(1)Æπ2 (1)Æπ2

Technische Universität München
Fakultät für Informatik
Dr. M. Schneider, Dr. M. Pizka,
Dr. A. Vilbig, Dr. R. Letz,
G. Bauer, B. Zhang
SS 2003
Lösungsvorschläge zu Blatt 6
23. Mai 2003
Übungen zur Vorlesung Einführung in die Informatik IV
Eine primitiv rekursive Funktion besteht entweder aus einer der Grundfunktionen:
succ :
0
zero :
1
zero : πni :
n succn n 1
zero0 0
zero1 n 0
πni x1 xn xi ;
aus Komposition primitiv rekursiver Funktionen
durch f : m
f
Æ
g : n
hi : m
g h1 hn
1in
mit f x1 xm gh1 x1 xm hnx1 xm
oder aus primitiv rekursiven Funktionen
g : k
k
2
h: durch das Schema der primitiven Rekursion
f x1 xk 0
f x1 xk n 1
gx1 xk hx1 xk n f x1 xk n
abgekürzt durch
f
Aufgabe 23
prg h
Primitiv rekursive Funktionen
Definitionsschema für einstellige Funktionen: Definitionsschema für zweistellige Funktionen:
f 0
g
gm
f m 0
f succn
hn f n
f m succn
hm n f m n
sqO 0
sqsuccn sqn 2 n 1 add sqn add 1 mult 2 n
also ist sq prg h mit
g zero0,
h add [π22 add [one2 mult [two2 π21 ]]],
one2 succ zero1 π21 und
two2 succ succ zero1 π21 .
Æ
Æ
Æ Æ
Æ Æ
Æ
Æ
g
hn
sqn
Lösung 6/ Seite 2
µ-rekursive Funktionen
Aufgabe 24
Eine µ-rekursive Definition der partiellen Funktion psqrt, die Quadratwurzeln natürlicher Zahlen
berechnet:
psqrt
hx y
µh
mit h : 2
partiell gegeben durch:
psubx y y (psub sei die partielle Subtraktion.)
Behauptung:
psqrtx w
falls w2 x
undefiniert sonst
Dabei sei w die ganzzahlige Wurzel von x, d.h. die eindeutig bestimmte natürliche Zahl mit der
Eigenschaft w2 x w 12 .
Beweis:
Zu zeigen ist
Im Fall w
Im Fall w
2
x ist hx y 0 für y w und hx y 0 für y w.
2
x ist hx y 0 oder hx y undefiniert.
Sei w2 x. Dann ist x eine Quadratzahl und es gilt
y :
y w
y w
psubx y y 0
psubx y y 0
Sei w2 x w 12 . Dann ist x keine Quadratzahl und es gilt
y :
yw w y Aufgabe 25
nen
psubx y y 0
psubx y y undefiniert,
da x w 12 y y
Äquivalenz von µ-Rekursion und while-Programmen auf Registermaschi-
(a) Gegeben sei die folgende µ-rekursive Funktion zur Berechnung der partiellen Subtraktion
zweier natürlicher Zahlen
a
b
µha b
wobei die primitiv rekursiv definierte Funktion h : N 3
N definiert ist durch die Gleichung
ha b y subb y a suba b y
Lösung 6/ Seite 3
(i) Jede primitiv rekursive Funktion lässt sich in ein while-programm umsetzen.
