Kapitel 5 Dichteoperatoren

Kapitel 5
Dichteoperatoren
5.1
Einleitung
Wenn wir ein Problem in der Quantenmechanik lösen, machen wir den Ansatz, dass das System vollständig von der Umgebung isoliert ist. Dichteoperatoren erlauben es über diesen Ansatz hinauszugehen. Um ihren Gebrauch
zu motivieren betrachten wir ein System zusammen mit der Umgebung.
Die Koordinaten des Systems nennen wir x, die der Umgebung y. φi (x) sei
eine vollständige orthonormale Basis der Wellenfunktionen des Systems (ohne
Umgebung). Die allgemeinste Wellenfunktion kann nun geschrieben werden
als
Ci (y)φi (x) .
Ψ(x, y) =
i
In Dirac Notation haben wir
φi (x) = x | φi und
θu (y) = y | θu ,
wobei wir die vollständige orthonormale Basis θu (y) für die Umgebung eingeführt haben. Die allgemeinste Wellenfunktion ist somit
Ciu |φi |θu |Ψ =
iu
Ψ(x, y) = y|x|Ψ =
Ciu x|φi y|θu .
iu
 sei ein Operator, der nur auf das System wirkt,
Â|a|b = (Â|a)|b
81
oder
 =
|φi |θu Aij θu |φj | .
ij,u
Somit
A = Ψ | Â | Ψ
∗
Ciu
Cjv θu |φi |Â|φj |θv =
uv
ij
=
u
ij
=
∗
Ciu
Cju φi |Â|φj φi |Â|φj ρji ,
ij
wobei ρji die Dichtematrix ist mit
ρji =
∗
Ciu
Cju .
u
Wir definieren nun einen Dichteoperator ρ̂ so, dass
ρji = φi |ρ̂|φj .
Der Operator ρ̂ wirkt dabei nur auf das System mit den Koordinaten x. Der
Erwartungswert eines System-Operators  kann nun mit Hilfe des Dichteoperators berechnet werden
A = Ψ|Â|Ψ
φi |Â
|φj φj |ρ̂|φi =
i
=
j
φi |Âρ̂|φi i
= Tr (ρ̂Â) ,
wobei wir von
j |φj φj | = 1 gebrauch gemacht haben. Aus der Definition von ρij wird klar, dass die Dichtematrix hermitesch ist und deshalb
diagonalisiert werden kann. Die Eigenvektoren |i bilden eine vollständige,
orthonormale Basis und die Eigenwerte wi sind reell.
wi |ii|
ρ̂ =
i
82
Mit der speziellen Wahl  = 1 erhalten wir
A = Ψ|Ψ = 1
A = Tr (ρ̂Â) = Tr (ρ̂) =
wi
i
und somit
wi = 1 .
i
Mit  = |jj| erhalten wir
(Ψ|j|θu ) (θu |j|Ψ) =
|(j|θu |)|Ψ|2
A =
u
A = Tr (ρ̂Â) =
u
wi |ii|jj| = wj ,
i
und somit
wj ≥ 0 .
5.1.1
Quantenmechanik mit Dichteoperatoren
Jedes quantenmechanische System wird durch einen Dichteoperator ρ̂ der
Form i wi |ii| charakterisiert. Dabei gilt
1. |i ist eine vollständige, orthonormierte Basis
2. wi ≥ 0
3.
i wi = 1
4. Der Erwartungswert eines Operators  ist
wi i|Â|i
A = Tr (ρ̂Â) =
i
Aus dieser Definition geht hervor, dass wi als Wahrscheinlichkeit interpretiert
werden kann, das System im Zustand |i zu finden.
Das System befindet sich in einem reinen Zustand, falls wi = 1 und wj=i = 0.
Alle anderen Zustände heissen gemischte Zustände. Es ist leicht zu zeigen,
dass eine notwendige und hinreichende Bedingung für einen reinen Zustand
ρ̂ = ρ̂2
ist.
83
5.1.2
Zeitentwicklung
Der Dichteoperator ist definiert
ρ̂ =
wi |ii| .
i
Ändern sich die Zustände mit der Zeit, so haben wir
wi |i(t)i(t)| .
ρ̂(t) =
i
Aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung wissen wir
|i(t) = e−ih̄Ĥt |i(0)
und somit
ρ̂(t) =
wi e−ih̄Ĥt |i(0)i(0)|eih̄Ĥt = e−ih̄Ĥt ρ̂(0)eih̄Ĥt .
i
Aus der Zeitableitung dieser Gleichung folgt somit
ρ̂˙ = −ih̄ Ĥ ρ̂ − ρ̂Ĥ = −ih̄[Ĥ, ρ̂]
das Bewegungsgesetz für Dichteoperatoren.
