Grundbegriffe aus der Vorlesung Algebra

Grundbegriffe aus der Vorlesung Algebra
17. Februar 2010
Dieses Glossar enthält die wichtigsten Begriffe und auch einige der wichtigsten Aussagen
der Vorlesung. Zusätzliche Dinge (nicht klausurrelevant) sind mit (*) gekennzeichnet.
1
Gruppen
Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung, die assoziativ ist
und für die ein neutrales Element e und zu jedem g ∈ G ein inverses Element g −1
existieren (siehe Glossar zur Vorlesung Lineare Algebra). Eine Gruppe heißt abelsch
oder kommutativ, wenn ab = ba für alle a, b ∈ G gilt. Die Ordnung einer Gruppe
G ist die Anzahl ihrer Elemente, man schreibt dafür |G|.
Sei (G, ·) eine Gruppe. Eine Teilmenge H ⊂ G heißt Untergruppe, falls (i) e ∈ H,
(ii) a · b ∈ H für alle a, b ∈ H und (iii) a−1 ∈ H für alle a ∈ H. Jede Gruppe G besitzt
die trivialen Untergruppen {e} und G.
Beispiele: Untergruppen von Z sind alle von der Form mZ = {mk | k ∈ Z}. Permutationsgruppen Sn mit |Sn | = n! Allgemeiner: symmetrische Gruppe S(M ) einer Menge
M , definiert als die Menge aller bijektiven Abbildungen M → M mit der Hintereinanderausfürung als Verknüpfung. Quaternionen Gruppe Q mit |Q| = 8. Kleinsche
Vierergruppe V4 mit |V4 | = 4. Die Restklassengruppen Z/mZ mit m Elementen. Die
Diedergruppe Dn mit |Dn | = 2n.
Seien G1 und G2 Gruppen. Ein Homomorphismus ist eine Abbildung ϕ : G1 → G2
mit ϕ(a·b) = ϕ(a)·ϕ(b) für alle a, b ∈ G1 . Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Der Kern von ϕ ist definiert als die Untergruppe ker ϕ = {a ∈ G1 | ϕ(a) =
e} ⊂ G1 . Das Bild von ϕ ist definiert als die Untergruppe im ϕ = ϕ(G1 ) ⊂ G2 . Die
Automorphismengruppe Aut(G) ist definiert als die Menge aller Isomorphismen
ϕ : G → G.
Beispiele: Exponentialabbildung, Determinante, Signum, Konjugation: ϕa : G →
G, ϕa (g) = aga−1 , ϕa heißt innerer Automorphismus von G. Satz von Cayley:
Jede Gruppe G ist Untergruppe der symmetrischen Gruppe S(G).
Sei G eine Gruppe und g ∈ G. Die Menge < g >= {. . . , g −2 , g −1 , e, g, g 2 , . . .} ⊂ G
bezeichnet die von g erzeugte Untergruppe in G. Die Ordnung eines Elementes
1
g ∈ G ist definiert als ord(g) = | < g > |. Falls ord(g) < ∞, dann ord(g) = min{k ∈
N | g k = e}.
Kleiner Satz von Fermat: sei a ∈ G ein Element endlicher Ordnung. Dann gilt ak = e
genau dann, wenn ord(a)|k. Insbesondere gilt a|G| = e.
Sei G eine Gruppe mit einer Untergruppe H ⊂ G. Für a ∈ G ist die Linksnebenklasse von a in G definiert als aH = {a · h | h ∈ H}. Analog sind die Rechtsnebenklassen definiert als Ha = {h · a | h ∈ H}. Die Menge der Linksnebenklassen wird mit
G/H bezeichnet. Der Index einer Untergruppe H ⊂ G ist die Anzahl ihrer Nebenklassen. Man schreibt dafür (G : H).
Nebenklassen sind gleichmächtig, verschiedene Nebenklassen sind disjunkt, eine Gruppe
ist die disjunkte Vereinigung ihrer Nebenklassen. Satz von Lagrange: |G| = |H| · (G :
H), für eine Untergruppe H ⊂ G. Insbesondere teilt die Ordnung einer Untergruppe
oder eines Elementes die Ordnung der Gruppe.
Eine Untergruppe H ⊂ G heißt Normalteiler, falls die Links- und die Rechtsnebenklassen übereinstimmen, dh es gilt aH = Ha für alle a ∈ G. Jede Gruppe G besitzt
die trivialen Normalteiler G und {e}. Eine Gruppe, die nur triviale Normalteiler hat,
heißt einfach.
In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler. Die Quaternionengruppe hat
dieselbe Eigenschaft und ist nicht abelsch. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus
ist ein Normalteiler. Ist N ein Normalteiler, dann besitzt G/N genau eine Gruppenstruktur, für die π(g) := [g] = gN ein Gruppenhomomorphismus ist: [a] · [b] = [a · b]
Damit ist jeder Normalteiler N ⊂ G Kern der kanonischen Projektion π : G → G/N .