Die Zuweisung s0 : hsa sb sy wird in das folgende Registermaschinen-Programm
M umgesetzt.
s0 : 0;
while0 pred0 s1 : 0;
while1 pred1 s2 : 0;
while2 pred2 sa : 0;
whilea preda sb : 0;
whileb predb sy : 0;
whiley predy s0 s1 sb sb : sb sb sb 0;
whileb succ0 ; succ1 ; succb ; predb s0 s1 sy sy : s0 sy s1 sy sy 0;
whiley succ0 ; succ1 ; succy ; predy
s0 sa sa : s0 sa sa 0;
whilea pred0 ; succa ; preda s2 sa sa : sa sa 0;
whilea succ2 ; succa ; preda s2 s1 : s2 s1 0;
while1 pred2 ; pred1 s0 s2 : s0 s2 0;
while2 succ0 ; pred2 sb sb : sb 0;
whileb succb ; predb sy sy : sy 0;
whiley succy ; predy ¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
(ii) Die µ-Rekursion wird in das folgende Registermaschinen-Programm umgesetzt.
sy : 0;
whiley predy s0 : hsa sb sy ;
M
while
s0 0 do
while0 succy ; M sy : sy 1
s0 : hsa sb sy;
od
(b) Wir zeigen: Jedes while-Programm auf einer Registermaschine lässt sich in eine µ-rekursive
Funktion umsetzen. Wir fassen ein while-Programm auf einer n-Registermaschine auf als
eine Funktion n n , die den Registern s s1 sn neue Werte zuordnet.
(i) succi , predi und ε sind primitiv rekursiv:
succi [πn1 succ πni πnn ]
predi [πn1 pred πni πnn ]
ε id
Æ
Æ
Æ
(ii) Sind M1 und M2 µ-rekursiv, so auch M1 ; M2 :
M1 ; M 2 M2 M1
(iii) Ist M µ-rekursiv, so auch whilei M :
Wir definieren zunächst eine µ-rekursive Funktion p , so dass ps k den Wert der Register nach k-maliger Ausführung des Programms M liefert. (p ist µ-rekursiv, das M
µ-rekursiv ist, d.h. das Ergebnis kann auch undefiniert sein, wenn M nicht terminiert)
p : n n
ps 0 s
ps sucn M ps n
Wir setzen: whilei M s ps k
Lösung 6/ Seite 4
wobei k die kleinste Zahl ist, so dass nach k-maliger Ausführung des Programms M
das Register si den Wert 0 hat, falls diese Zahl existiert, ansonsten undefiniert.
k µhs min y πi ps y 0
mit hs y πi ps y
Falls das while-Programm terminiert, ist die µ-rekursive Funktion definiert, ansonsten
undefiniert.
Aufgabe 26 (H) Äquivalenz von primitiver Rekursion und for-Programmen auf Registermaschinen
(a) Um die in der Aufgabenstellung gegebene Behauptung zu beweisen, ist zu zeigen: primitiv
rekursiv
for-berechenbar und primitiv rekursiv
for-berechenbar.
„“: Der Aufbau primitiv rekursiver Funktionen legt folgendes Induktionsschema
nahe: Der Induktionsanfang erstreckt sich über die Grundfunktionen, ein Induktionsschluß ist über die Komposition und das letztgenannte Schema zu führen.
Induktionsanfang: Die Grundfunktionen sind for-berechenbar:
succ
zero
πni
succ ;
f or ε ;
f or ε ;
1
1 1 ; f ori 1 ε;
f ori1 ε; ; f orn ε;
Induktionsschluß: Induktionshypothese ist, dass die primitiv rekursive Funktionen g
und h (bzw. hi ) for-berechenbar sind; entsprechende Programme seien im weiteren
durch G, H bzw. Hi abgekürzt. Zu zeigen ist dann, dass jede Funktion die aus g
und h (bzw. hi ) in einem Schritt, also durch Komposition oder durch das Schema
der primitiven Rekursion aufgebaut werden kann, wiederum for-berechenbar ist.
Komposition: Funktionen, die durch Komposition aus G und H i berechnet werden, sind ebenfalls for-berechenbar, denn
f
Æ
g h1 hn
H ;
1
; Hn ; G
.
