Ergänzungen zu Algorithmen, Berechenbarkeit und Komplexität

Ergänzungen zu Algorithmen,
Berechenbarkeit und Komplexität
Vorlesung 8 – 05.12.2011
Themen Primitive Rekursion und µ-Rekursion, Gödel’sches β-Prädikat, arithmetische Darstellung.
Literatur Zum Gödelprädikat, arithmetischer Darstellung und dem Unvollständigkeitssatz [1, 2.9] oder [2].
[1] Schöning, Uwe: Theoretische Informatik – kurzgefasst. 5. Spektrum, 2008. – ISBN
3827418240
[2] Smith, Peter: An Introduction to Gödel’s Theorems. Cambridge University Press,
2007. – ISBN 0521674530
Arithmetische Repräsentation Eine (partielle) Funktion f : Nk →p Nℓ heißt
arithmetisch darstellbar, wenn es eine arithmetische Formel F (eine prädikatenlogische Formel mit Funktionen + und ·, sowie dem Prädikat ≤) mit freien Variablen
X1 , . . . , Xk , Y1 , . . . , Yℓ gibt, so dass F (x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yℓ ) genau dann wahr ist,
wenn f (x1 , . . . , xk ) = (y1 , . . . , yℓ ).
Aufgaben
1. Primitive Rekursion Zeigen Sie anhand der Definition, dass die folgenden Funktionen in P sind:
(
1, falls n1 = n2
(a) eq : N2 → N; (n1 , n2 ) 7→
0 sonst
(
0,
falls n2 = 0
(b) div : N2 → N; (n1 , n2 ) 7→
⌈a/b⌉ sonst
(c) null1 : N → N; n 7→ 0 und null2 : N2 → N; (n1 , n2 ) 7→ 0
P 0
f (n1 , . . . , nk ),
(d) sumf : Nk+1 → N; (n0 , n1 , . . . , nk ) 7→ ni=0
wobei f : Nk+1 → N eine primitiv rekursive Funktion ist.
2. µ-Rekursion
(a) Geben Sie eine explizite und möglichst einfache Darstellung der Funktion
µ sub(π2,2 , rec(succ(null1 ), mult(π3,3 , π1,3 ))(succ(succ(null2 )), π1,2 ))
an.
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Vorlesung 8 – 05.12.2011
(b) Drücken Sie die Funktion
f : N →p N; n 7→
(
n
falls 5 ≤ n ≤ 13
undefiniert sonst
mit Hilfe primitiv rekursiver Funktionen und des µ-Operators aus.
3. Gödel’sches β-Prädikat
Finden Sie Zahlen k, ℓ ∈ N, für die gilt:
β(k, ℓ, 0, 5)
und β(k, ℓ, 1, 2)
und β(k, ℓ, 2, 3)
und β(k, ℓ, 3, 3)
4. Arithmetische Darstellungen
Geben Sie jeweils eine arithmetische Darstellung für die folgenden Funktionen
an:
√
(a) f : x1 7→ ⌊ x1 ⌋
(b) f : x1 7→ x1 !
(c) f : x1 7→ Fx1 , wobei F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 (n > 1)
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