Man nennt G/N die Faktorgruppe von G nach N . Jede Untergruppe vom Index 2
ist ein Normalteiler.
Der Homomorphiesatz besagt: Sei ϕ : G → G′ ein Homomorphismus und N ⊂
G ein Normalteiler mit N ⊂ ker ϕ. Dann existiert genau ein Homomorphismus ϕ̄ :
G/N → G′ mit ϕ = ϕ̄ ◦ π. Es gilt außerdem: im ϕ̄ = im ϕ, ker ϕ̄ = π(ker ϕ), ker ϕ =
π −1 (ker ϕ̄). Insbesondere folgt für jeden surjektiven Homomorphismus ϕ : G → H der
Isomorphismus H ∼
= G/ ker ϕ.
Seien Gi , i = 1, 2 zwei Gruppen. Das äußere direkte Produkt ist die Gruppe:
G1 × G2 mit der Verknüpfung (a1 , a2 ) · (b1 , b2 ) = (a1 b1 , a2 b2 ) mit ai , bi ∈ Gi , i = 1, 2.
Seien H, K ⊂ G Untergruppen von G und H ein Normalteiler, dann ist die Menge
H · K :=< H ∪ K >:= {h · k | h ∈ H, k ∈ K}
eine Untergruppe in G. Man sagt: H · K ist die von der Menge H ∪ K erzeugte
Untergruppe.
2
Sind Ni , i = 1, 2 Normalteiler in G mit N1 ∩ N2 = {e} und N1 · N2 = G. Dann ist
ϕ : N1 ×N2 → G, ϕ(n1 , n2 ) = n1 ·n2 ein Isomorphismus. Man nennt G dann das innere
direkte Produkt von N1 und N2 und schreibt G = N1 × N2 .
Der Chinesische Restesatz besagt: sind a, b teilerfremde ganze Zahlen, dann gilt die
Isomorphie Z/abZ ∼
= Z/aZ × Z/bZ.
Die Eulersche ϕ-Funktion∗ ist definiert durch: ϕ(n) = Anzahl der zu n teilerfremden
Zahlen.
Für eine Primzahl p gilt ϕ(p) = p − 1 und ϕ(pk ) = pk−1 (p − 1). Für teilerfremde Zahlen
a, b gilt ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird, d.h. es
existiert ein g ∈ G mit G = {. . . , g −1 , e, g, g 2 , . . .}.
G ist zyklisch genau dann, wenn es einen surjektiven Homomorphismus Z → G gibt.
Eine unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu Z, eine endlich zu Z/mZ für ein m ∈
N. Ist die Gruppenordnung von G eine Primzahl, dann ist G zyklisch. Jede Untergruppe
einer zyklischen Gruppe ist zyklisch. Zu jedem Teiler d der Gruppenordnung einer
zyklischen Gruppe G existiert eine Untergruppe der Ordnung d. Eine zyklische Gruppe
G hat ϕ(d) Elemente der Ordnung d und insbesondere ϕ(|G|) Erzeuger.
Die Einheitengruppe Z∗m := (Z/mZ)∗ heißt Primrestklassengruppe∗ modulo m. Es
ist eine abelsche Gruppe der Ordnung ϕ(m), isomorph zu der Automorphismengruppe
von Z/mZ.
Eine Operation auch Wirkung oder Aktion einer Gruppe G auf einer Menge M ist
eine Abbildung G × M → M, (g, m) 7→ g · m mit (1) e · m = m für alle m ∈ M und
(g ·h)·m = g ·(h·m) für alle g, h ∈ G und alle m ∈ M . Die Menge Gm := { gm | g ∈ G}
heißt Orbit oder Bahn von G durch m. Die Gruppe Gm := {g ∈ G | g · m = m} heißt
Stabilisator von m in G. Eine Gruppenoperation heißt transitiv, wenn sie nur eine
Bahn hat, d.h. für alle x, y ∈ M existiert ein g ∈ G mit g·x = y. Eine Gruppenwirkung
heißt treu oder effektiv, falls aus g · m = m für alle m ∈ M immer g = e folgt, d.h. das
Einselement der Gruppe G ist das einzige Gruppenelement, das trivial auf M operiert.
Zwei Bahnen einer Gruppenwirkung sind entweder disjunkt oder identisch. Die Menge
M ist disjunkte Vereinigung der G-Bahnen. Die Bahn Gm ist bijektiv zur Menge der
Nebenklassen G/Gm . Stabilisatoren für Punkte einer Bahn sind zueinander konjugiert.
