Mechanik I+II W. Cassing

Mechanik I+II
WS 2000/01 { SS 2001
W. Cassing
Written by K. Rothkamm, A. Sch
onfeld and Z. Xu
I
Inhaltsverzeichnis
0.0 Die Newton'schen Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kinematik
1.1 Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Geradlinige Bewegung . . . . . . . . . .
1.1.2 Krummlinige Bewegung . . . . . . . . .
1.1.3 Krummung von Bahnkurven . . . . . . .
1.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Reelle Vektorraume . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Euklidische Vektorraume . . . . . . . . .
1.2.4 Basis und Dimension von Vektorraumen
1.3 Orthogonale Transformation . . . . . . . . . . .
1.3.1 Vektoren in Mathematik und Physik . .
1.3.2 Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Spiegelung am Ursprung (Inversion) . . .
1.3.4 Vektoren und Skalare . . . . . . . . . . .
1.3.5 Nutzen der Vektorrechnung . . . . . . .
1.4 Kreisbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . .
1.4.2 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Winkelbeschleunigung . . . . . . . . . .
2 Relativbewegung
2.1 Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Idee und Praxis . . . . . . . . . .
2.1.2 Galilei'sches Relativitatsprinzip .
2.1.3 Galilei-Gruppe . . . . . . . . . .
2.2 Rotierende Bezugssysteme . . . . . . . .
2.2.1 Zielsetzung . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Gleichformig rotierende Systeme .
2.2.3 Erlauterungen und Beispiele . . .
2.2.4 Verallgemeinerung . . . . . . . .
2.3 Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Denition des Schwerpunktes . .
2.3.2 Schwerpunktssystem . . . . . . .
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2.3.3 Bestimmung des Schwerpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.4 Sto zweier Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.5 Reduzierte Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Dynamik
3.1 Folgerungen aus den Newton'schen Axiomen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Beispiele fur die Losung von Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Geladenes Teilchen im homogenen elektrischen Feld . . . . . . . . .
3.2.2 Geladenes Teilchen im konstanten, homogenen Magnetfeld . . . . .
3.2.3 Freier Fall mit Berucksichtigung der Erdrotation . . . . . . . . . .
3.3 Impuls und Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Impulssatz und Galilei-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Beispiel: Rakete im schwerefreien Raum . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Drehimpulserhaltung und Galilei-Invarianz . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.7 Auerer
und innerer Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.8 Austausch von Impuls und Drehimpuls beim Sto zweier (oder mehrerer) Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Kinetische Energie und Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Konservative Krafte, potentielle Energie, Energiesatz . . . . . . . .
3.4.3 Invarianzen von U ; Separation der Schwerpunktsenergie . . . . . . .
3.4.4 Zwangskrafte; Reibungskrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Anwendungen der Newton-Mechanik
4.1 Zentralkrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Reduktion der Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Klassikation der Bahnkurven . . . . . . . . . . . .
4.1.3 1=r2 {Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Planetenbewegung; Gravitation . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Kepler-Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.3 Aquivalenz-Prinzip
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Gravitationsfeld einer statischen Massenanordnung
4.3 Kleine Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Der lineare harmonische Oszillator . . . . . . . . .
4.3.2 Dampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Erzwungene Schwingungen; Resonanz . . . . . . . .
4.3.4 Gekoppelte harmonische Schwingungen . . . . . . .
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5 Relativistische Mechanik
5.1 Spezielle Relativitatstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Herleitung der Lorentz-Transformation . . . . . . .
5.1.3 Raum-Zeit Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Konsequenzen der Lorentz-Transformationen . . . . . . . .
5.2.1 Addition von Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . .
5.2.2 Lorentz-Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Kausalitat und Grenzgeschwindigkeit von Signalen
5.2.6 Beispiele und Erlauterungen . . . . . . . . . . . . .
5.3 Mathematische Aspekte der Lorentz -Transformationen . .
5.3.1 Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Lorentz-Skalare, -Vektoren, -Tensoren . . . . . . . .
5.3.3 Viererstromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Vierer-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Relativistische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Impuls und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Stoprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Lorentz-Transformation der Kraft . . . . . . . . . .
6 Formaler Aufbau der Mechanik
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6.1 Generalisierte Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Bewegungsgleichungen in generalisierten Koordinaten
6.1.3 Konservative Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Geschwindigkeitsabhangige Krafte . . . . . . . . . . .
6.2 Das Hamilton'sche Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Variationsprinzip und Eulersche Gleichungen . . . . .
6.2.2 Kanonische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Symmetrien und Erhaltungssatze . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Zyklische Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Translationsinvarianz und Impulssatz . . . . . . . . .
6.3.3 Rotationsinvarianz und Drehimpulssatz . . . . . . . .
6.3.4 Zeit{Translation und Energiesatz . . . . . . . . . . .
7 Anwendungen des Lagrange-Formalismus
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7.1 Bewegungen starrer Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2 Kinetische Energie und Tragheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3
7.4 Die Eulerschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.5 Die Eulerschen Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.6 Die Lagrangegleichungen des starren Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8 Dynamik im Phasenraum
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Zeitliche A nderung einer Observablen . . . . . . . . .
Eigenschaften der Poisson Klammern . . . . . . . . .
Kanonische Transformationen . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Punkttransformationen . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erweiterte kanonische Transformationen . . . . . . .
8.4.1 Erzeugende der kanonischen Transformationen
 berblick . .
8.4.2 Die erzeugenden Funktionen im U
8.4.3 Kanonische Invarianten . . . . . . . . . . . . .
8.4.4 Kriterien fur kanonische Transformationen . .
Theorem von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Erganzungen
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9.1 Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Lagrange-Funktion fur ein relativistisches Teilchen .
9.1.2 Hamilton-Funktion fur ein relativistisches Teilchen .
9.2 Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Lagrange-Funktion fur die schwingende Saite . . . .
9.2.2 Hamilton-Funktion fur die schwingende Saite . . . .
9.3 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Dierentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3 Gewohnliche Dierentialgleichungen . . . . . . . . .
4
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124
125
125
127
128
130
135
137
138
140
142
142
142
143
143
143
145
146
146
147
148
0.0 Die Newton'schen Axiome
Ausgangspunkt fur die klassische nichtrelativistische Mechanik1 sind die Newton'schen
Axiome fur die Bewegung eines Massenpunktes der Masse m unter dem Einu einer
~ . Unter einem Massenpunkt wollen wir im Folgenden einen starren Korper versteKraft K
hen, der keine inneren Freiheitsgrade besitzt und lediglich Translationen (Verschiebungen)
und Rotationen (Drehungen) durchfuhren kann.
Die Newton'schen Axiome lauten explizit:
1.Axiom
In einem Inertialsystem bewegt sich ein freies Teilchen geradlinig gleichformig.
2.Axiom
Der Bewegungszustand eines Teilchens der Masse m andert sich unter dem Einu
~ gema
einer Kraft K
d2
~
m 2 ~r = K
dt
3.Axiom
Fur die Wechselwirkung zwischen 2 Massenpunkten gilt das Prinzip von Actio =
Reactio, d.h.
~ 12 = K
~ 21 ;
K
~ 12 die von Teilchen 1 auf Teilchen 2 ausgeubte Kraft ist.
wenn K
4.Axiom
~ a und K
~ b , so ist als resultierende Kraft
Wirken auf einen Massenpunkt 2 Krafte K
~ =K
~a + K
~b
K
in die Bewegungsgleichung einzusetzen (Superpositionsprinzip der Krafte).
Die Begrie freies Teilchen, Inertialsystem sowie Kraft bedurfen der mathematischen
Prazision. Sinnvoll wird eine physikalische Begrisbildung immer dann sein, wenn die
getroenen Aussagen unabhangig vom Beobachter sind, d.h. Messungen in verschiedenen
Bezugssystemen miteinander verglichen und als identisch betatigt werden konnen. Als
mathematische Hilfsmittel { zur Vergleichbarkeit von Messungen { dienen in der Mechanik
die Vektorrechnung und die Theorie der Dierentialgleichungen. Zunachst ist es jedoch
zweckmaig, eine Reihe von einfachen (auch der naturlichen Anschauung entsprechenden)
Begrien einzufuhren.
1 Unter
v
c
nichtrelativistisch
bezeichnen wir alle physikalischen Systeme, die sich mit Geschwindigkeiten
zueinander bewegen, wobei
c
300000 Km/sec die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet.
5
Kapitel 1
Kinematik
1.1 Grundbegrie
1.1.1 Geradlinige Bewegung
Zur Beschreibung der geradlinigen Bewegung wahlen wir ein kartesisches Koordinatensystem so, da sich der Massenpunkt z.B. langs der x-Achse bewegt (siehe Abb. 1.1).
A
X(t)
A’
X
X(t’)
Abbildung 1.1:
Der Bewegungsablauf ist durch die Position x des Massenpunktes zum Zeitpunkt t (x =
x(t)) vollstandig bestimmt.
Def.: mittlere Geschwindigkeit
x(t0 ) x(t) x
=
:
t0 t
t
Dabei ist x die Verschiebung wahrend der Zeit t.
vm =
Falls x(t) nach t dierenzierbar ist:
Def.: Geschwindigkeit v
v = lim
t!0
x dx
= :
t dt
(1.1)
(1.2)
Bleibt die Geschwindigkeit v wahrend der gesammten Bewegung konstant, ist also v unabhangig von t, so nennen wir die Bewegung \ geradlinig gleichformig\.
1
Def.: mittlere Beschleunigung
v (t0 ) v (t) v
= :
(1.3)
t0 t
t
Voraussetzung: x(t) ist mindestens zweifach nach t dierenzierbar.
Def.: Beschleunigung
v dv d2 x
b = lim
= = 2:
(1.4)
t!0 t
dt dt
Ist b 6= 0 von der Zeit t unabhangig, so nennen wir die Bewegung \ gleichmaig beschleunigt\
bm =
1.1.2 Krummlinige Bewegung
Die momentane Position eines Teilchens auf seiner Bahnkurve (in 3 raumlichen Dimensionen) beschreiben wir durch seine Koordinaten x; y; z in einem kartesischen Koordinatensystem. Sie denieren einen Ortsvektor
0
~r = B
@
x
y
z
1
C
A
;
(1.5)
der vom Koordinatenursprung zur Position P des Teilchens zeigt. Der Bewegungsablauf
wird dann festgelegt durch die Funktionen
x = x(t); y = y (t); z = z (t)
(1.6)
~r = ~r(t)
(1.7)
oder in Vektor-Schreibweise
Def.: mittlere Geschwindigkeit:
x 1
~r(t) ~r B yt C
=
= @ t A
(1.8)
t
t
z
t
Sie wird dargestellt durch einen Vektor in Richtung des \ Verschiebungsvektors\ ~r.
Sind die Funktionen x(t); y (t); z (t) dierenzierbar nach t, so ergibt sich die Geschwindigkeit:
0
1
vx
~r d~r
C
=
(1.9)
~v = B
@ vy A = lim
t!0 t dt
v
0
~r(t0 )
~vm =
t0
z
Die Geschwindigkeit ~v wird dargestellt durch einen Vektor in Richtung der Tangente an
die Bahnkurve im Punkt P .
Die Lange des Ortsvektors ~r ist gegeben durch:
q
j~rj = r = x2 + y2 + z2 ;
2
(1.10)
der Betrag der Geschwindigkeit analog durch:
q
v = vx2 + vy2 + vz2 :
(1.11)
Sind die Funktionen vx (t), vy (t), vz (t) nach t dierenzierbar, gilt fur die
Beschleunigung ~b:
~b = lim ~v = d~v
(1.12)
t!0 t dt
Bemerkung: Hohere als 2. Ableitungen der Bahnkurve ~r(t) nach t werden nicht benotigt,
da in den Newton'schen Bewegungsgleichungen hochstens 2. Ableitungen auftreten.
1.1.3 Krummung von Bahnkurven
Die Geschwindigkeit ~v ist ein Vektor in Richtung der Tangente an die Bahnkurve. Wir
konnen daher schreiben
~v (t) = v (t)~eT (t);
~eT (t) =
~v (t)
j~v(t)j ;
(1.13)
mit ~eT als Einheitsvektor in Richtung der jeweiligen Tangente an die Bahnkurve. Es
folgt fur die Beschleunigung ~b (nach der Produktregel der Dierentiation) :
~b = d (v (t)~eT (t)) = dv ~eT + v d~eT
dt
dt
dt
| {z }
| {z }
1:
2:
(1.14)
1. Tangentialkomponente ( ~eT (t))
 nderung des Betrages von ~v ist dann:
Die A
~bT = dv ~eT
dt
(1.15)
2. Normalkomponente
Sie steht senkrecht zu ~eT und ist gegeben durch:
~bN = v d~eT
dt
(1.16)
Komponentendarstellung von ~eT :
0
~eT (t) = B
@
0
d~eT B
=@
dt
'_ sin '
'_ cos '
0
cos '(t)
sin '(t)
0
1
0
C
A
= '_ B
@
3
1
(1.17)
C
A
cos(' + 2 )
sin(' + 2 )
0
1
C
A
= '~
_ eN :
(1.18)
Mit der Abkurzung d'=dt = '_ erhalten wir
~b = ~bT + ~bN
(1.19)
mit
~bN = v '~
_ eN :
(1.20)
Die Groe '_ ist eng verknupft mit der Krummung der Bahn. Die Bogenlange s = s(t)
hangt mit dem Betrag der Geschwindigkeit zusammen uber
ds
= v:
(1.21)
dt
Benutzt man die Kettenregel
d' d' ds d'
=
= v;
(1.22)
dt ds dt ds
so lat sich die so eingefuhrte Groe d'=ds geometrisch-anschaulich interpretieren: Der
Schnittpunkt der Bahn-Normalen in benachbarten Punkten A; A0 heit im Grenzfall t !