5.2
Quantentheorie irreversibler Prozesse
A sei ein geschlossenes, an B gekoppeltes Quantensystem, ρ(t) der Dichteoperator des gesamten Systems A ∪ B und
ρ̇(t) = Lρ(t)
die Bewegungsgleichung von ρ(t). Ist A ∪ B ein abgeschlossenes System, so
lässt sich Lρ(t) als Kommutator schreiben.
Lρ(t) = −i[H, ρ(t)]
H ist der Hamiltonoperator von A ∪ B. Mit
H = HA ⊗ 1B + 1A ⊗ HB + λHAB
λ : Kopplungsparameter
λ≥0
84
lässt sich auch Lρ(t) aufspalten in
Lρ(t) = LA ρ(t) + LB ρ(t) + λLAB ρ(t) .
Mit der Definition
ρA (t) = TrB (ρ(t)),
TrB : partielle Spur
für den Dichteoperator des Teilsystems A, lässt sich die Bewegungsgleichung
formal integrieren und man erhält eine Bewegungsgleichung für ρA (t).
ρ̇A (t) = LA ρA (t) + G(λ, ρ(0), L, LAB , t)
Dies ist eine allgemeine Mastergleichung für das System A. Die äusserst komplizierte Gleichung lässt sich unter den Annahmen
• die Zustände der beiden Systeme A und B seien zur Zeit t = 0 nicht
korreliert, d.h. ρ(0) = ρA (0) ⊗ ρB (0)
• das System B befinde sich immer in einem Gleichgewichtszustand Ω
(Quasifreies Reservoir)
im Grenzwert schwacher Kopplung stark vereinfachen.
ρ̇A (t) = LA ρA (t) + K(LA , LB , Ω)ρA (t)
Dies ist eine Markovsche Mastergleichung. Zu jeder Zeit t ≥ 0 ist die Änderung des Zustandes von A nur vom momentanen Zustand von A abhängig
und nicht von der Vorgeschichte des Systems.
Ist die Dimension von HA < ∞, so ist K von der Form
M
1 KρA (t) = LD ρA (t) =
aik {[Fi , ρA (t)Fk ] + [Fi ρA (t), Fk ]}
2 i,k=1
dimHA = N
M = N2 − 1
TrHA = 0
Tr (Fi ) = 0,
A = {aik }M
1 ≥ 0
Tr (Fi Fk ) = δik ,
1 ≤ i, k ≤ M
A enthält alle Information über die Kopplung des offenen Systems mit der
Umgebung (System B). Die Matrizen F bilden eine vollständige orthonormale Basis im Raum der N × N -Matrizen mit Spur Null, und der Hamiltonoperator HA ist zeitunabhängig.
Alle Operatoren beziehen sich von jetzt an auf das offene System A, der
Index A wird deshalb weggelassen.
85
5.2.1
Kohärenzvektordarstellung
Die Matrizen S(i,k) , J(i,k) , D(l) , 1 ≤ i < k ≤ N , 1 ≤ l ≤ N − 1 bilden eine
Basis {Fi }M
1 mit der zusätzlichen Eigenschaft
Fi = F†i
1 S(i,k) = √ P(i,k) + P(k,i)
2
−i
J(i,k) = √ P(i,k) − P(k,i)
2
l
1
P(k,k) − lP(l+1,l+1)
D(l) = l(l + 1) k=1
P(i,k)
µ,ν = δµi δνk
1 ≤ i, k, µ, ν ≤ N
Die Basis {Fi }M
1 bildet eine Lie-Algebra und weil Fi hermitesch ist, gilt
[Fi , Fk ] = i
M
fikl Fl
l=1
2
{Fi , Fk } = 1N δik +
dikl Fl
N
l=1
M
wobei fikl ∈ R die total antisymmetrischen und dikl ∈ R die total symmetrischen Strukturkonstanten der Lie-Algebra sind. {·, ·} ist der Antikommutator
und 1N die Einheitsmatrix in N Dimensionen.
