Daten und Zufall 4 - Mathematik und ihre Didaktik

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Daten und Zufall 4
Dr. Elke Warmuth
Sommersemester 2017
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Zählalgorithmus = Produktregel der Kombinatorik =
allgemeines Zählprinzip
Beispiel: Wie viele Menüs kann man aus 3 Vorspeisen, 5
Hauptgerichten und 2 Nachspeisen zusammenstellen, wenn
Geschmacksfragen keine Rolle spielen?
Veranschaulichung im Baumdiagramm:
Lösung: 3 · 5 · 2 = 5 · 3 · 2 = 2 · 3 · 5 = . . .
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Zählalgorithmus
Eine Auswahl werde in k aufeinanderfolgenden Schritten vollzogen,
wobei die Reihenfolge der Schritte beachtet wird. Gibt es dabei
im 1. Schritt
im 2. Schritt
...
im k-ten Schritt
jeweils
...
jeweils
n1 Möglichkeiten,
n2 Möglichkeiten,
...
nk Möglichkeiten,
so gibt es insgesamt n1 · n2 · . . . · nk Möglichkeiten der Auswahl.
Gedankliches Zerlegen eines Vorgangs in Teilvorgänge, z.B. 3
Würfel gleichzeitig werfen ' 1 Würfel dreimal werfen
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• Es gibt viel mehr als Permutationen, Kombinationen,
Variationen, ...
• kein Ballast an Theorie, auch später nicht
• vielfältige Veranschaulichungen nutzen
• Kreativität der Kinder nicht beschneiden
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Quelle: Bildungsstandards für die Grundschule, Walther u.a. (Hrsg.), Cornelsen Scriptor, 2008
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Quelle: Bildungsstandards für die Grundschule, Walther u.a. (Hrsg.), Cornelsen Scriptor, 2008
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Beispiel: Bei einem Pferderennen starten 7 Pferde.
Beim Großen Einlauf“ wettet man auf die drei Erstplatzierten in
”
der richtigen Reihenfolge. Ergebnis: Tripel
Beim Kleinen Einlauf“ wettet man auf die drei Erstplatzierten
”
ohne Angabe der Reihenfolge. Ergebnis: Teilmenge
Wie viele Möglichkeiten für den Großen Einlauf gibt es? Wie viele
sind es für den Kleinen Einlauf?
Lösung:
1. Platz
7 Mögl.
2. Platz
jeweils 6 Mögl.
3. Platz
jeweils 5 Mögl.
Insgesamt 7 · 6 · 5 = 210 Möglichkeiten für den Großen Einlauf
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Sei K die unbekannte Anzahl der möglichen Kleinen Einläufe.
Der Kleine Einlauf {1, 4, 6} sei fixiert. Wie viele Große Einläufe
kann man daraus erzeugen?
Für den 1. Platz gibt es 3 Möglichkeiten, für den 2. jeweils 2 und
der 3. steht dann fest. Also gibt es 3 · 2 · 1 = 3! = 6 Möglichkeiten,
aus diesem Kleinen Einlauf einen Großen Einlauf zu erzeugen.
Das gilt für jeden Kleinen Einlauf und auf diese Weise erzeugen wir
ohne Dopplungen alle Großen Einläufe.
Folglich muss gelten
K · 3! =
K
=
7·6·5
7·6·5
3!
7
=
= 35
3
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Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen
Menge (Kombinationen)
Aus einer Menge von Elementen mit den Nummern 1, 2, . . . , n
sollen k ausgewählt werden. (Ohne Beachtung der Reihenfolge!).
Beispiel: M = {1, 2, 3} und k = 2. Aus jeder Teilmenge entstehen
k! = 2! = 2 Anordnungen:
12
{1, 2}
⇒
21
Auf diese Weise werden auch alle Anordnungen restlos und ohne
Überschneidungen erfasst.
Schäferprinzip“
”
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Folglich gilt:
Anzahl der Anordnungen = Anzahl der Teilmengen ·k!
bzw.
Anzahl der Teilmengen = Anzahl der Anordnungen : k!