Die Bahnengleichung besagt: operiert eine endliche Gruppe
∑ G auf einer
∑ endlichen
Menge M , dann gilt (1) |G| = |Gm | · |Gm| und (2) |M | =
|G/Gm | = (G : Gm ),
wobei die Summe über alle m aus einem Repräsentantensystem läuft, d.h. man wählt
aus jeder Bahn genau einen Punkt m.
Eine Gruppe G operiert durch Konjugation auf sich selbst, d.h. durch (g, x) 7→
gxg −1 für g, x ∈ G. Die Bahnen dieser Operation heißen Konjugationsklassen, man
schreibt Gx = C(x). Der Stabilisator eines Elementes x ∈ G heißt Zentralisator
3
von x in G, man schreibt Gx = ZG (x) = {g ∈ G | gx = xg}. Der Durchschnitt aller
Zentralisatoren ist das Zentrum von G, man schreibt Z(G) = {g ∈ G | gx = xg ∀x ∈
G}.
Das Zentrum einer Gruppe G ist eine abelsche Untergruppe von G, die auch Normalteiler in G ist. Die Faktorgruppe G/Z(G) ist isomorph zur Gruppe der inneren
Automorphismen von G.
Die Klassengleichung ist die Bahnengleichung für die Konjugation.
Sie besagt: (1)
∑
˙
˙
˙
G = Z(G) ∪ C(x1 ) ∪ . . . ∪ C(xk ) und (2) |G| = |Z(G)| + |G|/|ZG (xi )|. Die Summe
läuft dabei wieder über ein Repräsentantensystem. Das Zentrum entspricht genau der
Menge der einelementigen Bahnen.
Sei p eine Primzahl. Eine p-Gruppe ist eine Gruppe der Ordnung pm für ein m ∈ N.
Eine p-Gruppe hat ein nicht-triviales Zentrum.
abelsch. Eine p-Gruppe ist auflösbar.
Eine Gruppe der Ordnung p2 ist
Sei p eine Primzahl und sei G eine endliche Gruppe mit |G| = pr m, so dass m nicht
durch p teilbar ist. Eine p-Sylow-Gruppe in G ist eine Untergruppe von G der
Ordnung pr . Die Sylow Sätze besagen dann: (1) Es existiert mindestens eine pSylow-Gruppe in G. (2) Zu jeder p-Gruppe H ⊂ G existiert eine p-Sylow-Gruppe S
mit H ⊂ S ⊂ G. (3) Jede zu einer p-Sylow-Gruppe konjugierte Gruppe ist wieder eine
p-Sylow-Gruppe. Je zwei p-Sylow-Gruppen sind zueinander konjugiert. (4) Für die
Anzahl sp der p-Sylow-Gruppen gilt: sp |m und sp ≡ 1(p).
Zu jedem Primzahlteiler p der Gruppenordnung |G| existiert ein Element der Ordnung
p. Die p-Sylow-Gruppen sind genau die maximalen p-Gruppen in G. Anwendungsbeispiel: Eine Gruppe der Ordnung 143 ist isomorph zum Produkt der Restklassengruppen Z/11Z und Z/13Z.
Die symmetrische Gruppe oder Permutationsgruppe ist die Gruppe Sn der bijektiven
Abbildungen der Menge M = {1, . . . , n}. Die Permutationen mit Signum +1 bilden die
Untergruppe An der geraden Permutationen. Die Untergruppe An hat Index zwei.
Eine Permutation σ ∈ Sn heißt k-Zyklus, wenn es paarweise verschiedene Zahlen
x1 , . . . , xk ∈ M gibt, mit k ≥ 2 und σ(xi ) = xi+1 , σ(xk ) = x1 σ(x) = x, falls x nicht in
der Menge der xi ’s liegt. Zwei Zyklen heißen disjunkt, falls die entsprechenden Mengen
in M disjunkt sind. Ein 2-Zyklus heißt Transposition.
Disjunkte Zyklen kommutieren. Jede Permutation ist Produkt paarweise verschiedener
Zyklen, diese sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. Jede Permutation ist
Produkt von Transposition, für diese ist nur die Parität der Anzahl eindeutig bestimmt. Sie können von der Form (m, m + 1), also als Vertauschung benachbarter
Zahlen, gewählt werden. Für n ≥ 3 ist An genau die Menge der Permutationen, die
sich als Produkt von 3-Zyklen schreiben lassen. Die Gruppe An ist für n ̸= 4 einfach,
d.h. hat nur triviale Normalteiler.
4
Sei G eine Gruppe und a, b ∈ G. Der Kommutator von a und b ist das Element
[a, b] := aba−1 b−1 . Die Kommutatorgruppe [G, G] ist die Untergruppe von G, die
von allen Kommutatoren [a, b] erzeugt wird.
