für jedes i ∈ I ist Ω ∈ Ai . Also ist Ω ∈ A.
Sei A ∈ A. Dann ist A ∈ Ai für jedes i ∈ I. Also ist auch Ac ∈ Ai für jedes
i ∈ I. Mithin ist Ac ∈ A.
Seien A1 , A2 , . . . ∈A. Dann ist An ∈ Ai für jedes n ∈ N und jedes i ∈ I.
∞
Also ist auch A := n=1 An ∈ Ai für jedes i ∈ I und damit A ∈ A.
nbeispiel für Semiringe: Seien Ω = {1, 2, 3, 4}, A1 = {∅, Ω, {1}, {2, 3}, {4}}
A2 = {∅, Ω, {1}, {2}, {3, 4}}. Dann sind A1 und A2 Semiringe, aber A1 ∩
= {∅, Ω, {1}} ist keiner.
2
1.16 (Erzeugte σ-Algebra). Sei E ⊂ 2Ω . Dann existiert eine kleinste σbra σ(E) mit E ⊂ σ(E):
A.
σ(E) :=
A⊂2Ω ist σ-Algebra
A⊃E
heißt die von E erzeugte σ-Algebra. E heißt Erzeuger von σ(E). Analog wird
on E erzeugte Dynkin-System δ(E) definiert.
eis. A = 2Ω ist eine σ-Algebra mit E ⊂ A. Also ist der Schnitt nicht leer. Nach
1.15 ist σ(E) eine σ-Algebra, und dies ist offenbar die kleinste σ-Algebra, die
hält. Für Dynkin-Systeme geht der Beweis genauso.
2
erkung 1.17. Es gelten die folgenden einfachen Aussagen.
E ⊂ σ(E).
Gilt E1 ⊂ E2 , so ist σ(E1 ) ⊂ σ(E2 ).
A ist genau dann σ-Algebra, wenn σ(A) = A.
1.1 Mengensysteme
7
18 (Schnittstabiles Dynkin-System). Ist D ⊂ 2Ω ein Dynkin-System, so gilt
D ist ∩-stabil
”
⇐= “
⇐⇒
D ist eine σ-Algebra.
Dies ist klar.
Wir prüfen die Eigenschaften (i)–(iii) aus Definition 1.2.
ffensichtlich ist Ω ∈ D.
Komplementstabilität) Sei A ∈ D. Da Ω ∈ D gilt, und nach Eigenschaft (ii)
s Dynkin-Systems, ist Ac = Ω \ A ∈ D.
-∪-Stabilität) Seien A, B ∈ D. Nach Voraussetzung ist A ∩ B ∈ D, und es
lt trivialerweise A ∩ B ⊂ A. Also ist A \ B = A \ (A ∩ B) ∈ D. Mithin ist
\-stabil. Seien nun A1 , A2 , . . . ∈ D. Nach Satz 1.4(iii) existieren paarweise
∞
∞
An =
Bn ∈ D.
2
sjunkte Mengen B1 , B2 , . . . ∈ D mit
n=1
*
σ-∪-stabil σ-Algebra
Algebra
I
@
Ω ∈ A@
6
n=1
HH
Y
H
Ω∈A
σ-Ring
HH ∩-stabil
HH
H
Dynkin-System
@
σ-∪-stabil
@
Ring
6
∪-stabil
Semiring
Abb. 1.1. Zusammenhang zwischen den Mengensystemen A ⊂ 2Ω .
19 (Dynkin’scher π–λ–Satz). Sei E ⊂ 2Ω ein ∩-stabiles Mengensystem.
gilt
σ(E) = δ(E).
⊃“
”
Dies ist klar nach Bemerkung 1.17.
1 Grundlagen der Maßtheorie
DB := {A ∈ δ(E) : A ∩ B ∈ δ(E)}.
die Schnittstabilität von δ(E) reicht es zu zeigen, dass
δ(E) ⊂ DB
für jedes B ∈ δ(E).
(1.3)
zeigen, dass DE für jedes E ∈ δ(E) ein Dynkin-System ist, indem wir (i)–(iii)
Definition 1.10) prüfen:
Offenbar ist Ω ∩ E = E ∈ δ(E), also ist Ω ∈ DE .
Für A, B ∈ DE mit A ⊂ B ist (B \ A) ∩ E = (B ∩ E) \ (A ∩ E) ∈ δ(E).
Seien A1 , A2 , . . . ∈ DE paarweise disjunkt. Dann ist
∞
∞
An ∩ E =
(An ∩ E) ∈ δ(E).
n=1
n=1
Voraussetzung ist für A ∈ E auch A ∩ E ∈ E, also ist E ⊂ DE , falls E ∈ E
Nach Bemerkung 1.17(ii) ist daher auch δ(E) ⊂ DE für E ∈ E. Für B ∈ δ(E)
E ∈ E ist also B ∩ E ∈ δ(E). Mithin gilt E ∈ DB für jedes B ∈ δ(E), also
2
DB für jedes B ∈ δ(E), und damit gilt (1.3).
besonderer Bedeutung sind σ-Algebren, die von Topologien erzeugt werden.
wiederum spielt natürlich der euklidische Raum Rn die prominenteste Rolle,
wir wollen auch den (unendlichdimensionalen) Raum C([0, 1]) der stetigen
tionen [0, 1] → R im Blick haben. Auf diesem Raum wird durch die Norm
∞ = supx∈[0,1] |f (x)| eine Topologie erzeugt. Zur Erinnerung bringen wir hier
Axiomensystem der Topologie.
nition 1.20 (Topologie). Sei Ω = ∅ eine beliebige Menge. Ein Mengensystem
Ω heißt Topologie auf Ω, falls folgende drei Eigenschaften gelten.
∅, Ω ∈ τ .
Sind A, B ∈ τ , so ist auch A ∩ B ∈ τ .
Ist F ⊂ τ eine beliebige Familie, so ist auch
A∈F
A ∈ τ.
Paar (Ω, τ ) heißt dann topologischer Raum. Die Mengen A ∈ τ heißen offen,
Mengen A ⊂ Ω mit Ac ∈ τ heißen abgeschlossen.
ers als bei σ-Algebren sind bei Topologien nur endliche Schnitte, jedoch auch
abzählbare Vereinigungen erlaubt. Ist d eine Metrik auf Ω, und bezeichnet
1.1 Mengensysteme
τ=
(x,r)∈F
9
Br (x) : F ⊂ Ω × (0, ∞) .
das gewöhnliche System offener Mengen, das man in den meisten Analyern findet.
ion 1.21 (Borel’sche σ-Algebra). Sei (Ω, τ ) ein topologischer Raum. Die
n offenen Mengen erzeugte σ-Algebra
B(Ω) := B(Ω, τ ) := σ(τ )
orel’sche σ-Algebra auf Ω. Die Elemente A ∈ B(Ω, τ ) heißen Borel’sche
n oder Borel-messbare Mengen.
kung 1.22. Wir sind meistens an B(Rn ) interessiert, wobei wir auf Rn den
chen Abstand annehmen:
n
d(x, y) = x − y2 = (xi − yi )2 .
i=1
gibt Teilmengen von R , die keine Borel’schen Mengen sind. Diese sind
ziert herzustellen, wie beispielsweise die Vitali-Mengen, die man in Anachern findet (siehe etwa [7]). Wir wollen hier auf diesen Aspekt nicht näher
n, sondern lediglich die - mathematisch unpräzise - Feststellung treffen, dass
nge, die man sich konstruktiv herstellen kann, auch Borel’sch ist.
n
de abgeschlossene Menge C ⊂ Rn ist in B(Rn ), denn es ist C c ∈ τ , also ist
c c
) ∈ σ(τ ). Speziell ist {x} ∈ B(Rn ) für jedes x ∈ Rn .
(Rn ) ist keine Topologie. Sei nämlich V ⊂ Rn , V ∈ B(Rn ). Wäre B(Rn )
pologie, so wären
beliebige Vereinigungen Borel’scher Mengen wieder Bo3
also auch V = x∈V {x} ∈ B(Rn ).
ngensystem der offenen Mengen, das die Borel’sche σ-Algebra erzeugt, ist
n Fällen unhandlich groß. Wir wollen daher andere Mengensysteme als Ervon B(Rn ) identifizieren, mit denen wir in der Praxis besser arbeiten können.
wollen wir einerseits Mengen von einfacher Struktur, Quader etwa, be, andererseits aber auch die Größe des Systems einschränken, indem wir
are Mengensysteme betrachten. Wir führen folgende Notationen ein. Mit
chnen wir die Menge der rationalen Zahlen, mit Q+ die Menge der strikt
n rationalen Zahlen. Für a, b ∈ Rn schreiben wir
a < b,
falls ai < bi
für jedes i = 1, . . . , n.
finieren für a < b den offenen Quader als das kartesische Produkt
(1.4)
1 Grundlagen der Maßtheorie
analog [a, b], (a, b] und [a, b). Ferner schreiben wir (−∞, b) := ×i=1 (−∞, bi )
definieren analog (−∞, b] und so fort. Wir führen die folgenden Mengensystein:
n
:= {A ⊂ Rn : A ist offen},
E2 := {A ⊂ Rn : A ist abgeschlossen},
:= {A ⊂ Rn : A ist kompakt},
E4 := {Br (x) : x ∈ Qn , r ∈ Q+ },
:= {(a, b) : a, b ∈ Qn , a < b},
:= {(a, b] : a, b ∈ Qn , a < b},
E6 := {[a, b) : a, b ∈ Qn , a < b},
E8 := {[a, b] : a, b ∈ Qn , a < b},
:= {(−∞, b) : b ∈ Qn },
:= {(a, ∞) : a ∈ Qn },
E10 := {(−∞, b] : b ∈ Qn },
E12 := {[a, ∞) : a ∈ Qn }.
z 1.23. Die Borel’sche σ-Algebra B(Rn ) wird von jedem der Mengensysteme
. . , E12 erzeugt: B(Rn ) = σ(Ei ) für jedes i = 1, . . . , 12.
eis. Wir zeigen nur exemplarisch ein paar der Identitäten.
B(Rn ) = σ(E1 ) gilt per Definition.
Sei A ∈ E1 . Dann ist Ac ∈ E2 , also A = (Ac )c ∈ σ(E2 ). Daher gilt E1 ⊂
) und dann (wegen Bemerkung 1.17) auch σ(E1 ) ⊂ σ(E2 ). Analog folgt aber
) ⊂ σ(E1 ) und damit die Gleichheit.
Jede kompakte Menge ist abgeschlossen. Also gilt σ(E3 ) ⊂ σ(E2 ). Sei nun
E2 . Dann sind die Mengen AK := A ∩ [−K, K]n , K ∈ N, kompakt, also ist
∞
bzählbare Vereinigung A = K=1 AK in σ(E3 ). Es gilt also E2 ⊂ σ(E3 ) und
t σ(E2 ) = σ(E3 ).
Offenbar ist E4 ⊂ E1 , also σ(E4 ) ⊂ σ(E1 ). Sei nun A ⊂ Rn offen. Für x ∈ A
R(x) = min(1, sup{r > 0 : Br (x) ⊂ A}). Da A offen ist, folgt R(x) > 0. Sei
∈ (R(x)/2, R(x)) ∩ Q. Für jedes y ∈ A und x ∈ (BR(y)/3 (y)) ∩ Qn ist nun
2
1
≥ R(y)
− x − y2 > 3 R(y), also r(x) > 3 R(y), also y ∈ Br(x) (x). Also
= x∈A∩Qn Br(x) (x) eine abzählbare Vereinigung von Mengen aus E4 und
t in σ(E4 ). Es gilt also auch σ(E1 ) ⊂ σ(E4 ).
2) Ähnliche Ausschöpfungsargumente wie in (4) funktionieren auch für die
der. In (4) können statt der offenen Kugeln Br (x) offene Quader genommen
en. So folgt die Gleichheit mit σ(E5 ). Man bemerke beispielsweise, dass
×
n
[ai , bi ) =
i=1
∞
×
n
k=1 i=1
ai −
1 , bi ∈ σ(E5 ).
k
anderen Inklusionen Ei ⊂ σ(Ej ) zeigt man analog.
2
1.1 Mengensysteme
11
-System: B(Rn ) = δ(Ei ) für i = 1, 2, 3, 5, . . . , 12. Die Mengensysteme
E12 sind zudem abzählbar. Dies ist eine Eigenschaft, die wir an späterer
ieder benötigen werden.
3
on 1.25 (Spur eines Mengensystems). Es sei A ⊂ 2Ω ein beliebiges SysTeilmengen von Ω und A ∈ 2Ω \ {∅}. Das Mengensystem
A := {A ∩ B : B ∈ A} ⊂ 2A
A
(1.6)
pur von A auf A, oder Einschränkung von A auf A.
26. Ist A eine σ-Algebra, oder eines der Mengensysteme aus den Definitio
– 1.10 auf Ω, so ist A ein Mengensystem vom selben Typ, allerdings auf
A
Ω.
Übung!
