Sheet 6 - Fachbereich Mathematik

TU Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Klaus Ritter
SS 2017
18.05.17
6. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Monte Carlo-Algorithmen“
”
1. Zeigen Sie folgende Verallgemeinerung der Hoeffding-Ungleichung. Sei X1 , . . . , Xn eine unabhängige Folge von Zufallsvariablen, die 0 ≤ Xi ≤ 1 sowie 0 < E(Xi ) < 1 erfüllen. Wir definieren
M=
1
n
n
∑ Xi ,
i=1
a=
1
n
n
∑ E(Xi) .
i=1
Dann gilt für alle ε ∈ ]0, 1 − a[ und n ∈ N
P({M − a ≥ ε}) ≤ exp(−n · H(ε, a)) ,
wobei H(ε, a) wie in Satz 3.10 definiert ist.
2. Ergänzen Sie eine Auswahl Ihrer bisher durchgeführten Experimente um die Angabe von (asymptotischen) Konfidenzintervallen. Berechnen Sie bei der direkten Simulation immer auch die empirische Varianz und damit eine Schätzung des Fehlers der Methode.
3. Entwerfen und implementieren Sie einen Algorithmus zur Simulation der Arkussinus-Verteilung,
die durch die Dichte
�
1/π · (x · (1 − x))−1/2 , falls 0 < x < 1 ,
h(x) =
0,
sonst ,
gegeben ist.
4. Gegeben sei eine Zufallsvariable X und reelle Zahlen a < b mit P({X ∈ ]a, b]}) > 0. Betrachten
Sie die durch
Q(A) = P({X ∈ A} | {X ∈ ]a, b]})
für meßbare Mengen A ⊂ R definierte sogenannte bedingte Verteilung von X gegeben {X ∈ ]a, b]}.
Modifizieren Sie die Inversionsmethode zur Simulation von PX , so daß Sie eine Methode zur Simulation von Q erhalten.
Besprechung: 26.05.17