Kombinatorische Optimierung WS 2015/16

6. Übungsblatt
Kombinatorische Optimierung
WS 2015/16
Jens M. Schmidt
Aufgabe 1: Heroes and Zeroes
Sei G ein 3-regulärer Graph. Zeigen Sie, dass G genau dann 3-kantenfärbbar ist (d.h.
keine zwei adjazenten Kanten haben dieselbe Farbe) wenn G einen nowhere-zero
Z2 × Z2 -Fluss (mit komponentenweiser Addition) hat. Was gilt, wenn G zusätzlich
planar ist?
Aufgabe 2: Münzwechsel
In einer Währung gebe es Münzen in den k Wertigkeiten wk > wk−1 > · · · >
w1 = 1 Cent. Das Münzwechselproblem für eine gegebene Zahl n ∈ N besteht darin, nicht-negative Anzahlen nk , . . . , n1 für die jeweiligen Werte zu finden, so dass
P
1≤i≤k ni wi = n ist und die Gesamtanzahl der Münzen minimal ist.
i) Nehmen Sie die Wertigkeiten der Eurozone an (200, 100, 50, 20, 10, 5, 2, 1 Cent).
Finden Sie für diese einen (Greedy-)Algorithmus, der das Münzwechselproblem
löst, und beweisen Sie dessen Korrektheit.
ii) Finden Sie Wertigkeiten, für die der obige Algorithmus fehlschlägt.
iii) Finden Sie einen effizienten Algorithmus, der das Problem für allgemeine Wertigkeiten löst.
Aufgabe 3: Größte Teilfolgen
Betrachten Sie eine Folge von n > 0 reellen Zahlen A(i), 1 ≤ i ≤ n.
i) Finden Sie einen möglichst effizienten Algorithmus, der die größte Summe einer
nicht-leeren konsekutiven Teilfolge von A berechnet.
ii) Finden Sie einen möglichst effizienten Algorithmus, der das größte Produkt
einer nicht-leeren konsekutiven Teilfolge von A berechnet.
Beispielsweise soll für die Folge 4, −1, 5, −7, 4, −5, 0, 4 der erste Algorithmus 8 (Summe von A1...3 ) ausgeben und der zweite 700 (Produkt von A3...6 ). Nehmen Sie an, dass
Multiplikationen, Additionen und Vergleiche jeweils in einem Rechenschritt ausgeführt werden können.
Aufgabe 4: Längste Triangulationen
Sei ein konvexes Polygon P mit n Ecken gegeben. Eine Triangulierung von P ist eine
Menge von n − 3 Diagonalen von P , die sich nicht kreuzen (d.h. die Triangulierung
zerlegt P in n − 2 disjunkte Dreiecke). Die Länge einer Triangulierung ist die Summe
der verwendeten Diagonalenlängen. Finden Sie einen effizienten Algorithmus, der für
P eine Triangulierung maximaler Länge berechnet.