wipf`sche formelsammlung

WIPF‘SCHE
FORMELSAMMLUNG
Verfasser:
Wipf Mario
Fachbereich:
Maschinen-Ingenieurwesen
Fach:
Physik
Umfang:
Grundstudium
Fassung vom:
04.10.13
Seite
1
Physik
Seite
2
Fachbereich:
Physik
Thema:
Wärmelehre
Wärmemenge Q
Formelsammlung: M.Wipf
m : Masse [kg ]
Q : Wärmemenge [kJ ]
Q = c ⋅ Δϑ ⋅ m
Wärmekapazität C
Q
C=
= c⋅m
Δϑ
c : spez.Wärmekapazität [
kJ
]
kg ⋅ K
⎡ kJ ⎤
C :Wärmekapazität ⎢ ⎥
⎣K ⎦
Merke: Wärmekapazität ist die Wärmemenge, die erforderlich ist, um die vorliegende
Substanzmenge um 1 Kelvin oder 1°C zu erwärmen.
Verdampfungswärme Qv
Qv = qsiede ⋅ m
Schmelzwärme Qs
Qs = q schmelz ⋅ m = n ⋅ c schmelz ,m
m : Masse [kg ]
Qv : Verdampfungswärme [kJ ]
q : spez.Verdampfungwärme [
kJ
]
kg
m : Masse [kg ]
Qs : Schmelzwärme [kJ ]
q : spez.Schmelzwärme [
kJ
]
kg
c : molare Schmelzwärme
Schallgeschwindigkeit (bezogen auf ruhende Luft)
v0 = 331,6
m
m
+ 0,6
⋅ (T − 273,15 K )
s
s⋅K
T: Temperatur der Luft
v0: effektive Schallgeschwindigkeit
Merke: Bezogen auf das Trägermedium Luft ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schall
konstant, das heisst unabhängig von Sender und Empfänger.
Die Schallgeschwindigkeit ist kaum druck- und feuchtigkeitsabhängig
04.10.13
Seite
3
Fachbereich:
Physik
Thema:
Wärmelehre
Wärmeleitung und Konvektion
I=
dQ
dt
I=
ΔT
Rtot
= λ ⋅ A⋅
Formelsammlung: M.Wipf
J
I = Q : Wärmestrom [ ];[W ]
s
dT
A
= λ ⋅ ⋅ (T1 − T2 )
dx
Δx
Δϑ
λ : spez.Wärmeleitfähigkeit [
W
]
m⋅K
A : Fläche [m 2 ]
Δx : zu durchdringende Länge [m]
A
Δx
Rλ =
λ⋅A
Δϑ : Temperaturdifferenz [ K ]
Δx
RG Seriell = R1 + R2 + ... + Rn
1
RG parallel
=
Rλ : Wärmewiderstand [
K
]
W
1 1
1
+ + ... +
R1 R2
Rn
Merke: Der Wärmestrom verkörpert Energie, welche pro Zeiteinheit fliesst (Im Normalfall pro Sekunde)
Serie-/Parallelschaltungen von Wärmewiderständen
Der Wärmestrom I ist gesucht
Kältebad (T1)
Wärmebad (T2)
estrom
Wärm
I
Konzept:
1. 
Einzelwiderstände R1, R2, ... Rn berechnen gemäss folgender
Formel:
Rλ =
2. 
Δx
λ⋅A
Nun ist der Gesamtwiderstand der Wärmewiderstände zu
ermitteln dabei wird unterschieden in: Serieschaltung und
Parallelschaltung:
1
RG parallel
3. 
R2
=
1 1
1
+ + ... +
R1 R2
Rn
RG Seriell = R1 + R2 + ... + Rn
Nun ist die Temperaturdifferenz zwischen den beiden
Grenzflächen zu ermitteln um dann gemäss unten stehender
Formel den Wärmestrom berechnen zu können:
ΔT T2 − T1
I=
=
Rtot
Rtot
4. 
Da der Wärmestrom im stationären Zustand konstant geworden
ist, lässt sich über diesen zusammen mit einem der beiden bzw.
der n Wärmewiderstände die Temperatur an der, bzw. den
Grenzfläche(n) bestimmen:
ΔT = I ⋅ Reinzel
04.10.13
R1
Material
l : W/
(m*K)
Aluminium
237
Beton
0.19-1.3
Blei
353
Eis
0.592
Eisen
80.4
Glas
0.7-0.9
Gold
318
Holz (Eiche)
0.15
Holz (Kiefer)
0.11
Kupfer
401
Luft (27°C)
0.026
Silber
429
Stahl
46
Wasser (26°C)
0.609
Seite
4
Fachbereich:
Physik
Thema:
Wärmelehre
Wärmeübergang
Formelsammlung: M.Wipf
J
I = Q : Wärmestrom [ ];[W ]
s
dQ 
I=
=Q
dt
α : Wärmeüberganskoeffizient [
ΔT
Q = α K ⋅ A ⋅ ΔT =
= A ⋅ k ⋅ ΔT
RK
W
]
m2 ⋅ K
A : Fläche [m 2 ]
ΔT : Temperaturdifferenz [ K ]
1
RK =
α⋅A
Rα : Wärmeübergangswiderstand [
K K ⋅s
];[
]
W
J
Wärmedurchgang (Wärmeleitung und Wärmeübergang in Serie)
Der Wärmestrom I ist gesucht
Konzept:
Wärmestrom I
1. 
Die Berechnung für den Wärmestrom erfolgt nach
dem selben Schema, wie diejenige aus der
Wärmekonvektion
2. 
Besonderheit des Wärmedurchgang ist die
Handhabung der Teilwiderstände so gilt:
Rtot = Rk
3. 
innen
+ Rλ + Rk
=
mit k =
innen
λ übergang
α
aussen
1 ⎛ 1
l
1 ⎞
⋅ ⎜⎜ innen + + aussen ⎟⎟
A ⎝ αk
λ αk
⎠
Es ist üblich diese Beziehung zu in folgender Weise zu
notieren
1 1
Rtot == ⋅
A k
4. 
aussen
α
1
Kältebad (T1)
Wärmebad (T2)
I
estrom
Wärm
⎛ 1
l
1 ⎞
⎜ innen + + aussen ⎟
⎜α
⎟
λ αk
⎝ k
⎠
Wenn diese Gesamtwiderstände nun wieder
Teilelemente eines ganzen Systems sind, so gilt
wiederum:
Rα k innen
Rλ übergang
Rα k aussen
RG Seriell = Rtot1 + Rtot 2 + ... + Rtot n
1
RG parallel
=
1
1
1
+
+ ... +
Rtot1 Rtot 2
Rtot n
Merke: Wärmeübergang von in Serie geschalteten Elementen wird bei der Berechnung vernachlässigt. Es wird
nur derjenige vom vordersten und hintersten Wärmewiderstand an das Umfeld berücksichtigt
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5
Fachbereich:
Physik
Thema:
Wärmestrahlung
Pe = e ⋅ σ ⋅ A ⋅ T
4
Pa = e ⋅ σ ⋅ A ⋅ T0
4
PNetto = e ⋅ σ ⋅ A ⋅ (T 4 − T0 )
4
λmax =
2,898 (mm ⋅ K )
T
Wärmelehre
Formelsammlung: M.Wipf
J
Pe : emittierte Strahlungsleistung [W ];[ ]
s
J
Pa : absorbierte Strahlungsleistung [W ];[ ]
s
J
PNetto : netto Strahlungsleistung [W ];[ ]
s
2
A : Oberfläche [m ]
T : Absolute Temperatur [ K ]
T0 :Umgebungstemperatur [ K ]
e : Emissionsgrad ( zwischen 0 und 1)
Hinweis: Ein Körper, der die gesamte auftreffende