0 Krummungsmittelpunkt. Fur den zugehorigen Krummungsradius % = %(t) gilt:
' d'
1
= lim
=
(1.23)
t!0 s
%
ds
v2
=) ~bN = ~eN :
(1.24)
Spezialfalle:
1. geradlinige Bewegung:
%!1
; also bN ! 0
(1.25)
2. Kreisbewegung:
% = RKreis = const
(1.26)
Nach diesen eher anschaulichen Denitionen gilt es nun zu klaren, unter welchen Bedingungen 2 Beobachter in verschiedenen Systemen und 0 gleiche Bahnkurven ~r(t), ~r0 (t)
vermessen bzw. als identisch bezeichnen.
1.2 Vektoren
1.2.1 Denition
Formal denieren wir einen Vektor ~a
("Komponenten\) und schreiben
2 R3
durch ein Tripel reeller Zahlen a1 ; a2 ; a3
0
1
a1
B
~a = @ a2 C
A
a3
Zwei Vektoren ~a, ~b nennen wir \ gleich\ genau dann, wenn gilt:
a1 = b1
a2 = b2
4
a3 = b3
(1.27)
(1.28)
1.2.2 Reelle Vektorraume
In reellen Vektorraumen ist eine Addition (+) von Vektoren sowie eine Multiplikation von
Vektoren mit reellen Zahlen erklart.
Die Addition von 2 Vektoren ~a, ~b:
~a + ~b = ~c
(1.29)
soll heien
a1 + b1 = c1
a2 + b2 = c2
a3 + b3 = c3
(1.30)
Die so eingefuhrte Addition ordnet je zwei Vektoren genau einen Vektor zu und hat
folgende Eigenschaften:
1. Kommutativitat
2. Assoziativitat
~a + ~b = ~b + ~a
(1.31)
(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)
(1.32)
3. Neutrales Element
Es gibt einen Vektor ~0 mit der Eigenschaft
~a + ~0 = ~a
(1.33)
bei beliebigem Vektor ~a, namlich den Vektor mit den Komponenten 0, 0, 0.
4. Inverses Element
Zu jedem Vektor ~a mit den Komponenten a1 , a2 , a3 gibt es genau einen Vektor ( ~a)
derart, da
~a + ( ~a) = ~0;
(1.34)
namlich den Vektor mit den Komponenten a1 , a2 , a3 .
Elemente (hier: Vektoren), zwischen denen eine Verknupfung (hier: Addition) erklart ist,
welche die Eigenschaften 1. bis 4. besitzt, bilden eine "kommutative Gruppe\ .
Wir denieren die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen durch:
0
~a = B
@
a1
a2
a3
1
C
A
:
(1.35)
Sie hat folgende Eigenschaften:
1. Assoziativitat
( )~a = (~a)
5
(1.36)
2. Distributivitat
( + )~a = ~a + ~a
(~a + ~b) = ~a + ~b
(1.37)
mit beliebigen reellen Zahlen , .
3. neutrales Element:
1~a = ~a
(1.38)
Eine kommutative Gruppe, fur deren Elemente eine Multiplikation mit reellen Zahlen
erklart ist, welche die Eigenschaften 1. bis 3. besitzt, deniert einen "reellen Vektorraum\.
Die Ortsvektoren ~r und Verschiebungsvektoren ~r bilden einen solchen reellen Vektorraum (in 3 Dimensionen).
1.2.3 Euklidische Vektorraume
In Euklidischen Vektorraumen ist die Lange von Vektoren deniert sowie ein Winkel
zwischen 2 Vektoren.
Im 3-dimensionalen Ortsraum ist die Lange (oder "Norm\) eines Ortsvektors gegeben
durch
q
r = j~rj = x2 + y 2 + z 2 0;
(1.39)
der "Winkel\ ' zwischen je 2 Ortsvektoren ist bestimmt durch
j~r1 ~r2j2 = r12 + r22 2r1r2 cos ':
(1.40)
Diese Eigenschaften kennzeichnen einen "Euklidischen Raum\.
Mathematisch gelangt man vom reellen Vektorraum zum Euklidischen Vektorraum in
folgender Weise: Man deniert zwischen je zwei Vektoren, ~a und ~b, ein "Skalarprodukt\:
~a ~b mit folgenden Eigenschaften:
1. ~a ~b ist eine reelle Zahl
2. ~a ~b = ~b ~a (kommutativ)
3. (~a) ~b = (~a ~b) (assoziativ)
4. ~a (~b + ~c) = ~a ~b + ~a ~c (distributiv)
5. ~a ~a = j~aj2
(
= 0 falls ~a = ~0
> 0 sonst
Wir konnen dann durch
~a ~b
j~ajj~bj
einen Winkel ' einfuhren, der sich als Zwischenwinkel von ~a und ~b erweist.
cos ' =
6
(1.41)
Mit Hilfe des Skalarprodukts konnen wir die Orthogonalitat von Vektoren denieren:
2 Vektoren ~a, ~b heien zueinander orthogonal, wenn gilt:
~a ~b = 0:
(1.42)
Anschaulich bedeutet dieses, da die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
1.2.4 Basis und Dimension von Vektorraumen
"Lineare Unabhangigkeit\: Vektoren ~a1 ; ~a2 ; : : : ; ~ai heien linear unabhangig, wenn
aus
1~a1 + 2~a2 + : : : + i~ai = ~0
(1.43)
fur alle reellen KoeÆzienten stets folgt
1 = 2 = = i = 0;
(1.44)
andernfalls heien die Vektoren linear abhangig. Die Vektoren
0
~e1 = B
@
1
0
0
1
0
C
A
~e2 = B
@
0
1
0
1
0
C
A
~e3 = B
@
0
0
1
1
C
A
(1.45)
sind linear unabhangig, denn aus
0
1 B
@
1
0
0
1
0
C
A
+ 2 B
@
0
1
0
1
0
C
A
+ 3 B
@
0
0
1
1
0
C
A
=B
@
0
0
0
1
C
A
(1.46)
folgt notwendig 1 = 2 = 3 = 0. Mit Hilfe der Vektoren (1.45) kann jeder beliebige
Vektor ~a dargestellt werden, namlich:
0
B
@
a1
a2
a3
1
0
C
A
= a1 B
@
1
0
0
1
0
C
A
+ a2 B
@
0
1
0
1
0
C
A
+ a3 B
@
0
0
1
1
C
A
;
(1.47)
kurz:
~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 :
(1.48)
Die Basis eines Vektorraumes ist eine Menge linear unabhangiger Vektoren, die den
ganzen Vektorraum aufspannen; das bedeutet, da jeder Vektor des betrachteten Vektorraumes eindeutig als Linearkombination der "Basisvektoren\ geschrieben werden kann.
Die Anzahl der Basisvektoren fur einen gegebenen Vektorraum ist fest und deniert die
Dimension des Vektorraumes\. Die Vektoren () bilden eine Basis des Vektorraumes
"der
Dimension 3.
Von besonderer praktischer Bedeutung (auch in der Physik) sind Vektoren ~ei , welche eine
"orthonormale Basis\ bilden. Sie besitzen die Eigenschaft
~ei ~ek = Æik
(1.49)
7
mit der Abkurzung:
(
1 fur i = k
(1.50)
0 fur i 6= k:
3 orthonormale Vektoren bilden somit eine Basis eines 3-dimensionalen Vektorraumes.
Æik =
Bemerkung: Bei Benutzung einer orthonormalen Basis erhalt das Skalarprodukt eine
besonders einfache explizite Form. Seien ai , bi (i = 1; 2; 3) die Komponenten (auch "Koordinaten\ genannt) von 2 Vektoren ~a, ~b bzgl. einer orthonormalen Basis ~ek (k = 1; 2; 3)
~a =
so wird:
3
X
ak~ek
(1.51)
3
~b = X bi~ei
i=1
(1.52)
k=1
X
X
XX
XX
X
~a ~b = ( ak~ek ) ( bi~ei ) =
ak bi (~ek ~ei ) =
ak bi Æki = ai bi :
k
i
i
k
k
i
i
(1.53)
Weiter ist das Skalarprodukt von ~a und ~ek gerade durch die Komponenten ak von ~a bzgl.
~ek gegeben:
X
X
~a ~ek = ai (~ei ~ek ) = ai Æik = ak :
(1.54)
i
i
Zur Veranschaulichung dieser Ergebnisse betrachten wir einen Ortsvektor ~r, gegeben durch
seine Koordinaten x, y , z in einem kartesischen Koordinatensystem:
0
~r = B
@
x
y
z
1
C
A
= x~ex + y~ey + z~ez :
(1.55)
Dabei sind ~ex , ~ey , ~ez Einheitsvektoren in Richtung der zueinander orthogonalen Achsen
(kartesische Basis),
0
~ex = B
@
1
0
0
1
0
C
A
~ey = B
@
0
1
0
1
0
C
A
~ez = B
@
0
0
1
1
C
A
(1.56)
Dann ergibt sich die Lange von ~r aus
~r ~r = j~rj2 = x2 + y 2 + z 2 ;
q
j~rj = r = x2 + y2 + z2 :
Das Skalarprodukt
(1.57)
(1.58)
~r ~ex = x
(1.59)
ergibt die Lange des Vektors, der aus ~r durch "orthogonale Projektion\ auf die x-Achse
hervorgeht.
8
1.3 Orthogonale Transformation
1.3.1 Vektoren in Mathematik und Physik
Wahrend in der Mathematik Vektoren schlicht Elemente eines (beliebigen) Vektorraumes
sind, versteht man in der Physik unter Vektoren stets Elemente Euklidischer Vektorraume!
Unterziehen wir zwei Ortsvektoren einer Drehung im Raum oder einer Spiegelung am
Ursprung, so andern sich Lange und Zwischenwinkel nicht!
1.3.2 Drehungen
Wir untersuchen die A nderung der Komponenten eines Ortsvektors ~r bei Drehung des
Koordinatensystems um die z-Achse um den Winkel '. Dann gilt (U B):
x0 = x cos ' + y sin '
y 0 = x sin ' + y cos 'l
z0 = z
(1.60)
x = x1 ; y = x2 ; z = x3 ; x0 = x1 0 ; y 0 = x2 0 ; z 0 = x3 0
(1.61)
Mit der Notation
erhalt man die kompakte Form
xi 0 =
X
j
dij xj ; i; j = 1; 2; 3 ;
(1.62)
wobei die \ Matrix\ (dij ) die Gestalt hat:
0
(dij ) = B
@
cos ' sin ' 0
sin ' cos ' 0
0
0 1
1
(1.63)
C
A
Bemerkung:
Fur eine beliebige Drehung ist der Zusammenhang zwischen den Koordinaten xi
und xj 0 wieder linear, jedoch hat die Matrix (dij ) eine kompliziertere Gestalt.
Allgemeine Eigenschaften der Matrix fur eine Drehung:
Da sich bei Drehungen die Lange von Vektoren und der Winkel zwischen je zwei Vektoren
nicht andern darf, mu das Skalarprodukt unter Drehungen invariant sein. Hat man 2
Vektoren r~1 ; r~2 mit den Komponenten
x1i ; x2i im System XY Z
x01j ; x02j im System X 0 Y 0 Z 0
so mu also gelten:
3
X
x1i 0 x2i 0 =
r~10 r~20 =
i=1
X
X
i
m
!
dim x1m
X
n
9
!
din x2n =
(1.64)
3
X
n=1
x1n x2n = r~1 r~2 : (1.65)
Es folgt
X
i
dim din =
X
dTmi din = Æmn
i
(1.66)
als Bedingung fur die Invarianz des Skalarproduktes bei der Transformation. Lineare
Transformation mit obiger Bedingung nennt man "orthogonale Transformation\.
1.3.3 Spiegelung am Ursprung (Inversion)
Wir betrachten die diskrete Transformation
xi
! xi 0
Die zugehorige Transformationsmatrix (x0i =
xi :
=
P
k sik xk )
(1.67)
hat die Form
0
1
1 0 0
B
1 0 C
(sik ) = @ 0
(1.68)
A
0 0
1
Der Unterschied der hier vorgestellten orthogonalen Transformationen besteht darin, da
bei Drehungen ein Rechts-System wieder in ein Rechts-System ubergeht, dagegen Spiegelungen ein Rechts-System in ein Links-System uberfuhren. Mathematisch auert sich
dieser Unterschied darin, da fur Drehungen stets gilt:
wahrend im Fall der Spiegelung
wird.
det (dik ) = 1;
(1.69)
det (sik ) = 1
(1.70)

Bemerkung (UB):
Die Spiegelung an einer Ebene, z.B.
x01 = x1 ; x02 = x2 ; x03 = x3 ;
(1.71)
kann durch Kombination der Spiegelung am Ursprung und einer Drehung um die z-Achse
ersetzt werden.