2
1.1.1. Sei A ein Semiring. Man zeige: Jede abzählbare (beziehungsweise
e) Vereinigung von Mengen aus A lässt sich als abzählbare (beziehungsweiche), disjunkte Vereinigung von Mengen in A schreiben.
♣
1.1.2. Man zeige durch ein Gegenbeispiel, dass im Allgemeinen die VereiA ∪ A zweier σ-Algebren keine σ-Algebra ist.
♣
1.1.3. Seien (Ω1 , d1 ) und(Ω2 , d2 ) metrische Räume, f :
Ω1 → Ω2 eine
e Abbildung und Uf = x ∈ Ω1 : f ist unstetig in x die Menge der
gkeitsstellen. Man zeige: Uf ∈ B(Ω1 ).
s: Man zeige zunächst, dass für ε > 0 und δ > 0 die Menge
Ufδ,ε := x ∈ Ω1 : es gibt y, z ∈ Bε (x) mit d2 (f (y), f (z)) > δ
Bε (x) = {y ∈ Ω1 : d1 (x, y) < ε}) offen ist und konstruiere dann Uf aus
Mengen.
♣
1.1.4. Sei Ω eine überabzählbare Menge und A = σ({ω} : ω ∈ Ω). Zeige:
A = A ⊂ Ω : A ist abzählbar oder Ac ist abzählbar .
♣
1.1.5. Sei A ein Ring auf der Menge Ω. Man zeige: A erfüllt die Axiome
ommutativen Rings (im Sinne der Algebra) mit ∩“ als Multiplikation und
”
s Addition.
♣
1 Grundlagen der Maßtheorie
Mengenfunktionen
nition 1.27. Sei A ⊂ 2Ω und μ : A → [0, ∞] eine Mengenfunktion. μ heißt
monoton, falls für je zwei Mengen A, B ∈ A mit A ⊂ B gilt, dass μ(A) ≤
μ(B),
additiv, falls für je endlich viele
disjunkte Mengen A1 , . . . , An ∈ A
n paarweise
n
n
Ai ∈ A gilt, dass μ
Ai =
μ(Ai ),
mit
i=1
i=1
i=1
σ-additiv, falls für je abzählbar viele
disjunkte Mengen A1 , A2 , . . .
∞paarweise
∞
∞
Ai ∈ A gilt, dass μ
Ai =
μ(Ai ),
aus A mit
i=1
i=1
i=1
subadditiv, falls für je endlich viele Mengen A, A1 , A2 , . . . , An ∈ A mit A ⊂
n
n
Ai gilt, dass μ(A) ≤
μ(Ai ),
i=1
i=1
σ-subadditiv, falls für je abzählbar viele A, A1 , A2 , . . . ∈ A mit A ⊂
gilt, dass μ(A) ≤
∞
∞
Ai
i=1
μ(Ai ).
i=1
nition 1.28. Sei A ein Semiring und μ : A → [0, ∞] eine Mengenfunktion mit
= 0. μ heißt
halt, falls μ additiv ist,
ämaß, falls μ σ-additiv ist,
aß, falls μ ein Prämaß ist und A eine σ-Algebra,
ahrscheinlichkeitsmaß (kurz W-Maß), falls μ ein Maß ist und μ(Ω) = 1.
nition 1.29. Sei A ein Semiring. Ein Inhalt μ auf A heißt
endlich, falls μ(A) < ∞ für jedes A ∈ A,
σ-endlich, falls es Mengen Ω1 , Ω2 , . . . ∈ A gibt mit Ω =
μ(Ωn ) < ∞ für jedes n ∈ N.
∞
Ωn und
n=1
piel 1.30 (Inhalte, Maße). (i) Sei ω ∈ Ω und δω (A) = ½A (ω) (siehe (1.2)).
n ist δω ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf jeder σ-Algebra A ⊂ 2Ω und heißt
c-Maß im Punkt ω, oder Einheitsmasse.
Sei Ω eine endliche, nichtleere Menge. Durch
1.2 Mengenfunktionen
13
n Wahrscheinlichkeitsmaß auf A = 2Ω definiert. μ heißt Gleichverteilung
iforme Verteilung auf Ω. Wir führen hierfür das Symbol UΩ := μ ein. Das
ierte Tripel (Ω, A, UΩ ) wird auch Laplace-Raum genannt.
ei Ω abzählbar unendlich und
A := {A ⊂ Ω : #A < ∞ oder #Ac < ∞}.
t A eine Algebra. Die durch
μ(A) =
falls A endlich,
falls Ac endlich,
0,
∞,
definierte
Mengenfunktion ist
ein Inhalt, aber kein Prämaß, denn es gilt
{ω}
=
μ(Ω)
=
∞,
aber
Ω
ω∈Ω μ ({ω}) = 0.
ei (μn )n∈N eine Folge von Maßen (Prämaßen, Inhalten)
∞ und (αn )n∈N eie von nichtnegativen Zahlen. Dann ist auch μ :=
n=1 αn μn ein Maß
ß, Inhalt).
Ω
i Ω eine (höchstens) abzählbare, nichtleere Menge und A
= 2 . Ferner
ω )ω∈Ω nichtnegative Zahlen. Dann wird durch μ(A) :=
ω∈A pω für je⊂ Ω, ein σ-endliches Maß auf 2Ω definiert. Wir nennen p = (pω )ω∈Ω die
tsfunktion von μ.
t in (v) speziell ω∈Ω pω = 1, so ist μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Wir ineren dann pω als Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses ω und nennen
)ω∈Ω auch einen Wahrscheinlichkeitsvektor.
st in (v) speziell pω = 1 für jedes ω ∈ Ω, so heißt μ das Zählmaß auf Ω.
ndlich, so ist auch μ endlich.
Sei A der Ring endlicher Vereinigungen von Intervallen (a, b] ⊂ R. Für
n
< a2 < b2 < . . . < bn und A =
(ai , bi ] setzen wir
i=1
μ(A) =
n
(bi − ai ).
i=1
σ-endlicher Inhalt auf A (sogar ein Prämaß), denn es ist
−n, n]) = 2n < ∞ für jedes n ∈ N.
ei f : R → [0, ∞) stetig. Analog zu (viii) setze
n bi
μf (A) =
f (x) dx.
i=1
ai
∞
n=1 (−n, n]
=R
1 Grundlagen der Maßtheorie
ma 1.31 (Eigenschaften von Inhalten). Sei A ein Semiring und μ ein Inhalt
A. Dann gelten die folgenden Aussagen.
Ist A ein Ring, so ist μ(A∪B)+μ(A∩B) = μ(A)+μ(B) für je zwei Mengen
A, B ∈ A.
μ ist monoton. Ist A ein Ring, so gilt genauer μ(B) = μ(A) + μ(B \ A) für
je zwei Mengen A, B ∈ A mit A ⊂ B.
μ ist subadditiv. Ist μ sogar σ-additiv, so ist μ auch σ-subadditiv.
Ist A ein Ring, so gilt für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen
∞
∞
∞
A1 , A2 , . . . ∈ A mit
An ∈ A stets
μ(An ) ≤ μ
An .
n=1
n=1
n=1
eis. (i) Es ist A ∪ B = A (B \ A) und B = (A ∩ B) (B \ A). Da μ additiv
olgt
μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B \ A)
und
μ(B) = μ(A ∩ B) + μ(B \ A).
aus folgt sofort (i).
Sei A ⊂ B. Wegen A ∩ B = A folgt μ(B) = μ(A (B \ A)) = μ(A) +
\ A), falls B \ A ∈ A ist,insbesondere also, falls A ein Ring ist. Ist nun A nur
n
disjunkte
emiring, so ist B \ A = i=1 Ci für gewisses n ∈ N und
paarweise
n
gen C1 , . . . , Cn ∈ A. In diesem Fall ist μ(B) = μ(A) + i=1 μ(Ci ) ≥ μ(A),
ist μ monoton.
n
Seien n ∈ N und A, A1 , . . . , An ∈ A mit A ⊂ i=1 Ai . Setze B1 = A1 und
Bk = Ak \
k−1
Ai =
i=1
k−1
(Ak \ (Ak ∩ Ai ))
für k = 2, . . . , n.
i=1
Definition des Semirings ist jedes Ak \ (Ak ∩ Ai ) disjunkte Vereinigung endlich
r Mengen in A, also existiert ein ck ∈ N und Mengen Ck,1 , . . . , Ck,ck ∈ A mit
B ⊂ Ak . Analog existieren dk ∈ N und Dk,1 , . . . , Dk,dk ∈ A mit
1 Ck,i =
dkk
Bk = i=1 Dk,i . Da μ additiv ist, gilt
μ(Ak ) =
ck
μ(Ck,i ) +
i=1
dk
i=1
μ(Dk,i ) ≥
ck
μ(Ck,i ).
i=1
derum aufgrund von Additivität und Monotonie gilt
n c
ck
n k
μ(A) = μ
(Ck,i ∩ A) =
μ(Ck,i ∩ A)
k=1 i=1
k=1 i=1
1.2 Mengenfunktionen
15
μ subadditiv. Die σ-Subadditivität folgt aus der σ-Additivität in analoger
∞
ei A ein Ring und A =
h (ii)
m
μ(An ) = μ
n=1
∞
An ∈ A. Da μ additiv (und damit monoton) ist,
n=1
m
An
≤ μ(A)
für jedes m ∈ N.
n=1
μ(An ) ≤ μ(A).
2
n=1
kung 1.32. In (iv) kann strikte Ungleichheit herrschen (siehe etwa Bei30(iii)). Mit anderen Worten: Es gibt Inhalte, die keine Prämaße sind.
3
33 (Einschluss- Ausschlussformel). Sei A ein Ring und μ ein Inhalt. Dann
ür n ∈ N und A1 , . . . , An ∈ A die Einschluss- Ausschlussformeln
(A1 ∪ . . . ∪ An ) =
(A1 ∩ . . . ∩ An ) =
n
(−1)k−1
k=1
{i1 ,...,ik }⊂{1,...,n}
n
(−1)k−1
k=1
μ(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ),
μ(Ai1 ∪ . . . ∪ Aik ),
{i1 ,...,ik }⊂{1,...,n}
ich die Summen über alle k-elementigen Teilmengen von {1, . . . , n} erstre-
Übung! Hinweis: Man verwende vollständige Induktion über n.
2
llen die σ-Subadditivität durch eine Stetigkeitseigenschaft charakterisieren
36). Hierzu verabreden wir die folgende Sprechweise und Notation.
on 1.34. Sind A, A1 , A2 , . . . Mengen, so schreiben wir
A, falls A1 ⊂ A2 ⊂ . . . und
∞
An = A,
∞
A, falls A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . und n=1 An = A.
n=1
en dann, dass (An )n∈N gegen A aufsteigt beziehungsweise absteigt.
1 Grundlagen der Maßtheorie
nition 1.35 (Stetigkeit von Inhalten). Sei μ ein Inhalt auf dem Ring A.
μ heißt stetig von unten, falls für jedes A ∈ A und jede Folge (An )n∈N in A
n→∞
mit An ↑ A gilt: μ(An ) −→ μ(A).
μ heißt stetig von oben, falls für jedes A ∈ A und jede Folge (An )n∈N in A
n→∞
mit An ↓ A sowie μ(An ) < ∞ für jedes n ∈ N gilt: μ(An ) −→ μ(A).
μ heißt ∅-stetig, falls (ii) für A = ∅ gilt.
er Stetigkeit von oben wurde die Endlichkeitsbedingung eingeführt, weil sogar
as Zählmaß μ auf (N, 2N ) und An := {n, n+1, . . .} ↓ ∅ sonst keine Gleichheit
n kann.
1.36 (Stetigkeit und Prämaß). Sei μ ein Inhalt auf einem Ring A. Betrachte
olgenden fünf Eigenschaften.
μ ist σ-additiv (also ein Prämaß).
μ ist σ-subadditiv.
μ ist stetig von unten.
μ ist ∅-stetig.
μ ist stetig von oben.
n gelten die Implikationen (i) ⇐⇒ (ii) ⇐⇒ (iii) =⇒ (iv) ⇐⇒ (v).
endlich, so gilt auch (iv) =⇒ (iii).
∞
eis. (i) =⇒ (ii)“ Seien A, A1 , A2 , . . . ∈ A mit A ⊂ i=1 Ai . Setze B1 =
”
n−1
∞
nd Bn = An \ i=1 Ai ∈ A für n = 2, 3, . . . Dann ist A = n=1 (A ∩ Bn ),
wegen der Monotonie von μ und der σ-Additivität von μ
μ(A) =
∞
μ(A ∩ Bn ) ≤
n=1
∞
μ(An ).
n=1
it ist μ als σ-subadditiv erkannt.
=⇒ (i)“
Dies folgt aus Lemma 1.31(iv).
=⇒ (iii)“ Sei μ ein Prämaß und A ∈ A sowie (An )n∈N eine Folge in A mit
A sowie A0 = ∅. Dann gilt
μ(A) =
∞
i=1
μ(Ai \ Ai−1 ) = lim
n→∞
n
i=1
μ(Ai \ Ai−1 ) = lim μ(An ).
n→∞
1.2 Mengenfunktionen
μ(B) = lim μ(An ) =
n→∞
∞
17
μ(Bi ).
i=1
μ σ-additiv und damit ein Prämaß.