Strahlung absorbiert, nennt man schwarzen Körper.
Er ist gleichzeitig ein idealer Strahler
(Emissionsgrad=1)
Verhalten von Wasser bei Erwärmung
σ : Stefan − Boltzmann − Kons tan te
σ = 5,6703 ⋅10 −8W ⋅ m − 2 ⋅ K − 4
λmax :Wellenläng e des Maximums [nm ]
c1 : spez.Wärmekap.Eis = 2,09
kJ
kg ⋅ K
kJ
kg
100°C
Qs : Schmelzwärme = 333,5
0°C
− 20°C
kJ
kg ⋅ K
kJ
Qv : Verdampfungsw. = 2257
kg
kJ
c3 : spez.W .kap Dampf = 1395
kg ⋅ K
c2 : spez.W .kap Wasser = 4,18
c1 Qs
c2
Qv c3
W = Energie : 1J = 1Nm = 1Ws 1cal = 4,1868 J
Merke: Ist Eis vorhanden, das geschmolzen wird, muss erst überprüft werden, ob die
Wärmeenergie ausreicht, um das gesamte Eis zu schmelzen.
Ideale Gasgleichung
N : Molekühlzahl
p ⋅V = N ⋅ k ⋅ T
V : Volumen [m 3 ]
p ⋅V = n ⋅ R ⋅ T
p : Druck [ pa ]
n : Anz.Molekühle [mol ]
1Mol = 6,03 ⋅10 23 Molekühle = 28 g ( Stickstoff )
T : Temperaurdifferenz [ K ]
Pa =
J N
,
m3 m 2
04.10.13
J
]
mol ⋅ K
J
k : Boltzmannconst [1,3807 ⋅ 10 − 23 ]
K
R : univers.Gasconst [8,31441
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6
Fachbereich:
Physik
Thema:
Licht / Optik
Wellenlänge des Licht‘s in best. Materie
λ'=
λ : Wellenläng e [nm ]
λ
n
Formelsammlung: M.Wipf
n = Brechzahl
Anmerkung: Wellenlänge > 780nm (infrarot), WL<380nm (ultraviolett)
Brechung
θ1 ,θ 2 : Winkel von Lot
n1 ⋅ sin θ1 = n2 ⋅ sin θ 2
n1 , n2 : Brechzahl
Hohe Brechzahl zu tiefer Brechzahl => Brechung vom Lot weg
Brechzahlen einiger Substanzen, bezogen auf gelbes
Natriumlicht ( l = 589 nm)
Substanz
Brechzahl n
Festkörper
Substanz
Brechzahl n
Flüssigkeiten bei 20°C
Diamant (C)
2.417
Benzol
1.501
Eis (H2O)
1.309
Ethanol (C2H5OH)
1.36
Kochsalz (NaCl)
1.544
Glyzerin
1.473
Quarz (SiO2)
1.544
Wasser (H2O)
1.333
Zirkon (ZrSiO4)
1.923
Gase (atomosphärendruck und 0°C)
Gläser (typische Werte)
Wasserstoff
1.0001
Borat-Flintglas
1.565
Luft
1.0003
Quarzglas
1.458
Kohledioxid (CO2)
1.0005
Silicat-Flintglas
1.612
Silicat-Kronglas
1.503
Totalreflexion
sin θ k =
n2
n1
nur möglich wenn : n2 < n1
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Fachbereich:
Physik
Thema:
Licht / Optik
Linsen
1 1 1
+ =
o i f
m= −
i
o
f =
o ⋅i
o+i
f =
i
m +1
o=
i⋅ f
i− f
i=
o⋅ f
o− f
i = (1 − m) ⋅ f
Formelsammlung: M.Wipf
f : focal lenght [m]
o : object dist .
[ m]
i : image dist .
[ m]
m : Abbildungs masstab
Wenn m negativ, ist Bild umgekehrt
Vorzeichenkonvention
o
+ reeller Gegenstand vor der brechenden Fläche (Einfallsseite)
- virtueller Gegenstand hinter der brechenden Fläche (Transmissionsseite)
i
+ reelles Bild hinter der brechenden Fläche (Transmissionsseite)
- virtuelles Bild vor der brechenden Fläche (Einfallsseite)
f,r
+ Krümmungsmittelpunkt auf der Transmissionsseite (converging/konvex)
- Krümmungsmittelpunkt auf Einfallsseite (diverging/konkav)
Bild und Objekthöhe sind positiv oberhalb der optischen Achse und negativ
unterhalb der optischen Achse
2 Linsen hintereinander
o2 = abst. − i1
2 dicht hintereinander gestellte Linsen
1 1 1
= +
f
f1 f 2
Brechkraft
1
D=
f
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D = D1 + D2
1
[ ]
m
D : Brechkraft
1
D : Brechkraft [dpt ] ;[ ]
m
Zerstreuungslinse: Brennweite negativ => Brechkraft negativ
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8
Fachbereich:
Physik
Thema:
Formelsammlung: M.Wipf
x(t)
2-Dimensionale Bewegung
Wenn a=const
x(t ) =
Kinematik
v(t)
a 2
⋅ t + v0 ⋅ t + x0
2
a : Beschleunigung
[
m
]
s2
t : Zeit [ s ]
t
m
[ ]
s
m
vend : Endgeschw.
[ ]
s
x0 : Dist.von.Startpt. [m]
v0 : Anfangsgeschw.
vend = v0 + a ⋅ t
a(t)
a = v = x
t
t
V(t)
V0=0
t
Fallende Körper im v(t)-Diagramm stets mit negativer Steigung
Der schiefe Wurf
α
y=0
g
x2
x
y=− ⋅ 2
+ v0 ⋅ sin (α )⋅
2
2 v0 ⋅ cos (α )
v0 ⋅ cos α
y = −a
x0
x1
Konzept (auf herkömmliche Weise):
1. 
Es wird die Fallzeit des Körpers bestimmt. Hierfür betrachtet man nur die
Bewegung vertikal und setzt die untenstehende Gleichung an:
x(t ) =
2. 
a 2
⋅ t + v0 ⋅ sin α ⋅ t + x0
2
Nun wird angenommen, dass sich der Körper in horizontaler Richtung mit einem
konstanten Geschwindigkeitsbetrag bewegt.Darum wird die zuvor ermittelte
Fallzeit in die Formel unten (Bewegung horizontal) eingesetzt:
x(t ) = v0 ⋅ cosα ⋅ t
3. 
Das Ergebnis ist nun die horizontale Distanz bezüglich der Abwurf stelle x0
Konzept (mit Formel für schiefen Wurf)
1. 
Für das illustrierte Beispiel (siehe Bild) werden folgende Werte in die
Grundformel übernommen:
2
−a = −
2. 
9.81
x
x1
⋅ 2 1 2
+ v0 ⋅ sin (α )⋅
2 v0 ⋅ cos (α )
v0 ⋅ cos α
Dieser Ausdruck muss nun nach x1 aufgelöst und berechnet werden. Ergebnis
ist ebenfalls, wie in der herkömmlichen Lösungsweise, die horizontale
Distanz, welche der Körper zurückgelegt hat.
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9
Fachbereich:
Physik
Thema:
Schiefe Ebene