Jede hermitesche Matrix X lässt sich eindeutig in der Form
1
x k Fk
X = Tr(X) 1N +
N
k=1
M
xk ∈ R
darstellen. Damit lässt sich die Mastergleichung
ρ̇(t) = Lρ(t)
L = −i[H, · ] +
M
1 aik {[Fi , · Fk ] + [Fi · , Fk ]}
2 i,k=1
in ein M dimensionales lineares Differentialgleichungssystem transferieren.
v̇(t) = Gv(t) + k
86
Der Kohärenzvektor v(t) ist definiert durch
v(t) = (v1 (t), v2 (t), . . . , vM (t))T ∈ R
vi (t) = Tr(ρ(t)Fi )
und somit ist der Dichteoperator ρ(t)
1
vk (t)Fk
ρ(t) = 1N +
N
k=1
M
G lässt sich aufteilen in
G=Q+R
mit Q herrührend vom Hamiltonschen Teil
−i[H, ρ(t)] −→ Qv(t)
und R vom dissipativen Teil von Lρ(t)
LD ρ(t) −→ Rv(t) + k
Es gilt dann
qsm =
H=
M
n=1
M
hn fnms
hn Fn
n=1
Q = −QT
für den Hamiltonschen Teil und
rsm
M
1 =−
(2 − δik ) Re(aik ) (fils fklm + fkls film )
4 i,k,l=1
(i≤k)
M
1 Im(aik ) (fkls dilm − fils dklm )
+
2 i,k,l=1
(i<k)
M
2 Im(aik )fiks
ks = −
N i,k=1
(i<k)
für den dissipativen Teil. R besitzt im allgemeinen Fall keine Symmetrie.
87
5.3
Verallgemeinerte Bloch-Gleichungen
Wir betrachten einen allgemeinen Hamilton-Operator eines Zwei-NiveauSystems. Der Operator sei zeitunabhängig.
1
ω1 + iω2
ω0
H=
−ω0
2 ω1 − iω2
Daraus folgt für die Entwicklungskoeffizienten in der F-Basis
ω1
h1 = √ ,
2
ω2
h2 = − √ ,
2
ω0
h3 = √ .
2
Wir parametrisieren die A Matrix in der folgenden Form
⎞
⎛1
(γ + γ2 − γ3 )
α + iν
β + iµ
2 1
1
⎠
(γ + γ3 − γ2 )
δ + iλ
α − iν
A=⎝
2 1
1
(γ + γ3 − γ1 )
β − iµ
δ − iλ
2 2
und den Bloch-Vektor mit den Komponenten
⎛ ⎞
u
v = ⎝v ⎠ ,
w
wobei
u = Tr(F1 ρ) =
v = Tr(F2 ρ) =
√
√
2Re(ρ12 )
2Im(ρ12 )
1
w = Tr(F3 ρ) = √ (ρ11 − ρ22 ) .
2
Mit diesen Definitionen können wir G = Q + R berechnen:
⎞
⎛
0 −ω0 −ω2
0 −ω1 ⎠
Q = ⎝ω0
ω2 ω1
0
und
sowie den Vektor k
⎞
β
−γ3 α
R = ⎝ α −γ2 δ ⎠
β
δ −γ1
⎛
⎛ ⎞
λ
√
⎝
k = − 2 µ⎠ .
ν
88
Die allgemeinste Mastergleichung ist demnach äquivalent zu den drei gekoppelten Differentialgleichungen
√
u̇ = −γ3 u + (α − ω0 )v + (β − ω2 )w − 2λ
√
v̇ = (α + ω0 )w − γ2 v + (δ − ω1 )w − 2µ
√
ẇ = (β + ω2 )u + (δ + ω1 )v − γ1 w − 2v
Die Bedingung, dass A positiv semi-definit ist erzeugt zusätzliche Einschränkungen für die Parameter
0 ≤ γi ≤ γk + γl ,
(i, k, l) eine Permutation von (1, 2, 3)
2
4(α + ν 2 ) ≤ γ12 − (γ2 − γ3 )2
4(β 2 + µ2 ) ≤ γ22 − (γ1 − γ3 )2
4(δ 2 + λ2 ) ≤ γ32 − (γ1 − γ2 )2
4β(αδ − νλ) − 4µ(αλ + νδ) ≥ (γ3 + γ1 − γ2 )(β 2 + µ2 )
1 2 1
2
2
2
+ (γ2 + γ3 − γ1 ) α + ν − γ1 − (γ2 − γ3 ) +
4
4
(γ1 + γ2 − γ3 )(δ 2 + λ2 ) .