Anzahl von Teilmengen
Es gibt
n
n · (n − 1) · . . . · (n − (k − 1))
n!
=
=
k
k!
k! · (n − k)!
k-elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge.
n
k
ist für Sek II Einmaleins
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10 Personen stooßen miteinander an. Wie oft klingen die Gläser?
10·9
Lösung: 10
2 = 2·1 = 45 mal.
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Übung
Quelle: A. Engel Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Band 1, Klett, 1973.
”
Auf wie viele verschiedene Arten kann man das 4 × 4-Brett der
Zeichnung färben, wenn
a) jedes Feld nach freier Wahl schwarz oder weiß gefärbt wird
b) 8 Felder schwarz und 8 Felder weiß gefärbt werden
c) 2 Felder weiß, 4 Felder schwarz und 10 Felder rot gefärbt
werden
d) jedes Feld mit einer anderen von 16 verschiedenen Farben
gefärbt wird
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Lösung
a) jedes Feld nach freier Wahl schwarz oder weiß: 216
b) 8 Felder schwarz und 8 Felder weiß: 16
8
c) 2 Felder weiß, 4 Felder schwarz und 10 Felder rot:
16
2
·
14
4
d) jedes Feld mit einer anderen von 16 verschiedenen Farben: 16!
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Würfelspiele aus Das Mathematikbuch 5, Lernumgebungen. Klett,
”
2008“
Die Uhr füllen (2 bis 4 Spieler)
Jeder Spieler schreibt die Zahlen 1 bis 12 auf sein Blatt und
würfelt mit zwei Würfeln. Die Augenzahlen werden addiert.
Würfelst du zum Beispiel eine 3 und eine 4, ergibt dies 7. Dann
streichst du auf Deinem Blatt die 7. Würfelst Du eine 2 und eine 5,
ergibt dies nochmals 7, aber dann kannst du die Zahl auf Deinem
Blatt nicht mehr streichen. Gewonnen hat, wer zuerst 11 der 12
Zahlen gestrichen hat.
a. Notiert jeweils die Zahl, die als letzte gestrichen werden
konnte, und diejenigen, die nicht gestrichen werden konnten.
b. Welche Zahlen hättet ihr problemlos mehrmals durchstreichen
können?
c. Überlegt euch, welche Zahlen nie, häufig oder selten geworfen
werden. Schreibt einen kurzen Bericht dazu.
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Drei Würfel (2 bis 4 Spieler)
Jeder Spieler schreibt zwei verschiedene Zahlen zwischen 1 und 18
auf sein Blatt. Es wir solange gewürfelt, bis die Augensumme von 2
oder 3 Würfeln den beiden gewählten Zahlen entspricht.
Beispiel: Mit den drei Würfelzahlen 3, 4 und 6 kannst du die
Summen 7, 9, 10 und 13 bilden. Stimmen zwei dieser 4 Zahlen mit
den gewählten Zahlen überein, hast du dein Ziel schon erreicht.
Wenn nur eine Zahl mit den gewählten Zahlen übereinstimmt,
würfelst du ein zweites Mal. Du kannst einen, zwei oder alle drei
Würfel werfen. Wenn du beim ersten Mal keine der beiden Zahlen
erreichst, nimmst du mit Vorteil nochmals alle drei Würfel. Wer
mit möglichst wenigen Würfen die selbst gewählten Augensummen
würfelt, hat gewonnen.
a. Welche Zahlen wählst du?
b. Gibt es Zahlen, die du bevorzugst? Warum? Schreibe einen
kleinen Bericht.
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Warten auf die letzte Augenzahl
• Schätze einmal, wie oft man ungefähr würfeln muss, bis alle
Augenzahlen einmal vorgekommen sind.
• Jemand hat diese Schlange von links nach rechts gewürfelt.
Beschreibe wie eine Reporterin oder ein Reporter, was der
Reihe nach passiert ist.
Wie oft musste er würfeln, bis alle Augenzahlen einmal
vorgekommen sind?
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• Jemand anderes hat diese Schlange gewürfelt und wollte auch
alle Augenzahlen einmal haben. Wie oft hat er gewürfelt?