⇒ (v)“ Seien A, A1 , A2 , . . . ∈ A mit An ↓ A und μ(A1 ) < ∞. Setze
An \ A ∈ A für jedes n ∈ N. Dann gilt Bn ↓ ∅. Es gilt also μ(An ) − μ(A) =
n→∞
−→ 0.
⇒ (iv)“
Dies ist trivial.
⇒ (iv)“ Seien A1 , A2 , . . . ∈ A mit An ↓ ∅ und μ(A1 ) < ∞. Dann gilt
n ∈ A für jedes n ∈ N und A1 \ An ↑ A1 , also
μ(A1 ) = lim μ(A1 \ An ) = μ(A1 ) − lim μ(An ).
n→∞
n→∞
μ(A1 ) < ∞ ist lim μ(An ) = 0.
n→∞
⇒ (iii)“ (für den Fall μ endlich) Es gelte nun μ(A) < ∞ für jedes A ∈ A,
ei ∅-stetig. Seien A, A1 , A2 , . . . ∈ A mit An ↑ A. Dann gilt A \ An ↓ ∅ und
n→∞
μ(A) − μ(An ) = μ(A \ An ) −→ 0.
2
t (iii).
l 1.37. (Vergleiche Beispiel 1.30(iii).) Sei Ω abzählbar unendlich und
A = {A ⊂ Ω : #A < ∞ oder #Ac < ∞},
0, falls A endlich,
μ(A) =
∞, falls A unendlich.
t μ ein ∅-stetiger Inhalt, aber kein Prämaß.
3
on 1.38. (i) Ein Paar (Ω, A), bestehend aus einer nichtleeren Menge Ω
d einer σ-Algebra A ⊂ 2Ω , heißt Messraum. Die Mengen A ∈ A heißen
ssbare Mengen. Ist Ω höchstens abzählbar und A = 2Ω , so heißt der Messum (Ω, 2Ω ) diskret.
n Tripel (Ω, A, μ) heißt Maßraum, wenn (Ω, A) ein Messraum ist und μ ein
aß auf A.
zudem μ(Ω) = 1, so heißt (Ω, A, μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. In diem Fall heißen die Mengen A ∈ A auch Ereignisse.
n Raum aller endlichen Maße auf (Ω, A) bezeichnen wir mit Mf (Ω) :=
1 Grundlagen der Maßtheorie
ng 1.2.1. Sei A
= {(a, b] ∩ Q : a, b ∈ R, a ≤ b}. Definiere μ : A → [0, ∞)
h μ (a, b] ∩ Q = b − a. Man zeige, dass A ein Semiring ist und μ ein unterhalb
oberhalb stetiger Inhalt auf A, der jedoch nicht σ-additiv ist.
♣
Fortsetzung von Maßen
esem Abschnitt wollen wir Maße konstruieren, indem wir zunächst auf einem
chen Mengensystem, nämlich einem Semiring, plausible Werte für einen Inhalt
ben und dann, nach Möglichkeit, diesen Inhalt zu einem Maß auf der erzeug-Algebra fortsetzen. Bevor wir zu den konkreten Bedingungen kommen, unter
n das machbar ist, bringen wir zwei Beispiele.
piel 1.39 (Lebesgue-Maß). Sei n ∈ N und
A = {(a, b] : a, b ∈ Rn , a < b}
emiring der halboffenen Quader (a, b] ⊂ Rn (vergleiche (1.5)). Das n-dimenle Volumen des Quaders ist
μ((a, b]) =
n
(bi − ai ).
i=1
nen wir μ zu einem (eindeutig bestimmten) Maß auf der Borel’schen σ-Algebra
n
) = σ(A) fortsetzen? Wir werden sehen, dass dies möglich ist. Das resulnde Maß heißt Lebesgue-Maß (manchmal auch Lebesgue-Borel-Maß) λ auf
B(Rn )).
3
piel 1.40 (Produktmaß, Bernoulli-Maß). Wir wollen ein Wahrscheinlichkeitskonstruieren für die unendliche, unabhängige Wiederholung eines Zufallsexpents mit endlich vielen möglichen Ausgängen. Die Menge der Ausgänge
sei E.
e ∈ E sei pe die Wahrscheinlichkeit, dass e eintritt. Es gilt also e∈E pe = 1.
Ergebnisse dieser Experimente seien ω1 , ω2 , . . . ∈ E. Der Raum des gesamten
riments ist daher Ω = E N . Wie in Beispiel 1.11(vi) definieren wir
[ω1 , . . . , ωn ] := {ω ∈ Ω : ωi = ωi für jedes i = 1, . . . , n}
(1.7)
ie Menge aller Folgen, die mit den Werten ω1 , . . . , ωn beginnen.
A0 = {∅}. Für n ∈ N definieren wir das Mengensystem der Zylindermengen,
ur von den ersten n Koordinaten abhängen,
An := {[ω1 , . . . , ωn ] : ω1 , . . . , ωn ∈ E},
(1.8)
1.3 Fortsetzung von Maßen
19
rpretieren [ω1 , . . . , ωn ] als das Ereignis, dass im ersten Experiment der Wert
uskommt, im zweiten ω2 und schließlich im n-ten Experiment der Wert ωn .
ebnisse der weiteren Experimente spielen für das Eintreten des Ereignisses
olle. Für ω1 , . . . , ωn ∈ E soll die Wahrscheinlichkeit für [ω1 , . . . , ωn ] das
der einzelnen Wahrscheinlichkeiten sein (das verstehen wir intuitiv unter
ängigkeit“)
n
μ([ω1 , . . . , ωn ]) =
p ωi .
i=1
ch wird ein Inhalt auf A definiert, und unser Ziel ist es, μ in eindeutiger
u einem Wahrscheinlichkeitsmaß auf σ(A) fortzusetzen.
wir dies tun, treffen wir noch die folgenden Definition. Wir definieren eine
Metrik auf Ω durch
2− inf{n∈N: ωn =ωn } , falls ω = ω ,
d(ω, ω ) =
(1.9)
0, falls ω = ω .
t (Ω, d) ein kompakter, metrischer Raum. Offenbar ist
[ω1 , . . . , ωn ] = B2−n (ω) = {ω ∈ Ω : d(ω, ω ) < 2−n }.
mplement von [ω1 , . . . , ωn ] ist die Vereinigung von (#E)n − 1 offenen
[ω1 , . . . , ωn ]c =
[ω1 , . . . , ωn ],
)
=(ω ,...,ω )
(ω1 ,...,ωn
1
n
en. Damit ist [ω1 , . . . , ωn ] abgeschlossen und kompakt, weil Ω kompakt ist.
wie in Satz 1.23 kann man zeigen, dass σ(A) = B(Ω, d).
Man zeige die obigen Aussagen.
3
uptergebnis dieses Kapitels ist der Fortsetzungssatz für Maße, den wir hier
orm von Carathéodory formulieren.
41 (Carathéodory). Sei A ⊂ 2Ω ein Ring und μ ein σ-endliches Prämaß
Dann kann μ auf genau eine Weise zu einem Maß μ
auf σ(A) fortgesetzt
, und μ̃ ist σ-endlich.
weis dieses Satzes müssen wir mit einigen Lemmata vorbereiten. Wir zeigen
Satz 1.53 eine etwas stärkere Aussage. Dort wird auch die griffige Formukann fortgesetzt werden“ präzisiert.
”
a 1.42 (Eindeutigkeit durch schnittstabilen Erzeuger). Sei (Ω, A, μ) ein
cher Maßraum und E ⊂ A ein schnittstabiler Erzeuger von A. Es gebe
. . . ∈ E mit En ↑ Ω und μ(En ) < ∞ für jedes n ∈ N. Dann ist μ durch
1 Grundlagen der Maßtheorie
eis. Sei ν ein weiteres σ-endliches Maß auf (Ω, A) mit der Eigenschaft
μ(E) = ν(E)
für jedes E ∈ E.
E ∈ E mit μ(E) < ∞. Betrachte das Mengensystem
DE = {A ∈ A : μ(A ∩ E) = ν(A ∩ E)}.
zu zeigen, dass DE ein Dynkin-System ist, prüfen wir die Eigenschaften aus
nition 1.10:
Offensichtlich ist Ω ∈ DE .
Seien A, B ∈ DE mit A ⊃ B. Dann ist
μ ((A \ B) ∩ E) = μ(A ∩ E) − μ(B ∩ E)
= ν(A ∩ E) − ν(B ∩ E) = ν ((A \ B) ∩ E) .
Also ist A \ B ∈ DE .
Seien A1 , A2 , . . . ∈ DE paarweise disjunkt sowie A =
∞
An . Dann ist
n=1
μ(A ∩ E) =
∞
n=1
μ(An ∩ E) =
∞
ν(An ∩ E) = ν(A ∩ E),
n=1
also A ∈ DE .
nbar ist E ⊂ DE , also δ(E) ⊂ DE . Da E schnittstabil ist, ist nach Satz 1.19
A ⊃ DE ⊃ δ(E) = σ(E) = A.
ist DE = A.
edes A ∈ A und E ∈ E mit μ(E) < ∞ gilt also μ(A ∩ E) = ν(A ∩ E). Seien
E1 , E2 , . . . ∈ E mit En ↑ Ω und μ(En ) < ∞ für jedes n ∈ N. Da μ und ν von
n stetig sind, gilt für A ∈ A
μ(A) = lim μ(A ∩ En ) = lim ν(A ∩ En ) = ν(A).
n→∞
n→∞
Zusatz ist trivial, denn Ẽ := E ∪ {Ω} ist ebenfalls ein schnittstabiler Erzeuger
A, und der Wert μ(Ω) = 1 ist bekannt. Es kann also die konstante Folge En =
∈ N, gewählt werden. Man beachte jedoch, dass es nicht reicht zu fordern, dass
dlich ist, weil dann im Allgemeinen die Gesamtmasse μ(Ω) nicht eindeutig
elegt ist (siehe Beispiel 1.45(ii)).
2
1.3 Fortsetzung von Maßen
21
l 1.43. Sei Ω = Z und E = En : n ∈ Z , wobei En = (−∞, n] ∩ Z. E
ittstabil und σ(E) = 2Ω . Also ist ein endliches Maß μ auf (Ω, 2Ω ) eindeutig
gt durch die Werte μ(En ), n ∈ Z.
ndliches Maß auf Z ist jedoch durch die Werte auf E noch nicht eindeutig
mt: Sei μ das Zählmaß auf Z und ν = 2μ. Dann ist μ(E) = ∞ = ν(E) für
∈ E. Um μ und ν zu unterscheiden, brauchen wir also einen Erzeuger, der
n endlichen Maßes (für μ) enthält. Tun es die Mengen F̃n = [−n, n] ∩ Z,
? In der Tat ist für jedes σ-endliche Maß μ jetzt μ(F̃n ) < ∞ für jedes
Allerdings erzeugen die F̃n nicht 2Ω (sondern welche σ-Algebra?). Wir
aber die Definition so modifizieren: Fn = [−n/2, (n + 1)/2] ∩ Z. Dann ist
n ∈ N}) = 2Ω , also E = {Fn , n ∈ N} ein schnittstabiler Erzeuger von 2Ω
Fn ) < ∞ für jedes n ∈ N. Wegen Fn ↑ Ω sind die Bedingungen des Satzes
3
l 1.44 (Verteilungsfunktion). Ein W-Maß μ auf dem Raum (Rn , B(Rn )) ist
n
Angabe der Werte μ((−∞, b]) auf den Mengen (−∞, b] = ×i=1 (−∞, bi ],
eindeutig festgelegt, da diese Mengen einen schnittstabilen Erzeuger bilden
23). Speziell ist ein W-Maß μ auf R durch Angabe der Verteilungsfunktion
→ [0, 1], x → μ((−∞, x]) eindeutig bestimmt.
3
l 1.45. (i) Sei Ω = {1, 2, 3, 4} und E = { 1, 2}, {2, 3} . Offenbar gilt
2Ω , jedoch ist E nicht schnittstabil. Tatsächlich ist hier ein W-Maß μ durch
der Werte μ({1, 2}) = μ({2, 3}) = 12 nicht eindeutig festgelegt. Es gibt
sweise die Möglichkeiten μ = 12 δ1 + 12 δ3 oder μ = 12 δ2 + 12 δ4 .
i Ω = {1, 2} und E = {{1}}. Dann ist E ein schnittstabiler Erzeuger von
ein W-Maß μ ist durch Angabe von μ({1}) eindeutig festgelegt. Allerdings
nicht für endliche Maße im Allgemeinen, denn μ = 0 und ν = δ2 sind zwei
e Maße, die auf E übereinstimmen.