Die Kommutatorgruppe [G, G] besteht aus allen endlichen Produkten von Kommutatoren, sie ist trivial genau dann, wenn G abelsch ist. Sie ist der kleinste Normalteiler
N ⊂ G, mit G/N abelsch. Es gilt: [Sn , Sn ] = An , n ≥ 2 und [An , An ] ist gleich {e} für
n = 2, 3, gleich V4 , für n = 4 und gleich An für n ≥ 5.
Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn eine Kette von Untergruppen Gn = {e} ⊂
Gn−1 ⊂ . . . ⊂ G0 = G existiert, so dass Gi ⊂ Gi−1 Normalteiler und Gi−1 /Gi abelsch
ist.
Abelsche und p-Gruppen sind auflösbar, Untergruppen und Homomorphiebilder auflösbarer Gruppen sind auflösbar. Die Gruppen S2 , S3 , S4 sind auflösbar. Für n ≥ 5
sind die Permutationsgruppen Sn nicht auflösbar. Untergruppen, Produkte und Faktorgruppen auflösbarer Gruppen sind auflösbar. Ist ein Normalteiler N ⊂ G und die
Faktorgruppe G/N auflösbar, so ist auch G auflösbar. Eine auflösbare Gruppe G ist
genau dann einfach, wenn sie zyklisch und |G| eine Primzahl ist.
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Ringe
Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen · und + mit: (R, +) ist eine
abelsche Gruppe, die Verknüpfung · ist assoziativ mit Einselement 1 und es gelten die
Distributivgesetze: (a + b)c = ac + bc, c(a + b) = ca + cb, für alle a, b, c, d ∈ R.
Ein Ring heißt kommutativ, falls die Verknüpfung · kommutativ ist.
Ein Unterring ist eine Teilmenge S ⊂ R mit: (S, +) ist eine Untergruppe, 1 ∈ S und
x · y ∈ S für alle x, y ∈ S.
Ein Element x ∈ R heißt Nullteiler, falls ein y ∈ R \ 0 existiert, mit x · y = 0
oder y · x = 0. Ein kommutativer Ring ohne Nullteiler heißt nullteilerfrei oder
Integritätsring.
Ein Element x ∈ R heißt Einheit , falls ein y ∈ R existiert mit x · y = y · x = 1. Man
schreibt dann y = x−1 . Die Menge der Einheiten in R wird mit R∗ bezeichnet.
Ein Körper ist ein Ring R für den (R \ 0, ·) eine abelsche Gruppe ist.
Die Einheitengruppe (R∗ , ·) ist eine abelsche Gruppe. Ein Körper ist insbesondere ein
Integritätsring. Beispiele von kommutativen Ringen: R = Z die ganzen Gaußschen
Zahlen Z[i]. Beispiele von Körpern: Q, R, C, Q(i).
Bemerkung: In der Vorlesung sind die Ringe als kommutativ vorausgesetzt.
Sei (R, ·, +) ein Ring. Ein Ideal in R ist eine Teilmenge I ⊂ R mit: I ist eine
Untergruppe von (R, +) und für alle r ∈ R, a ∈ I gilt r · a ∈ I.
5
Die trivialen Ideale sind das Nullideal I = {0} und das Einheitsideal I = R.
Seien a1 , . . . , an ∈ R, dann ist das von a1 , . . . , an ∈ R erzeugte Ideal definiert durch
< a1 , . . . , an >= {λ1 a1 + . . . + λn an | λ1 , . . . , λn ∈ R}
Ein Hauptideal ist ein Ideal I, das von einem Element a ∈ R erzeugt wird, d.h. es
gilt I =< a >= Ra = {r · a | r ∈ R}. Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in
dem jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Nicht-triviale Ideale I sind keine Unterringe, da 1 ∈ I genau dann gilt, wenn I =
R = < 1 > ist. Ein Körper √
enthält nur triviale Ideale. Beispiele: Z und Z[i] sind
Hauptidealringe, nicht aber Z[ −5].
Sei I ⊂ R ein Ideal. Der Faktorring ist die Menge R/I mit der komponentenweise
definierten Addition und Multiplikation, dh. [x] + [y] = [x + y], [x] · [y] = [x · y] für
x, y ∈ I.
Ein Primideal ist ein Ideal I ⊂ R, für das der Faktorring R/I ein Integritätsring ist.
Äquivalent ist I ⊂ R ein Primideal, falls aus x · y ∈ I, x, y ∈ R immer folgt: x ∈ I oder
y ∈ I.
Ein maximales Ideal, ist ein Ideal I ⊂ R mit: für jedes Ideal J in R mit I ⊂ J ⊂ R
folgt J = I oder J = R. Äquivalent ist: ein Ideal I ist maximal falls R/I ein Körper
ist.
Maximale Ideale sind Primideale. In Z sind Primideale auch maximal und genau die
Ideale der Form I =< p > für eine Primzahl p.