FN
Kräfte
Formelsammlung: M.Wipf

FG : Gewichtskraft

FN : Normalkraft

Fr : Reibungskraft

Fr

FG
Kräftegleichgewicht orthogonal zur Bewegunsgrichtung:
FRe s = ... + ... − ...
= m⋅a = 0
Der Körper hebt weder ab, noch
versinkt er in der Ebene
Kräftebilanz in Bewegunsgrichtung:
FRe s = ... + ... − ...
= m⋅a
Merke: Ist zu Berechnen, wie viel Energie durch die Reibungskraft über eine bestimmte Strecke in
Wärmeenergie umgewandelt worden ist, so ist es von Vorteil den Satz der Energieerhaltung anzuwenden
Kräfteberechungen
Fvertikal = Fz ⋅ sin α
Fhorizontal = Fz ⋅ cosα
FR = FN ⋅ µ
FR: Reibungskraft [N]
FG
Fz
α
FG: Gewichtskraft [N]
Fvertikal F : Zugkraft[N]
Z
Fhorizontal
FR
FN
Kräftegleichgewicht vertikal:
FRe s = FG − FN − Fvertikal
FN: Normalkraft[N]
⇒ FN = FG − Fvertikal = m ⋅ g − Fz ⋅ sin α
= m⋅a = 0
Kräftebilanz in Bewegunsgrichtung:
FRe s = Fhorizontal − FR = FZ ⋅ cos α − µ ⋅ FN
!
= m⋅a
m ⋅ a = FZ ⋅ cosα − µ (m ⋅ g − Fz ⋅ sin α )
a=
FZ ⋅ cos α
F ⋅ sin α
− µ(g − z
)
m
m
Achtung:Dringend zu berücksichtigen ist, dass die Zugkraft orthogonal zur Bewegungsrichtung eine
Komponente Fvertikal hat, die in der vertikalen Kräftebilanz miteinkalkuliert werden muss
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!
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Fachbereich:
Physik
Thema:
Kinematik
Formelsammlung: M.Wipf
m : Masse [kg ]
Impuls
⎡m⎤
v : Geschwindigkeit ⎢ ⎥
⎣s⎦
⎡ kg ⋅ m ⎤
p : Im puls ⎢
⎥
⎣ s ⎦
p = m⋅v
Energie
Ekinetisch =
m 2
⋅v
2
⎡
m2 ⎤
E : Energie ⎢kg ⋅ 2 ⎥
s ⎦
⎣
E potentiell = m ⋅ g ⋅ h
⎡m⎤
v1 , v2 : Geschw. vor Wechselwirkung ⎢ ⎥
⎣s⎦
⎡m⎤
v1 ' , v2 ': Geschw. nach Wechselwirkung ⎢ ⎥
⎣s⎦
Impulserhaltungsgesetz
p = p'
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v2 = m1 ⋅ v1 '+m2 ⋅ v2 '
Nur gültig wenn: keine Reibung vorhanden ist
Wechselwirkung nicht auf schiefer Ebene stattfindet
Energieerhaltungsgesetz
E = E'
⇒
m1
m
m
m
2
2
2
2
⋅ (v1 ) + 2 ⋅ (v2 ) = 1 ⋅ (v1 ') + 2 ⋅ (v2 ')
2
2
2
2
Emech = EPot + Ekin ⇒ EPot1 + Ekin1 = EPot 2 + Ekin 2
inelastischer Stoss
Hinreichende Bedingung:
v1 ' = v2 ' = v' =
v1 ' = v2 ' = v'
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v2
m1 + m2
Es gilt das nur Gesetz der Impulserhaltung
m
m
2
2
Ekin = 1 ⋅ v1 + 2 ⋅ v2
2
2
m + m2
m + m2 ⎛ m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v2 ⎞
2
⎟⎟
Ekin ' = 1
⋅ (v') = 1
⋅ ⎜⎜
2
2
⎝ m1 + m2
⎠
ΔEkin = Ekin '− Ekin
2
Merke: Aus Sicht der Endgeschwindigkeit, geht ein Teil der Energie verloren
elastischer Stoss
E = E'
p = p'
(
Es gilt das Gesetz der Impulserhaltung
)
(
Es gilt ebenso das Gesetz der Energieerhaltung
m2 ⋅ (v2 ') − (v2 ) = m1 ⋅ (v1 ) − (v1 ')
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2
2
2
2
)
Ekin =
m1 2 m2 2
⋅ v1 +
⋅ v2
2
2
Seite
11
Fachbereich:
Physik
Thema:
Kinematik
Formelsammlung: M.Wipf
Kraftstoss (Impulsänderung)

dp d
FRe s =
= m⋅v
dt dt

Δp = ∫ FRe s dt
t2
t1
t2



Δp = ∫ FRe s dt = P(t 2 ) − P(t1 )
t1


FRe s (t 2 − t1 ) = FRe s ⋅ Δt = Δp
Wechselwirkung Kugel fällt auf Platte:





Δp = ∫ FRe s dt = P(t 2 ) − P(t1 ) = v2 ⋅ m2 − v1 ⋅ m1
t2
t1
= F ⋅ Δt


v2 ⋅ m2 − v1 ⋅ m1
F=
Δt
Arbeit
W : Arbeit [
x2
ΔW = ∫ F ( x) dx = F ⋅ cos Θ ⋅ Δx = Fx ⋅ dx = m ⋅ a x ⋅ cos Θ ⋅ dx
F
kg ⋅ m 2
]
s2
x1
1
1
2
2
Wges = ΔEkin = mve − mva
2
2
F2
F1
s1
Arbeit und Kraft einer Feder
x2
ΔW1− 2 = ∫ F ( x) dx
F ( x) = F0 + Δx ⋅ D
x1
Ideale Feder
x2
ΔW1− 2 = ∫ D ⋅ x dx
x1
Leistung allgemein
dW
P=
= F ⋅v
dt
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s
s2
F : Zugkraft [ N ]
⎡N ⎤
D : Federkons tan te ⎢ ⎥
⎣m⎦
x1 , x2 : Positionen [m]
1
EPotentiell Feder = ⋅ D ⋅ x 2
2
J kg ⋅ m 2
P : Leistung [W , ,
]
s
s3
Seite
12
Fachbereich:
Physik
Thema:
ω :Winke lg eschwindigkeit ⎢
Fres = m ⋅ a
2
v2
⎛ 2π ⎞
2
2
a = = ω 2 ⋅ r = (2 ⋅ π ⋅ f ) ⋅ r = ⎜ ⎟ ⋅ r = (2 ⋅ π ⋅ n ) ⋅ r
r
⎝T ⎠
ω
Formelsammlung: M.Wipf
⎡ rad ⎤
⎣ s ⎥⎦
Gleichförmige Kreisbewegung
α=
Kinematik
2
⎡1 ⎤
f : Frequenz ⎢ ⎥
⎣s⎦
T :Umlaufzeit für einenUmlauf [ s ]
⎡1 ⎤
n : Drehzahl ⎢ ⎥
⎣s⎦
2 ⋅ϕ
Newton‘sches Gravitationsgesetz
F = G⋅
m1 ⋅ m2
2
r12
m1 , m2 : Massen [kg ]
r12 : Massenabs tan d [m]
Spezialfall: Ist eine Masse die Erde so gilt:
⎡
Nm 2 ⎤
G : univ. Gravitationscon. ⎢6,67 ⋅10 −11
⎥
kg 2 ⎦
⎣
2
R ⋅m
F = g⋅ E 2 s
r
Trägheitsmoment
J = mi ⋅ ri
2
J Z = J SP + m ⋅ a 2
Zweites Newton‘sches Axiom der Drehbewegung
M = J ⋅α
⇒ F = m⋅a
J :Trägheitsmoment [kg ⋅ m 2 ]
r : Abs tan d zur Drehachse [m]
m : Masse [kg ]
rad 1
, ]
s2 s2
J :Trägheitsmoment [kg ⋅ m 2 ]
M : Drehmoment [ Nm]
α :Winkelbeschleungiung [
Leistung der Drehbewegung
dW = M ⋅ dΘ
P=
dW
dΘ
 = M ⋅ω
= W = M ⋅
= M ⋅Θ
dt
dt
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Fachbereich:
Physik
Thema:
Kinematik
Formelsammlung: M.Wipf
Kinetische Energie der Drehbewegung
Ekin
Ekin rel
r
1
1
1
2
2
= mi vi = miω 2 ri = J ⋅ ω 2
2
2
2
Ekin sp
Konzept (herkömmlich):
1. 
Kinetische Energie der Bewegung des Körpers auf der Kreisbahn
beträgt:
1
Ekin Kreisbahn = m ⋅ v 2
2
2. 
Die kinetische Energie durch die Rotation um die Achse, welche
durch den Schwerpunkt des Körpers verläuft beträgt:
Ekin Sp. =
3. 
J :Trägheitsmoment [kg ⋅ m 2 ]
r : Abs tan d zur Drehachse [m]
m : Masse [kg ]
1
1
v2
J Sp ⋅ ω 2 = ⋅ J Sp ⋅ 2
2
2
r
Demnach lautet die gesamte kinetische Energie:
Ekin total = Ekin Kreisbahn
J Sp ⎞
1
1
v2 v2 ⎛
2
+ Ekin Sp. = m ⋅ v + ⋅ J Sp ⋅ 2 = ⋅ ⎜⎜ m + 2 ⎟⎟
2
2
r
2 ⎝
r ⎠
Konzept (komplett über Massenträgheitsmoment):
1. 
Das Massenträgheitsmoment des Körpers bezüglich seiner Rotationsachse
durch des Massenschwerpunkt ist für diverse geometrische Formen
tabelliert und wird für Folgende Erläuterungen bezeichnet als:
J Sp
2. 
Gemäss Satz von Steiner kann das Massenträgheitsmoment eines Körpers,
der nicht um die, durch den Schwerpunkt verlaufende Achse, rotiert wie
folgt berechnet werden:
J Z = J Sp + m ⋅ r 2
3. 
Nun lässt sich wiederum die kinetische Energie dieses Gebildes errechnen
gemäss untenstehender Beziehung:
Ekin
4. 
1
1 v2
2
= J ⋅ω = J ⋅ 2
2
2 r
Wird nun die Beziehung von Punkt Zwei im Ergebnis von Punkt Drei
angewendet, so erhält man folgendes:
Ekin
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⎞
1 v2
v2
v 2 ⎛ J Sp
2
⎜
⎟⎟
= ⋅ 2 ⋅ JZ =
⋅
J
+
m
⋅
r
=
⋅
+
m
Sp
2 r
2⋅r2
2 ⎜⎝ r 2
⎠
(
)
Seite
14
Fachbereich:
Physik
Thema:
Kinematik
Formelsammlung: M.Wipf
Massenträgheitsmomente
z
Hohlzylinder
x
y
ri
J y− y
ra
y
l
x
dünnwandiger
Hohlzylinder
z
Vollzylinder
z
x
y
dünne Scheibe (l<<r)
ra
y
l
x
Dünner Stab (l>>r)
unabhängig von der Form
des Querschnitts
z
(
)
1
2
2
m ra + ri
2
1 ⎛ 2
1 ⎞
2
= J z − z = m⎜ ra + ri + l 2 ⎟
4 ⎝
3 ⎠
J x− x =
J x− x = m ⋅ r 2
J y− y = J z−z =
1 ⎛ 2 1 2⎞
m⎜ 2r + l ⎟
4 ⎝
3 ⎠
1
m⋅r2
2
1
1
J y− y = J z−z = m ⋅ r 2 + m ⋅ l 2
4
12
1
J x− x = m ⋅ r 2
2
1
J y− y = J z−z = m ⋅ r 2
4
1
J x− x = m ⋅ r 2
2
1
J y− y = J z−z = m ⋅ l 2
12
J x− x =
z
Quader
x
y
y
x
z
)
(
)
(
)
l
b
r
(
1
m b2 + h2
12
1
J y− y = m l 2 + h2
12
1
J z−z = m l 2 + b2
12
J x− x =
h
z
Kugel, massiv
2
J x− x = J y− y = J z − z = m ⋅ r 2
5
dünne Kugelschale
2
J x− x = J y− y = J z − z = m ⋅ r 2
3
x
y
y
x
z
04.10.13
Seite
15
Fachbereich:
Physik
Thema:
Kinematik/Hydrostatik
Formelsammlung: M.Wipf
Vergleich zwischen linearer Bewegung und Drehbewegung
lineare Bew egung
Δ x
dx
v=
= x
Geschw indigkeit
dt
dv
d 2x
a=
= v = 2 = x
Beschleunigung
dt
dt
Verschiebung
v = v0 + a ⋅ t
ω = ω0 + α ⋅ t
Gleichungen für den
1
1
x = x 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 Fall konstanter
θ = θ0 + ω0 ⋅ t + α ⋅ t 2
2
2
Winkelbeschleunigung
Gleichungen für den
Fall konstanter
Beschleunigung
Masse
Impuls
Kraft
m
p = m⋅ v
F
E kin
kinetische Energie
Leistung
1
= m ⋅v2
2
P= F ⋅v
2. New tonsches Axiom
Druck