3
on 1.46 (Äußeres Maß). Eine Mengenfunktion μ∗ : 2Ω → [0, ∞] heißt
Maß, falls gilt:
(∅) = 0,
ist monoton,
ist σ-subadditiv.
a 1.47. Sei A ⊂ 2Ω ein beliebiges Mengensystem mit ∅ ∈ A und μ eine
ne Mengenfunktion auf A mit μ(∅) = 0. Für A ⊂ Ω sei
U(A) = F ⊂ A : F ist höchstens abzählbar und A ⊂
F
1 Grundlagen der Maßtheorie
∗
μ (A) := inf
μ(F ) : F ∈ U(A) ,
F ∈F
i inf ∅ = ∞. Dann ist μ∗ ein äußeres Maß. Ist μ zudem σ-subadditiv, so gilt
A) = μ(A) für jedes A ∈ A.
eis. Wir weisen die Eigenschaften (i)–(iii) des äußeren Maßes nach.
Wegen ∅ ∈ A ist {∅} ∈ U(∅), also ist μ∗ (∅) = 0.
Ist A ⊂ B, so ist U(A) ⊃ U(B), also ist μ∗ (A) ≤ μ∗ (B).
∞
Sei An ⊂ Ω
für jedes n ∈ N und A ⊂ n=1 An . Wir müssen zeigen, dass
∞
∗
∗
μ∗ (A) ≤
n=1 μ (An ). Ohne Einschränkung sei μ (An ) < ∞ und damit U(An ) = ∅ für jedes n ∈ N. Wähle ε > 0 und zu jedem n ∈ N eine
Überdeckung Fn ∈ U(An ) mit
μ(F ) ≤ μ∗ (An ) + ε 2−n .
F ∈Fn
Dann ist F :=
∞
μ∗ (A) ≤
n=1
Fn ∈ U(A) und
F ∈F
μ(F ) ≤
∞ μ(F ) ≤
n=1 F ∈Fn
∞
μ∗ (An ) + ε.
n=1
∗
so gilt für
A ∈ A. Wegen {A}
∈ U(A) ist μ (A) ≤ μ(A). Ist μ σ-subadditiv,
2
F ∈ U(A), dass F ∈F μ(F ) ≥ μ(A) ist, also auch μ∗ (A) ≥ μ(A).
nition 1.48 (μ∗ -messbare Mengen). Sei μ∗ ein äußeres Maß. Eine Menge A ∈
eißt μ∗ -messbar, falls
μ∗ (A ∩ E) + μ∗ (Ac ∩ E) = μ∗ (E)
für jedes E ∈ 2Ω .
(1.10)
chreiben M(μ∗ ) = {A ∈ 2Ω : A ist μ∗ -messbar}.
ma 1.49. Es ist A ∈ M(μ∗ ) genau dann, wenn
μ∗ (A ∩ E) + μ∗ (Ac ∩ E) ≤ μ∗ (E)
für jedes E ∈ 2Ω .
eis. Da μ∗ subadditiv ist, gilt stets die andere Ungleichung.
ma 1.50. M(μ∗ ) ist eine Algebra.
2
1.3 Fortsetzung von Maßen
mplementstabilität)
hnittstabilität)
23
Per Definition ist A ∈ M(μ∗ ) ⇐⇒ Ac ∈ M(μ∗ ).
Seien A, B ∈ M(μ∗ ) und E ∈ 2Ω . Dann ist
A ∩ B) ∩ E) + μ∗ ((A ∩ B)c ∩ E)
μ∗ (A ∩ B ∩ E) + μ∗ (Ac ∩ B ∩ E) ∪ (Ac ∩ B c ∩ E) ∪ (A ∩ B c ∩ E)
μ∗ (A ∩ B ∩ E) + μ∗ (Ac ∩ B ∩ E)
+ μ∗ (Ac ∩ B c ∩ E) + μ∗ (A ∩ B c ∩ E)
∗
∗
c
μ (B ∩ E) + μ (B ∩ E)
μ∗ (E).
aben wir in der vorletzten Gleichung A ∈ M(μ∗ ) benutzt und in der letzten
2
(μ∗ ).
a 1.51. Ein äußeres Maß μ∗ ist σ-additiv auf M(μ∗ ).
Seien A, B ∈ M(μ∗ ) mit A ∩ B = ∅. Dann ist
(A ∪ B) = μ∗ (A ∩ (A ∪ B)) + μ∗ (Ac ∩ (A ∪ B)) = μ∗ (A) + μ∗ (B).
v folgt die (endliche) Additivität. Da μ∗ per Definition σ-subadditiv ist, folgt
2
tz 1.36, dass μ∗ auch σ-additiv ist.
a 1.52. Ist μ∗ ein äußeres Maß, so ist M(μ∗ ) eine σ-Algebra. Speziell ist μ∗
ß auf M(μ∗ ).
Nach Lemma 1.50 ist M(μ∗ ) eine Algebra, also insbesondere schnittstah Satz 1.18 reicht es zu zeigen, dass M(μ∗ ) ein Dynkin-System ist.
∞
so A1 , A2 , . . . ∈ M(μ∗ ) paarweise disjunkt und A :=
An . Zu zeigen
n=1
M(μ∗ ), also
μ∗ (A ∩ E) + μ∗ (Ac ∩ E) ≤ μ∗ (E)
n
=
n
für jedes E ∈ 2Ω .
(1.11)
Ai für jedes n ∈ N. Es gilt für jedes n ∈ N
i=1
μ∗ (E ∩ Bn+1 ) = μ∗ (E ∩ Bn+1 ) ∩ Bn + μ∗ (E ∩ Bn+1 ) ∩ Bnc
= μ∗ (E ∩ Bn ) + μ∗ (E ∩ An+1 ),
n
uktiv μ∗ (E ∩ Bn ) = i=1 μ∗ (E ∩ Ai ). Wegen der Monotonie von μ∗ folgt
E) = μ∗ (E ∩ Bn ) + μ∗ (E ∩ Bnc ) ≥ μ∗ (E ∩ Bn ) + μ∗ (E ∩ Ac )
1 Grundlagen der Maßtheorie
m wir n → ∞ gehen lassen, folgt mit der σ-Subadditivität von μ∗
∗
μ (E) ≥
∞
μ∗ (E ∩ Ai ) + μ∗ (E ∩ Ac ) ≥ μ∗ (E ∩ A) + μ∗ (E ∩ Ac ).
i=1
2
gilt (1.11), und der Beweis ist komplett.
zeigen nun einen Satz, der mit schwächeren Voraussetzungen auskommt als der
von Carathéodory (Satz 1.41) und diesen impliziert.
z 1.53 (Fortsetzungssatz für Maße). Sei A ein Semiring und μ : A → [0, ∞]
additive, σ-subadditive, σ-endliche Mengenfunktion mit μ(∅) = 0.
n existiert ein eindeutig bestimmtes, σ-endliches Maß μ
: σ(A) → [0, ∞] mit
) = μ(A) für jedes A ∈ A.
eis. Da A schnittstabil ist, folgt die Eindeutigkeit aus Lemma 1.42.
die Existenz zu zeigen, definieren wir wie in Lemma 1.47
∗
μ (A) := inf
μ(F ) : F ∈ U(A)
für jedes A ∈ 2Ω .
F ∈F
Lemma 1.31(ii) ist μ monoton, also ist μ∗ nach Lemma 1.47 ein äußeres Maß
μ (A) = μ(A) für jedes A ∈ A. Wir müssen zeigen, dass M(μ∗ ) ⊃ σ(A) gilt.
M(μ∗ ) eine σ-Algebra ist (Lemma 1.52), reicht es, A ⊂ M(μ∗ ) zu zeigen.
∗
n also A ∈ A und E ∈ 2Ω mit μ∗ (E) < ∞. Sei ε > 0. Dann gibt es
E2 , . . . ∈ A mit
E⊂
∞
En
und
n=1
∞
μ(En ) ≤ μ∗ (E) + ε.
n=1
e Bn := En ∩ A ∈ A . Da A ein Semiring ist, gibt es zu jedem n ∈ N ein
m
n k
∈ N sowie Cn1 , . . . , Cnmn ∈ A mit En \ A = En \ Bn =
Cn . Also ist
E∩A⊂
k=1
∞
n=1
Bn ,
E ∩ Ac ⊂
∞ m
n
n=1 k=1
Cnk
und
En = Bn m
n
Cnk .
k=1
t σ-subadditiv, und nach Voraussetzung ist μ additiv. Wegen μ∗ ≤ μ (es gilt
A
r Gleichheit, wie wir gleich sehen) folgt
1.3 Fortsetzung von Maßen
∞
μ∗ (E ∩ A) + μ∗ (E ∩ Ac ) ≤
μ∗ (Bn ) +
n=1
∞
≤
=
μ(Bn ) +
=
25
μ(Cnk )
k=1
mn
∞ μ(Cnk )
n=1 k=1
μ(Bn ) +
n=1
∞
μ∗
n=1
n=1
∞
∞
m
n
mn
μ(Cnk )
k=1
μ(En ) ≤ μ∗ (E) + ε.
n=1
st μ∗ (E ∩ A) + μ∗ (E ∩ Ac ) ≤ μ∗ (E) und damit A ∈ M(μ∗ ), also ist
: σ(A) → [0, ∞], A → μ∗ (A). Nach Lemma 1.51 ist μ
M(μ∗ ). Setze nun μ
ß und μ
ist σ-endlich, weil μ σ-endlich ist.
2
l 1.54 (Lebesgue-Maß, Fortsetzung von Beispiel 1.39). Wir wollen das auf
adern A = {(a, b] : a, b ∈ Rn , a < b} eingeführte Volumen μ((a, b]) =
n
i − ai ) zu einem Maß auf der Borel’schen σ-Algebra B(R ) fortsetzen. Um
aussetzungen von Satz 1.53 zu prüfen, müssen wir nur noch zeigen, dass μ
dditiv ist. Seien also (a, b], (a(1), b(1)], (a(2), b(2)], . . . ∈ A mit
∞
(a, b] ⊂
(a(k), b(k)].
k=1
ssen zeigen, dass
μ((a, b]) ≤
∞
μ((a(k), b(k)]).
(1.12)
k=1
benutzen wir ein Kompaktheitsargument, um (1.12) auf die endliche Additirück zu führen. Sei also ε > 0, und sei für jedes k ∈ N ein bε (k) > b(k) so
, dass
μ((a(k), bε (k)]) ≤ μ((a(k), b(k)]) + ε 2−k−1 .
sei aε ∈ (a, b) so gewählt, dass μ((aε , b]) ≥ μ((a, b]) − 2ε . Nun ist [aε , b]
t und
∞
(a(k), bε (k)) ⊃
k=1
∞
(a(k), b(k)] ⊃ (a, b] ⊃ [aε , b].
k=1
1 Grundlagen der Maßtheorie
0
ε
ε + μ((aε , b]) ≤ +
μ((a(k), bε (k)])
2
2
K
((a, b]) ≤
k=1
≤
ε
+
2
K0
∞
−k−1
ε2
+ μ((a(k), b(k)]) ≤ ε +
μ((a(k), b(k)]).
k=1
k=1
> 0 beliebig war, folgt (1.12) und damit die σ-Subadditivität von μ.
3
mmen mit Satz 1.53 haben wir den folgenden Satz gezeigt.
z 1.55 (Lebesgue-Maß). Es existiert ein eindeutig bestimmtes Maß λn auf
, B(Rn )) mit der Eigenschaft
λn ((a, b]) =
n
(bi − ai )
für alle a, b ∈ Rn mit a < b.
i=1
heißt Lebesgue-Maß auf (Rn , B(Rn )), oder Lebesgue-Borel-Maß.
piel 1.56 (Lebesgue-Stieltjes-Maß). Sei Ω = R und A = {(a, b] : a, b ∈
≤ b}. A ist ein Semiring und σ(A) = B(R), wo B(R) die Borel’sche σbra auf R ist. Ferner sei F : R → R monoton wachsend und rechtsseitig stetig.
definieren eine Mengenfunktion
μ̃F : A → [0, ∞),
(a, b] → F (b) − F (a).
nsichtlich ist μ̃F (∅) = 0, und μ̃F ist additiv.
∞
n (a, b], (a(1), b(1)], (a(2), b(2)], . . . ∈ A mit (a, b] ⊂ n=1 (a(n), b(n)]. Sei
0, und sei aε ∈ (a, b) so gewählt, dass F (aε ) − F (a) < ε/2. Dies geht, weil
s rechtsstetig angenommen wurde. Ferner sei für jedes k ∈ N ein bε (k) > b(k)
ewählt, dass F (bε (k)) − F (b(k))< ε 2−k−1 . Wie in Beispiel 1.54 kann man
∞
zeigen, dass μ̃F ((a, b]) ≤ ε + k=1 μ̃F ((a(k), b(k)]). Es folgt, dass μ̃F σdditiv ist. Nach Satz 1.53 können wir μ̃F auf eindeutige Weise zu einem σ3
chen Maß μF auf B(R) fortsetzen.
nition 1.57 (Lebesgue-Stieltjes-Maß). Das Maß μF auf (R, B(R)) mit
μF ((a, b]) = F (b) − F (a)
für alle a, b ∈ R mit a < b
Lebesgue-Stieltjes-Maß zur Funktion F .
piel 1.58. Wichtige Spezialfälle für das Lebesgue-Stieltjes-Maß sind:
Ist F (x) = x, so ist μF = λ1 das Lebesgue-Maß auf R.
x
1.3 Fortsetzung von Maßen
27
∞
ind x1 , x2 , . . . ∈ R und αn ≥ 0 für n ∈ N mit n=1 αn < ∞, so gehört zu
∞
∞
n=1 αn ½[xn ,∞) das endliche Maß μF =
n=1 αn δxn .