Die Einheitengruppe (Z/mZ )∗ ist eine abelsche Gruppe mit ϕ(m) Elementen: die Primrestklassengruppe.
Seien R1 , R2 Ringe. Ein Ringhomomorphismus ist eine Abbildung ϕ : R1 → R2
mit: (1) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b) für alle a, b ∈ R1 und (2) ϕ(1) = 1.
Der Kern von ϕ ist das Ideal
ker ϕ = {r ∈ R1 | ϕ(r) = 0}.
Isomorphismen sind bijektive Homomorphismen.
Nicht-triviale Homomorphismen ϕ : K → R, K Körper, R Ring sind immer injektiv.
Die kanonische Projektion π : R → R/I ist ein surjektiver Homomorphismus.
Wichtige Sätze: Homomorphiesatz, Chinesischer Restesatz.
Ein Ring hat die Charakteristik 0, falls die Ordnung von 1 ∈ (R, +) unendlich ist.
Ein Ring hat die Charakteristik r, falls r < ∞ die Ordnung von 1 ∈ (R, +) ist.
Äquivalente Beschreibung: Sei ϕ : Z → R, n 7→ 1 + . . . + 1 (n mal) der kanonische
Homomorphismus. Der Ring R hat die Charakteristik 0, falls ϕ injektiv ist und die
Charakteristik r < ∞, falls ker ϕ = rZ.
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Ein euklidischer Ring ist ein Integritätsbereich R zusammen mit einer Normabbildung N : R \ 0 → N mit: für alle f, g ∈ R, g ̸= 0 existieren q, r ∈ R, für die gilt:
f =q·g+r
und
N (r) < N (g) oder r = 0 .
Euklidische Ringe sind Hauptidealringe. Die Umkehrung gilt nicht. Beispiele: Z mit
N (k) = |k|, K[x] für einen Körper K, mit N (f ) = deg f , Z[i] mit N (a + bi) = a2 + b2 .
Sei R ein Integritätsring und x, y ∈ R. Das Element y heißt Teiler von x, falls ein
r ∈ R existiert mit x = r · y, oder äquivalent, falls < x > ⊂ < y >. Man sagt auch y
teilt x und schreibt y|x.
Elemente x, y ∈ R mit < x > = < y >, oder äquivalent x = u · y für eine Einheit
u ∈ R∗ , nennt man zueinander assoziiert.
Ein Element d ∈ R heißt größter gemeinsamer Teiler von a, b ∈ R, falls d Teiler
von a und b ist und jeder andere gemeinsame Teiler d teilt.
Äquivalente Definition für Hauptidealringe: d ∈ R ist größter gemeinsamer Teiler von
a, b ∈ R, falls < a, b > = < d >, also genau dann, wenn x, y ∈ R existieren mit
xa + yb = d.
Sei R ein Integritätsring und sei p ∈ R \ R∗ , p ̸= 0. Das Element p heißt irreduzibel,
falls aus p = x · y, x, y ∈ R, immer folgt, dass x ∈ R∗ oder y ∈ R∗ . Das Element p
heißt prim oder Primelement, wenn aus p|x · y, x, y ∈ R, immer p|x oder p|y folgt,
äquivalent ist < p > ein Primideal.
Primelemente sind irreduzibel. In Hauptidealringen sind irreduzibel und prim äquivalent.
Ein Integritätsring R heißt faktoriell, falls sich jedes a ∈ R \ R∗ , a ̸= 0 bis auf
Reihenfolge und Assoziiertheit eindeutig als Produkt irreduzibler Elemente schreiben
läßt. Äquivalent dazu lässt sich jedes solches a ∈ R als Produkt von Primelementen
schreiben. Man sagt auch: in R gilt der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung.
In faktoriellen Ringen sind irreduzibel und prim äquivalent. Hauptidealringe sind faktoriell, z.B. Z, Z[i] oder K[x] für einen Körper K. Satz von Gauß: Ist R faktoriell,
√
dann auch R[x], z.B. ist Z[x] faktoriell, aber kein Hauptidealring. Der Ring Z[ −5]
ist nicht faktoriell und damit kein Hauptidealring.
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3
Polynome
Sei R ein Ring, dann bezeichnet R[x] die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in
R. Mit der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen ist diese Menge ein
Ring: der Polynomring.
Ein Polynom f = an xn + . . . + a0 ∈ R[x] heißt normiert falls an = 1 gilt. Die
Ringelemente ai heissen Koeffizienten von f . Den Koeffizienten an nennt man
Leitkoeffizient von f . Das maximale n mit an ̸= 0 heißt Grad von f . Man schreibt
dann n = deg f .
Weitere Begriffe: Nullstellen, einfache und mehrfache Nullstelle, Vielfachheit einer
Nullstelle, Abspaltung von Linearfaktoren, Linearfaktorzerlegung, Polynomdivision.