F = p⋅ A
p=
Drehbew egung
Δ θ
dθ
ω=
= θ
Winkelgeschw indigkeit
dt
dω
d 2θ
α=
= ω = 2 = θ
Winkelbeschleunigung
dt
dt
Drehw inkel
F =
dp
= m ⋅a
dt
Trägheitsmoment
Drehimpuls
Drehmoment
kinetische Energie
Leistung
2. New tonsches Axiom
J
L = J ⋅ω
M
Ekin =
1
J ⋅ω 2
2
P = M ⋅ω
M =
dL
= J ⋅α
dt

F : Kraft des Fluids auf Fläche [ N ]

A : Bezugsfläche [m 2 ]
F
A
p : Druck ( skalar ) [ PA],[ N / m 2 ]
Hinweis:
1bar = 105 Pa;
1hPa = 10 2 Pa = 1mbar;
1 psi( pound per square inch) ≈ 6,895 kPa
Merke: Flüssigkeiten haben keine Formelastizität (ihr Schubmodul ist gleich Null), daher
können sie Behälter beliebiger Formen ausfüllen
Schweredruck in Flüssigkeiten (Zunahme mit steigender Tiefe)
dF
F (h + Δh) = F (h) + ρ ⋅ A ⋅ dh ⋅ g
= ρ ⋅ A⋅ g
F ( h) = ?
dh
F (h) = ρ ⋅ A ⋅ g ⋅ h + F0 : A
p(h) = ρ ⋅ g ⋅ h + p0
p ( h) = ρ ⋅ g ⋅ h + p
p0
h
p(h)
0
Auftrieb
FA : Auftriebskraft
FA = ρ Fl ⋅V ⋅ g
Spezialfall: Ein Körper schwimmt, wenn:
Fg = FRe s
V :Volumen des verdrängten Mediums
ρ Fl : Dichte des verdrängten Mediums
seine Dichte kleiner oder gleich derjenigen des ihn umgebenden Mediums ist
Merke: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit
04.10.13
Seite
16
Fachbereich:
Physik
Thema:
Ideale Gase
Zustandsänderungen idealer Gase
Formelsammlung: M.Wipf
ΔU : Änderung der inneren Energie
ΔU = ΔQ + ΔW
ΔQ : dem System zugeführte Wärmeenergie
ΔW : am System verrichtete mechanische Arbeit
Merke: Wenn dem System mechanische Arbeit entzogen wird, ist die zugeführte
mechanische Arbeit negativ.
Verschiebearbeit
Für unendlich kleine Verschiebungen gilt (da die Kraft nicht konstant bleibt)
 