Erganzung:
Unter der Determinante einer quadratischen Matrix aik versteht man fur 2 x 2 Matrizen:
det(aik ) = aa11 aa12
21 22
fur 3 x 3 Matrizen:
= a11 a22
a21 a12 ;
(1.72)
a11 a12 a13 det(aik ) = a21 a22 a23 =
a31 a32 a33 a
a
a
a22
a21
a21
23
23
22
a11 a a a12 a a + a13 a a :
32 33
31 33
31 32
Fur die praktische Berechnung sind folgende Regeln nutzlich:
10
(1.73)
Regel 1:
det(aik ) = det(aki )
(1.74)
Regel 2:
Vertauscht man in der Matrix 2 Zeilen (Spalten), so andert die Determinante ihr
Vorzeichen.
Folgerung: Sind in einer Matrix 2 Zeilen (Spalten) gleich, so ist die Determinante
null.
Regel 3:
Addiert man zu einer Zeile (Spalte) ein Vielfaches einer anderen Zeile (Spalte), so
andert sich die Determinante nicht.
Hinweis: Die Determinante einer Matrix A (oder linearen Abbildung) ist von Bedeutung
fur die Existenz der inversen Matrix A 1 (oder Abbildung). Letztere existiert nur, wenn
detA 6= 0 ist, d.h. det(A 1 A) = detA detA 1 = 1.
1.3.4 Vektoren und Skalare
Wir konnen nun (in der nichtrelativistischen Physik) Vektoren denieren als (geordnete)
Tripel reeller Zahlen, fur die
1. eine Addition und Multiplikation gema 1.1.2 deniert ist und die sich
2. bei Drehungen verhalten wie Ortsvektoren.
Bemerkung: Geschwindigkeit ~v und Beschleunigung ~b sind Vektoren.
Die Vektoren (Ortsvektoren, Geschwindigkeit, Beschleunigung) kehren bei Inversion das
Vorzeichen um ("polare\ Vektoren).
Weitere Beispiele fur polare Vektoren: Impuls, Kraft (siehe folgende Kapitel).
Beispiele fur axiale Vektoren: Drehimpuls, Drehmoment (siehe folgende Kapitel).
1.3.5 Nutzen der Vektorrechnung
Vereinfachung der Schreibweise:
Statt die Komponenten x(t) ; y (t) ; z (t) anzugeben, schreibt man kurzer: ~r(t).
Unabhangigkeit vom Koordinatensystem
Aussagen in Form von Vektor-Gleichungen sind unabhangig von der Wahl des Koordinatensystems.
11
1.4 Kreisbewegungen
1.4.1 Winkelgeschwindigkeit
Wir betrachten die Bewegung eines Massenpunktes auf einem Kreis mit Radius r . Eine
zweckmaige Parameterdarstellung der Bahnkurve ist dann gegeben durch:
0
~r(t) = r B
@
cos '(t)
sin '(t)
0
1
(1.75)
C
A
mit r = const und dem Kreismittelpunkt als Ursprung.
Die Geschwindigkeit
0
~v =
d~r
= r'_ B
@
dt
sin '(t)
cos '(t)
0
1
C
A
= r'~
_ eT
hat den Betrag
v = jv j = r'_
und ist stets senkrecht zu ~r gerichtet, da
~r ~v = r2 '_ ( cos ' sin ' + sin ' cos ') = 0:
Der Betrag der "Winkelgeschwindigkeit\ ! wird eingefuhrt uber
v
! = '_ = :
r
(1.76)
(1.77)
(1.78)
(1.79)
Abbildung 1.2:
Falls der Ortsvektor ~r eines beliebigen Massenpunktes des rotierenden Korpers nicht in
der Bahnebene des Massenpunktes (vgl. Abb. 1.2) liegt, ist dann (1.79) zu ersetzen durch:
v = r0 '_ = r'_ sin = r! sin 12
(1.80)
Eine beliebige starre Rotation konnen wir kennzeichnen durch den Vektor "Winkelgeschwindigkeit\ ~!, dessen Betrag durch obige Gleichung und dessen Richtung parallel
zur Drehachse im Sinne einer Rechtsschraube (Abb. 1.3) festgelegt ist.
Abbildung 1.3:
Der allgemeine Zusammenhang von ~r, ~v und ~! wird beschrieben durch das
1.4.2 Vektorprodukt
Das Vektorprodukt von 2 Vektoren ~a, ~b ist deniert als ein Vektor ~c, geschrieben
~c = ~a ~b;
(1.81)
dessen Lange durch
c = j~cj = ab sin (1.82)
mit als Winkel zwischen ~a und ~b deniert ist und dessen Richtung senkrecht zu ~a und
~b ist, d.h.
~a ~c = 0 ~b ~c = 0
(1.83)
und zwar so, da ~a, ~b, ~c ein Rechts-System bilden. Die Komponenten des Vektors ~c sind
dann als Funktion der Komponenten von ~a und ~b gegeben durch:
0
~c = B
@
ay bz
az bx
ax by
13
az by
ax bz
ay bx
1
C
A
:
(1.84)
Eigenschaften des Vektorprodukts:
1. Antikummutativitat:
~a ~b = ~b ~a
(1.85)
~a ~b = ~0
(1.86)
(~a) ~b = (~a ~b)
(1.87)
~a (~b1 + ~b2 ) = ~a ~b1 + ~a ~b2
(1.88)
2. Wenn ~a parallel ~b, so ist
3. Assoziativ-Gesetz: ( 2 R)
4. Distributiv-Gesetz:
Geometrische Interpretation von j~a ~bj: Fur die Flache des von ~a und ~b gebildeten
Parallelogramms (Abb. 1.4) gilt:
F = j~a ~bj = ab sin fur 0 (1.89)
Abbildung 1.4:
Rechenregel:
 B):
Fur beliebige Vektoren ~a, ~b, ~c gilt (U
~a (~b ~c) = (~a ~c)~b (~a ~b)~c
(1.90)
Das Spatprodukt (~a ~b) ~c weiterhin gibt das Volumen des von ~a, ~b, ~c aufgespannten
Parallelepipeds an.
14
1.4.3 Winkelbeschleunigung
Die Beschleunigung berechnet sich aus der Zeitableitung der Geschwindigkeit ~v:
~b = d~v = d (r!~eT ) = r! 2~eN + !r~
_ eT = ~bN + ~bT
dt dt
mit d=dt ~eT = !~eN , wobei ~eN zum Kreismittelpunkt weist. Fur
folgt dann:
Damit ist
(1.91)
~v = ~! ~r
(1.92)
~b = d~! ~r + ~! ~v:
dt
(1.93)
~bT = d~! ~r
dt
die Tangentialkomponente von ~b, zu der die Normalkomponente von ~b,
~bN = !~ ~v = !~ (~! ~r);
(1.94)
(1.95)
senkrecht steht .
Spezialfall: gleichformige Kreisbewegung (~! = const) : Mit !_ = 0 und ~r = r~eN folgt
~b = ~bN = ~! (~! ~r) = (~! ~r)~! (~! ~! )~r = r! 2~eN : Zentripetal-Beschleunigung (1.96)
Beispiel: Bewegung eines auf der Erdoberache xierten Massenpunktes (Abb. 1.5).
Abbildung 1.5:
15
Fur die Geschwindigkeit des Massenpunktes gilt:
v = !R sin(90Æ
) = !R cos() ;
(1.97)
wobei R der Erdradius, ! der Betrag der Winkelgeschwindigkeit und die geographische
Breite ist. Die Beschleunigung ~b = ~bN mit Betrag
j~bN j = !v = !2R cos (1.98)
weist zum Mittelpunkt der Kreisbahn des betrachteten Massenpunktes; sie steht senkrecht
zur Nord-Sud-Achse der Erde und zur Geschwindigkeit ~v, welche tangential zur Kreisbahn
gerichtet ist.
Wir denieren zum Abschlu noch die Winkelbeschleunigung:
d~!
~ = ;
dt
die die zeitliche A nderung der Winkelgeschwindigkeit bestimmt.
16
(1.99)
Kapitel 2
Relativbewegung
2.1 Inertialsysteme
2.1.1 Idee und Praxis
Nach dem 1. Newton'schen Axiom (Kap. 0.0) ist ein "Inertialsystem\ dadurch deniert,
da sich in ihm ein "freies\ Teilchen geradlinig gleichformig bewegt. Der praktische
Nutzen der Newton'schen Axiome hangt also an der Frage, ob es (zumindest approximativ) Inertialsysteme gibt.
Wir wollen im Folgenden von der idealisierten Annahme ausgehen, wir hatten ein strenges
Inertialsystem gefunden. In diesem System gilt dann das 2. Newton'sche Axiom in der
Form
~
m~b = K
(2.1)
wobei die Masse m als positive Konstante angesehen wird. Nehmen wir noch das Prinzip
von Actio = Reactio hinzu (3. Axiom),
~ 12 =
K
~ 21 ;
K
(2.2)
~ als Denition von Kraft\ ansehen und aus der Kombination der
so konnen wir m~b = K
beiden Gleichungen eine Mevorschrift fur" die Masse gewinnen.
2.1.2 Galilei'sches Relativitatsprinzip
Wir betrachten auer dem Inertialsystem ein weiteres Bezugssystem 0 , welches sich
gegenuber mit beliebiger konstanter Geschwindigkeit ~v0 bewegt. Ein Massenpunkt P,
dessen Position im System durch den Ortsvektor ~r gegeben ist, ist in 0 gekennzeichnet
durch den Ortsvektor
~r 0 = ~r ~v0 t:
(2.3)
Hieraus folgt
~v 0 = ~v ~v0
(2.4)
und
~b 0 = ~b:
(2.5)
17
Bewegt sich P frei im System , so folgt, da P sich auch bezuglich 0 frei bewegt. Ein
Beobachter in 0 kommt fur die Kraft zum gleichen Resultat wie in ,
~ 0 = m0~b 0 = m~b = K:
~
K
(2.6)
Diese Identitat ndet ihren Ausdruck im "Galilei'sches Relativitatsprinzip\
Die Grundgesetze der Mechanik sind gleich in allen Bezugssystemen, die sich zueinander
"mit
konstanter Geschwindigkeit bewegen.\
Mit der Annahme, da Zeitmessungen in allen Inertialsystemen gleich sind,
t = t0
denieren wir eine "Galilei-Transformation\:
~r 0 = ~r ~v0 t ; t 0 = t:
(2.7)
(2.8)
Es gilt dann das Galilei'sche Additionsgesetz fur Geschwindigkeiten:
~v 0 = ~v ~v0 :
(2.9)
Grenzen des Galilei'schen Relativitatsprinzips:
1. Die Grundgleichungen der Elektrodynamik sind nicht invariant unter der Transformation ~v 0 = ~v ~v0 :
2. Fur hohe Geschwindigkeiten (v c; c: Lichtgeschwindigkeit) ist die Newton'sche
Bewegungsgleichung nicht mehr anwendbar.
2.1.3 Galilei-Gruppe
Die Galilei-Transformationen bilden eine kommutative Gruppe G(~v0 ), wenn als Verknupfung das Nacheinanderausfuhren von Transformationen verstanden wird.
1. Kommutativitat: Die Verknupfung zweier Galilei-Transformationen ergibt wieder
eine Galilei-Transformation und ist kommutativ.
2. Assoziativitat:
Die Assoziativitat der Galilei-Transformationen folgt aus der Assoziativitat der Addition von Geschwindigkeiten.
3. Neutrales Element:
Es existiert ein neutrales Element, namlich die durch
~v0 = ~0
(2.10)
beschriebene identische Transformation.
4. Inverses Element:
Zu jeder Galilei-Transformation G, charakterisiert durch die Relativgeschwindigkeit ~v0 der betrachteten Systeme, gibt es eine inverse Galilei-Transformation G 1 ,
namlich die zur Relativgeschwindigkeit ~v0 gehorige, d.h. G 1 (~v0 ) = G( ~v0 ).
18
2.2 Rotierende Bezugssysteme
2.2.1 Zielsetzung
In Inertialsystemen gilt die Bewegungsgleichung in der einfachen Form:
~
m~b = K:
(2.11)
Hin und wieder kann es jedoch zweckmaig sein, in ein Nicht-Inertialsystem uberzugehen, in dem die Bahnkurve eine einfachere Form hat. Dazu mu man wissen, wie
sich Geschwindigkeit und Beschleunigung beim U bergang vom Inertialsystem zum NichtInertialsystem transformieren.