∞
nd x1 , x2 , . . . ∈ R, so ist μ = n=1 δxn ein σ-endliches Maß. μ ist genau
n Lebesgue-Stieltjes-Maß, wenn die Folge (xn )n∈N keinen Häufungspunkt
nämlich (xn )n∈N keinen Häufungspunkt, so ist nach dem Satz von Bolzanoraß #{n ∈ N : xn ∈ [−K, K]} < ∞ für jedes K > 0. Setzen wir F (x) =
N : xn ∈ [0, x]} für x ≥ 0 und F (x) = −#{n ∈ N : xn ∈ [x, 0)}, so ist
. Ist nun andererseits μ ein Lebesgue-Stieltjes-Maß, also μ = μF für ein F ,
#{n ∈ N : xn ∈ (−K, K]} = F (K) − F (−K) < ∞ für jedes K > 0,
(xn )n∈N keinen Häufungspunkt.
3
lt lim F (x) − F (−x) = 1, so ist μF ein W-Maß.
x→∞
l, wo μF ein W-Maß ist, wollen wir noch weiter untersuchen.
on 1.59 (Verteilungsfunktion). Eine rechtsseitig stetige, monoton wachunktion F : R → [0, 1] mit F (−∞) := lim F (x) = 0 und F (∞) :=
x→−∞
(x) = 1 heißt Verteilungsfunktion. Gilt statt F (∞) = 1 lediglich F (∞) ≤
ißt F uneigentliche Verteilungsfunktion.
n (Sub-)W-Maß auf (R, B(R)), so heißt Fμ : x → μ((−∞, x]) die Verteinktion von μ.
r ist Fμ rechtsseitig stetig und F (−∞) = 0, weil μ stetig von oben und
ist (Satz 1.36). Auf Grund der Stetigkeit von unten ist F (∞) = μ(R), also
atsächlich eine (uneigentliche) Verteilungsfunktion, wenn μ ein (Sub-)W.
umentation aus Beispiel 1.56 liefert nun den folgenden Satz.
60. Die Abbildung μ → Fμ ist eine Bijektion von der Menge der W-Maße
B(R)) auf die Menge der Verteilungsfunktionen, beziehungsweise von der
der Sub-W-Maße auf die der uneigentlichen Verteilungsfunktionen.
en also, dass jedes endliche Maß auf (R, B(R)) ein Lebesgue-Stieltjes-Maß
gewisse Funktion F ist. Für σ-endliche Maße ist dies im Allgemeinen
wie wir in Beispiel 1.58(iv) gesehen haben.
mmen nun zu einem Satz, der Satz 1.55 mit dem Lebesgue-Stieltjes-Maß
iert. Später werden wir sehen, dass dieser Satz in größerer Allgemeinheit
t. Speziell kann man auf die Bedingung verzichten, dass die einzelnen Fakom Lebesgue-Stieltjes-Typ sind.
1 Grundlagen der Maßtheorie
z 1.61 (Endliche Produkte von Maßen). Sei n ∈ N, und seien μ1 , . . . , μn
iche Maße oder, allgemeiner, Lebesgue-Stieltjes-Maße auf (R, B(R)). Dann
iert ein eindeutig bestimmtes, σ-endliches Maß μ auf (Rn , B(Rn )) mit
μ((a, b]) =
n
μi ((ai , bi ])
für alle a, b ∈ Rn mit a < b.
i=1
n
μi das Produktmaß zu den Maßen μ1 , . . . , μn .
nennen μ =:
i=1
eis. Dies geht völlig analog zum Beweis von Satz 1.55. Man muss sich vergeern, dass die Intervalle (a, bε ] und so weiter, so gewählt werden können, dass
, bε ]) < μ((a, b]) + ε. Hierzu wird die Rechtsstetigkeit der zu den μi gehörigen
2
senden Funktion Fi verwendet. Wir überlassen die Details zur Übung.
erkung 1.62. Wir werden später in Satz 14.14 sehen, dass die Aussage auch
eliebige σ-endliche Maße μ1 , . . . , μn auf beliebigen (auch unterschiedlichen)
räumen gilt. Wir können auch unendliche (sogar überabzählbare) Produkte beten, wenn wir voraussetzen, dass alle Faktoren Wahrscheinlichkeitsräume sind
14.36).
3
piel 1.63 (Unendliches Produktmaß, Fortsetzung von Beispiel 1.40). Sei E
endliche Menge und Ω = E N der Raum der Folgen mit Werten in E. Ferner sei
∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Der auf A = {[ω1 , . . . , ωn ] : ω1 , . . . , ωn ∈
∈ N} definierte Inhalt
μ([ω1 , . . . , ωn ]) =
n
p ωi
i=1
nun zu einem Maß auf σ(A) fortgesetzt werden. Um die Voraussetzungen von
1.53 zu prüfen, müssen wir zeigen, dass μ σ-subadditiv ist. Wie im vorangeen Beispiel geht dies mit Hilfe eines Kompaktheitsarguments.
∞
n also A, A1 , A2 , . . . ∈ A und A ⊂ n=1 An . Es reicht zu zeigen, dass es ein
N gibt mit der Eigenschaft
A⊂
N
An .
(1.13)
n=1
n ist nämlich aufgrund der endlichen Subadditivität von μ (Lemma 1.31(iii))
N
∞
μ(A ) ≤
μ(A ), also ist μ σ-subadditiv.
n μ(A) ≤
1.3 Fortsetzung von Maßen
29
eis. Wie in Beispiel 1.40 angemerkt, ist Ω mit der von der Metrik d in
zeugten Produkttopologie kompakt, und jedes A ∈ A ist abgeschlossen
mit auch kompakt. Da jedes der An zugleich offen ist, gibt es eine endliüberdeckung von A, mithin gilt (1.13).
eis. Wir zeigen nun auf elementare Weise die Gültigkeit von (1.13).
rgehen imitiert den Beweis dafür, dass Ω kompakt ist. Wir setzen Bn :=
=1 Ai , nehmen an, dass Bn = ∅ für jedes n ∈ N und führen dies zum Wich. Nach dem Dirichlet’schen Schubfachprinzip (E ist endlich) können wir
∈ E auswählen, sodass [ω1 ] ∩ Bn = ∅ für unendlich viele n ∈ N. Wegen
B2 ⊃ . . . folgt
[ω1 ] ∩ Bn = ∅
für jedes n ∈ N.
nun sukzessive ω2 , ω3 , . . . ∈ E so aus, dass
[ω1 , . . . , ωk ] ∩ Bn = ∅
für alle k, n ∈ N.
disjunkte Vereinigung von gewissen Mengen Cn,1 , . . . , Cn,mn ∈ A. Daher
zu jedem n ∈ N ein in ∈ {1, . . . , mn } mit [ω1 , . . . , ωk ] ∩ Cn,in = ∅ für
ch viele k ∈ N. Wegen [ω1 ] ⊃ [ω1 , ω2 ] ⊃ . . . folgt
[ω1 , . . . , ωk ] ∩ Cn,in = ∅
für alle k, n ∈ N.
es n ∈ N und großes k ist [ω1 , . . . , ωk ] ⊂ Cn,in , also
ist ω = (ω1 , ω2 , . . .) ∈
∞
⊂ Bn . Es folgt im Widerspruch zur Annahme, dass n=1 Bn = ∅.
3
men mit Satz 1.53 haben wir den folgenden Satz gezeigt.
64 (Produktmaß, Bernoulli-Maß). Sei E eine endliche, nichtleere MenΩ = E N sowie (pe )e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Dann gibt es ein
ig bestimmtes W-Maß μ auf σ(A) = B(Ω) mit
μ([ω1 , . . . , ωn ]) =
n
p ωi
für alle ω1 , . . . , ωn ∈ E und n ∈ N.
i=1
nnen μ das Produktmaß oder Bernoulli-Maß auf Ω mit Gewichten (pe )e∈E .
⊗N
:= μ.
hreiben auch
e∈E pe δe
E ⊗N
nennen wir (2 ) := σ(A) die Produkt-σ-Algebra auf Ω.
duktmaße gehen wir systematisch noch einmal in Kapitel 14 ein.
tsetzungssatz liefert uns einen abstrakten Existenz- und Eindeutigkeitssatz
ße, die wir zuvor nur auf einem Semiring A definiert hatten. Der folgen-
1 Grundlagen der Maßtheorie
schreiben
A B := (A \ B) ∪ (B \ A),
für A, B ⊂ Ω,
(1.14)
ie symmetrische Differenz zweier Mengen A und B.
z 1.65 (Approximationssatz für Maße). Sei A ⊂ 2Ω ein Semiring und μ ein
ß auf σ(A), das σ-endlich auf A ist.
Zu A ∈ σ(A) und ε > 0gibt es paarweise
disjunkte Mengen A1 , A2 , . . . ∈ A
∞
∞
mit A ⊂
An und μ
An \ A < ε.
n=1
n=1
Zu A ∈ σ(A) mit μ(A) < ∞ und ε > 0 gibt es n ∈ N und paarweise
n
disjunkte Mengen A1 , . . . , An ∈ A mit μ A Ak < ε.
k=1
∗
Zu jedem A ∈ M(μ ) gibt es A− , A+ ∈ σ(A) mit A− ⊂ A ⊂ A+ und
μ(A+ \ A− ) = 0.
erkung 1.66. Nach (iii) gelten (i) und (ii) auch für A ∈ M(μ∗ ) (mit μ∗ statt
st A eine Algebra, so gilt in (ii) für jedes A ∈ σ(A) sogar inf μ(A B) = 0.
B∈A
3
eis. (ii) Da μ auf σ(A) mit dem äußeren Maß μ∗ übereinstimmt und μ(A)
ch ist, gibt es nach Definition von μ∗ (siehe Lemma 1.47) eine Überdeckung
B2 , . . . ∈ A von A mit
n ∈ N mit
μ(A) ≥
∞
μ(Bi ) − ε/2.
i=1
∞
μ(Bi ) <
i=n+1
ε
2
(dies existiert, weil μ(A) < ∞). Für je drei
gen C, D, E gilt
D = (D \ C) ∪ (C \ D) ⊂ (D \ C) ∪ (C \ (D ∪ E)) ∪ E ⊂ (C (D ∪ E)) ∪ E.
n
∞
C = A, D = i=1 Bi und E = i=n+1 Bi erhalten wir
∞
n
∞
Bi ≤ μ A Bi + μ
Bi
μ A
i=1
i=1
≤μ
∞
i=n+1
B
− μ(A) +
ε
≤ ε.
1.3 Fortsetzung von Maßen
e nun
n
Bi = B1 i=1
n i−1
(Bi \ Bj ) =:
i=2 j=1
k
31
Ai
i=1
gewisses k ∈ N und gewisse A1 , . . . , Ak ∈ A (Semiring-Eigenschaft).
i A ∈ σ(A) und En ↑ Ω, En ∈ σ(A) mit μ(En ) < ∞ für jedes n ∈ N.
zu n ∈ N eine Überdeckung (Bn,m )m∈N von A ∩ En mit
∞
μ(A ∩ En ) ≥
μ(Bn,m ) − 2−n ε.
m=1
t möglich nach Definition des äußeren Maßes μ∗ , das auf A mit μ über∞
∞
mt.) Schreibe
Bn,m =
An für gewisse An ∈ A, n ∈ N
m,n=1
n=1
1.1.1). Dann ist
∞
∞ ∞
μ
An \ A = μ
Bn,m \ A
n=1
n=1 m=1
≤μ
∞
∞ Bn,m \ (A ∩ En )
n=1 m=1
≤
∞
n=1
∞
μ(Bn,m )
− μ(A ∩ En )
≤ ε.
m=1
Sei A ∈ M(μ∗ ) und (En )n∈N wie oben. Wähle zu m, n ∈ N ein An,m ∈
−n
it An,m ⊃ A ∩ En und μ∗ (An,m ) ≤ μ∗ (A ∩ En ) + 2m .
∞
1
An,m ∈ σ(A). Dann ist Am ⊃ A und μ∗ (Am \ A) ≤ m
. Setze
m :=
∞
n=1
Am . Dann ist σ(A) A+ ⊃ A und μ∗ (A+ \ A) = 0. Wähle analog
m=1
∈ σ(A) mit (A− )c ⊃ Ac und μ∗ ((A− )c \ Ac ) = 0. Dann ist A+ ⊃ A ⊃ A−
A+ \ A− ) = μ∗ (A+ \ A− ) = μ∗ (A+ \ A) + μ∗ (A \ A− ) = 0.