Ein Polynom f ∈ R[x] heißt irreduzibel, wenn es sich nicht als Produkt von Polynomen kleineren Grades schreiben lässt. Ein Polynom heißt primitiv, wenn alle Koeffizienten teilerfremd sind.
Primitive Polynome sind genau die irreduziblen Polynome, die auch irreduzibel als
Ringelement im Polynomring R[x] sind. Sei K ein Körper, dann stimmen für f ∈ K[x]
beide Definitionen der Irreduzibilität überein. Wichtige Kriterien für Irreduzibilität
sind: Gauß Lemma, Eisenstein Kriterium und Reduktion modulo p.
Gauß Lemma: Sei f ∈ Z[x] irreduzibel über Z. Dann ist f auch, betrachtet als
Polynom in Q[x], irreduzibel. Die Umkehrung gilt trivialerweise.
Eisenstein Kriterium: Sei f = an xn + . . . + a0 ∈ Z[x] und sei p eine Primzahl mit:
(i) p teilt nicht an , (ii) p teilt ai , i = 0, . . . , n − 1 und (iii) p2 teilt nicht a0 . Dann ist f
irreduzibel über Z und damit auch über Q.
Reduktion modulo p: Die kanonische Projektion Z → Zn := Z/nZ definiert einen
Ringhomomorphismus ϕ : Z[x] → Zn [x]. Sei n eine Zahl, die nicht den Leitkoeffizienten von f teilt. Ist ϕ(f ) irreduzibel in Zn [x], dann war f irreduzibel in Z[x]. Die
Umkehrung gilt i.A. nicht.
Sei R ein Integritätsring und M := {(a, b) | a ∈ R, b ∈ R \ 0}. Auf M sei ∼ die
Äquivalenzrelation (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a · d = c · b. Der Quotientenkörper∗ Q(R) ist
definiert als Q(R) = M/∼ . Schreibt man ab für die Äquivalenzklasse von (a, b), dann
sind Addition und Multiplikation definiert durch:
ad + cb
a c
+ =
,
b d
bd
a c
ac
· =
.
b d
bd
Der Quotientenkörper Q(R) ist der kleinste Körper, der den Ring R enthält. Beispiele:
Q = Q(Z), K(a) = Q(K[a]).
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4
Körpererweiterungen
Eine Körpererweiterung ist ein Paar von Körpern K ⊂ L, wobei K ein Teilkörper
von L ist. Allgemeiner ist eine Körpererweiterung ein injektiver Homomorphismus
i : K → L.
Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung und A ⊂ L, dann ist K(A) der kleinste Teilkörper
von L, der K ∪ A enthält. Es ist der Durchschnitt aller Teilkörper M ⊂ L, mit
K ∪ A ⊂ M . Analog definiert man K[A] als den kleinsten Ring, der K ∪ A enthält.
Man sagt K(A) bzw. K[A] entstehen aus K durch Adjunktion der Elemente von A
an K.
Man schreibt K(a) bzw. K(a1 , . . . , an ) für A = {a} bzw. A = {a1 , . . . , an } und analog
für die Ringe: K[a] bzw. K[a1 , . . . , an ].
Eine einfache Körpererweiterung ist eine Körpererweiterung K ⊂ L mit L =
K(a) für ein a ∈ L. In diesem Fall nennt man a ein primitives Element∗ . Eine
Körpererweiterung K ⊂ L mit L = K(a1 , . . . , an ) heißt endlich erzeugt.
Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung, dann definieren die Operationen (u, v) 7→ u+v und
(λ, u) 7→ λ·u, für λ ∈ K, u, v ∈ L, auf L die Struktur eines K-Vektorraumes. Der Grad
einer Körpererweiterung K ⊂ L ist definiert als die Dimension des K-Vektorraumes
L. Man schreibt [L : K] = dimK L. Eine endliche Körpererweiterung ist eine
Körpererweiterung K ⊂ L mit dimK L < ∞.
Beispiele: Die Körpererweiterung R ⊂ C hat Grad 2 und Q ⊂ R ist keine endliche
Körpererweiterung. Das Turm-Lemma bzw. die Gradformel besagt: [M : K] =
[M : L][L : K], wobei K, L, M Körper sind mit K ⊂ L ⊂ M . Ist K ⊂ L eine endliche
Körpererweiterung, dann existieren a1 , . . . , an mit L = K(a1 , . . . , an ).
Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung. Ein Element a ∈ L heißt algebraisch über K,
wenn ein Polynom f ∈ K[x] \ {0} existiert mit f (a) = 0. Ein Element in L, dass
nicht algebraisch ist, heißt transzendent. Eine algebraische Körpererweiterung
ist eine Körpererweiterung K ⊂ L, für die jedes Element aus L algebraisch über K ist.