dW = F ⋅ ds = F ⋅ ds = A ⋅ p ⋅ ds = − p ⋅ dV
Für grosse Verschiebung um die Strecke s
V2
V2
V1
V1
V2
T (V )
⋅ dV
V
V1
W = ∫ − p ⋅ dV = ∫ − p(t ,V , n) ⋅ dV = −n ⋅ R ⋅ ∫
Merke: da T(V), fällt die Verschiebearbeit je nach Randbedingung anders aus
Isotherme Zustandsänderung p ⋅V = n ⋅ R ⋅ T = const ⇒ p = const p
V
V2
V2
V
2
n ⋅ R ⋅T
1
W =−∫
dV = −n ⋅ R ⋅ T ⋅ ∫ dV = −n ⋅ R ⋅ T ⋅ (ln V
)
V
1
V
V
V1
V1
const
V
Hyperbel
V1àV2
Qauf
V1àV2
Wab
V2
p1
= −n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln
V1
p2
V2
p1
= −n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln
Dem Gas zugeführte mechanische Arbeit à − n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln
V1
p2
= −n ⋅ R ⋅ T ⋅ (ln V 2 − ln V 1) = −n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln
Dem Gas zugeführte Wärmeenergie à
Isobare Zustandsänderung
W=
V2
V2
V1
V1
n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln
p = const
V2
p1
= n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln
V1
p2
p
V
V1àV2
Qauf
V1àV2
Wab
∫ p(T ,V , n)dV = − p ⋅ ∫ dV = − p ⋅ (V 2 − V1) = − p ⋅ ΔV
Dem Gas zugeführte mechanische Arbeit à
Dem Gas zugeführte Wärmeenergie à
c p = cv + R
− p(V2 − V1 )
n ⋅ c p (T2 − T1 )
V
J
R : univers.Gasconst [8,31441
]
mol ⋅ K
p : Druck [ Pa ]
T :Temperatur [ K ]
V1
< V2
V :Volumen [m3 ]
c p : molareWä.kap. bei const. Druck
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Seite
17
Fachbereich:
Physik
Thema:
Isochore Zustandsänderung
Ideale Gase
Formelsammlung: M.Wipf
V = const
p1àp2
Qab
p
Dem Gas zugeführte mechanische Arbeit à
0
Dem Gas zugeführte Wärmeenergie à
n ⋅ cv (T2 − T1 )
V1=V2
f
cv = R =
2
W= 0
p1
p2
V
cv: molare Wä.kap. bei konstantem Volumen
T: Temperatur [K]
Merke: wird eine isochore Zustandsänderung durchgeführt von einem höheren
Druckpotential p1 zu einem niedrigeren p2 (p2<p1), so wird Wärmeenergie an die
Umgebung abgegeben. Von p2 nach p1 wir jedoch Wärmeenergie aufgenommen
Adiabatische Zustandsänderung (adiabatisch = ohne Wärmeaustausch)
p
dV
dU = dW + dQ = dW = − p ⋅ dV = −n ⋅ R ⋅ T
c
V
χ= p
adiabatisch : dQ = 0
cv
pV χ = const
Q=0
p1àp2
Wab
Dem Gas zugeführte mechanische Arbeit à
χ −1
⎞
(
p2V2 − p1V1
T2 − T1 ) p1V1 ⎛⎜ ⎛ V1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎟
= nR
=
⎟
χ −1
χ −1
χ − 1 ⎜ ⎝ V2 ⎠
⎝
⎠
Dem Gas zugeführte Wärmeenergie à
Wirkungsgrad (nach Carnot)
ηmax.
T
= 1− K
TH
V : Volumen [m3 ]
0
p : Druck [ Pa ]
Wärmeres Reservoir mit Th
Pab: netto geleistete mechanische Arbeit
Qh
P
η = ab
Pauf
V
χ : Isentropen exp onent
Wärmekraftmaschine
W
Pauf: !!!aufgenommene!!! Wärmeenergie
TK:
Temp.kaltes Niveau [K],[J]
TH: Temp. heisses/warmes Niveau [K],[J]
QK
kälteres Reservoir mit TK
Merke: Es ist korrekt, dass die Abwärme nicht berücksichtigt wird, da sie als ein
„Abfallprodukt“ für den Prozess verloren ist
Leistungszahl
cL =
Wärmeres Reservoir mit Th
Q
W
Q
TK
= k
Kältemaschine: cL =
TH − TK W
Wärmepumpe:
W: netto zugeführte mechanische Arbeit
Qh
cL =
Q
TH
= h
TH − TK W
Kältemaschine
Qk: Wärmeenergie von Tk aufgenommen
W
Qh: Wärmeenergie an TW abgegeben
QK
kälteres Reservoir mit TK
Hinweis: Die Leistungszahl ist im Allgemeinen grösser als 1. Je grösser die Leistungszahl
ist, desto effizienter arbeitet die Kältemaschine
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Seite
18
Fachbereich:
Physik
Thema:
Elektrische Ladung
Formelsammlung: M.Wipf
Kraft zwischen Ladungen (siehe auch unter ET)
F : Kraft [ N ] !!! Vorzeichenbehaftet !!!


q1 ⋅ q2 ⋅ er q : Ladung [ As ]
1
q1 ⋅ q2 r
F=
⋅
⋅  =k⋅
r : Abs tan d der Ladungen [m]
4 ⋅π ⋅ ε r 2
r
r2
10 −9
F
= 8,86 ⋅10 −12 [ ]
36π
m

er : Einheitsvektor in Richtung der Ladungen
ε = ε 0 (imVaku.) : Dielektrizitätzkon. =
1
=k
+ e,−e : Elementarladung =1,602 ⋅10 −19 [C ];[ As ] ; [Ws]
4πε 0
N : Anzahl Elementarladungen
q = N ⋅e
Nm 2
k : Kons tan te 8,988 ⋅109 2
C
Merke: Eine Ladung kommt nur als Vielfaches der Elementarladung e vor
Superpositionsprinzip
Allg. Def. siehe Superpositionsprizip (ET)
Wenn n Punktladungen q1...qn vorliegen, berechnet sich die Kraft auf eine weitere
Punktladung q0 erfahrungsgemäss als:
n
  

q
F = F1 + F2 + ... + Fn = k ⋅ q0 ⋅ ∑ 2i ⋅
i =1 ri

r

r
Elektrisches Feld
Definition: Richtung und Betrag des E-Feldes ist gleich Richtung und
Betrag der Kraft auf die Probeladung dividiert durch die betragliche Grösse
der Probeladung:
Homogenes Feld liegt vor: wenn die elektrische Feldstärke in jedem Punkt des
betrachteten Raumbereichs den gleichen Betrag und die gleiche Richtung hat.


F ( x, y , z )
E ( x, y , z ) =
q0
E ( x, y, z ) : E − Feld [
N V
];[ ]
C m
q0 : Pr obeladung


F ( x, y, z) = q0 ⋅ E( x, y, z)
Das E-Feld einer Punktladung im Ursprung

⎛ x⎞

F k ⋅q ⎜ ⎟
k ⋅q
E ( x, y , z ) = = 3 ⎜ y ⎟ =
3
q0
r ⎜ ⎟
2
2
2 2
⎝ z ⎠ (x + y + z )


Fi k ⋅ qi
E ( x, y , z ) =
= 2
q0
ri

ri
⋅ 
ri
Das E-Feld von mehreren
Punktladungen


F
k ⋅q
E ( x, y , z ) = ∑ i = ∑ 2 i
ri
i q0
i

ri
⋅ 
ri
E-Feld auf Erdoberfläche i.A. 100 V/m
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⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
1
merke : r = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2
Merke: Das E-Feld an einem Punkt (x/y/z) wird mittels
Coulombgesetz und dem Superpositionsprinzip ermittelt.
Probeladung an Stelle (x/y/z) positionieren und mittels
Coulomb die von der ersten, zweiten usw. Ladung
ausgeübten Kraft ermitteln
Durchschlag bei el.Feldstärke von 3*106 V/m
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19
Fachbereich:
Physik
Thema:
Elektrische Ladung
Formelsammlung: M.Wipf
Elektrisches Feld zwischen 2 unendlich ausgedehnten, parallelen, ebenen Platten mit der
Flächenladungsdichte !:
C
σ : Flächenladungsdichte [ 2 ]
m
E = 4π ⋅ k ⋅ σ
2
Nm
9
k
:
Kons
tan
te
8
,
988
⋅
10
Merke: Feld homogen und unabhängig vom Plattenabstand
C2
Verschiebearbeit einer Punktladung von A nach B (homogenes Feld)
B 
 

= − ∫ F ⋅ ds = −q0 ⋅ ∫ E ⋅ ds = −q0 ⋅ E ⋅ Δy
B
WAB
A
A
F
B
Q

F
Δs
⋅ Δs = WAB
Q

E
Δy
Δx
Verschiebearbeit im elektrischen Feld einer Punktladung
P2
r2
r2
r2

Q⋅q
1
W12 = − ∫ F ds = − ∫ F (r )dr = − ∫ k 2 dr = −Q ⋅ q ⋅ k ∫ 2 dr
r
r
P1
r1
r1
r1
P2
Q
⎛1 1⎞
= Q ⋅ q ⋅ k ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ r2 r1 ⎠
q
r2
P1
r1
Elektrische Potenzialdifferenz (Spannung) zwischen A und B
ΔUAB =
WAB
q0
J
U : Potentialdifferenz [V ];[ ]
C
N V
E : E − Feld [ ];[ ]
C m
 
= − ∫ E ⋅ ds = − E ⋅ Δs
B
A
Definition: Die elektrische Potentialdifferenz (Spannung) zwischen den Punkten A und B ist die
Verschiebearbeit zwischen A und B pro Probeladung.
Anmerkung: Potenzialdifferenz und Arbeit haben entgegengesetzte Vorzeichen.
Das elektrische Potenzial UB
B 
B 