2.2.2 Gleichformig rotierende Systeme
Wir betrachten die Bewegung eines Massenpunktes in einem Inertialsystem und in
einem gegenuber gleichformig rotierenden System 0 . Beide Systeme sollen zunachst
den gleichen Ursprung haben. Der Ortsvektor ~r ~r 0 des Massenpunktes ist
~r = x~ex + y~ey + z~ez = x0~ex + y 0~ey + z 0~ez = ~r 0 :
0
0
(2.12)
0
Dabei sind ~ei bzw. ~ei orthogonale Vektoren in Richtung der kartesischen Achsen von bzw. 0 .
Die Geschwindigkeit ~v fur den Beobachter in ist bei festem Koordinatensystem ~ei :
d~r
~v = = vx~ex + vy~ey + vz~ez
(2.13)
dt
und fur den Beobachter in 0 bei festem Koordinatensystem ~e0i :
0
d~r 0
= vx0 ~ex + vy0 ~ey + vz0 ~ez :
(2.14)
dt
Fur den Beobachter in rotieren die Achsen von 0 ; die Vektoren ~ei andern sich also
zeitlich, so da er (im System ) ~v auch berechnen kann als
d~e
d~e
d~e
(2.15)
~v = vx0 ~ex + x0 x + vy0 ~ey + y 0 y + vz0 ~ez + z 0 z :
dt
dt
dt
Dann ist
~v = ~v 0 + !~ ~r 0
(2.16)
und ~! die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich 0 gegenuber dreht.
~v 0 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Die Beschleunigung fur einen Beobachter in ergibt sich dann als:
~b = d~v = bx~ex + by~ey + bz~ez
dt
und fur einen Beobachter in 0 als:
0
~b 0 = d~v = b0x ~ex + b0y ~ey + b0z ~ez :
dt
0
0
19
0
0
0
0
(2.17)
(2.18)
Fur den Beobachter in sind die Vektoren ~ei zeitabhangig; es folgt
~b = d (vx0 ~ex + x0 d~ex + vy0 ~ey + y 0 d~ey + vz0 ~ez + z 0 d~ez ) =
dt
dt
dt
dt
~b0 + vx0 d~ex + vy0 d~ey + vz0 d~ez + (~! ~v 0 ) + ~! (x0 d~ex + y 0 d~ey + z 0 d~ez ) =
dt
dt
dt
dt
dt
dt
~b 0 + 2(~! ~v 0 ) + ~! (~! ~r 0 ):
(2.19)
Der Term 2(~! ~v 0 ) ist die Coriolis-Beschleunigung und der Term ~! (~! ~r 0 ) die
Zentrifugalbeschleunigung.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Fur die Bewegungsgleichung im rotierenden System 0 ergibt sich aus
~ = m~b in :
K
~ 2m(~! ~v 0 ) m~! (~! ~r 0 ):
m~b 0 = K
(2.20)
~ sogenannte Tragheitskrafte: die CoriolisIn 0 wirken also auer der Newton'schen Kraft K
Kraft
und die "Zentrifugalkraft\
2m(~! ~v 0 )
(2.21)
m~! (~! ~r 0 ):
(2.22)
Im Unterschied zu den durch das 2. Newton'sche Axiom denierten Newton'schen Kraften
ruhren die Tragheitskrafte nicht von der Wechselwirkung zwischen Massenpunkten her.
2.2.3 Erlauterungen und Beispiele
Ein Massenpunkt werde durch einen gespannten Faden auf einer Kreisbahn gehalten, auf
der er sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ~! bewege.
1. Aus der Sicht eines Beobachters im Inertialsystem wirkt auf das Teilchen uber
den gespannten Faden eine Kraft
~ = m~b = m~! (~! ~r);
K
(2.23)
welche das Teilchen in Richtung auf den Kreismittelpunkt beschleunigt.
2. Vom (mit-)rotierenden System 0 aus gesehen bewegt sich das Teilchen unbeschleunigt; ~b 0 = 0. Dies kann man so interpretieren, da sich in 0 die Zentrifugalkraft
~ , herruhrend vom gespannten Faden, gerade aufheben.
und die Newton'sche Kraft K
2.2.4 Verallgemeinerung
Fur den Fall, da der Ursprung von 0 nicht mit dem von ubereinstimmt, d.h. ~r = R~ +~r 0 ,
erhalten wir
~v = R~_ + ~v 0 + (~! ~r 0 )
(2.24)
und
~b = R~ + ~b0 + 2(~! ~v 0 ) + ~! (~! ~r 0 );
(2.25)
falls 0 relativ zu (uber R~ ) beschleunigt ist oder sich mit Relativgeschwindigkeit R~_ (t)
bewegt.
20
2.3 Schwerpunktsystem
2.3.1 Denition des Schwerpunktes
N
N
X
1 X
mi~ri ; M = mi (Gesamtmasse) ;
(2.26)
M i=1
i=1
wobei mi die Teilchenmassen und ~ri ihre Positionen in einem raumfesten Koordinatensystem sind. Es folgt fur die Geschwindigkeit des Schwerpunktes:
1 X
m ~v
(2.27)
~vs =
M i i i
~rs =
und fur die Beschleunigung:
~bs = 1 X mi~bi :
M i
Ist das System ein Inertialsystem, so gilt nach dem 2. Newton'schen Axiom:
~ i ; i = 1; 2; : : : ; N
mi~bi = K
(2.28)
(2.29)
Die Bewegungsgleichung fur den Schwerpunkt lautet dann nach dem 4. Newton'schen
Axiom:
~ s mit K
~s = XK
~ i:
M~bs = K
(2.30)
i
Wirken keine aueren Krafte, so wird
~s = 0
K
(2.31)
(nach dem 3. Newton'schen Axiom), da sich die inneren Krafte zwischen den Teilchen
paarweise aufheben, d.h.
M~bs = 0 ;
(2.32)
der Schwerpunkt bewegt sich geradlinig gleichformig.
2.3.2 Schwerpunktssystem
Fur viele Probleme ist es zweckmaig, vom Laborsystem zum \ Schwerpunktsystem\
uberzugehen.
Wir betrachten ein "abgeschlossenes\ System, auf das keine aueren Krafte wirken. Das
Schwerpunktsystem 0 fuhren wir nun durch die Bedingung ein, da in ihm der Schwerpunkt ruht:
~vs 0 = 0:
(2.33)
Wahlt man speziell den Schwerpunkt als Ursprung des Systems 0 , so ist
~rs 0 = 0:
(2.34)
Die Positionen der Teilchen sind dann
~ri 0 = ~ri ~rs ; es folgt
21
X
i
mi~ri 0 = 0:
(2.35)
Die Geschwindigkeiten in 0 sind dann:
und die Beschleunigungen:
Es folgt:
~vi 0 = ~vi ~vs ;
(2.36)
~bi 0 = ~bi ~bs :
(2.37)
mi~vi 0 = 0:
(2.38)
X
i
2.3.3 Bestimmung des Schwerpunktes
Liegt eine kontinuierliche Massenverteilung vor, so ist der Schwerpunktsvektor gegeben
durch:
1 ZZ Z
~r (x; y; z ) dx dy dz;
(2.39)
~rs =
M V
mit der Gesamtmasse:
M=
ZZ Z
V
(x; y; z ) dx dy dz;
(2.40)
wobei (x; y; z ) die Dichte der Massenverteilung bezeichnet.
2.3.4 Sto zweier Teilchen
Im System (Inertialsystem) gilt:
~ 12 ; m2~b2 = K
~ 21 = K
~ 12 ;
m1~b1 = K
(2.41)
falls keine aueren Krafte wirken. Im Schwerpunktsystem folgt dann (siehe Abb. 2.1):
m1~v1 0 = m2~v2 0
(2.42)
sowohl vor als auch nach dem Sto .
2.3.5 Reduzierte Masse
Der Vorteil des Schwerpunktsystems besteht darin, da sich die Zahl der Freiheitsgrade reduziert. Nach Abtrennen der Schwerpunktsbewegung verbleiben nur noch 3 Freiheitsgrade
fur das 2-Teilchenproblem.
Nach Einfuhrung des Relativ-Vektors
~r = ~r1 s ~r2 s = ~r1 ~r2
(2.43)
ergibt sich die Bewegungsgleichung fur die Relativbewegung zu
~
K
~r = (~r1 ~r2 ) = ( 12
m1
~ 21
K
1
1 ~
m + m2 ~
~ 12
) = ( + )K
= 1
K =K
12
m2
m1 m2
m1 m2 12
22
(2.44)
Abbildung 2.1:
fur die reduzierte Masse
m1 m2
:
(2.45)
m1 + m2
Da das Problem der Schwerpunktsbewegung schon gelost ist (bei Abwesenheit auerer
Krafte), haben wir also das Zweikorperproblem (6 Freiheitsgrade) auf ein Einkorperproblem (3 Freiheitsgrade) reduziert.
=
Zwei einfache Grenzfalle hierfur sind:
1. m1 = m2 = m. Dann wird
1
= m ;
2
zum Beispiel in der Proton-Proton-Streuung.
2. m1 m2 . Hieraus folgt:
=
m2
m2
1+ m
1
m2
(2.46)
(2.47)
Dann ist die Masse des leichteren Teilchens magebend, z.B. bei der Bewegung eines
Elektrons um den Atomkern oder der Erde um die Sonne.
23
Kapitel 3
Dynamik
3.1 Folgerungen aus den Newton'schen Axiomen
Die explizite Formulierung der Newton'schen Axiome ist in Kap. 0.0 gegeben.
3.1.1 Masse
Die Kombination des 2. und 3. Axioms (in Kap. 0.0) ergibt fur den Sto zweier Teilchen
mit den Massen m1 und m2 :
d
~ 12
(m ~v ) = K
(3.1)
dt 1 1
d
~ 21 = K
~ 12 :
(m ~v ) = K
(3.2)
dt 2 2
Es folgt:
d
(p~ + p~ ) = 0
(3.3)
dt 1 2
mit
~pi = mi~vi
(3.4)
als Impuls der Teilchen (i = 1,2). Die Summe der Impulse beim Sto ist zeitlich konstant:
p~1 0
p~1 = p~1 = p~2 = (p~2 0
oder
p~2 )
(3.5)
m2 j~v1 j
=
;
(3.6)
m1 j~v2 j
wenn die Masse eine vom Bewegungszustand des Korpers unabhangige Eigenschaft des
Korpers ist.
Obige Gleichung konnen wir als eine operationelle Denition von 'Masse' ansehen: Wir
konnen durch Messung von Geschwindigkeiten das Verhaltnis je zweier Massen bestimmen, d.h. bei Vorgabe einer beliebig, aber fest zu wahlenden 'Einheitsmasse' m1 die
Masse m2 relativ zu m1 bestimmen. Die Frage, ob die Masse eventuell geschwindigkeitsabhangig ist, kann durch Stoexperimente beantwortet werden: Man ndet, da in der
nichtrelativistischen Mechanik (v c) die Masse als unabhangig von der Geschwindigkeit
angenommen werden darf.
24
3.1.2 Kraft
Da wir die Masse als Skalar eingefuhrt haben, ist die Kraft nach dem 2.Axiom wie die
Beschleunigung ein Vektor:
~ = m~b:
K
(3.7)
Aus dem Vektorcharakter der Kraft folgt noch nicht das Superpositionsprinzip (4.Axiom)
~ =K
~1 + K
~ 2;
K
(3.8)
denn dem Vektorcharakter der Kraft ware auch Genuge getan, wenn die resultierende
Kraft
~ =K
~1 + K
~ 2 + F~ (K
~ 1K
~ 2)
K
(3.9)
~ 1 und K
~2
ware. F~ soll hier einer moglichen gegenseitigen Beeinussung der Krafte K
Rechnung tragen. Das Superpositionsprinzip ist also ein unabhangiges Axiom, welches
nicht automatisch aus dem Vektorcharakter der Kraft folgt.
3.1.3 Bewegungsgleichungen
Fur ein System von N Massenpunkten gelten die Bewegungsgleichungen
~ i;
mi~bi = K
i = 1; 2; 3; : : : ; N
(3.10)
~ i die insgesamt auf Teilchen i wirkende Kraft ist. Sie setzt sich additiv zusammen
wobei K
aus
1. inneren Kraften,
von der Wechselwirkung mit den (N
1) Teilchen, fur die das 3. Axiom gilt.
2. aueren Kraften,
herruhrend vom Einu der Umgebung.
Mathemathisch gesehen sind die Bewegungsgleichungen ein im allgemeinen gekoppeltes
System von Dierentialgleichungen 2.Ordnung fur die zu berechnenden Bahnen ~ri (t). Man
erhalt eindeutige Losungen, wenn die Anfangsbedingungen
~ri (0) = ~ri Æ
~vi (0) = ~vi Æ
bekannt sind. Dies sind 2 3 N = 6N Randbedingungen.