Äquivalente Beschreibung: Es bezeichne ϕa : K[x] → L, f 7→ f (a) den Einsetzungshomomorphismus. Dann ist a ∈ L transzendent über K genau dann, wenn ϕa
injektiv ist und algebraisch genau dann, wenn ker ϕa ̸= {0}.
Endliche Körpererweiterungen sind algebraisch. Die Umkehrung gilt nicht, z.B: Q ⊂ Q̄.
Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung und a ∈ L sei algebraisch über K. Das Minimalpolynom von a über K ist das normierte Polynom m ∈ K[x] kleinsten Grades
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mit m(a) = 0. Äquivalent lässt sich das Minimalpolynom m definieren als das Polynom
m ∈ K[x] mit ker ϕa = < m >.
Das Minimalpolynom ist eindeutig bestimmt und irreduzibel. Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung und a ∈ L algebraisch über K. Dann ist K[a] = im ϕa ein Körper und
der Grad des Minimalpolynoms von a ist der Grad der Körpererweiterung K ⊂ K[a].
√
Beispiele: In R ⊂ C hat i das Minimalpolynom m = x2 + 1. In Q ⊂ R hat 3 2
√
das Minimalpolynom m = x3 − 2. Ist p eine Primzahl, dann ist Q ⊂ Q[ n p] eine
Körpererweiterung vom Grad n, Minimalpolynom: m = xn − p.
Sei L = K(a1 , . . . , an ) mit a1 , . . . , an algebraisch über K. Dann gilt: L = K(a1 , . . . , an ) =
K[a1 , . . . , an ] und K ⊂ L ist eine endliche und damit algebraische Körpererweiterung.
Insbesondere: ist a ∈ L algebraisch, so auch jedes Element aus K(a). Die Eigenschaft
algebraische Körpererweiterung ist transitiv.
Symbolische Adjunktion von Nullstellen (auch Verfahren von Kronecker): Sei K
ein Körper und f ∈ K[x] ein nicht-konstantes Polynom. Dann existiert eine algebraische Körpererweiterung K ⊂ L, so dass f eine Nullstelle in L besitzt. Für f irreduzibel, setzt man: L = K[x]/<f > .
Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen∗ , falls jedes nicht-konstante Polynom
f ∈ K[x] eine Nullstelle in K besitzt. Äquivalent ist: jedes irreduzible Polyonom ist linear, d.h. hat Grad 1 und auch: K besitzt keine echte algebraische Körpererweiterung.
Der algebraische Abschluß∗ von K ist eine Körpererweiterung K ⊂ K̄ mit: K ⊂ K̄
ist eine algebraische Körperweiterung und K̄ ist algebraisch abgeschlossen.
Jeder Körper K besitzt einen bis auf Isomorphie eindeutigen algebraischen Abschluß
K ⊂ K̄. Beispiel: Sei K ⊂ C ein Teilkörper. Dann ist der algebraische Abschluß von
K die Menge der über K algebraischen Zahlen in C.
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Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Sei P0 ⊂ R2 eine gegebene Menge von Punkten. Bezeichne (A) das Zeichnen einer
Gerade durch zwei Punkte von P0 und bezeichne (B) das Zeichnen eines Kreises um
einen Punkt von P0 , mit einem Radius, der gleich dem Abstand zweier Punkte in P0
ist.
Punkte im Durchschnitt zweier verschiedener Geraden, zweier verschiedener Kreise
bzw. von Kreis und Gerade, die jeweils durch die Operationen (A) oder (B) gegeben
sind, nennt man in einem Schritt aus P0 konstruierbar. Ein Punkt r ∈ R2 heißt aus P0
konstruierbar, falls eine Folge r1 , . . . , rn = r von Punkten aus R2 existiert, so dass
für alle j = 1, . . . , n der Punkt rj in einem Schritt aus P0 ∪ {r1 , . . . , rj−1 } konstruierbar
ist.
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Sei K0 ⊂ R der von allen x− bzw. y–Koordinaten der Punkte in P0 erzeugte Teilkörper.
Ist r = (x, y) ∈ R2 aus P0 ⊂ R2 konstruierbar, dann ist der Grad der Körpererweiterungen K0 ⊂ K0 (x) bzw. K0 ⊂ K0 (y) eine Zweierpotenz. Anwendung: Die Verdopplung des Würfels (d.h. die Konstruktion eines Würfels von doppelten Volumen),
die Dreiteilung des Winkels π3 und die Quadratur des Kreises sind nicht konstruierbar.
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Galois-Theorie
Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung. Ein K-Automorphismus ist ein Automorphismus σ : L → L, mit σ(k) = k für alle k ∈ K. Man schreibt AutK (L) für die Menge aller
K-Automorphismen von L. Es ist die Galois-Gruppe der Körpererweiterung K ⊂ L.