W ∞B
1
Q⋅k
UB =
= − ∫ E ⋅ ds = − ⋅ ∫ F ds =
q0
Q ∞
rB
∞
r B: Abstand zwischen
Einzelladung und Potentialpunkt
ϕ gross
Q+
ϕ klein
Merke: Potentiale für Ladungsanordnungen bezüglich eines gemeinsamen Punktes können addiert werden
Merke: Elektrische Feldlinien zeigen in Richtung abnehmenden elektrischen Potentials
Merke: Beim Lösen des Integrals ist das Unendlichzeichen einzusetzen und der entsprechende Term mit einer
Grenzwertbetrachtung zu analysieren.
04.10.13
Seite
20
Fachbereich:
Physik
Thema:
Elektrische Ladung / Magnetismus
Formelsammlung: M.Wipf
Ladung gewinnt kinetische Energie beim Durchlaufen einer Potentialdifferenz
Das Bild kann nicht angezeigt werden. Dieser
Computer verfügt möglicherweise über zu
wenig Arbeitsspeicher, um das Bild zu öffnen,
oder das Bild ist beschädigt. Starten Sie den
Computer neu, und öffnen Sie dann erneut
die Datei. Wenn weiterhin das rote x
Q : Ladung auf Kondensator [ As ]
C
C : Kapazität [ F ] , [ ]
V
ΔU : Spannung [V ]
Kondensator (allgemein):
Q = C ⋅ ΔU
Plattenkondensator:
2 
2
2
ΔU : Spannung zwischen Platten [V ]
W1− 2
C
ΔU1− 2 =
= − ∫ E ds = ∫ E ds = 4 ⋅ π ⋅ k ⋅ σ ⋅ ∫ ds = 4 ⋅ π ⋅ k ⋅ σ ⋅ a
σ : Flächenladungsdichte [ 2 ]
q0
1
1
1
m
2
Nm
9
Senkrechter Abstand
k : Kons tan te 8,988 ⋅10
C2
Q
A
C=
=
C : Kapazität [ F ]
ΔU 4 ⋅ π ⋅ a ⋅ k
Kugelkondensator:
ΔU 1− 2
R 
W1− 2
=
= ∫ E ds = ... = k ⋅ Q C = Q = R
q0
R
ΔU k
∞
Das Bild
kann nicht
angezeigt
werden.
Dieser
Computer
R : Kugelradiu s [m]
C : Kapazität [ F ]
Das Bild kann nicht angezeigt werden. Dieser
Computer verfügt möglicherweise über zu
wenig Arbeitsspeicher, um das Bild zu öffnen,
oder das Bild ist beschädigt. Starten Sie den
Computer neu, und öffnen Sie dann erneut
die Datei. Wenn weiterhin das rote x

B : Magnetfeld [Tesla, T]
Magnetfeld B:
D
a
s
H : Feldstärke
µ r : relative Permeabilität (Materialspez. meist konstant)
B = µ ⋅ H = µ r ⋅ µ0 ⋅ H
µ 0 : Permeabilität des Vakuums = 4π ⋅10 −7 V ⋅ s
A⋅ m
Lorentzkraft:

 
FB = q ⋅ v × B
(
)
Das Bild kann nicht angezeigt werden. Dieser
Computer verfügt möglicherweise über zu wenig
Arbeitsspeicher, um das Bild zu öffnen, oder das Bild

FB : Lorentkraft des B-Feldes auf die bewegte Ladung [N]

FB

B
q

v
q : Ladung [C] !!!Vorzeichenbehaftet!!!

v : Geschwindikeit der Ladung

B : magnetischen Induktion; magn. Flussdichte;
Magnetfeld (vergl. E-Feld) [Tesla, T]
Merke: Die Lorentzkraft verrichtet keine mechanische Arbeit am beschleunigten Teilchen. Es wird daher
höchstens die Richtung des Geschwindigkeitsvektors, nicht aber dessen Betrag geändert
Lorentzkraft auf Stromdurchflossenen Leiter:
Das Bild kann nicht angezeigt
werden. Dieser Computer verfügt
möglicherweise über zu wenig
Arbeitsspeicher, um das Bild zu
04.10.13
Zwischenwinkel B und vq
Das
Das Bild
Bild kann
kann nicht
nicht angezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um das
angezeigt
werden.
Bild zu öffnen,
oderDieser
das Bild ist beschädigt. Starten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dann erneut die Datei. Wenn
Computer
verfügt
weiterhin das
rote x angezeigt wird, müssen Sie das Bild möglicherweise löschen und dann erneut einfügen.
möglicherweise über zu
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21
Fachbereich:
Physik
Thema:
Elektrische Ladung / Magnetismus
Formelsammlung: M.Wipf
B-Feld von einem Leiter erzeugt :
r: Abstand von der Leiterachse [m]
µ ⋅I
B(r ) = 0
2 ⋅π ⋅ r
µ 0 : magn. Feldkonst. =
4π ⋅10 −7
V ⋅s
A⋅ m
Achtung: Bei dieser B-Feld Bestimmung handelt es sich um den Spezialfall langer, gerader Leiter
Magnetischer Fluss :

Φ mag =
∫ B ⋅ dA = cos Θ ⋅ B ⋅ ∫ dA
durchLeiter
aufgespannte
Fläche
dA
↑
Θ
Φ mag : magn.Fluss [T ⋅ m 2 ];[Wb];[Vs ]

B dA :Vektor der Flächennormalen
U ind : induzierte Spannung [V ]
wenn B const .
Merke: Kann das Integral soweit vereinfacht werden, dass nur noch skalare Grössen vorliegen, so ist der
Zwischenwinkel Θ (zwischen dem B-Feld Vektor und der Flächennormalen) zu bestimmen (def. Skalarprodukt).
U ind = −
Φ (t )
dΦ mag = B ⋅ v ⋅ l ⋅ z
dt
↑
U(t)
t
bewegte(r ) Leiter im B − Feld
t
Merke: Für die induzierte Spannung ist es nicht von Belang, wie gross der Magnetische Fluss ist, sondern ob
er einer zeitlichen Änderung unterliegt.
LS: Leiterschlaufe
Generator : (Indutkionsschlaufe dreht sich im homogenen Magnetfeld)
ϕ (t ) = ω ⋅ t

Φ mag = ∫ B ⋅ dA = ∫ B ⋅ cos ϕ (t ) ⋅ dA = B ⋅ cos ϕ (t ) ⋅ ∫ dA =B ⋅ cos ϕ (t ) ⋅ A
LS
U ind =
LS
dΦ mag
dt
= B ⋅ A⋅