Wir wollen nun diese allgemeinen Gleichungen mit den üblichen Bloch-Gleichungen
vergleichen. Dazu führen wir den normierten Magnetisierungsvektor M ein
⎞
Mx
M = ⎝ My ⎠
Mz
⎛
und setzten
Mx = u,
My = v,
Mz = w .
Folgende Parameter können Null gesetzt werden
ω1 = ω2 = 0,
α=β=δ=λ=µ=0
und wir führen die neue Benennung ein
1
= γ1 ,
T1
1
= γ2 = γ3 ,
T2
89
√
M0
= − 2ν .
T1
Die Differentialgleichungen vereinfachen sich zu den bekannten Bloch-Gleichungen
in einem statischen Feld (M0 stationäre Magnetisierung in z Richtung).
Mx
− ω0 My
T2
My
Ṁy = ω0 Mx −
T2
1
Ṁz = − (Mz − M0 )
T1
Ṁx = −
Aus den Einschränkungen für die Parameter der Matrix A folgt für T1 und
T2 , die longitudinale und transversale Relaxationszeit, die Bedingung
1
T1 ≥ T2 .
2
Die dazugehörige A Matrix hat die Form
⎛
1
i √M2T0
2T1
1
⎜
1
A = ⎝−i √M2T0 1
2T1
0
0
1
T2
⎞
0
⎟
0
⎠
1
− 2T1
mit den Eigenwerten
λ1,2 =
√
1
(1 ± 2M0 ),
2T1
λ3 =
1
1
−
T2 2T1
und den Eigenvektoren
⎛
⎞
1 i 0
1
S = √ ⎝−1 i √0 ⎠
2
2
0 0
5.4
Ein offenes Quantensystem in Wechselwirkung mit einer zeitabhängigen Störung
(Bonus Material)
Befindet sich das Quantensystem in Wechselwirkung mit einer zusätzlichen
Störung, so wird davon sowohl das offene System, als auch das Reservoir und
die Wechselwirkung zwischen dem offenen System und dem Reservoir betroffen sein. Für die Beschreibung eines offenen Systems in einem Wechselfeld
wird im folgenden ein vereinfachtes Modell verwendet.
90
• Die Annahmen über die schwache Kopplung sind immer noch gültig.
• Die Störung ist genügend klein, so dass die Wechselwirkung des offenen
Systems mit dem Reservoir nicht tangiert wird.
• Das elektromagnetische Feld wird klassisch beschrieben.
In diesem Modell kann die Mastergleichung für das offene System immer noch
in der Form von Kossakowski geschrieben werden und es ist garantiert, dass
ρ(t) die von Neumann Bedingungen für einen Dichteoperator erfüllt.
ρ(t) = ρ (t),
ρ(t) ≥ 0
Die einzige Änderung ist, dass jetzt der Hamilton-Operator zeitabhängig ist.
In der Kohärenzvektordarstellung lautet die neue Gleichung
v̇(t) = G(t)v(t) + k ,
wobei v, G und k durch die selben Beziehungen wie im zeitunabhängigen
Fall gegeben sind. Die Zeitabhängigkeit von G beschränkt sich auf den Hamiltonschen Teil von Q
G(t) = Q(t) + R
Die Mastergleichung ist ein lineares, inhomogenes Differentialgleichungssystem mit zeitabhängigen Koeffizienten. Die allgemeine Lösung lautet
t
Ω−1 (τ )kdτ
v(t) = Ω(t)v(0) + Ω(t)
0
Ω(t) ist der Matrizant der homogenen Gleichung
ẋ(t) = G(t)x(t) .
Ist H(t) periodisch in der Zeit, d.h.
H(t) = H(t + T )
so ist auch G(t) periodisch, also lässt sich der Matrizant Ω(t) nach dem
Floquet-Theorem in der Form
Ω(t) = Z(t)eKt
Z(t) = Z(t + T )
schreiben. Damit wird die Lösung zu
Kt
Kt
v(t) = Z(t)e v(0) + Z(t)e
0
91
t
e−Kτ Z−1 (τ )kdτ
Da Z(t) periodisch ist, kann Z(t) in eine Fourierreihe entwickelt werden (ω =
2π/T ).
∞
Z(n) einωt
Z(t) =
n=−∞
−1
Das Gleiche gilt auch für Z (t).