2
kung 1.67 (Regularität von Maßen). (Vergleiche auch Satz 13.6 auf Seite
ei λn das Lebesgue-Maß auf (Rn , B(Rn )). Sei A der Semiring der Quader
m (a, b]) ⊂ Rn . Nach Satz 1.23 ist B(Rn ) = σ(A). Nach dem Approxisatz gibt es zu A ∈ B(Rn ) und ε > 0 abzählbar viele A1 , A2 , . . . ∈ A
∞
λn
A \ A < ε/2.
1 Grundlagen der Maßtheorie
edem Ai existiert ein offener Quader Bi ⊃ Ai mit λn (Bi \ Ai ) < ε 2−i−1
∞
n
igkeit von oben von λ ). Daher ist U = i=1 Bi eine offene Menge U ⊃ A
λn (U \ A) < ε.
e Eigenschaft von λn heißt Regularität von außen.
n
(A) endlich, so gibt es zu ε > 0 eine kompakte Menge K ⊂ A mit
λn (A \ K) < ε.
e Eigenschaft von λn heißt Regularität von innen. In der Tat: Sei N > 0 mit
A)−λn (A∩[−N, N ]n ) < ε/2. Wähle eine offene Menge U ⊃ (A∩[−N, N ]n )c
λn (U \ (A ∩ [−N, N ]n )c ) < ε/2 und setze K := [−N, N ]n \ U ⊂ A.
3
nition 1.68 (Nullmenge). Sei (Ω, A, μ) ein Maßraum.
Eine Menge A ∈ A heißt μ-Nullmenge, oder kurz Nullmenge, falls μ(A) = 0.
Nμ bezeichnen wir das System aller Teilmengen von μ-Nullmengen.
Sei E(ω) eine Eigenschaft, die dem Punkt ω ∈ Ω zukommen kann. Wir sagen,
E μ-fast überall (f.ü.) gilt oder für fast alle (f.a.) ω, falls es eine Nullmenge N
sodass E(ω) für jedes ω ∈ Ω \ N gilt. Ist A ∈ A, so sagen wir, dass E fast
all auf A gilt, falls es eine Nullmenge N gibt, sodass E(ω) für jedes ω ∈ A \ N
= P ein W-Maß, so sagen wir dann auch, dass E P -fast sicher (f.s.) gilt,
hungsweise fast sicher auf A.
Sind A, B ∈ A, so schreiben wir A = B
bt mit A B ⊂ N .
(mod μ), falls es eine Nullmenge
nition 1.69. Ein Maßraum (Ω, A, μ) heißt vollständig, falls Nμ ⊂ A.
erkung 1.70 (Vervollständigung eines Maßraums). Sei (Ω, A, μ) ein Maß. Es gibt genau eine kleinste σ-Algebra A∗ ⊃ A und eine Fortsetzung
on μ auf A∗ , sodass (Ω, A∗ , μ∗ ) vollständig ist. (Ω, A∗ , μ∗ ) heißt die Vertändigung von (Ω, A, μ). In der Notation des Beweises von Satz 1.53 ist
Ω, M(μ∗ ), μ∗ ∗
M(μ )
Vervollständigung.
er ist M(μ∗ ) = σ(A ∪ Nμ ) = {A ∪ N : A ∈ A, N ∈ Nμ } und μ∗ (A ∪ N ) =
) für jedes A ∈ A und N ∈ Nμ .
1.3 Fortsetzung von Maßen
33
l 1.71. Ist λ das Lebesgue-Maß (genauer: das Lebesgue-Borel-Maß) auf
Rn )), so lässt sich λ eindeutig fortsetzen zu einem Maß λ∗ auf
B ∗ (Rn ) = σ(B(Rn ) ∪ N ),
ie Menge der Teilmengen der Lebesgue-Borel’schen Nullmengen bezeich(Rn ) heißt σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen. Zur Unterscheiird manchmal λ das Lebesgue-Borel-Maß genannt und λ∗ das LebesgueWir werden diese Unterscheidung im Folgenden aber nicht benötigen.
3
l 1.72. Sei μ = δω auf einem Messraum (Ω, A). Ist {ω} ∈ A, so ist die
ständigung A∗ = 2Ω , μ∗ = δω . Im Extremfall der trivialen σ-Algebra
∅, Ω} hingegen ist Nμ = {∅}, also die Vervollständigung A∗ = {∅, Ω},
ω . Man beachte, dass man auf dieser trivialen σ-Algebra die Dirac-Maße zu
edenen Punkten aus Ω nicht unterscheiden kann.
3
on 1.73. Sei (Ω, A, μ) ein Maßraum und Ω ∈ A. Dann wird durch
μ (A) := μ(A)
für A ∈ A mit A ⊂ Ω Ω
ß auf der Spur-σ-Algebra A
kung von μ auf Ω .
Ω
definiert. Dieses Maß nennen wir die Ein-
l 1.74. Die Einschränkung des Lebesgue-Borel-Maßes λ von (R, B(R)) auf
). Allgemeiner nennen wir für messbares
ein W-Maß auf ([0, 1], B(R)
[0,1]
R) die Einschränkung λ das Lebesgue-Maß auf A. Oftmals wird als SymA
der λ verwendet, weil wir nicht zu viele kleinliche Unterscheidungen treffen
en später (Korollar 1.84), dass B(R) = B(A), wobei B(A) die Borel’sche
A
bra auf A ist, die von den in A (relativ) offenen Mengen erzeugt wird.
3
l 1.75 (Gleichverteilung). Ist A ∈ B(Rn ) mit n-dimensionalem Lebesgue(A) ∈ (0, ∞), so wird durch
μ(B) :=
λn (B)
λn (A)
für B ∈ B(Rn ), B ⊂ A,
Maß auf B(Rn ) definiert. Wir nennen μ die uniforme Verteilung oder
A
3
verteilung auf A und schreiben UA := μ.
1.3.1. Man zeige die folgende Verallgemeinerung von Beispiel 1.58(iv): Ein
1 Grundlagen der Maßtheorie
ng 1.3.2. Sei Ω eine überabzählbare Menge und ω0 ∈ Ω ein beliebiges Ele. Sei A = σ({ω} : ω ∈ Ω \ {ω0 }).
Charakterisiere A ähnlich wie in Übung 1.1.4 (Seite 11).
Zeige, dass (Ω, A, δω0 ) vollständig ist.
♣
ng 1.3.3. Sei (μn )n∈N eine Folge von endlichen Maßen auf dem Messraum
A). Für jedes A ∈ A existiere der Grenzwert μ(A) := lim μn (A).
n→∞
zeige: μ ist ein Maß auf (Ω, A).
weis: Zu zeigen ist insbesondere die ∅-Stetigkeit von μ.
♣
Messbare Abbildungen
Zwangshandlung in der Mathematik ist es, Homomorphismen zwischen Obn anzugeben, also strukturerhaltende Abbildungen. Für topologische Räume
dies die stetigen Abbildungen, für Messräume die messbaren Abbildungen.
n im Folgenden stets (Ω, A) und (Ω , A ) Messräume.
nition 1.76 (Messbare Abbildungen).
Eine Abbildung X : Ω → Ω heißt A – A -messbar (oder kurz: messbar),
falls X −1 (A ) := {X −1 (A ) : A ∈ A } ⊂ A ist, falls also
X −1 (A ) ∈ A
für jedes A ∈ A .
Ist X messbar, so schreiben wir auch X : (Ω, A) → (Ω , A ).
Ist Ω = R und A = B(R) die Borel’sche σ-Algebra auf R, so heißt X :
(Ω, A) → (R, B(R)) kurz eine reelle A-messbare Abbildung.
piel 1.77. (i) Die Identität id : Ω → Ω ist A – A-messbar.
Sei A = 2Ω oder A = {∅, Ω }. Jedes X : Ω → Ω ist dann A – A -messbar.
}
Sei A ⊂ Ω. Die Indikatorfunktion ½A : Ω → {0, 1} ist genau dann A –
-messbar, wenn A ∈ A.
3
1.78 (Erzeugte σ-Algebra). Sei (Ω , A ) ein Messraum und Ω eine nichtleere
ge sowie X : Ω → Ω eine Abbildung. Das Urbild
X −1 (A ) := {X −1 (A ) : A ∈ A }
(1.15)
1.4 Messbare Abbildungen
35
2
Übung!
len nun σ-Algebren betrachten, die von mehreren Abbildungen erzeugt wer-
ion 1.79 (Erzeugte σ-Algebra). Sei Ω eine nichtleere Menge. Sei I eine
ge Indexmenge, und für jedes i ∈ I sei (Ωi , Ai ) ein Messraum sowie Xi :
Ωi eine beliebige Abbildung. Dann heißt
−1
σ(Xi , i ∈ I) := σ
σ(Xi ) = σ
Xi (Ai )
i∈I
i∈I
n (Xi , i ∈ I) erzeugte σ-Algebra auf Ω. Dies ist die kleinste σ-Algebra,
ch der jedes Xi messbar ist.
stetigen oder linearen Abbildungen gibt es eine Verknüpfungseigenschaft.
80 (Verknüpfung von Abbildungen). Sind (Ω, A), (Ω , A ) und (Ω , A )
ume sowie X : Ω → Ω messbar und X : Ω → Ω messbar, so ist die
ng Y := X ◦ X : Ω → Ω , ω → X (X(ω)) messbar bezüglich A – A .
Es ist Y −1 (A ) = X −1 ((X )−1 (A )) ⊂ X −1 (A ) ⊂ A.
2
h kann man die Messbarkeit einer Abbildung X kaum prüfen, indem man
he Urbilder X −1 (A ), A ∈ A auf Messbarkeit hin untersucht. Dafür sind
sten σ-Algebren A einfach zu groß. Glücklicherweise reicht hier die Beng eines Erzeugers von A aus:
81 (Messbarkeit auf einem Erzeuger). Für jedes System E ⊂ A von
ssbaren Mengen gilt σ(X −1 (E )) = X −1 (σ(E )) und damit
ist A – σ(E )-messbar ⇐⇒ X −1 (E ) ∈ A
für jedes E ∈ E .
ziell σ(E ) = A , dann gilt
X ist A – A -messbar ⇐⇒ X −1 (E ) ⊂ A.
Offenbar ist X −1 (E ) ⊂ X −1 (σ(E )) = σ(X −1 (σ(E ))). Also ist auch
σ(X −1 (E )) ⊂ X −1 (σ(E )).
andere Inklusion betrachten wir das Mengensystem
A0 := A ∈ σ(E ) : X −1 (A ) ∈ σ(X −1 (E ))
1 Grundlagen der Maßtheorie
Offensichtlich ist Ω ∈ A0 .
(Komplementstabilität)
Ist A ∈ A0 , so ist
X −1 ((A )c ) = (X −1 (A ))c ∈ σ(X −1 (E )),
also (A )c ∈ A0 .
(σ-∪-Stabilität) Seien A1 , A2 , . . . ∈ A0 . Dann ist
∞
∞
−1
X
An =
X −1 (An ) ∈ σ(X −1 (E )),
n=1
also ist
∞
n=1
n=1
An ∈ A0 .
en E ⊂ A0 ist A0 = σ(E ), also X −1 (A ) ∈ σ(X −1 (E )) für jedes A ∈ σ(E )
2
damit X −1 (σ(E )) ⊂ σ(X −1 (E )).
ollar 1.82 (Messbarkeit von verknüpften Abbildungen). Sei I eine nichtleedexmenge sowie (Ω, A), (Ω , A ) und (Ωi , Ai ) Messräume, i ∈ I. Sei ferner
: i ∈ I) eine Familie messbarer Abbildungen Xi : Ω → Ωi mit der Eigent A = σ(Xi : i ∈ I). Dann gilt: Eine Abbildung Y : Ω → Ω ist genau dann
messbar, wenn Xi ◦ Y messbar ist bezüglich A-Ai für jedes i ∈ I.
eis. Ist Y messbar, so ist nach Satz 1.80 jedes Xi ◦ Y messbar. Sei nun jede
usammengesetzten Abbildungen Xi ◦ Y messbar bezüglich A-Ai . Die Menge
= {Xi−1 (A ) : A ∈ Ai , i ∈ I} ist nach Voraussetzung ein Erzeuger von A ,
es gilt Y −1 (A ) ∈ A für jedes A ∈ E wegen der Messbarkeit aller Xi ◦ Y .
Satz 1.81 ist also Y messbar.
2
erinnern an den Begriff der Spur eines Mengensystems aus Definition 1.25.
ollar 1.83 (Spur der erzeugten σ-Algebra). Ist E ⊂ 2Ω und A ⊂ Ω nichtleer,
lt σ E = σ(E) .
A
A
eis. Sei X : A → Ω, ω → ω die Inklusionsabbildung. Dann ist X −1 (B) =
B für jedes B ⊂ Ω. Nach Satz 1.81 ist
σ E = σ({E ∩ A : E ∈ E})
A
= σ({X −1 (E) : E ∈ E}) = σ(X −1 (E))
= X −1 (σ(E)) = {A ∩ B : B ∈ σ(E)} = σ(E) .