B
ϕ (t )
LS
d
cos(ωt ) = B ⋅ A ⋅ − sin(ωt ) ⋅ ω
dt
z
dA
y
ω
x
Selbstinduktivität:
L: Selbstinduktions-Koeffizient [Henry]
Φ mag = L ⋅ I
Wenn der Strom zeitabhängig ist, wird in der Spule eine Spannung induziert:
U ind = −
d Φ mag
04.10.13
dt
= −L
dI
dt
Seite
22
Fachbereich:
Physik
Thema:
Wechselstromkreise
Spannungsquelle: (Definition einer idealen Spannungsquelle)
Formelsammlung: M.Wipf
U0:Spannungsamplitude
ω : Kreisfrequenz
U (t ) = U 0 ⋅ cos(ω ⋅ t )
f: Frequenz
⎛ 2π ⎞
= U 0 ⋅ cos( 2π f ⋅ t ) = U 0 ⋅ cos( 2π n ⋅ t ) = U 0 ⋅ cos⎜
⋅t ⎟
⎝T ⎠
Komplexe Betrachtungsweise:
U (t ) = U 0 ⋅ e i ω t
Gemeint ist damit:
U (t ) = U 0 ⋅ Re( eiω t ) = U 0 ⋅ Re(cos ω t + i ⋅ sin ω t )
Merke: hierbei handelt es sich um die übliche Definition, es sind aber auch andere Funktionen denkbar, wie
z.B. Dreiecks-,Rechtecks-,Sägezahnfunktion
Zeigerdiagramme:
Im Folgendem werden die Strom Spannungszusammenhänge in Sogenannten „Zeigerdiagrammen“ in der
Gaus‘schen Ebene (Im gegen Re ) visualisiert. Hier wird der Strom-Spannungszusammenhang mittels
Vektoren in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dargestellt. In einer Serieschaltung können,
ausgehend von einem Stromvektor (Strom in Serieschaltung durch jedes Element identisch), alle
Spannungsvektoren, entsprechend den Nachfolgenden RCL-Zusammenhängen, eingetragen werden und
so die Gesamtspannung ermittelt werden. Ebenso Kann in einer Parallelschaltung von einem
Spannungsvektor ausgegangen werden, mittels dem Rückschlüsse auf die entsprechenden Stromvektoren
gezogen werden können.
Widerstand:
UR: Spannung über dem Element
I: Strom durch das Element
UR = R ⋅ I
UR(t)
R: Propotionalitätsfaktor, „Widerstandsbeiwert“
I(t)
U R (t ) = R ⋅ I (t ) = R ⋅ I 0 ⋅ e i⋅ω ⋅t
Komplexe Betrachtungsweise: (Widerstand in Serie/ parallel zu einer Spannungsquelle)
U R = R ⋅ I = U 0 ⋅ ei ⋅ω ⋅t
I (t ) =
U 0 i⋅ω ⋅t
⋅e
R
Gemeint ist damit:
U
U
I (t ) = Re( 0 ⋅ ei⋅ω ⋅t ) = 0 ⋅ cos ω t
R
R
Merke: Im Unterschied zum Gleichspannungsfall, sind die Spannung über dem Widerstand und der Strom
durch den Widerstand zeitabhängig.
Zeigerdiagramm: Die Projektion der einzelnen Zeiger auf die x-Achse gibt den Momentanwert der Spannung
bzw. des Stromes an
04.10.13
Seite
23
Fachbereich:
Physik
Thema:
Wechselstromkreise
Kondensator (Kapazität):
Q = C ⋅U C
U C (t ) =
Formelsammlung: M.Wipf
Q: Ladung auf der einen Platte des Kondensators
dU
dQ
=C⋅ C = I
dt
dt
UC: Spannung über dem Kondensator
C: Kapazitätswert
XC,RC: Komplexer Widerstand des Kondensators
I(t)
I (t )
i
=−
⋅ I (t )
i ⋅ω ⋅ C
ω ⋅C
Kapazitiver Widerstand
UC(t)
π⎞
⎛
I (t ) = ω ⋅ C ⋅U 0 ⋅ sin ωt = ω ⋅ C ⋅ U 0 ⋅ cos⎜ ω t − ⎟
2⎠
⎝
Komplexe Betrachtungsweise:(Kondensator in Serie / parallel zu einer Spannungsquelle)
I (t ) = U 0 ⋅ ei⋅ω ⋅t ⋅ i ⋅ ω ⋅ C = i ⋅ ω ⋅ C ⋅U 0 ⋅ ei⋅ω ⋅t =
1
⋅U (t )
R
X c = RC =
1
i ⋅ω ⋅ C
=−
i
1
=
ω ⋅C ω ⋅C
Nichtimaginärschreibweise
Merke: Wenn Spannung cosinusförmig von der Zeit abhängt, hängt der Strom ebenfalls cosinusförmig von der
Zeit ab und eilt der Spannung um Pi/2 voraus.
Spule (Indutkiviät):
dI
UL = L⋅
dt
U L (t ) = L ⋅
I (t ) =
d I (t )
= i ⋅ ω ⋅ L ⋅ I (t )
dt
UL: Spannung über der Induktivität
I: Strom durch die Spule
L: Induktivitätswert [H]
UL(t)
XL,RC: Komplexer Widerstand der Induktivität
Blindwiderstand
I(t)
U0
U
π⎞
⎛
⋅ sin ω t = 0 ⋅ cos⎜ ωt − ⎟ = I 0 ⋅ sin ω t
ω⋅L
ω⋅L
2⎠
⎝
Komplexe Betrachtungsweise: (Induktivität in Serie / parallel zu einer Spannungsquelle)
I (t ) =
U 0 i⋅ω⋅t 1
1
i
1
X = RC = i ⋅ ω ⋅ L = ω ⋅ L
⋅e ⋅
=
⋅U 0 ⋅ ei⋅ω⋅t = −
⋅U 0 ⋅ ei⋅ω⋅t = ⋅U (t ) L
L
i ⋅ω i ⋅ω ⋅ L
ω⋅L
R
Nichtimaginärschreibweise
U(t)
Merke: Wenn Spannung cosinusförmig von der Zeit abhängt, hängt der Strom ebenfalls cosinusförmig von der
Zeit ab und hinkt der Spannung um Pi/2 nach.
Merke: Steigende Frequenz erhöht den Widerstand der Induktivität. Bei tiefen Frequenzen wird die Spule
(Induktivität zum Kurzschluss) Der Blindwiderstand kann in der Netzwerkberechnung wie gewohnt
gehandhabt werden
04.10.13
Seite
24
Fachbereich:
Physik
Thema:
Wechselstromkreise
U = R ⋅ I wobei : I L = I C = I R = I (t )
RCL-Schwingkreise (Serieschaltung von RCL):
XL =ω ⋅ L
XL
XL-XC
Z
R
Xc =
1
ω ⋅C
Formelsammlung: M.Wipf
Z: Impedanz (Scheinwiderstand)
XL: Induktiver Scheinwiderstand
XC: Kapazitiver Scheinwiderstand
I(t)
R: Ohm‘scher Widerstand
XC
Die Impedanz (Schein- bzw. Gesamtwiderstand) eines Serie RCL-Schwingkreises erreicht ihr Minimum,
wenn die betragliche Grösse von XL und XC identisch ist. Es soll nun im Folgendem die Frequenz, bei
welcher dieser Sachverhalt gewährleistet ist, eruiert werden:
X L = XC
ω0 ⋅ L =
⇒ ω0 =
1
ω0 ⋅ C
1
=
L ⋅C
1
L ⋅C
Merke: Bei Abweichungen der Frequenz ω von der optimalen Frequenz ω 0 hat dies eine
Phasenverschiebung der Generatorspannung bezüglich des Stromes zur Folge.
04.10.13
Seite
25
Fachbereich:
Physik
Thema:
ω0 =
D
:
m
ω0
= f
2π
T=
1
f
A:
(ω0 ⋅ t + ϕ0 )
ϕ0
Schwingungen
Formelsammlung: M.Wipf
Kreisfrequenz der Schwingung
Eigenfrequenz der Schwingung
Periodendauer der Schwingung
Amplitude
Phase
Phasendifferenz (bezogen auf willkürlichen Zeitursprung )
Schwingungsgleichung Feder-Masse-Oszillator (linear, ungedämpft, harmonisch)
Aufgrund der Kräftebilanz erhält man folgende DGL:
x +
D
⋅x =0
m
x + ω0 2 ⋅ x = 0
wobei : ω0 =
2
D
m
Die Lösung dieser Differentialgleichung hat folgende Gestalten:
x(t ) = C1 ⋅ sin (ω0 ⋅ t ) + C2 ⋅ cos(ω0 ⋅ t )
= A ⋅ sin (ω0 ⋅ t + ϕ0 )
Pendel (linear, ungedämpft, harmonisch)
Aufgrund der Energiebilanz (mechanische Energie=... und Änderung der mech. Energie
=0) erhält man für ein Pendel folgende DGL:
a(t ) +
g
⋅ sin α = 0
b
Annahme : sin α ≈ α für kleine Werte von α
Nun werden die einzelen Koeffizienten der DGL adaptiert auf die Variante des MasseFeder-Oszillators, um die Lösung der DGL direkt anschreiben zu können:
x α
x  α
ω0 
g
b
Die neu zugewiesenen Koeffizienten können nun in die Lösung übertragen werden:
α (t ) = A ⋅ sin (ω0 ⋅ t + ϕ0 )
⎛ g
⎞
= A ⋅ sin ⎜⎜
⋅ t + ϕ0 ⎟⎟
⎝ b
⎠
04.10.13
Seite
26
Fachbereich:
Physik
Thema:
Schwingungen
Formelsammlung: M.Wipf
Schwingungsgleichung Feder-Masse-Oszillator (linear, gedämpft, harmonisch)
Für die Aufstellung der zugehörigen DGL sind folgende Bestandteile miteinzubeziehen:
- Masse m
- Feder mit Federkonstanten k bzw. D
- Dämpfungskraft, welche proportional zur momentanen Geschwindigkeit ist
Kräftebilanz: (welche Kräfte wirken auf die Masse ?)
1. 
Gravitationskraft
2. 
Federkraft
3. 
Reibungskraft
Bewegungsgleichung:
FRe s = −
G +G
−
D
⋅x−




Gravitatio n
Federkraft
b
⋅ x
Reibungskr aft
= m ⋅ a = m ⋅ x
⇒
m ⋅ x + b ⋅ x + D ⋅ x = 0
Bewegungsgleichung in Normalform:
x +
b
D
⋅ x + ⋅ x = 0
m
m


