UE Wahrscheinlichkeitsrechnung I WS 2005/06

UE Wahrscheinlichkeitsrechnung I WS 2005/06
Übungsblatt 1
1. Acht Sportler kämpfen um drei Medaillen (Gold, Silber, Bronze). Auf wie viele Arten kann die Preisverteilung erfolgen?
2. Es wird mit einem Würfel sechs Mal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, sechs verschiedene
Augenzahlen zu erhalten?
3. Eine Münze wird dreimal geworfen. Für dieses Zufallsexperiment sei ein achtpunktiger Stichprobenraum
konstruiert: Ω = {zzz, . . . , kkk}. Es werden folgende Ereignisse betrachtet:
• Zi : ‘Zahl’ erscheint beim i-ten Wurf, und
• Ki : ‘Kopf’ erscheint beim i-ten Wurf.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von
(a) Z1 ∪ Z2 ∪ Z3 ,
(b) Z1 ∪ Z2 ,
(c) (Z1 ∩ K2 ) ∪ Z3 .
4. Man würfelt dreimal hintereinander. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
(a) ist die Augensumme kleiner oder gleich 6?
(b) tritt keine gerade Zahl auf?
(c) tritt die Augenzahl 1 genau einmal auf?
5. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 5 Personen zwei am gleichen Wochentag geboren?
6. Zwei Spieler A und B spielen folgendes Spiel. Es wird mit 4 Würfeln gewürfelt. Tritt mindestens einmal 6
auf, dann gewinnt A sonst B. Ist das Spiel fair?
7. Lösen Sie diese Aufgaben für den Fall, daß n = 3 ist. (Wenn möglich, geben Sie auch die allgemeine Lösung
für beliebige natürliche Zahlen n ≥ 1 an.)
Aus einer Urne mit s schwarzen und r roten Kugeln werden nacheinander Kugeln gezogen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wird die erste schwarze Kugel beim n-ten Versuch gezogen, wenn
(a) mit Zurücklegen, bzw.
(b) ohne Zurücklegen gezogen wird?
8. Eine Münze wird zweimal geworfen. Beschreiben Sie den Stichprobenraum.
(a) Ordnen Sie den Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zu, unter den Annahmen, daß die Münze fair ist
und der erste Wurf das Ergebnis des zweiten Wurfs nicht beeinflußt.
(b) Nehmen Sie nun an, daß die Münze zwar fair ist, aber der Ausgang des zweiten Wurfes auf magische
Weise folgendermaßen vom ersten Wurf abhängt: Ist der erste Wurf ‘Kopf’, dann ist die Chance beim
zweiten Wurf ‘Kopf’ zu werfen doppelt so hoch als ‘Zahl’ zu werfen. Ist der erste Wurf ‘Zahl’, dann
ist die Chance beim zweiten Wurf ‘Zahl’ zu werfen doppelt so hoch als ‘Kopf’ zu werfen. Ordnen Sie
den Elementarereignissen in sinnvoller Weise Wahrscheinlichkeiten zu.
Bemerkung: Im ersten Fall nennt man die Würfe ’unabhängig’, im zweiten Fall nicht.