Beginnt seine Würfelschlange links oder rechts? Begründe!
• Wie oft muss man mindestens würfeln, bis alle Augenzahlen
einmal gekommen sind?
• Wie viele Würfe dauert es, wenn man ganz großes Pech hat?
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Wie viele Würfe dauert es normalerweise? Untersuche die
Wurfanzahl gemeinsam mit deinem Banknachbarn oder deiner
Banknachbarin. Einer würfelt und einer schreibt das Protokoll. Für
jede geworfene Augenzahl kommt ein Strich in die entsprechende
Spalte. Wenn bei allen Augenzahlen mindestens ein Strich ist,
beginnt der nächste Versuch.
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• Beschreibt den Ausgang eurer Versuche. Was fällt euch auf?
• Berechnet den Durchschnitt aller Zahlen in der letzten Spalte.
• Vergleicht mit den Ergebnissen anderer Kinder. Wer hat die
wenigsten, wer die meisten Würfe in einer Zeile? Ähneln sich
die Durchschnitte?
• Tragt die Ergebnisse der ganzen Klasse zusammen und ordnet
sie so, dass ihr einen Überblick bekommt.
• Wie viele Würfe dauert es normalerweise? Was heißt
normalerweise?
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Simulation
Was ist Simulation?
• Nachspielen von Vorgängen mit zufälligem Ergebnis
mit einem Zufallsgenerator (Würfel, Urne, ...) oder
Pseudozufallsgenerator (TR, PC, Tabellen)
• Simulieren kann man nur auf der Basis eines Modells!
• Triviales Beispiel: Geschlecht von Neugeborenen
• Modellannahme: P(Junge) = P(Mädchen) = 0, 5
• Zufallsgenerator: guter Würfel – Annahme!
• Realisierung: 1, 2, 3, → Junge, 4, 5, 6 → Mädchen
Mit den Modellwahrscheinlichkeiten entstehen“ Jungen und
”
Mädchen
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Simulation
Ziele:
• Erfahrungen mit dem Zufall sammeln
• Intuitionen überprüfen/korrigieren
• Wirkungen bekannter Wahrscheinlichkeiten erleben
• Unbekannte Wahrscheinlichkeiten oder andere Kenngrößen
schätzen
• Modelle besser verstehen
• Auswirkungen von Modellparametern erkunden
• Modellbilden üben
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Ü-Eier-Figuren
Eine Firma hat eine neue Serie Überraschungseier aufgelegt. Dabei
gibt es die 6 beliebtesten Fußballer der Landes im Schlumpfdesign.
Insgesamt werden alle 6 Motive in gleicher Anzahl hergestellt. In
jedem Ei ist ein Motiv. Ihre Verteilung in den Kisten der
Supermärkte sei aber völlig zufällig. Max ist begeisterter Fan und
möchte natürlich alle Motive haben.
Wie oft muss er vermutlich ein Überraschungsei kaufen, bis er alle
6 Fußballer zusammen hat?
Aufgabe Simuliere mit Würfeln den Kauf von Überraschungseiern.
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Julklapp
• 30 Schülerinnen und Schüler packen und verteilen
Julklapp-Geschenke.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer
sein eigenes Geschenk zieht? Schätze!
• Wenn ein Schüler sein eigenes Geschenk zieht, dann nennen
wir das einen Fixpunkt (bei der zufälligen Zuordnung der
Geschenke) Wie viele Fixpunkte gibt es? Schätze!
Aufgabe Simuliere das Julklapp-Problem für 6 Schülerinnen und
Schüler.
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Schüler
Nr. der
Simulation
1
2
3
4
...
Simulation
1
2
3
4
5
6
Anzahl
Fixpunkte
Geschenk=
Würfelzahl
6
5
3
1
...
4
6
5
4
...
5
1
34
412
...
461
3
1
43
...
4163
52
32
235
...
2
4
6
6
...
0
0
1
3
...
• Ergebnisse auswerten, zusammentragen
• Wahrscheinlichkeit schätzen
• durchschnittliche Anzahl Fixpunkte = 1!
• Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fixpunkt ≈ 0, 63
ab 6 Geschenken.
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