∞
−1
Z (t) =
S(n) einωt
n=−∞
Setzt man die Entwicklungen für Z(t) und Z−1 (t) ein, so kann das Integral
unter der Voraussetzung, dass W(n) = (K − inω1) nicht singulär ist, berechnet werden.
v(t) =
∞
Z(n) exp[W(n)t]v(0)+
n=−∞
∞
Z(n) exp[W(n)t]
0
n=−∞
v(t) =
∞
t
e−K(τ )
∞
S(m) eimωτ
kdτ
m=−∞
Z(n) exp[W(n)t]v(0)+
n=−∞
∞
(n)
Z
∞
exp[W(n)t]
n=−∞
W−1 (m) (exp[−W(m)t] − 1) S(m) k
m=−∞
Von besonderem Interesse ist das Verhalten von v(t) für t −→ ∞. Der Grenzwert t −→ ∞ lässt sich leicht bilden, wenn alle Eigenwerte von K negative
Realteile besitzen, da in diesem Fall exp(Kt) −→ 0 geht.
v(t −→ ∞) = v∞ (t) =
∞
∞
Z(n) W−1 (m) exp[i(m + n)ωt]S(m) k
n=−∞ m=−∞
v∞ (t) hängt nicht vom Anfangszustand v(0) ab und ist eine periodische
Funktion. Es ist deshalb möglich auch v∞ (t) in eine Fourierreihe zu entwickeln.
∞
vn∞ einωt
v∞ (t) =
vn∞ =
n=−∞
∞
Z(n−m) W−1 (m)S(m) k
m=−∞
92
5.4.1
Polarisierbarkeit
Der Erwartungswert µ(t) des Dipoloperators D̂ ist gegeben durch
µ(t) = Tr(ρ(t)D̂) .
Für grosse Zeiten t setzen wir
1
ρ(t) = 1 +
vi∞ (t)Fi
N
i=1
M
und erhalten für µ(t)
M
1
vi∞ (t)Fi D
µ(t) = Tr D + N
N
i=1
∞
M 1
∞
vi,n
Fi Deinωt
µ(t) = Tr D + N
N
i=1 n=−∞
Benennt man die Fourierkoeffizienten von µ(t) in der üblichen Weise
µ(t) = µ0 + α(ω)eiωt E + α(−ω)e−iωt E+
β(2ω)ei2ωt EE + β(−2ω)e−i2ωt EE + · · ·
so erhält man durch vergleichen mit der Fourierentwicklung von v
∞
1
Z(−m) W−1 (m)S(m) kFD
µ0 = Tr D + N
N
m=−∞
∞
α(ω) = Tr
Z(1−m) W−1 (m)S(m) kFD
m=−∞
β(2ω) = Tr
∞
Z(2−m) W−1 (m)S(m) kFD
m=−∞
F ist der matrixwertige Basisvektor (F1 . . . FM )T .
Es ist möglich die Ausdrücke für µ0 , α(ω), β(2ω), . . . ohne eine vorgängige
Störungsrechnung numerisch auszuwerten. Dazu müssen Z(m) , S(m) und K
berechnet werden. Dies ist jedoch nur approximativ möglich. Einerseits muss
die Summe über m abgebrochen werden, andererseits lässt sich K nicht exakt
bestimmen.
93
Gesucht ist eine allgemeine Lösung der Gleichung
v̇(t) = G(t)v(t)
Mit H(t) ist auch G(t) periodisch, und es können sowohl G(t) als auch v(t)
in eine Fourierreihe entwickelt werden.
∞
G(t) =
G(n) einωt
v(t) =
n=−∞
∞
vn einωt eqt
n=−∞
Werden die Fourierreihen in die Differentialgleichung eingesetzt und die Terme der entsprechenden Ordnung verglichen, erhält man
vn (inω + q) =
∞
G(n−m) vm ,
−∞ < n < ∞
m=−∞
Diese unendlichvielen Gleichungen für v lassen sich mit den im folgenden
definierten Grössen zusammenfassen und vereinfacht schreiben.
Definitionen:
(n−m)
Γn,m,i,j = Gij
Floquetmatrix:
s
νn,i
Floquetzustand zu qs :
− inωδij δnm
= vin
Mit diesen Definitionen können wir schreiben
(Γ − qs 1) ν s = 0 .
Damit ist das M -dimensionale Differentialgleichungssystem in ein unendlichdimensionales Eigenwertproblem übergeführt. Ist K nicht diagonalisierbar,
muss die Eigenwertgleichung speziell behandelt werden. Für die weiteren
Ausführungen wird angenommen K sei diagonalisierbar.
Es ist leicht zu sehen, dass folgende Zuordnung gilt:
(n)
s
.