(3.11)
(3.12)
Beispiel: Bewegung eines Teilchens in 1 Dimension:
Aus der Bewegungsgleichung
folgt
mx = k
(3.13)
1Zt
x_ (t) =
Kdt0 + c1
m t0
(3.14)
25
und weiter
x(t) =
t
Z
t0
x_ (t0 )dt0 + c2 :
(3.15)
Die beiden Integrationskonstanten c1 und c2 sind bestimmt, sobald die Anfangsbedingungen fur t0 = 0 bekannt sind:
x_ (t0 ) = c1
x(t0 ) = c2 :
(3.16)
3.2 Beispiele fur die Losung von Bewegungsgleichungen
3.2.1 Geladenes Teilchen im homogenen elektrischen Feld
Die Kraft auf eine Punktladung q in einem elektrostatischen Feld ist gegeben durch
~ = q E;
~
K
(3.17)
wobei E~ die elektrische Feldstarke ist, die wir als raumlich und zeitlich konstant ansehen
wollen.
Die Bewegungsgleichung lautet dann:
~
m~b = q E:
(3.18)
Wahlen wir das Koordinatensystem so, da
0
E~ = B
@
0
0
Ez
1
;
C
A
(3.19)
so vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen zu:
x = 0
y = 0
z =
q
E :
m z
(3.20)
Durch Integration erhalten wir
qEz
t + vz (0)
m
fur die Geschwindigkeit. Nochmalige Integration fuhrt auf
x_ = vx (0)
x = x0 + vx (0)t
In Vektorschreibweise:
y_ = vy (0)
y = y0 + vy (0)t
~r(t) = ~r0 + ~v (0)t +
26
z_ =
z = z0 + vz (0)t +
q ~2
Et :
2m
(3.21)
qEz 2
t:
2m
(3.22)
(3.23)
Wichtige Spezialfalle:
1. ~v (0) parallel E~ . Wir erhalten
q
Ez t2 ;
2m
es liegt eine geradlinig beschleunigte Bewegung vor wie beim freien Fall.
2. ~v (0) senkrecht zu E~ .
Mit geeigneter Koordinatenwahl erhalten wir fur ~v (0) = vy (0)~ey
x; y = const:
x(t) = 0
z = z0 + vz (0)t +
y (t) = vy (0)t
z (t) =
qEz 2
t:
2m
(3.24)
(3.25)
Fur die Bahn ergibt sich (wie beim Wurf) eine Parabel:
z (t ) =
qEz 2
y (t):
2mvy2 (0)
(3.26)
3.2.2 Geladenes Teilchen im konstanten, homogenen Magnetfeld
Auf ein Teilchen mit der Ladung q und der Geschwindigkeit ~v in einem Magnetfeld B~
wirkt die Kraft
~ = q (~v B~ ) (c: Lichtgeschwindigkeit) :
K
(3.27)
c
Legen wir das Koordinatensystem so, da
0
B~ = B
@
so wird:
0
0
Bz
0
~v B~ = B
@
1
C
A
;
vy Bz
vx Bz
0
(3.28)
1
C
A
:
Die Bewegungsgleichung lautet dann:
q
q
bx = vy Bz
by =
vB
bz = 0:
mc
mc x z
Oensichtlich ist ~b senkrecht zu ~v,
~v ~b = 0;
also
d 2 d
v = (~v ~v ) = 2~v ~b = 0
dt
dt
oder
v 2 = const:
27
(3.29)
(3.30)
(3.31)
(3.32)
(3.33)
In z -Richtung ist die Bewegung trivial:
vz = const, also: z (t) = z0 + vz (0)t:
(3.34)
In x; y -Richtung sind die Bewegungsgleichungen gekoppelt. Zur Losung fuhren wir zunachst
die komplexe Hilfsgroe
Q(t) = x(t) + iy (t)
(3.35)
ein. Dierentiation nach t ergibt
Q_ = x_ + iy_ = vx + ivy
(3.36)
Q = x + iy = bx + iby :
(3.37)
Fur die Variable bx + iby folgt
bx + iby =
oder
Mit dem Losungsansatz,
folgt durch Einsetzen:
qBz
(v
mc y
ivx )
(3.38)
qB _
Q = i z Q:
mc
(3.39)
Q = Q0 et ;
(3.40)
2 = i! mit ! =
also
qBz
;
mc
(3.41)
= 0 oder = i!:
Die allgemeine Losung ergibt sich dann zu:
(3.42)
i!t :
(3.43)
Q = Q01 + Q02 e
Die 2 komplexen Konstanten Q01 und Q02 werden bestimmt durch die 4 reellen Anfangsbedingungen fur x(0), y (0), x_ (0) und y_ (0):
x(0) + iy (0) = Q(0) = Q01 + Q02
(3.44)
x_ (0) + iy_ (0) = i!Q02 :
(3.45)
Schreibt man Q02 als
Q02 = %ei = ( cos + i sin );
d.h. in Polarkoordinaten, so folgt:
x_ (0)2 + y_ (0)2 = v 2 = ! 2 %2 :
Also ist
(3.46)
?
(3.47)
% = v?=!;
(3.48)
28
wobei v? der Betrag der Geschwindigkeit senkrecht zur z-Richtung ist. Fur die Phase ndet man analog:
x_ (0)
:
(3.49)
tg =
y_ (0)
Teilt man Q(t) (3.43) wieder nach Real- und Imaginar-Teil auf, so erhalt man:
x = x0 + % cos( !t);
(3.50)
y = y0 + % sin( !t)
(3.51)
mit x0 = x(0) cos und y0 = y (0) sin . Die Bahnkurve beschreibt dann einen
Kreis
(x x0 )2 + (y y0 )2 = %2
(3.52)
mit Radius % und Mittelpunkt (x0 ; y0).
3.2.3
Freier Fall mit Berucksichtigung der Erdrotation
Approximatives Inertialsystem:
Wir wahlen ein System 0 , dessen Ursprung im Erdmittelpunkt liegt und dessen Achsenrichtungen fest relativ zu den Fixsternen deniert sind. In 0 gilt dann (approximativ):
~
m~b0 = K;
(3.53)
~ die Gravitationskraft zwischen dem Massenpunkt der Masse m und der Erde
wobei K
bedeutet.
Wir begeben uns nun in ein starr mit der Erde rotierendes System , dessen Ursprung
auf der Erdoberache liegt. Dann gilt nach Kap. 2.2.4 (unter Vertauschung von und
0 ):
~b0 = R~ + ~b + 2(~! ~v ) + ~! (~! ~r);
(3.54)
wobei R~ der Vektor vom Erdmittelpunkt 0 zum Ursprung des mit der Erde rotierenden
Systems ist. bewegt sich auf einer Kreisbahn mit der (konstanten) Winkelgeschwindigkeit ~! der Erdrotation. Daher gilt:
so da folgt:
R~ = !~ (~! R~ );
(3.55)
~b = ~g() 2(~! ~v ) ~! (~! ~r);
(3.56)
wobei
~
K
~! (~! R~ )
m
die 'eektive' Schwerebeschleunigung ist.
~g() =
(3.57)
Wir machen nun die Naherung, da die Fallhohe klein ist gegenuber dem Abstand R von und 0 , d.h. j~rj jR~ j. Dann konnnen wir ~! (~! ~r) gegenuber ~! (~! R~ ) vernachlassigen.
Die Achsen des Systems legen wir wie folgt fest: die z-Achse antiparallel zur eektiven
29
Schwerebeschleunigung ~g (), die x-Achse in Nord-Sud-Richtung, die y-Achse in West-OstRichtung. Dann wird:
!~ = ! sin ~ex + ! cos ~ez ;
(3.58)
wobei der Winkel zwischen ~ez und ~ez ist.
Als Bewegungsgleichungen erhalten wir:
0
x = 2y!
_ cos (3.59)
y = 2z!
_ sin 2x!
_ cos z = g () + 2y!
_ sin :
Als Anfangsbedingungen setzen wir:
x(0) = 0
x_ (0) = 0
(3.60)
(3.61)
(3.62)
y (0) = 0
y_ (0) = 0
(3.63)
z (0) = z0
z_ (0) = 0:
(3.64)
Da die Corioliskraft eine kleine Korrektur gegenuber der Schwerkraft ist, konnen wir die
Losung als Taylor-Reihe bzgl. ! schreiben:
x = x1 + !x2 + (3.65)
y = y1 + !y2 + (3.66)
z = z1 + !z2 + (3.67)
Diesen Ansatz setzt man in die Bewegungsgleichungen (3.59), (3.60), (3.61) ein und beachtet, da sie identisch in ! erfullt sein mu. Man erhalt:
x1 = 0
und
fur die in ! linearen Terme.
Dies fuhrt auf:
x1 = 0
und
y1 = 0
z1 = g ();
x2 = 2y_ 1 cos y2 = 2z_1 sin 2x_ 1 cos z2 = 2y_ 1 sin y1 = 0
z1 = z0
x2 = 0
y2 = 2gt sin z2 = 0:
30
1
g ()t2
2
(3.68)
(3.69)
(3.70)
(3.71)
(3.72)
(3.73)
(3.74)
(3.75)
Eine spezielle Losung ist:
1
y2 = gt3 sin 3
Die vollstandige Losung lautet dann:
x2 = 0
z2 = 0:
!
1 2
z = z0
gt :
y = gt3 sin 3
2
Man erhalt also eine "Ostabweichung\ vom normalen Fallgesetz.
x=0
(3.76)
(3.77)
Abschatzung: Fur = 45Æ und z0 = 100m ist die Abweichung y 1; 5cm. Der Eekt
ist maximal am A quator.
3.3 Impuls und Drehimpuls
3.3.1 Impuls
Der Impuls eines Teilchens der Masse m ist deniert als
~p = m~v ;
(3.78)
wenn ~v seine Geschwindigkeit ist. Da m ein Skalar und ~v ein Vektor ist, ist auch ~p ein
Vektor. Die Newton'sche Bewegungsgleichung lautet somit:
d~p ~
= K;
dt
(3.79)

in Worten: Kraft gleich zeitliche Anderung
des Impulses. Wirkt keine Kraft, so ist
der Impuls des Teilchens zeitlich konstant:
d~p ~
= 0 ! p~ = const.
(3.80)
dt
Fur ein System von N Teilchen mit den Massen mi ist der Impuls des i-ten Teilchens
gegeben durch:
~pi = mi~vi
(3.81)
Seine Bewegungsgleichung lautet:
d~pi ~
= Ki ;
(3.82)
dt
~ i die gesamte auf das i-te Teilchen wirkende Kraft ist.
wobei K
Der Gesamtimpuls der N Teilchen
N
X
P~ = ~pi = M~vs
i=1
31
(3.83)
ist fur ein abgeschlossenes System eine Erhaltungsgroe ("Konstante der Bewegung\). Es
gilt:
dP~ X ~
~a ;
= Ki = K
(3.84)
dt
i
~ a die Resultierende aller aueren Krafte ist,
wobei K
~a = XK
~ ia :
K
(3.85)
i
~ ij auch K
~ ji = K
~ ij in
Die inneren Krafte heben sich paarweise auf, da zu jedem Term K
P
~
ur ein abgeschlossenes System gilt:
i Ki auftritt. F
~ ia = 0 , also auch K
~a = 0;
K
(3.86)
dP~
= 0 ! P~ = const.
(3.87)
dt
Entscheidend fur die Impulserhaltung eines abgeschlossenen Systems ist also das 3. Newton'sche Axiom.
3.3.2 Impulssatz und Galilei-Invarianz
Wir nehmen an, da der Impulssatz in einem Inertialsystem v gilt:
N
X
i=1
mi~vi =
N
0
X
i=1
m0i v~0 i ;
(3.88)
wobei mi , ~vi die Massen und Geschwindigkeiten zu irgendeiner Zeit t, m0i , v~0 i zu einer
anderen Zeit t0 sind. Durch die Unterscheidung von mi und m0i sowie von N und N 0 lassen
wir Massenaustausch zwischen den Teilchen zu.
Der Impulssatz mu nach dem Relativitatsprinzip auch in jedem anderen Inertialsystem
u gelten:
N
N
X
X
mi~ui = m0i u~0i :
(3.89)
i=1
i=1
Dies hat den Erhaltungssatz fur die Masse
0
M=
N
X
i=1
mi =
N
0
X
i=1
m0i
(3.90)
zur Folge.
Beweis: Wenn ~v 6= 0 die Geschwindigkeit der Systeme v und u relativ zueinander ist,
so gilt:
~vi = ~ui + ~v ; v~0 i = u~0 i + ~v :
(3.91)
Damit lautet (3.88):
N
X
i=1
mi~ui + ~v
N
X
i=1
mi =
N
0
X
i=1
32
N
0
X
m0i u~0 i + m0i~v ;
i=1
(3.92)
und es folgt die Behauptung, da
0
~0 = ~v
N
X
@
i
mi
N
1
0
X
mi A
0
i
(3.93)
Nach dem Galilei'schen Relativitatsprinzip sind also Impulssatz und Massenerhaltung
miteinander verkoppelt (Hinweis: Die Beziehung gilt nicht in der relativistischen Mechanik).
3.3.3 Beispiel: Rakete im schwerefreien Raum
Gesucht ist die Geschwindigkeit der Rakete als Funktion der sich zeitlich andernden Masse.
Zur Verfugung steht der Impulssatz, da im schwerelosen Raum keine auere Kraft auf die
Rakete wirkt.