Die Galois-Gruppe eines Polynoms f ∈ K[x] ist die definiert als die Galois-Gruppe der
Körpererweiterung K ⊂ Σ, wobei Σ der Zerfällungskörper von f ist.
Die Elemente der Galois-Gruppe eines Polynoms f vertauschen die Nullstellen von f
und lassen sich damit als Untergruppe einer Permutationsgruppe realisieren.
Sei K ein Körper und f ∈ K[x]. Das Polynom f zerfällt über K, wenn man es
schreiben kann als f = k(x − a1 ) · . . . · (x − an )) mit k, a1 , . . . , an ∈ K. Für K ⊂ C
bedeutet das, dass alle komplexen Nullstellen von f in K liegen. Ein Körper Σ ist
Zerfällungskörper von f falls: (1) K ⊂ Σ, (2) f zerfällt über Σ und (3) falls K ⊂
Σ′ ⊂ Σ und f zerfällt über Σ′ , dann folgt Σ = Σ′ .
Ein Zerfällungskörper existiert und ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Eine Körpererweiterung K ⊂ L heißt normal, wenn jedes irreduzible Polynom mit
einer Nullstelle in L über L zerfällt. Eine Körpererweiterung K ⊂ L ist genau dann
normal und endlich, wenn L Zerfällungskörper eines Polynoms über K ist.
Sei K ⊂ L eine endliche Körpererweiterung. Der normale Abschluß von K ⊂ L ist
die kleinste Körpererweiterung L ⊂ N , die normal über K ist.
Der normale Abschluß existiert und ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Sei K ein Körper. Ein irreduzibles Polynom f ∈ K[x] heißt separabel, wenn es keine
mehrfache Nullstellen in seinem Zerfällungskörper hat.
Sei f = a0 + . . . + an xn ∈ K[x], dann ist die formale Ableitung von f definiert als
Df = a1 + . . . + nan xn−1 . Ein Polynom hat genau dann keine mehrfachen Nullstellen,
wenn f und Df teilerfremd sind. Sei K ⊂ C ein Teilkörper, dann ist jedes irreduzible
Polynom über K separabel.
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Eine algebraische Körpererweiterung K ⊂ L heißt separabel, wenn das Minimalpolynom von jedem a ∈ L separabel ist. Für Teilkörper in C ist jede algebraische Körpererweiterung separabel.
Sei K ein Teilkörper der Körper L und M . Ein K-Monomorphismus von M nach
L ist ein Körper-Monomorphismus ϕ : M → L mit ϕ(k) = k für alle k ∈ K.
Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung mit Galois-Gruppe G = AutK L. Sei F die Menge
der Zwischenkörper K ⊂ M ⊂ L und sei G die Menge der Untergruppen von G. Die
Galois-Korrespondenz ist definiert durch M 7→ M ∗ := AutM L und H 7→ H + :=
{x ∈ L | h(x) = x ∀h ∈ H}. Man sagt: H + ist der Fixkörper von H.
Es gilt: (1) ∗ und + kehren Inklusionen um, (2) M ⊂ M ∗+ und (3) H ⊂ H +∗
Der Fundamentalsatz der Galois-Theorie besagt: Sei K ⊂ L eine endliche normale
Körpererweiterung in C mit Galois-Gruppe G. Dann gilt: (1) |G| = [L : K] (2) Die
Abbildungen ∗ und + sind zueinander invers und definieren eine Bijektion zwischen
F und G. (3) Sei M ein Zwischenkörper, dann gilt [L : M ] = |M ∗ | und [M : K] =
|G|/|M ∗ |. (4) Ein Zwischenkörper M ist eine normale Körpererweiterung von K genau
dann, wenn M ∗ ⊂ G ein Normalteiler ist. (5) Ist ein Zwischenkörper M eine normale
Körpererweiterung von K, dann ist die Galois-Gruppe von K ⊂ M isomorph zu G/M ∗ .
Eine Körpererweiterung K ⊂ L heißt Radikalerweiterung, falls L = K(α1 , . . . , αm ),
n
so dass für jedes j ∈ {1, . . . , m} ein nj existiert mit αj j ∈ K(α1 , . . . , αj−1 ).
Sei K ⊂ C ein Körper und f ∈ K[x] ein Polynom mit Zerfällungskörper Σ. Ein
Polynom f , bzw. die Gleichung f (x) = 0, ist durch Radikale lösbar, falls eine
Radikalerweiterung K ⊂ M existiert mit K ⊂ Σ ⊂ M .
Ist K ⊂ M eine Radikalerweiterung und K ⊂ L ⊂ M ⊂ C. Dann ist die Galois
Gruppe von K ⊂ L auflösbar. Es gilt auch die Umkehrung und insbesondere f ist
durch Radikale lösbar genau dann, wenn die Galoisgruppe von f auflösbar ist.
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