Schema der primitiven Rekursion: Es bleibt noch der Fall zu betrachten, dass
eine Funktion f , die durch das Schema der primitiven Rekursion aus forberechenbaren Funktionen gx1 xk und hx1 xk y z entsteht, wiederum for-berechenbar ist. Durch das folgende Programm wird f berechnet:
G;
f orm ε;
predy
fory H succm ;
result := gx1 xk ;
m := 0;
y := y - 1;
for i := y to 0 do
result := hx1 xk m result ;
m := m + 1;
od
hierbei verifiziert man durch Induktion über die Anzahl der Schleifendurchläufe, dass result nach i 0 Schleifendurchläufen den Wert f x1 xk i
Lösung 6/ Seite 5
hat. Die Schleife wird im ganzen y-mal durchlaufen, so dass result schließlich den gesuchten Wert f x1 xk y annimmt. Schließlich muß das angegebene Pseudocode-Programm noch in ein Registermaschinen-Programm transformiert werden: Die beiden dort auftretenden Zuweisungen der Variablen
result sind per Induktionsannahme RM-berechenbar; wir kürzen diese mit
G und H ab.
„ “: Wir zeigen: Jedes for-Programm auf der Registermaschine lässt sich in eine
primitive rekursive Funktion umsetzen.
(i) succi , predi und ε sind primitiv rekursiv.
succi [πn1 succ πni πnn ]
predi [πn1 pred πni πnn ]
ε id
Æ
Æ
Æ
(ii) Sind M1 und M2 primitiv rekursiv, so auch M1 ; M2 :
M1 ; M 2 M2 M1
(iii) Ist M primitiv rekursiv, so auch die k-malige Ausführung ps k von M:
n
p : n ps 0 s
ps sucn M ps n
Ist M primitiv rekursiv, so auch f or i M :
Wir setzen: f ori M s ps i
(b) Die in der Aufgabenstellung gegebene For-Schleife unterscheidet sich von einer WhileSchleife im wesentlichen dadurch, dass bei einer For-Schleife die Zahl der Schleifendurchläufe von Anfang an, durch die im Register i gespeicherte Zahl n auf eben dieses n festgelegt ist. Bei einer While-Schleife ist dagegen die Zahl der Durchläüfe nicht fest vorgegeben,
sondern hängt von dem Programm M ab. Aus dem eben durchgeführten Beweis können wir
also folgern, dass bei primitiver Rekursion die Zahl der rekursiven Aufrufe abschätzbar ist.
Darin unterscheiden sich primitiv rekursive Funktionen von µ-rekursiven, wo die Zahl der
rekursiven Aufrufe von vornherein nicht feststeht.
Aufgabe 27 (P) Rekursionsoperator
Teilaufgabe a)
Die Fakultätsfunktion f ac ist primitiv rekursiv definiert durch
f ac0
f acn 1
succzero0 succ zero0
n 1 f acn
mult succn f acn
mult succ π21 π22 n f acn
Æ
Æ
Æ
Die zuletzt aufgeführte Gleichung erfüllt somit die für das Rekursionsschema erforderliche Form
f n 1 hn f n, d.h. der Rekursionsoperator verknüpft die beiden primitv rekursiven Funktionen
g
h
Æ
Æ
succ zero0
mult succ π21 π22 Æ
Lösung 6/ Seite 6
Teilaufgabe b) und c)
-- Constant function zero
zero0 = 0
-- Successor function
succ x = x + 1
-- Dyadic projections
pi21 (x, y) = x
pi22( x, y) = y
-- Composition operators for monadic and dyadic function g
comp g h x = g(h x)
comp2 g h1 h2 x = g(h1 x, h2 x)
-- Auxiliary definition of multiplication
mult(x, y) = x * y
-- Primitive recursion operator for monadic function f
pr :: Int -> ((Int, Int) -> Int) -> (Int -> Int)
pr g h = f where
f(0)
= g
f(n+1) = h(n, f(n))
-- Primitive recursive definition of the factorial
fac = pr (succ(zero0))
(comp2 mult (comp succ pi21) pi22)