Diesen konnen wir dann wie folgt formulieren: Zur Zeit t habe die Rakete die Masse
m = m(t) und die Geschwindigkeit v = v (t) relativ zur Erde, die wir als Inertialsystem
ansehen wollen. In der Zeit t andere sich die Raketenmasse um m < 0; dann hat die
Rakete zur Zeit t + t die Masse (m + m) bei geanderter Geschwindigkeit (v + v ).
Die (positive) abgestoene Gasmenge ( m) hat die Geschwindigkeit ( vG + v + v )
relativ zur Erde. Nach dem Impulssatz gilt dann:
mv = (m + m)(v + v ) + ( m)( vG + v + v )
oder
0 = mv + mvG :
 nderung der Geschwindigkeit folgt:
Fur die A
v
1 m
= vG
t
m t
oder im Limes t ! 0:
dv
1 dm
= vG
dt
m dt
Integration in der Zeit ergibt:
m v = v0 + vG ln 0 ;
m
wenn die Rakete zur Zeit t0 die Masse m0 und die Geschwindigkeit v0 hatte.
(3.94)
(3.95)
(3.96)
(3.97)
(3.98)
3.3.4 Drehimpuls
Der Drehimpuls ~l eines Teilchens mit dem Impuls p~ am Ort ~r ist deniert durch
~l = ~r p~ :
(3.99)
~ folgt
Mit d~p=dt = K
d~l
~ ;
= ~r K
dt
33
(3.100)
da ~r_ p~ = 0, d.h. die zeitliche A nderung von ~l ist bestimmt durch das "Drehmoment\
~:
~n = ~r K
(3.101)
Wirkt kein Drehmoment, ~n = 0, so ist der Drehimpuls konstant:
d~l
= 0 ! ~l = const.
dt
Dies ist erfullt fur
~ = 0 trivialerweise und fur
1. K
(3.102)
2. "Zentralkrafte\
~ = k(r)~r ;
K
(3.103)
wie z.B. bei den wichtigen Fallen der Gravitationskraft oder der Coulombkraft.
Fur N Teilchen denieren wir den Gesamtdrehimpuls wie folgt:
N
~ = X ~li = X(~ri p~i ):
L
i=1
i
(3.104)
 nderung ist dann:
Die zeitliche A
dL~ X
~ i ) = X ~ni = N~ :
= (~ri K
dt
i
i
(3.105)
~ ist also zeitlich konstant, wenn das Gesamt-Drehmoment N~ verschwinDer Drehimpuls L
det.
3.3.5 Drehimpulserhaltung und Galilei-Invarianz
Wir nehmen an, da der Drehimpuls des betrachteteten Systems in irgendeinem Iner
tialsystem v erhalten sei. Fur den Ubergang
von v in ein anderes Inertialsystem u
gilt:
~ri ! ~ri ~v t ; ~vi ! ~ui = ~vi ~v ;
(3.106)
wenn ~v die Relativgeschwindigkeit zwischen u und v ist. Es folgt:
(~ri p~i ) !
X
X
i
i
(~ri
oder
~v t) (p~i
mi~v )
(3.107)
~ + M~v (~rs ~vs t) ;
L~ ! L
(3.108)
wobei M die Gesamtmasse, ~rs und ~vs Ort und Geschwindigkeit des Schwerpunktes angeben. Wenn keine auere Kraft wirkt, bewegt sich der Schwerpunkt geradlinig gleichformig, also ist
~rs ~vs t = const.
(3.109)
) Der Drehimpuls L~ andert sich beim U bergang v ! u nur um eine additive Konstante.
34
3.3.6 Beispiele
Gleichformige Kreisbewegung
Der Drehimpuls ~l = ~r ~p steht senkrecht zur Kreisebene und hat den Betrag
l = m!r2 :
(3.110)
Er ist konstant, da fur die gleichformige Kreisbewegung ! und r konstant sind.
Flachensatz
Fur einen Massepunkt unter dem Einu einer beliebigen Zentralkraft folgt aus der Drehimpulserhaltung
1. da die Bewegung in einer Ebene stattndet, aufgespannt durch ~r und ~v , und
2. da die "Flachengeschwindigkeit\ konstant ist,
dF~
= const.
(3.111)
dt
Beweis: Wir betrachten die von 2 benachbarten Ortsvektoren ~r und ~r +~r aufgespannte
Flache:
Abbildung 3.1:
1
1
F~ = (~r [~r + ~r ]) = (~r ~r ) :
2
2
Die "Flachengeschwindigkeit\ ist dann:
~l
dF~ 1
= (~r ~v ) =
= const.
dt 2
2m
(siehe Kepler'sche Gesetze)
35
(3.112)
(3.113)

3.3.7 Auerer
und innerer Drehimpuls
Wir fuhren als Koordinaten ein:
die Schwerpunktkoordinate
~rs =
N
X
1 X
mi~ri ; M = mi
M i=1
i
(3.114)
und
die Koordinaten der Teilchen im Schwerpunktsystem
~ri s = ~ri ~rs :
(3.115)
~ umschreiben:
Dann lat sich L
X
L~ = (~ri s + ~rs ) (mi~vi s + mi~vs ) =
i
X
wenn man benutzt:
i
(3.116)
~ int + L
~s ;
(~ri s p~i s ) + (~rs p~s ) = L
X
i
mi~ri s = 0 ;
X
i
mi~vi s = 0:
(3.117)
~ int heit 'innerer Drehimpuls'; er ist bezogen auf den SchwerDer 1. Term in (3.116) L
punkt und unabhangig von dessen Bewegung im Raum, also unabhangig vom Beobachter.
~ s heit Auerer Drehimpuls\; er entspricht dem Drehimpuls eines TeilDer 2.Term L
" ist uber ~r abhangig vom Ursprung des Koordinatensystems, also
chens der Masse M und

s
abhangig vom Beobachter.
~ ergibt sich zu:
 nderung von L
Die zeitliche A
~
~ dL
dL
dL~
= int + s ;
dt
dt
dt
(3.118)
wobei
~s
d~p
dL
~a :
= ~rs s = ~rs K
dt
dt
~ a = 0, so wird
Wirkt keine auere Kraft, K
L~ s = const. ;
(3.119)
(3.120)
~ ruhrt nur von der A nderung von L
~ int her.
 nderung von L
und die A

Um diese Anderung genauer zu untersuchen, zerlegen wir das Drehmoment
X
~ ia + X K
~ ij ]) = X(~ri K
~ ia ) + X(~ri ~rj ) K
~ ij :
N~ = (~ri [K
i
i
i<j
j 6=i
36
(3.121)
~ ia die auf Teilchen i wirkende auere Kraft, und es wurde benutzt, da K
~ ij =
Dabei ist K
~
Kji nach dem Actio=Reactio-Prinzip. Die weitere Diskussion wird nur fur den Fall
~ ij parallel ~rij = ~ri ~rj ist. Dann
einfach, da die inneren Krafte Zentralkrafte sind, also K
entfallt der 2.Term und es wird:
X
~ ia ) = N~ a ;
N~ = (~ri K
i
(3.122)
d.h. das Drehmoment ruhrt dann nur von den aueren Kraften her. Fur ein 'abgeschlossenes System', fur das
~ a = 0 ; N~ a = 0
K
(3.123)
ist, wird dann
~ int = const.
L~ = const ; L~ s = const , also auch L
(3.124)
3.3.8 Austausch von Impuls und Drehimpuls beim Sto zweier
(oder mehrerer) Teilchen
Wir betrachten den Sto zweier Teilchen, zwischen denen eine Zentralkraft wirkt; auere
Krafte seien nicht vorhanden. Dann gelten Impuls- und Drehimpuls-Erhaltung:
~l1 + ~l2 = ~l1 0 + ~l2 0
(3.125)
vor dem Sto
nach dem Sto
~p1 + p~2 = ~p1 0 + p~2 0 ::
 nderung von Impuls und Drehimpuls von Teilchen 1 bzw. 2 folgt:
Fur die A
und
p~1 = p~2 : Impuls-Austausch
(3.126)
~l1 = ~l2 : Drehimpuls-Austausch
(3.127)
3.4 Energie
Auer Impuls und Drehimpuls liefert die Energie wesentliche Auskunft uber ein physikalisches System; fur viele wichtige Falle ist die Energie zudem eine Erhaltungsgroe.
3.4.1 Kinetische Energie und Arbeit
~ auf einer Bahn
Ein Massepunkt der Masse m moge sich unter dem Einu einer Kraft K
~ an dem Massepunkt langs des
~r(t) vom Punkt a nach b bewegen. Die "von der Kraft K
Weges von a nach b geleistete Arbeit\ Wab denieren wir durch das Linienintegral
Wab =
b
Z
a
37
~ d~r ;
K
(3.128)
gebildet langs der Teilchenbahn ~r(t). Entscheidend fur die geleistete Arbeit ist die Komponente der Kraft in Richtung des Weges; dem tragt das Skalarprodukt Rechnung. Die
Arbeit ist dann ein Skalar.
Der Zusammenhang der Arbeit Wab mit der kinetischen Energie des Massenpunktes fogt
aus:
d~v ~
:
(3.129)
m =K
dt
Durch Bildung des Skalarproduktes mit ~v und Integration in der Zeit folgt:
!
Z t b ~ d~v
~v dt =
K ~v dt :
m
dt
ta
ta
Die rechte Seite dieser Beziehung ist gerade die Arbeit:
Z
Z
tb ta
tb
~ ~v dt =
K
Z
tb
ta
KT vdt =
Z
tb
ta
KT ds =
(3.130)
b
Z
a
~ d~r ;
K
(3.131)
wenn der Massepunkt sich zur Zeit ta(b) im Punkt a(b) bendet. KT bezeichnet die Kom~ tangential zur Bahnkurve und s ist die Bogenlange der durchlaufenen
ponente der Kraft K
Bahn. Die linke Seite konnen wir integrieren:
!
!
Z t
Z t
b d~v
b d v2
m 2 2
m
~v dt = m
dt =
v v
(3.132)
dt
2 b a
ta
ta dt 2
mit
va2 = v (ta )2 ; vb2 = v (tb )2 :
(3.133)
Denieren wir nun die 'kinetische Energie' T eines Teilchens der Masse m bei der
Geschwindigkeit ~v durch:
1
p2
;
(3.134)
T = mv 2 =
2
2m
so nden wir
Tb Ta = Wab ;
(3.135)
in Worten:
~ langs des Weges von a nach b geleistete Arbeit ist gleich der Ande
Die von der Kraft K
rung der kinetischen Energie.
Beispiel:"Freier Fall\ .
Ein Korper der Masse m falle unter dem Einu der konstanten Schwerkraft aus der
Hohe z0 , wo er sich zur Zeit t = 0 in Ruhe (~v(0) = 0) benden moge. Fur die von der
Schwerkraft geleistete Arbeit folgt:
Wz0 !0 =
Z
0
z0
mgdz = +mgz0 ;
(3.136)
sie ist gleich der vor dem Aufprall auf die Erdoberache erreichten kinetischen Energie:
m
T0 = v02 = mgz0 ;
(3.137)
2
38
da T (0) = 0 auf Grund der Anfangsbedingung.
Erweiterung auf ein System von N Teilchen:
Die kinetische Energie eines Systems von N Teilchen wird deniert durch
N
N 1
X
X
T = Ti =
mi vi2 :
2
i=1
i=1
Aus den Bewegungsgleichungen
d~v
~i
mi i = K
dt
kann man wie oben herleiten:
Z t
Z b
X
X
X
b~
Tb Ta =
Ki ~vi dt =
KT i dsi = Wabi = Wab ;
i
ta
a
i
i
(3.138)
(3.139)
(3.140)
wobei a und b fur die Position der Teilchen ~ri zu den Zeiten ta und tb stehen. KT i ist
~ i tangential zur Bahn des i-ten Teilchens; si die zugehorige
die Komponente der Kraft K
Bogenlange.
3.4.2 Konservative Krafte, potentielle Energie, Energiesatz
Wir beschranken uns im folgenden der Einfachheit halber auf 1 Massenpunkt. Die Denition der Arbeit hangt im allgemeinen nicht nur von den Integrationsgrenzen a; b ab,
sondern auch vom Weg:
Z t
Z t
b~
b~
K ~v dt 6=
K ~v dt
(3.141)
|
ta
{z
Weg 1
}
|
ta
{z
Weg 2
}
Abbildung 3.2:
Als besonders wichtig haben sich in der Physik solche Krafte erwiesen, fur die Wab unabhangig vom Verlauf des Weges zwischen a und b wird. Solche Krafte bezeichnen wir als
\ Konservative Krafte\. Im mathematischen Sinne nennen wir eine Kraft "konservativ\ , wenn es eine skalare Funktion U (~r) gibt, so da :
Wab =
b
Z
a
K ds = U (a) U (b) :
39
(3.142)
Die Funktion U (~r) heit "potentielle Energie\ des Teilchens am Ort ~r. Sie ist nur bis
auf eine additive Konstante bestimmt.