Zis = νn,i
Die Links-Eigenvektoren µs erfüllen die Gleichung
†
Γ − q̄s 1 µs = 0 .
Aus der Biorthogonalität der Eigenvektoren folgt
(µs )† ν s = δsp
und somit
(n)
Sis = µsn,i .
Einige Eigenschaften der Lösungen:
94
• Die Eigenwertgleichung besitzt unendlich viele Eigenwerte der Form
λ = qi + nω,
• Allgemein gilt
und
i = 1, . . . , M
und
−∞<n<∞
s+p
s
νn+p,i
= νn,i
s+p
= µsn,i
µn+p,i
Die Lösungen sind also vollständig durch einen Satz von M Eigenwerten qi
und M Eigenvektoren ν und µ bestimmt.
Berechnung der Eigenwerte:
Determinantengleichung
|Γ − q1| = 0
In der elektrischen Dipolapproximation lässt sich V(t) als
V(t) = 2V cos ωt
schreiben. Γ bekommt in dieser Approximation eine besonders einfache Struktur.
G (t) = G + 2T cos ωt
⎧
⎨ (A n )ij für n = m
(B n )ij für |n − m| = 1
Γn,m,i,j =
⎩
0
sonst
Skaliert man die Determinante mit ω und dividiert zusätzlich noch jede Zeile
durch ihr Diagonalelement, so erhält man die neue Gleichung
...
A
B
B
n+1
n+1
n+1
Bn
An
Bn
=0
Bn−1 An−1 Bn−1 . . . Die Elemente der Matrizen An und Bn sind dabei wie folgt definiert
αij
Gij
=
Gii − inω − q
z − αi + in
(An )ii = aii = 1
βij
Tij
(Bn )ij = bij =
=
Gii − inω − q
z − αi + in
(An )ij = aij =
95
i = j
wobei
αij = −
Gij
,
ω
βij = −
αi = αii ,
Tij
,
ω
z=
q
ω
Zur Lösung der gleichung D(z) = 0 benützen wir eine Verallgemeinerung der
Theorie der Hill’schen Determinanten.
Annahme: D(z) hat keine mehrfachen Nullstellen.
D(z) besitzt Pole der Ordnung Eins an den Stellen z = αi − in für −∞ <
n < ∞.
Definition der Funktion F (z − αj )
F (z − αj ) = πcot(iπ(z − αj ))
F (z − αj ) ist periodisch und hat Pole der Ordnung Eins an den Stellen
z = αj − in
lim {i(z − αj )F (z − αj )} = 1
z→αj
In der Umgebung der Pole kann D(z) in der Form Cj /(z − αj ) faktorisiert
werden. Definition der Funktion f (z)
f (z) = D(z) −
M
Cj F (z − αj )
j=1
f (z) hat keine Pole und ist auch für Re(z) → ∞ beschränkt, damit erfüllt
f (z) die Voraussetzungen des Satzes von Liouville und ist deshalb konstant.
lim
Re(z)→±∞
D(z) = 1
Da alle Ausserdiagonalelemente für Re(z) → ∞ gegen Null streben und alle
Diagonalelemente Eins sind, ist der obige Limes gleich Eins.
lim
Re(z)→±∞
F (z − αj ) = ∓iπ
Damit folgt
lim
Re(z)→±∞
und somit
f (z) = 1 ∓ iπ
M
j=1
M
Cj = 0
j=1
96
Cj
also ist f (z) = 1. Schlussendlich folgt
D(z) = 1 +
M
πCj cot(iπ(z − αj ))
j=1
Die unendlichdimensionale Eigenwertgleichung ist somit in eine transzendente Gleichung
M
πCj cot(iπ(z − αj )) = 0
1+
j=1
übergeführt. Zur Bestimmung der Cj multipliziert man die Determinante mit
i(z − αj ) und nimmt den Limes für z → αj . Man erhält
Cj = lim i(z − αj )D(z)
z→αj
j = 1, . . . , M
Cj = i |Xj | ,
wobei Xj die gleiche Struktur wie Γ hat.
.
..
j
j
j
B
A
B
n+1
n+1
n+1
Bjn
Ajn
Bjn
Xj = j
j
j
Bn−1 An−1 Bn−1 . . . Ajn
pq
Ajn pp
j
A0 jq
j
A0 jj
j
Bn pq
j
B0 jq
αpq
αj − αp + in
=1
=
= αjq
=0
=
βpq
αj − αp + in
= βjq
97