A
2
Erinnerung: Für eine Teilmenge A ⊂ Ω eines topologischen Raums (Ω, τ ) ist
1.4 Messbare Abbildungen
37
r 1.84 (Spur der Borel’schen σ-Algebra). Sei (Ω, τ ) ein topologischer
nd A ⊂ Ω eine beliebige Teilmenge von Ω. Dann gilt
B(Ω, τ ) = B A, τ .
A
A
l 1.85. (i) Ist Ω abzählbar, so ist X : Ω → Ω genau dann A – 2Ω r, wenn X −1 ({ω }) ∈ A für jedes ω ∈ Ω . Für überabzählbare Ω ist dies
emeinen falsch. (Man betrachte etwa Ω = Ω = R, A = B(R), X(ω) = ω
s ω ∈ Ω. Offenbar ist X −1 ({ω}) = {ω} ∈ B(R). Ist andererseits A ⊂ R
B(R), so ist A ∈ 2R , jedoch X −1 (A) ∈ B(R).)
ur x ∈ R verabreden wir folgende Schreibweisen für das Ab- und Aufrunden
:= max{k ∈ Z : k ≤ x}
und
x := min{k ∈ Z : k ≥ x}.
(1.16)
bildungen R → Z, x → x und x → x sind messbar bezüglich B(R)
enn für jedes k ∈ Z sind die Urbilder {x ∈ R : x = k} = [k, k + 1)
∈ R : x = k} = (k − 1, k] in B(R). Nach dem Verknüpfungssatz
80) sind dann für jede messbare Abbildung f : (Ω, A) → (R, B(R)) auch
ildungen f und f messbar bezüglich A – 2Z .
ine Abbildung X : Ω → Rd ist genau dann A – B(Rd )-messbar, wenn
X −1 ((−∞, a]) ∈ A
für jedes a ∈ Rd ,
(−∞, a], a ∈ Rd ) = B(Rd ) nach Satz 1.23. Analog gilt dies auch für die
3
Mengensysteme E1 , . . . , E12 aus Satz 1.23.
l 1.86. Sei d(x, y) = x − y2 der gewöhnliche euklidische Abstand auf Rn
Rn , d) = B(Rn ) die Borel’sche σ-Algebra zu der von d erzeugten Topologie.
3
e Teilmenge A von Rn ist dann B(A, d) = B(Rn , d) .
A
len die reellen Zahlen um die Punkte −∞ und +∞ erweitern und definieren
R := R ∪ {−∞, +∞}.
gisch wollen wir R als die so genannte Zweipunktkompaktifizierung ansedem wir R als topologisch isomorph zu [−1, 1] betrachten, beispielsweise
e der Abbildung
⎧
⎪
⎨ tan(πx/2), falls x ∈ (−1, 1),
−∞, falls x = −1,
ϕ : [−1, 1] → R,
x →
⎪
⎩
∞, falls x = +1.
¯ y) = ϕ−1 (x)−ϕ−1 (y) für x, y ∈ R eine Metrik auf R
at wird durch d(x,
t, sodass ϕ und ϕ−1 stetig sind (also ist ϕ ein topologischer Isomorphis-
1 Grundlagen der Maßtheorie
ollar 1.87. Es gilt τ̄ = τ , und daher gilt B(R) = B(R).
R
R
peziell X : (Ω, A) → (R, B(R)) messbar, so ist X in kanonischer Weise auch
R-wertige messbare Abbildung.
R haben wir also eine echte Erweiterung der reellen Zahlen geschaffen, und die
sion R → R ist messbar.
z 1.88 (Messbarkeit stetiger Abbildungen). Sind (Ω, τ ) und (Ω , τ ) topolohe Räume und f : Ω → Ω stetig, dann ist f auch B(Ω) – B(Ω )-messbar.
eis. Wegen B(Ω ) = σ(τ ) reicht es nach Satz 1.81 zu zeigen, dass f −1 (A ) ∈
für jedes A ∈ τ . Da f stetig ist, gilt aber sogar f −1 (A ) ∈ τ für jedes
τ .
2
x, y ∈ R verabreden wir folgende Notationen
x∨y
x∧y
x+
x−
|x|
sign(x)
= max(x, y)
= min(x, y)
= max(x, 0)
= max(−x, 0)
= max(x, −x) = x− + x+
= ½{x>0} − ½{x<0}
(Maximum),
(Minimum),
(Positivteil),
(Negativteil),
(Absolutbetrag),
(Vorzeichenfunktion).
og bezeichnen wir für reelle messbare Abbildungen beispielsweise X + =
(X, 0). Die Abbildungen x → x+ , x → x− und x → |x| sind stetig (und
t nach dem vorangehenden Satz messbar), die Abbildung x → sign(x) ist ofar auch messbar. Wir erhalten also (zusammen mit Korollar 1.82):
ollar 1.89. Ist X eine reelle oder R-wertige messbare Abbildung, so sind auch
bbildungen X − , X + , |X| und sign(X) messbar.
z 1.90 (Koordinatenabbildungen sind messbar). Sei (Ω, A) ein Messraum
f1 , . . . , fn : Ω → R Abbildungen sowie f := (f1 , . . . , fn ) : Ω → Rn . Dann
f ist A – B(Rn )-messbar
⇐⇒
jedes fi ist A – B(R)-messbar.
Aussage gilt analog für fi : Ω → R := R ∪ {±∞}.
eis. Für b ∈ Rn ist f −1 ((−∞, b)) =
n
i=1
fi−1 ((−∞, bi )). Ist jedes fi messbar,
also f −1 ((−∞, b)) ∈ A. Die Quader (−∞, b), b ∈ Rn , erzeugen aber B(Rn ),
daher ist dann f messbar. Sei nun f messbar. Für i = 1, . . . , n sei πi : Rn → R,
1.4 Messbare Abbildungen
folgenden Satz vereinbaren wir die Konvention
x
0
39
:= 0 für jedes x ∈ R.
91. Sei (Ω, A) ein Messraum und f, g : (Ω, A) → (Rn , B(Rn )) sowie
A) → (R, B(R)) messbar. Dann sind auch die Abbildungen f + g, f − g,
nd f /h messbar.
Die Abbildung π : Rn × R → Rn , (x, α) → α · x ist stetig, also messbar.
atz 1.90 ist (f, h) : Ω → Rn × R messbar, also auch die zusammengesetzte
ung f · h = π ◦ (f, h). Analog folgt die Messbarkeit von f + g und f − g.
Messbarkeit von f /h zu zeigen, definieren wir H : R → R, x → 1/x.
nserer Konvention ist H(0) = 0. Dann ist f /h = f · H ◦ h. Es reicht also
en, dass H messbar ist. Offenbar ist H stetig. Für offenes U ⊂ R ist
R\{0}
\ {0} offen und damit H −1 (U \ {0}) ∈ B(R). Ferner ist H −1 ({0}) = {0}.
2
schließlich H −1 (U ) = H −1 (U \ {0}) ∪ (U ∩ {0}) ∈ B(R).
92. Sind X1 , X2 , . . . messbare Abbildungen (Ω, A) → (R, B(R)), dann
ch die folgenden Abbildungen messbar:
inf Xn ,
n∈N
sup Xn ,
n∈N
lim inf Xn ,
n→∞
lim sup Xn .
n→∞
Für jedes a ∈ R gilt
−1
∞
inf Xn
([−∞, a)) =
Xn−1 ([−∞, a)) ∈ A.
n∈N
n=1
atz 1.81 folgt hieraus die Messbarkeit von inf Xn . Analog geht der Beweis
n∈N
Xn .
∈ N setzen wir Yn := inf Xm . Dann ist Yn messbar, und damit auch
m≥n
Xn := sup Yn . Analog folgt der Beweis für den Limes superior.
n∈N
2
htiges Beispiel für messbare Abbildungen (Ω, A) → (R, B(R)) sind Eleunktionen.
on 1.93 (Elementarfunktion). Sei (Ω, A) ein Messraum. Eine Abbildung
→ R heißt Elementarfunktion, wenn es ein n ∈ N und paarweise disjunkte,
re Mengen A1 , . . . , An ∈ A sowie Zahlen α1 , . . . , αn ∈ R gibt mit
n
1 Grundlagen der Maßtheorie
erkung 1.94. Eine messbare Abbildung, die nur endlich viele Werte annimmt,
ne Elementarfunktion. (Übung!)
3
nition 1.95. Sind f, f1 , f2 , . . . Abbildungen Ω → R mit
f1 (ω) ≤ f2 (ω) ≤ . . . und
lim fn (ω) = f (ω)
n→∞
für jedes ω ∈ Ω,
hreiben wir fn ↑ f und sagen, dass (fn )n∈N punktweise monoton aufsteigend
n f konvergiert. Analog schreiben wir fn ↓ f , falls (−fn ) ↑ (−f ).
z 1.96. Sei (Ω, A) ein Messraum und f : Ω → [0, ∞] messbar. Dann gelten
olgenden Aussagen.
Es gibt eine Folge nichtnegativer Elementarfunktionen (fn )n∈N mit fn ↑ f .
Es gibt A1 , A2 , . . . ∈ A und α1 , α2 , . . . ≥ 0 mit f =
∞
αn ½An .
n=1
eis. (i) Für n ∈ N0 definiere fn = (2−n 2n f ) ∧ n. Dann ist fn messbar
h Satz 1.92 und Beispiel 1.85(ii)) und nimmt höchstens n2n + 1 Werte an, ist
eine Elementarfunktion. Offenbar gilt fn ↑ f .
Seien fn wie oben, Bn,i := {ω : fn (ω)−fn−1 (ω) = i 2−n } und βn,i = i 2−n
2 n
∈ N und i = 1, . . . , 2n . Man überlege sich, dass i=1 Bn,i = Ω. Dann ist
2n
− fn−1 =
βn,i ½Bn,i . Nach Umnummerierung (n, i) → m erhalten wir
i=1
)m∈N und (Am )m∈N , sodass
f = f0 +
∞
n=1
(fn − fn−1 ) =
∞
αm ½Am .
2
m=1
Korollar zu dieser Strukturaussage für messbare [0, ∞]-wertige Abbildungen
n wir das Faktorisierungslemma.
ollar 1.97 (Faktorisierungslemma). Seien (Ω , A ) ein Messraum und Ω eine
leere Menge. Sei f : Ω → Ω eine Abbildung. Eine Abbildung g : Ω → R
enau dann messbar bezüglich σ(f ) – B(R), wenn es eine messbare Abbildung
Ω , A ) → (R, B(R)) gibt mit g = ϕ ◦ f .
eis.
”
⇐= “
Ist ϕ messbar und g = ϕ ◦ f , so ist g messbar nach Satz 1.80.
1.4 Messbare Abbildungen
41
∞
Zahlen α1 , α2 , . . . , ∈ [0, ∞) mit g =
n=1 αn ½An . Nach der Definition
f ) gibt es für jedes n ∈ N eine Menge Bn ∈ A mit f −1 (Bn ) = An , also
= ½Bn ◦ f . Wir definieren nun ϕ : Ω → R durch
ϕ=
∞
αn ½Bn .
n=1
r ist ϕ messbar bezüglich A – B(R), und es gilt g = ϕ ◦ f .
der allgemeine Fall betrachtet, wo g auch negative Werte annehmen kann.
xistieren messbare Abbildungen ϕ− und ϕ+ mit g − = ϕ− ◦ f und g + =
Daher leistet ϕ := ϕ+ − ϕ− das Gewünschte.
2
er messbaren Abbildung wird auch ein Maß von einem Raum auf einen anansportiert.
ion 1.98 (Bildmaß). Seien (Ω, A) und (Ω , A ) Messräume und μ ein Maß
, A). Ferner sei X : (Ω, A) → (Ω , A ) messbar. Das durch
μ ◦ X −1 : A → [0, ∞],
A → μ(X −1 (A ))
rte Maß auf (Ω , A ) heißt Bildmaß von μ unter X.
l 1.99. Sei μ ein Maß auf Z2 und X : Z2 → Z, (x, y) → x + y. Dann ist
μ ◦ X −1 ({x}) =
μ({(x − y, y)}).
3
y∈Z
l 1.100. Ist L : Rn → Rn eine bijektive lineare Abbildung und λ das
ue-Maß auf (Rn , B(Rn )), so ist λ ◦ L−1 = | det(L)|−1 λ. Dies ist klar, weil
n
mit a < b das Spat (oder Parallelepiped) L−1 ((a, b]) das Volumen
∈ R
n
−1
)| i=1 (bi − ai ) hat.
3
allgemeinerung des letzten Beispiels geben wir hier ohne Beweis den Transonssatz für Maße mit stetigen Dichten unter differenzierbaren Abbildungen
Beweis findet man in Lehrbüchern zur Analysis II unter dem Stichwort
ormationssatz“ oder Substitutionsregel“ (siehe etwa [7] oder [46]).
”
101 (Dichtetransformationsformel im Rn ). Es sei μ ein Maß auf Rn mit
(oder stückweise stetiger) Dichte f : Rn → [0, ∞), das heißt
xn
x1
dt1 · · ·
dtn f (t1 , . . . , tn ) für jedes x ∈ Rn .