Folgerungen:
Arbeit langs eines geschlossenen Weges
Fur eine konservative Kraft folgt fur die Integration uber einen beliebigen geschlossenen
Weg:
I
KT ds = 0 :
(3.143)
Energiesatz
Fur eine konservative Kraft ergibt sich:
Tb + U (b) = Ta + U (a) :
(3.144)
E =T +U
(3.145)
die Gesamtenergie des Teilchens
ist also konstant.
Beispiel: Massepunkt unter dem Einu der Schwerkraft
tb
Z
ta
~ ~v dt =
K
Z
b
a
mgdz = mgza
mgzb = U (a) U (b) :
(3.146)
Da U nur bis auf eine additive Konstante festgelegt ist, konnen wir U so "nominieren\,
da an der Erdoberache U (0) = 0 ist. Dann ist die potentielle Energie U (h) = mgh
des Teilchens in der Hohe h uber der Erdoberache gleich der Arbeit, die man gegen
die Schwerkraft leisten mu, um den Massepunkt von der Erdoberache auf die Hohe h
anzuheben, ohne seine kinetische Energie zu andern. Fallt der Massepunkt aus der Hohe
h "frei\, so ist
1
(3.147)
E = mv 2 + mgz = const. = mgh
2
fur jeden Punkt der Bahn, falls der Massepunkt bei z = h in Ruhe war. Die Zunahme an
kinetischer Energie ist gleich der Abnahme der potentiellen Energie.
Berechnung der Kraft K~ aus der potentiellen Energie U (~r)
0
~ =
K
B
@
@U
@x
@U
@y
@U
@z
1
C
A
~U:
= grad U = r
(3.148)
Dabei bedeutet @U=@x die 'partielle Ableitung' der Funktion U = U (x; y; z ) bei festen
Werten y; z .
40
Beweis:
1. Aus Gleichung (3.148) folgt
Wab =
denn:
Z
tb
ta
b
Z
a
KT ds = U (a) U (b) :
~ ~vdt =
K
b
Z
a
(3.149)
(gradU ) d~r =
!
Z b
@U
@U
@U
dx + dy + dz =
dU = U (a) U (b) :
(3.150)
@x
@y
@z
a
a

Das "totale Dierential\ dU ist die A nderung von U beim Ubergang
vom Punkt ~r zum
innitesimal benachbarten Punkt ~r + d~r:
@U
@U
@U
(3.151)
dU = dx + dy + dz = gradU d~r; :
@x
@y
@z
Z
b
2. Gibt es eine Funktion U , welche
Wab =
Z
b
a
KT ds = U (a) U (b)
(3.152)
erfullt, so ist
p2
+ U (~r)
(3.153)
2m
die Gesamtenergie des Teilchens, und wegen der Energieerhaltung folgt fur die zeitliche
Ableitung von E :
!
dE d p2
d
=
+ U (x; y; z ) =
dt dt 2m
dt
!
!
!
dpy @U
dpz @U
dpx @U
+
+ vy
+
+ vz
+
= 0:
(3.154)
vx
dt @x
dt @y
dt @z
~ nicht von der Geschwindigkeit abhangt, sind die ( )-Klammern von ~v
Wenn die Kraft K
unabhangig. Da ~v beliebige Werte annehmen kann, folgt
E=
dpx
@U
= Kx =
etc. fur y; z :
dt
@x
Fur ein konservatives System von N Teilchen ergibt sich dann:
~ i = gradi U = r
~ iU
K
(3.155)
(3.156)
fur die auf Teilchen i wirkende Kraft, wobei
U = U (~r1 ; ~r2 ; : : :~rN ) :
41
(3.157)
Beispiel:
Die potentielle Energie eines Teilchens sei gegeben durch:
a
U = +b;
r
mit
r2 = x2 + y 2 + z 2 :
Die zugehorige Kraft ist eine Zentralkraft:
dabei wurde benutzt:
(3.158)
(3.159)
a
~r
~
K = grad
= a 3;
r
r
(3.160)
@ 1 d 1 @r 1 x
=
= r2 r :
@x r
dr r @x
(3.161)
3.4.3 Invarianzen von U ; Separation der Schwerpunktsenergie
Translationsinvarianz
Die Eigenschaft
U (~ri ) = U (~ri + ~a)
(3.162)
fur beliebige Vektoren ~a hat zur Folge, da U nur von den inneren Koordinaten des
Systems von N Teilchen abhangen darf, z.B. den Abstandsvektoren
also
~ iU = r
~ jU
Dann folgt aus r
~rij = ~ri ~rj ;
(3.163)
U = U (~rij ) :
(3.164)
~ ij = K
~ ji
K
(3.165)
wegen ~rij = ~rji . Dies ist nun gerade das Actio=Reactio-Prinzip, aus dem wir zusammen mit den Bewegungsgleichungen den Impulssatz hergeleitet hatten. Der Impulssatz
ist also eine direkte Folge der Translationsinvarianz.
Drehinvarianz
Es gelte
U (~ri ) = U (~ri 0 ) ;
(3.166)
wobei ~ri 0 aus ~ri durch eine beliebige Drehung hervorgeht. Es folgt, da U sich als Funktion
der Abstande
rij = j~ri ~rj j
(3.167)
darstellen lassen mu ,
U = U (rij ) :
(3.168)
42
Die zwischen 2 Teilchen i; j wirkende Kraft ist dann eine Zentralkraft:
~ ij = k(rij )~rij ;
K
(3.169)
da fur eine beliebige Funktion f (r) gilt:
df @r df x
@
f (r) =
=
= g (r)x ; ebenso fur y; z :
(3.170)
@x
dr @x dr r
Fur Zentralkrafte gilt der Drehimpulssatz, der sich somit als Folge der Drehinvarianz
erweist.
Invarianz gegen Zeit-Translationen
Bei der Energieerhaltung hatten wir vorausgesetzt, da U nicht explizit von der Zeit t
abhangt,
@U
=0:
(3.171)
@t
Diese Gleichung kann auch aufgefat werden als Folge der Invarianz von U gegen ZeitTranslationen, t ! t + t bei beliebigem t. Der Energiesatz ist also eine Folge der
Invarianz gegen Zeit-Translationen.
Galilei-Invarianz
Die skalare Funktion U = U (~rij ) andert sich unter einer Galilei-Transformation nicht. Fur
die kinetische Energie ergibt sich:
1X
1
T0 =
mi (~vi ~v )2 = T P~ ~v + Mv 2 :
(3.172)
2 i
2
P
Da fur ein System mit U = U (~rij ) der Impuls P~ = i mi ~vi erhalten ist, andert sich die
kinetische Energie nur um eine additive Konstante,
T 0 = T + const ;
(3.173)
d.h. der Energiesatz fur ein abgeschlossenes System
E = T + U = const
(3.174)
ist Galilei-invariant wie Impuls- und Drehimpuls-Satz.
Wahlen wir speziell das Koordinatensystem als Schwerpunktsystem, so ist P~ = 0, also:
1
T 0 = T + Mv 2 = Tint + Ts :
(3.175)
2
Tint bedeutet die interne kinetische Energie, Ts die Schwerpunktsenergie bzgl. des Systems 0 mit den Geschwindigkeiten ~vi 0 . Da U = U (~rij ) sich beim U bergang ! 0
nicht andert, konnen wir von der Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems stets die
Schwerpunktsenergie abtrennen,
E = Ts + Eint ;
wobei Eint die Energie im Schwerpunktsystem ist.
43
(3.176)
3.4.4 Zwangskrafte; Reibungskrafte
Alle uns bekannten fundamentalen Krafte sind konservativ im Sinne der Gleichung
Wab =
Z
b
a
KT ds = U (a) U (b) ;
(3.177)
d.h. es gilt der Energiesatz. Dies schliet den Fall der "Lorentz-Kraft\ (Kraft eines
Magnetfeldes B~ auf eine mit der Geschwindigkeit ~v bewegte Ladung q ) ein,
~ = q (~v B~ ) :
K
(3.178)
c
~ stets senkrecht zur Bewegungsrichtung steht,
Da K
~ ~v = q (~v B~ ) ~v = 0 ;
K
c
leistet sie keine Arbeit, geht also in die Energiebilanz uberhaupt nicht ein.
(3.179)
~ ~v gilt, treten auch in der Mechanik in Erscheinumg, wenn man
Krafte, fur die stets K
die Freiheitsgrade des Systems durch Zwangsbedingungen einschrankt: "Zwangskrafte\ .
Einfachstes Beispiel ist die Bewegung eines Massepunktes auf einer Kreisbahn. Dabei
sind die Ortskoordinaten der Zwangsbedingung r = const unterworfen. Um eine solche
Kreisbewegung zu realisieren, benotigt man eine Zwangskraft, die stets senkrecht zu ~v
 B):
steht, in Form einer radial nach unten gerichteten Fadenkraft. Weitere Beispiele (U
Fadenpendel, schiefe Ebene.
Schlielich gibt es Krafte, die in die Energiebilanz eingehen und zu Energieverlust des
Systems fuhren: "Reibungskrafte\ . Sie werden zur Beschreibung der Bewegung eines
Korpers in einem Gas oder einer Flussigkeit oder auf einer Unterlage (Gleitreibung) eingefuhrt.
Reibungskrafte sind im einfachsten Fall proportional zu ~v :
~ r = c~v ; c > 0 :
K
(3.180)
Dann erleidet das System wegen
Z
tb
ta
~ R ~v dt = c
K
Z
tb
ta
v 2 dt < 0
(3.181)
einen Energieverlust.
Das Auftreten von Reibungskraften steht nicht im Widerspruch zu der obigen Aussage,
da alle fundamentalen Krafte konservativ sind, denn Reibungskrafte sind keine konservativen Krafte, sondern resultieren von einer pauschalen Beschreibung der Wechselwirkung
z.B. zwischen den Molekulen einer rollenden Kugel und denen der Unterlage, auf der die
Kugel rollt.
44
Erganzung: Vektor-Eigenschaft von grad U
1. Addition
Wenn U (~r) = U1 (~r) + U2 (~r), so folgt aus den Regeln der Dierentiation:
grad U = grad U1 + grad U2 ;
(3.182)
die fur Vektoren erklarte Verknupfung der Vektor-Addition. Ebenfalls gilt fur die
Multiplikation mit einer reellen Zahl
grad U = grad(U ) :
(3.183)
2. Transformationsverhalten bei Drehungen
Die skalare Funktion U (~r) ordnet jedem Raumpunkt ~r eine reelle Zahl zu, die sich bei
Drehung des Koordinatensystems nicht andert. Es gilt also fur die skalare Funktion
U unter Drehungen:
U (x1 ; x2 ; x3 ) = U 0 (x01 ; x02 ; x03 ) ;
(3.184)
wobei die Komponenten von ~r (siehe Kap. 1.3.2) bei einer Drehung mit der Matrix
dij sich andern wie:
x0i =
X
j
dij xj
mit
X
i
dim din = Æmn :
(3.185)
Es folgt nach der Kettenregel fur die Dierentiation:
@U 0 (x01 ; x02 ; x03 ) X @U (x1 ; x2 ; x3 ) @xj X @U (x1 ; x2 ; x3 )
=
= dij
;
@x0i
@xj
@x0i
@xj
j
j
(3.186)
d.h. die Komponenten von grad U transformieren sich bei Drehungen wie die Komponenten von ~r. In Gleichung (3.186) wurde dabei benutzt:
X
i
dik x0i =
X
i;j
dik dij xj =
unter Verwendung von (3.185).
45
X
j
Ækj xj = xk
(3.187)
Kapitel 4
Anwendungen der Newton-Mechanik
4.1 Zentralkrafte
Eines der wichtigsten Probleme der Theoretischen Physik ist die Bewegung von 2 Massenpunkten unter dem Einu einer Zentralkraft. Es nden sich Anwendungen in der
Himmelsmechanik, der Atomphysik und der Kernphysik.
4.1.1 Reduktion der Freiheitsgrade
Wir betrachten ein abgeschlossenes System zweier Teilchen ohne auere Krafte,
~a = 0 :
K
(4.1)
Zwischen den Teilchen wirke eine Zentralkraft
~ 12 = gradU = f (r) ~r = K
~ 21
K
r
mit
~r = ~r12 = ~r1 ~r2 = ~r21 :
Die Bewegungsgleichungen in den Koordinaten ~r1 , ~r2 ,
~ 12
m1~b1 = K
~ 21
m2~b2 = K
(4.2)
(4.3)
(4.4)
konnen auf Schwerpunkts- und Relativkoordinaten
~rs =
1
(m ~r + m2~r2 )
M 11
~r = ~r1 ~r2
(4.5)
umgerechnet werden. Aus
folgt
~ 12 + K
~ 21 = 0
m1~b1 + m2~b2 = K
(4.6)
d2
~r = ~b = 0:
dt2 s s
(4.7)
46
Die Losung ist bekannt: es liegt eine geradlinig, gleichformige Bewegung fur den Schwerpunkt vor.