2⋅ ρ
ω0 2
Bewegungsgleichung in Normalform:
⎧ 2 D
⎪⎪ω0 = m
⎨
⎪2 ⋅ ρ = b
⎪⎩
m
x + 2ρ ⋅ x + ω0 2 ⋅ x = 0
Charakteristische Gleichung:
λ 2 + 2ρ ⋅ λ + ω0 2 ⋅ x = 0
Es entsteht folgender Lösungsausdruck (über Lösung einer quadratischen Gleichung) :
λ1/ 2 = − ρ ± ρ 2 − ω0 2
Fallunterscheidung:
1. 
Starke Dämpfung
ρ 2 − ω0 2 > 0
⇒
2. 
3. 
Schwache Dämpfung
Kritische Dämpfung
ρ 2 −ω0 2 ⋅t
+ C2 ⋅ e
− ρ 2 −ω0 2 ⋅t
⎞⎟
⎠
ρ 2 − ω0 2 < 0
⇒
λ 1/ 2 = − ρ ± i ⋅ Ω
⇒
x(t ) = e − ρ ⋅t (C1 ⋅ sin (Ω ⋅ t ) + C2 ⋅ cos(Ω ⋅ t ))
wobei : Ω 2 = ω0 − ρ
2
2
ρ 2 = ω0 2
⇒
04.10.13
x(t ) = e − ρ ⋅t ⎛⎜ C1 ⋅ e
⎝
x(t ) = e − ρ ⋅t (C1 ⋅ t + C2 )
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27
Fachbereich:
Physik
Thema:
Spezialfälle
Schwingungsgleichung
k:
m ⋅ x = m ⋅ g + (−k ⋅ x) + (− β ⋅ x ) + K (t )
β ⋅ x
k⋅x
K (t )
⇒ x +
+
= g⋅
m
m
m
Merke: Lösung der DGL hängt ab von den zwei Koeffizienten
ersichtlich durch charakteristische Gleichung
m ⋅ s = m ⋅ g − k ⋅ s 2
Federkons tan te
β : Dämpfungskons tan te
K (t ) : äussere Störfunktion
β
m
x + 2δ ⋅ x + ω0 2 ⋅ x = F (t )
Fallschirmspringer
Formelsammlung: M.Wipf
= 2δ ;
k
2
= ω0
m
λ1/ 2 = − δ ± δ 2 − ω 0 2
Substituti on : v = s
⇒ v = s
k
⎛
⎞
v = ⎜ g − ⋅ v 2 ⎟ ⋅1
m
⎝
⎠
04.10.13
Seite
28
Fachbereich:
Thema:
Fehlerrechnung
Formelsammlung: M.Wipf
µ , x1 : Mittelwert
1 N
x = ⋅ ∑ xi
N i =1
xi : i − ter Messwert
N : Stichprobenumfang
s=
N
1
⋅ ∑ ( x − xi ) 2
N − 1 i =1
Δx =
t⋅s
N
s : Stdtabweichung
t : von N und p abhängiger Parameter
p : Sicherheitswahrschei nlichkeit
Bereich ± Δx um x
µ liegt mit Wahrscheinlichkeit p im Bereich [ x − Δx , x + Δx ]
Partialfehlersumme
Δy =
dy
dy
dy
⋅ Δx1 +
⋅ Δx2 + ... +
⋅ Δxn
dx1
dx2
dxn
Ableiten nach betreffender Variablen und danach mit deren delta-Wert multiplizieren
F = ± Δy
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Grösstfehlerabschätzung (sehr pessimistisch)
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29
04.10.13
I
Li 4 Be
9,01
II
24,31
39,10
40,08
Natrium Magnesiu
m
11Na 12 Mg
22,99
Lithium Beryllium
3
6,94
Wassersto
ff
1
H
1,01
Ra
88
Radium
226,03
44,96
47,87
50,94
52,00
54,94
55,84
Nichtmetalle
58,93
58,69
63,55
IA
65,39
IIA
schwarz: feste Elemente
rot: gasförmige Elemente
blau: flüssige Elemente
lila: künstliche Elemente
hellblau:
VIIIA
Elementname
Elementsymbol
radioaktives
Element
türkis: Halbmetalle
IIIA IVA VA VIA VIIA
Ordnungszahl
(Protonenzahl)
(gerundet)
Atommasse in u
grün: Metalle
Hauptgruppen:
Bor
B
C
13
69,72
Aluminiu
m
N
7
14,01
V
O
8
16,00
28,09
72,61
Silicium
16
S
32,07
74,92
78,96
Phosphor Schwefel
15
P
30,97
F
He
2
Ne
79,90
83,80
Argon
39,95
Neon
10
20,18
Helium
Cl 18Ar
Chlor
17
35,45
Fluor
9
19,00
VI VII
Kohlensto Stickstoff Sauerstoff
ff
6
12,01
IV
Al 14Si
26,98
5
10,81
III
VIII
4,00
K
Titan
Cäsium
Barium
226,03
7
6
106
105
140,91
140,12
138,91
144,24
232,04
Cer
231,04
Praseody
m
Seite
Actinium Thorium
89
Iridium
268
238,03
Protactinium
Uran
94
Pu
244,06
Gold
277
Quecksilb
er
Cadmium
Zink
157,25
158,93
162,50
Thallium
Indium
164,93
Blei
Zinn
Gallium Germaniu
m
167,26
Bismut
Antimon
Arsen
247,07
251,08
252,08
97
Bk 98Cf 99Es
247,07
Tm 70Yb
173,04
Astat
Iod
Brom
Lu
71
174,97
Radon
Xenon
Krypton
Mendelevium
258,10
Nobelium
259,10
Lawrencium
262,11
Thulium Ytterbium Lutetium
69
168,93
Polonium
Tellur
Selen
100Fm 101Md 102No 103Lr
257,10
Curium Berkelium Californium Einsteinium Fermium
95Am 96Cm
243,06
Erbium
Eu 64Gd 65Tb 66Dy 67Ho 68Er
63
151,96
Ununbium
Uun 111 Uuu 112 Uub
272
Ununilium Unuunium
110
Neptunium Plutonium Americium
93Np
237,05
150,36
Pm 62Sm
61
144,91
Meiterium
109
Platin
269
Silber
Kupfer
Neodym Promethe Samarium
Gadoliniu Terbium Dysprosiu Holmium
um
Europium m
m
Ac 90Th 91Pa 92U
227,03
Lanthan
108
Bohium Hasium
107
La 58Ce 59Pr 60Nd
Seabrgium
Dunium
Rutherfordium
57
265,13
Nickel
Rhodium Palladium
Cobalt
Rf Db Sg Bh Hs Mt
104
264,12
Wolfram Rhenium Osmium
263,12
Tantal
262,11
261,11
Hafnium
Eisen
Fehlerrechnung
Forschungsstand: 1.3.98
Francium Radium
87
Fr 88Ra 89-10
3
223,02
Mangan
Molybdän Technetium Rutheniu
m
Chrom
24
Niob
Vanadium
Ca 21Sc 22Ti 23V
Calcium Scandium
20
Rubidium Strontium Yttrium Zirconium
Kalium
19
Thema:
7
4
Cr 25M 26Fe 27Co 28Ni 29Cu 30Zn 31Ga 32Ge 33As 34Se 35Br 36Kr
n 101,07 102,91 106,42 107,87 112,41 114,82 118,71 121,76 127,60 126,90 131,29
92,91
95,94
98,91
87,62
88,91
91,22
85,47
5 37Rb 38Sr 39Y 40Zr 41Nb 42Mo 43Tc 44R 45Rh 46Pd 47Ag 48Cd 49In 50Sn 51Sb 52Te 53 I 54Xe
u 192,22 195,08 197,97 200,59 204,38 207,20 208,98 208,98 209,99 222,02
178,49 180,95 183,84 186,21 190,20
132,91 137,33
6 55Cs 56Ba 57-71 72Hf 73Ta 74W 75Re 76Os 77Ir 78Pt 79Au 80Hg 81Tl 82Pb 83Bi 84Po 85At 86Rn
3
2
1
P.
Periodensystem der Elemente
Fachbereich:
Formelsammlung: M.Wipf
30