(−∞, x]) =
−∞
−∞
⊂ Rn eine offene (oder abgeschlossene) Menge mit μ(Rn \ A) = 0. Fer-
1 Grundlagen der Maßtheorie
⎧
⎪
⎨
fϕ (x) =
⎪
⎩
f (ϕ−1 (x))
,
| det(ϕ (ϕ−1 (x)))|
0,
falls x ∈ B,
falls x ∈ Rn \ B.
ng 1.4.1. Sei f : R → R, x → |x|. Zeige: Eine Borel-messbare Abbildung
R → R ist genau dann messbar bezüglich σ(f ) = f −1 (B(R)), wenn g gerade
♣
ng 1.4.2. Man zeige: Ist (Ω, A, μ) ein Maßraum, f : Ω → R messbar und
f μ-fast überall, so braucht g nicht messbar zu sein.
♣
ng 1.4.3. Sei f : R → R differenzierbar mit Ableitung f . Zeige: f ist B(R)–
) messbar.
♣
ng 1.4.4. (Vergleiche Beispiele 1.40 und 1.63.) Sei Ω= {0, 1}N und A =
1} ⊗N
)
die σ-Algebra,
die von den Zylindermengen [ω11 , . . . , ω1n ] :⊗Nn ∈
,
.
.
.
,
ω
∈
{0,
1}
erzeugt wird. Ferner sei μ = ( 2 δ0 + 2 δ1 )
das
1
n
oulli-Maß auf Ω mit gleichen Gewichten auf 0 und 1. Für n ∈ N sei Xn :
{0, 1}, ω → ωn die n-te Koordinatenabbildung, und sei
U (ω) =
∞
Xn (ω) 2−n
für ω ∈ Ω.
n=1
Zeige: A = σ(Xn : n ∈ N).
Zeige: U ist A–B([0, 1]) messbar.
Bestimme das Bildmaß μ ◦ U −1 auf ([0, 1], B([0, 1])).
Man gebe ein Ω0 ∈ A an, sodass Ũ := U bijektiv ist.
Man zeige, dass Ũ
Ω0
−1
messbar ist bezüglich B([0, 1])–A
Welche Interpretation hat die Abbildung Xn ◦ Ũ −1 ?
Ω0
.
♣
ng 1.4.5 (Satz von Lusin). Sei f : R → R Borel-messbar. Man zeige: Für
ε > 0 existiert eine abgeschlossene Menge C ⊂ R mit λ(R \ C) < ε, sodass
Einschränkung f von f auf C stetig ist. (Merke: Dies heißt natürlich nicht,
C
f in jedem Punkte x ∈ C stetig wäre.)
itung: Man zeige die Aussage zunächst mit Hilfe der inneren Regularität des
sgue-Maßes λ (Bemerkung 1.67) für Indikatorfunktionen messbarer Mengen
approximiere mit solchen die Abbildung f auf einer geeigneten Menge C
1.5 Zufallsvariablen
43
ufallsvariablen
m Abschnitt werden wir messbare Abbildungen als Zufallsvariablen aufdie zufällige Beobachtungen beschreiben. Wir definieren den Begriff der
ng von Zufallsvariablen.
enden sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Die Mengen A ∈ A
Ereignisse. P[A] wird als die Wahrscheinlichkeit interpretiert, dass A einist allerdings nicht der Wahrscheinlichkeitsraum selbst betrachtbar, sondern
isse Beobachtungsgrößen. Wir wollen also Wahrscheinlichkeiten dafür de, dass Zufallsgrößen bestimmte Werte annehmen und einen Kalkül für, zum
l, Summen von Zufallsgrößen entwickeln.
ion 1.102 (Zufallsvariablen). Sei (Ω , A ) ein Messraum und X : Ω →
sbar.
heißt Zufallsvariable mit Werten in (Ω , A ). Ist (Ω , A ) = (R, B(R)), so
nnen wir X eine reelle Zufallsvariable oder schlicht Zufallsvariable.
t A ∈ A , so schreiben wir {X ∈ A } := X −1 (A ) und P[X ∈ A ] :=
[X −1 (A )]. Speziell schreiben wir {X ≥ 0} := X −1 ([0, ∞)) und analog
X ≤ b} und so weiter.
ion 1.103 (Verteilungen). Sei X eine Zufallsvariable.
as W-Maß PX := P ◦ X −1 heißt Verteilung von X.
t X eine reelle Zufallsvariable, so heißt die Abbildung FX : x → P[X ≤ x]
e Verteilungsfunktion von X (eigentlich von PX ). Ist μ = PX , so schrein wir auch X ∼ μ und sagen, dass X nach μ verteilt ist.
ne Familie (Xi )i∈I heißt identisch verteilt, falls PXi = PXj
für alle
D
j ∈ I. Wir schreiben X = Y , falls PX = PY (D für distribution).
104. Zu jeder Verteilungsfunktion F existiert eine reelle Zufallsvariable X
= F.
Wir müssen explizit einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und eine
variable X : Ω → R angeben mit FX = F .
fachste Möglichkeit ist, (Ω, A) = (R, B(R)) zu wählen, X : R → R die
he Abbildung und P das Lebesgue-Stieltjes Maß mit Verteilungsfunktion F
Beispiel 1.56).
dere Möglichkeit, die zudem etwas lehrreicher ist, beruht darauf, zunächst
1 Grundlagen der Maßtheorie
vermöge der Umkehrabbildung F −1 zu einer Zufallsvariablen X mit Vertei
sfunktion F transformiert wird: Wir wählen Ω := (0, 1), A := B(R) und
Ω
s Lebesgue-Maß auf (Ω, A) (siehe Beispiel 1.74). Definiere die (linksstetige)
se von F
F −1 (t) := inf{x ∈ R : F (x) ≥ t}
n ist
für t ∈ (0, 1).
F −1 (t) ≤ x ⇐⇒ t ≤ F (x).
iell ist {t : F −1 (t) ≤ x} = (0, F (x)] ∩ (0, 1), also ist F −1 : (Ω, A) →
B(R)) messbar und
P[{t : F −1 (t) ≤ x}] = F (x).
in ist X := F −1 die gewünschte Zufallsvariable.
2
piel 1.105. Wir geben zu verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf R
e Zufallsvariablen X mit ebendieser Verteilung an. (Der konkrete Ort in dieBuch dient lediglich als Vorwand, um ein paar der wichtigsten Verteilungen
uführen, auf die wir bei späteren Gelegenheiten immer wieder zurückkommen.)
Ist p ∈ [0, 1] und P[X = 1] = p, P[X = 0] = 1 − p, so heißt PX =: Berp die
oulli-Verteilung mit Parameter p. Formal ist
Berp = (1 − p) δ0 + p δ1 ,
die Verteilungsfunktion ist
⎧
⎨
FX (x) =
0,
1 − p,
⎩
1,
falls x < 0,
falls x ∈ [0, 1),
falls x ≥ 1.
Ist p ∈ [0, 1] und n ∈ N sowie X : Ω → {0, . . . , n} mit
n k
P[X = k] =
p (1 − p)n−k ,
k
ißt PX =: bn,p die Binomialverteilung mit Parametern n und p. Formal ist
bn,p =
n n
k=0
k
Ist p ∈ (0, 1] und X : Ω → N0 mit
pk (1 − p)n−k δk .
1.5 Zufallsvariablen
45
1
γp := b−
1,p := PX die geometrische Verteilung mit Parameter p. Formal
wir schreiben:
∞
p (1 − p)n δn .
γp =
n=0
teilungsfunktion ist F (x) = 1 − (1 − p)x+1∨0
für x ∈ R.
nnen X + 1 als die Wartezeit auf den ersten Erfolg bei unabhängigen“
”
experimenten auffassen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit p zum Erfolg
⊗N
In der Tat: Sei Ω = {0, 1}N und P das Produktmaß (1 − p)δ0 + p δ1
64) sowie A = σ([ω1 , . . . , ωn ] : ω1 , . . . , ωn ∈ {0, 1}, n ∈ N). Wir setzen
X(ω) := inf{n ∈ N : ωn = 1} − 1,
Konvention inf ∅ = ∞. Offenbar ist jede der Abbildungen
n − 1, falls ωn = 1,
Xn : Ω → R, ω →
∞, falls ωn = 0,
R)-messbar und X = inf n∈N Xn . Also ist X auch A – B(R)-messbar,
ne Zufallsvariable. Sei ω 0 := (0, 0, . . .) ∈ Ω. Dann ist P[X ≥ n] =
. . , ωn0 ]] = (1 − p)n . Also ist
n] = P[X ≥ n] − P[X ≥ n + 1] = (1 − p)n − (1 − p)n+1 = p (1 − p)n .
eien r > 0 (nicht notwendigerweise ganzzahlig) und p ∈ (0, 1]. Mit
b−
r,p :=
∞ −r
k=0
k
(−1)k pr (1 − p)k δk
(1.17)
nen wir die negative Binomialverteilung oder Pascal-Verteilung mit Pa für x ∈ R und k ∈ N der
n r und p. (Hierbei ist xk = x(x−1)···(x−k+1)
k!
meinerte Binomialkoeffizient.) Für r ∈ N ist b−
r,p , ähnlich wie im vorangeBeispiel, die Verteilung der Wartezeit auf den r-ten Erfolg bei unabhängigen
en. Wir werden hierauf in Beispiel 3.4(iv) zurückkommen.
λ ∈ [0, ∞) und X : Ω → N0 mit
P[X = n] = e−λ
λn
n!
für jedes n ∈ N0 ,
PX =: Poiλ die Poisson-Verteilung mit Parameter λ.
ie hypergeometrische Verteilung mit Parametern S, W, n ∈ N
1 Grundlagen der Maßtheorie
B HypB,W ;n ({b}) =
W
n−b
bB+W
n
,
b ∈ {0, . . . , n},
(1.18)
die Wahrscheinlichkeit an, aus einer Urne mit S schwarzen und W weißen Kubei n-maligen Ziehen ohne Zurücklegen genau s schwarze Kugeln zu ziehen.
ein bisschen Kombinatorik lässt sich dies leicht auf die Situation mit k Farben
Bi Kugeln der Farbe i = 1, . . . , k verallgemeinern. Die Wahrscheinlichkeit,
unter n gezogenen Kugeln exakt bi von jeder Farbe i = 1, . . . , k sind, ist gegedurch die verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung
B1 B k b1 · · · bk
HypB1 ,...,Bk ;n ({(b1 , . . . , bk )}) = B1 +...+Bk .
(1.19)
n
Seien μ ∈ R, σ 2 > 0 und X reell mit
x
(t−μ)2
1
e− 2σ2 dt
P[X ≤ x] = √
2πσ 2 −∞
für x ∈ R.
n heißt PX =: Nμ,σ2 Gauß’sche Normalverteilung mit Parametern μ und σ 2 .
Ist X ≥ 0 reell und θ > 0 sowie
P[X ≤ x] = P[X ∈ [0, x]] =
x
θ e−θt dt
für x ≥ 0,
0
ißt PX Exponentialverteilung mit Parameter θ (kurz: expθ ).
Ist X Rd -wertig, μ ∈ Rd , Σ eine positiv definite d × d Matrix und
1%
&
−1/2
exp −
X ≤ x] = det(2π Σ)
t − μ, Σ −1 (t − μ) λd (dt)
2
(−∞,x]
x ∈ Rd (wobei · , · ! das Skalarprodukt im Rd bezeichnet), so heißt PX =:
3
Σ die d-dimensionale Normalverteilung mit Parametern μ und Σ.
nition 1.106. Hat die Verteilungsfunktion F : Rn → [0, 1] die Gestalt
xn
x1
dt1 · · ·
dtn f (t1 , . . . , tn ) für x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
(x) =
−∞
−∞
ine integrierbare Funktion f : Rn → [0, ∞), so heißt f die Dichte der Vertei-
piel 1.107.
(i) Für θ, r > 0 heißt die Verteilung Γθ,r auf [0, ∞) mit Dichte
x →
θr
xr−1 e−θx
Γ (r)
1.5 Zufallsvariablen
47
r r, s > 0 heißt die Verteilung βr,s auf [0, 1] mit Dichte
x →
Γ (r + s) r−1
x (1 − x)s−1
Γ (r)Γ (s)
ta-Verteilung mit Parametern r und s.
r a > 0 heißt die Verteilung Caua auf R mit Dichte
x →
1
1
aπ 1 + (x/a)2
uchy-Verteilung mit Parameter a.
3
1.5.1. Man leite (1.17) nach
als Wartezeit kombinatorisch
Interpretation
der
n+k−1
k
(−1)
.
♣
r Benutzung der Identität −n
=
k
k
1.5.2. Man gebe ein Beispiel an für zwei normalverteilte X und Y , sodass
nicht (zweidimensional) normalverteilt ist.
♣
1.5.3. Man zeige mit Hilfe von Satz 1.101 (Transformationsformel für Dich-
X ∼ Nμ,σ2 und sind a ∈ R\{0} und b ∈ R, so ist (aX +b) ∼ Naμ+b,a2 σ2 .
X ∼ expθ und a > 0, so ist aX ∼ expθ/a .
♣