Fur die Relativbewegung erhalt man durch Dierenzbildung
~
~b1 ~b2 = K12
m1
oder
~ 21 1
K
1 ~
=
+
K ;
m2
m1 m2 12
(4.8)
~ 12 = K
~
~r = K
(4.9)
~l = const
(4.11)
mit der "reduzierten Masse\ ,
1
1
m + m2
1
=
+
= 1
:
(4.10)
m1 m2
m1 m2
Damit ist das Zweikorperproblem reduziert auf das aquivalente Einkorperproblem
~ . Statt der 6 Dierenfur ein ktives Teilchen der Masse unter dem Einu der Kraft K
tialgleichungen sind nur noch 3 Dierentialgleichungen zu losen.
Mit Hilfe von Energie- und Drehimpulssatz gelingt es, das Problem auf nur 1 Freiheitsgrad
(in der Variablen r) zu reduzieren. Aus der Drehimpulserhaltung
folgt, da die Bewegung eben ist. Wir konnen also ohne Beschrankung der Allgemeinheit
die Parameterdarstellung (in der x; y -Ebene)
0
~r = B
@
r cos '
r sin '
0
1
(4.12)
C
A
wahlen. Im weiteren interessiert nur die Energie der inneren Bewegung,
1
Eint = v 2 + U (r);
2
die wir auf folgende Form umschreiben konnen:
1 2
l2
Eint = r_ +
+ U (r):
2
2r2
(4.13)
(4.14)
Diese Gleichung enthalt nur noch 1 Variable (r) und ihre zeitliche Ableitung (r_ ).
Beweis: Fur die Geschwindigkeit erhalten wir aus (4.12)
0
~v = B
@
Da
r_ cos '
r_ sin '
0
1
0
C
A
+B
@
r'_ sin '
r'_ cos '
0
~er ~e' = 0;
47
1
C
A
= r~
_ er + r'~
_ e' :
(4.15)
(4.16)
folgt
_ er + r'~
_ e )2 + U (r) = (r_ 2 + r2 '_ 2 ) + U (r):
(4.17)
E = (r~
2
2
Die Winkelvariable '_ lat sich mit Hilfe des Betrages von ~l, der ja zeitlich konstant ist,
eliminieren:
l = j~r ~v j = r2 '_
q.e.d.
(4.18)
Anmerkung: Der Gesamtdrehimpuls der beiden Teilchen lat sich in einen aueren
(Schwerpunkts-) Anteil und einen inneren Anteil zerlegen. Fur Zentralkrafte sind bei Abwesenheit auerer Krafte beide Anteile separat erhalten. ~l bezeichnet den inneren Anteil,
d.h. den Relativ-Drehimpuls der beiden Teilchen. Die Gleichung (4.13) kann interpretiert werden als Energie fur eine 1-dimensionale Bewegung in der Variablen r mit einer
eektiven potentiellen Energie
2
l = l + U (r );
(4.19)
Ue
2r2
also
1
l (r ):
E = r_ 2 + Ue
(4.20)
2
Der aus der kinetischen Energie stammende Term l2 =(2r2 ) = Uz wird dabei als "Zentrifugalpotential\ Uz der potentiellen Energie zugeschlagen.
Zur Erlauterung der Bezeichnung "Zentrifugalpotential\ bilden wir die zugehorige Kraft,
2
~ z = gradUz = l ~er = r! 2~er ;
K
(4.21)
r3
die aus dem Produkt von und der Zentrifugalbeschleunigung besteht.
4.1.2 Klassikation der Bahnkurven
dU=dr < 0 fur alle r
l (r ) (mit der Normierung U l (1) =
(Abb. 4.1) Da Uz ebenfalls uberall abstoend ist, hat Ue
e
0) folgenden qualitativen Verlauf:
Zu fester Energie E sind nur Bahnen mit r r0 moglich, da fur r < r0 die kinetische
Energie Tr negativ, d.h. die Geschwindigkeit r_ imaginar ware. Die erlaubten Bahnen
heien "ungebundene Zustande\ oder "Streuzustande\ .
d2 U=dr2 > 0 fur alle r
(Abb. 4.2)
1. rlim
!1 Ue (r) ! 1
Da stets Tr > 0 sein mu , erhalt man nur "gebundene Zustande\ : r1 r r2 .
48
Abbildung 4.1:
2. Normierung: Ue (1) = 0 (Abb. 4.3)
Fur E > 0 erhalt man ungebundene Zustande, gebundene fur E < 0.
3. Normierung: Ue (1) = 0 (Abb. 4.4)
Fur E > Um gibt es nur ungebundene Zustande mit beliebigem r 0. Wenn
0 E < Um , konnen sowohl gebundene als auch ungebundene Zustande existieren.
Fur E < 0 gibt es nur gebundene Zustande.
Gleichgewicht: In den Fallen 1.) und 2.) wirkt fur r = re keine Kraft, da
!
dUe
= 0:
(4.22)
dr r=re
Das Gleiche gilt fur Fall 3.) im Punkt r = rm . In diesen Punkten bendet sich das System
im Gleichgewicht.
In Fall 1.) und 2.) ist dieses Gleichgewicht "stabil\.
Im Fall 3.) ist das Gleichgewicht "instabil\: Bei einer kleinen Auslenkung aus der Gleichgewichtslage wirkt eine Kraft, die das Teilchen noch weiter vom Gleichgewicht wegzutreiben
sucht.
4.1.3
1
=r
2
{Krafte
Fur den praktisch wichtigen Fall
c
U = ;
r
49
c>0
(4.23)
Abbildung 4.2:
wollen wir die Bahnkurven explizit bestimmen.
Die innere Energie ist dann
1
l2
c
E = r_ 2 +
= const
2
2
2r
r
und der Energiesatz liefert:
!
l2
c
dE
= 0 = r_ r
:
dt
r3 r2
Da im allg. r_ 6= 0, folgt als Bewegungsgleichung:
l2
c
r
= 0:
r3 r2
(4.24)
(4.25)
(4.26)
Fur l = 0 erfolgt die Bewegung langs einer Geraden ('_ = 0):
! ~r k ~v
(4.27)
Um die moglichen Bahnkurven r = r(') fur l =
6 0 zu nden, fuhren wir die neue Variable
~l = 0
1
dw dw dr
1 dr
mit
=
= 2
r
d' dr d'
r d'
(4.28)
dr d'
dr
l dr
l dw
= '_ = 2 =
d' dt
d' r d'
d'
(4.29)
l d dw
l d2 w
l2 d2 w
=
'
_
=
:
dt d'
d'2
2 r2 d'2
(4.30)
w=
ein und bilden ('_ = l=(r2))
r_ =
sowie
r =
50
Abbildung 4.3:
Dann geht die Bewegungsgleichung (4.26) uber in:
!
c
l2 d2 w
+w 2 =0
r2 d'2
l
bzw.
(4.31)
d2 w
c
+w = 2 :
(4.32)
2
d'
l
Die Losung der inhomogenen Dierentialgleichung 2. Ordnung (4.32) setzt sich zusammen
aus der allgemeinen Losung der homogenen Dierentialgleichung w~,
d2 w~
+ w~ = 0;
(4.33)
d'2
gegeben durch
w~ = A cos ' + B sin ' = a cos(' '0 );
(4.34)
und einer beliebigen Losung der inhomogenen Gleichung. Eine solche Losung ist (fur
d2 w=d'2 = 0)
c
w= 2:
(4.35)
l
Die allgemeine Losung von (4.32) lautet also:
c
(4.36)
w = a cos(' '0 ) 2 ;
l
oder mit (4.28)
r (1 + " cos (' '0 )) = p
;
(4.37)
wobei wir die Abkurzungen
al2
l2
"= ;
p=
(4.38)
c
c
51
Abbildung 4.4:
eingefuhrt haben. Die Integrationskonstante a bzw. " ist durch die Energie bestimmt. Wir
erhalten nach elementarer Algebra unter Ausnutzung von (4.37) und
r_ = '_
dr
l
p " sin(' '0 )
= 2
d' r (1 + " cos(' '0 ))2
(nach etwas langlicher Rechnung) fur die Energie
l2
c c2 2
=
("
E = r_ 2 +
2
2r2 r 2l2
1):
(4.39)
(4.40)
Die Gleichung (4.37) ist die allgemeine Form eines Kegelschnittes. Durch geeignete Wahl
des Koordinatensystems, auf das sich r, ' beziehen, konnen wir (4.37) auf die Normalform
r(1 + " cos ') = p " 0
(4.41)
bringen. Wir unterscheiden:
1. U = c=r: Anziehung, d.h. r(') = p=(1 + " cos '). Dann sind folgende Falle
moglich:
(a) " = 0: Kreis; es liegt ein gebundener Zustand mit E < 0 vor.
(b) 0 < " < 1: Ellipse; hier liegt ebenfalls ein gebundener Zustand mit E < 0 vor
(Abb. 4.5).
(c) " = 1: Parabel; in diesem Fall wird E = 0, es liegt ein ungebundener Zustand
vor.
(d) " > 1: Ast einer Hyperbel, der den Ursprung r = 0 umschliet; ungebundener
Zustand mit E > 0 (Abb. 4.6).
52
Abbildung 4.5:
2. U = c=r: Abstoung, d.h. r(') = p=( 1 + " cos ').
Dann mu " > 1 sein, da andernfalls r negativ wurde. Man erhalt den zu Fall 1.d)
komplementaren Hyperbel-Ast (Abb. 4.7).
Beispiele:
Atomarer Bereich:
Ein Beispiel fur Fall 2.) ist die Elektron-Elektron- oder Proton-Proton-Streuung. Fur
das Elektron-Proton-System sind die Bahnen von Fall 1.) moglich, d.h. es konnen
gebundene Zustande sowie Streuzustande (je nach Energie E ) existieren.
Planetenbewegung (siehe Kap. 4.2)
4.2 Planetenbewegung; Gravitation
4.2.1 Kepler-Gesetze
Die Kepler-Gesetze beschreiben die Kinematik der Planetenbewegung:
1. Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne
steht.
2. Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten uberstreicht in gleichen
Zeiten gleiche Flachen.
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verschiedener Planeten verhalten sich
wie die Kuben der groen Halbachse ihrer Ellipsenbahnen.
Das 2. Gesetz ist der 'Flachensatz' und zeigt, zusammen mit der im 1. Gesetz enthaltenen Aussage, da die Bahnen eben sind, da der Drehimpuls erhalten ist. Die fur die
53
Abbildung 4.6:
Planetenbewegung verantwortliche Kraft ist also eine Zentralkraft. Da die Bahnen Ellipsen sind, mit dem Kraftzentrum in einem der Brennpunkte, schlieen wir aus Kap. 3.4.3,
da die Zentralkraft von der Form
~ = c ~r = c ~er
K
(4.42)
r2 r
r2
ist, d.h. fur die potentielle Energie gilt:
c
c > 0:
(4.43)
U (r) = ;
r
Diese Gleichungen sind folglich die dynamischen Grundlagen fur die Kepler-Gesetze 1.)
und 2.).
Um das 3.Gesetz zu erklaren, greifen wir auf den Flachensatz
dF
l
=
(4.44)
dt 2
zuruck, wobei wir die Masse m durch die reduzierte Masse ersetzt haben. Integration
in der Zeit ergibt:
l
(4.45)
F = T;
2
dabei ist T die Umlaufzeit und F die Flache der Ellipse:
F = ab
! T = 2
ab;
(4.46)
l
wenn a die groe, b die kleine Halbachse der Ellipse ist. Ersetzt man
1. r0 + r = 2a (Denition der Ellipse)
2. a2 = b2 + c2 = b2 + "2 a2 mit " = c=a (Pythagoras)
54
Abbildung 4.7:
3. (2a r)2 = r02 = r2 + 4c2 + 4cr cos ' (Cosinus-Satz nach 1.)
4. r(1 + " cos ') = (a2 c2 )=a = b2 =a = p
und
so folgt:
b2
l2 = cp = c ;
a
(4.47)
4 2 a2 b2 2 4 2 3
2
=
a:
(4.48)
T =
l2
c
Nach Kepler sollte der Faktor 4 2 =c fur alle Planeten gleich sein. Um dies zu uberprufen,
betrachten wir das allgemeine
4.2.2 Gravitationsgesetz
nach dem sich 2 beliebige (elektrisch neutrale) Massenpunkte im Abstand r durch eine
Zentralkraft
~ = 1 2 ~r
K
(4.49)
r2 r
anziehen. Dabei sind 1 und 2 fur die Massenpunkte charakteristische Konstanten. Sie
sind den (in die Bewegungsgleichung eingehenden) Massen m1 und m2 proportional. Diese
Aussage ist keineswegs trivial, sondern folgt aus dem Experiment, z.B. dem "freien Fall\:
Fur einen frei fallenden Korper gilt (nahe der Erdoberache)
mb =
E
;
RE2
(4.50)
wobei m die "trage Masse\ des Korpers ist, und E die Konstanten fur den Korper
bzw. die Erde; RE ist der Erdradius. Vergleicht man nun den freien Fall zweier Korper 1
55
und 2, so folgt:
m1 b1 1
= :
(4.51)
m2 b2 2
Da man experimentell stets b1 = b2 ndet, erhalt man
m1 1
= :
(4.52)
m2 2
Die Masse m und der Faktor unterscheiden sich also nur um einen universellen konstanten Faktor, so da die Kraft auch geschrieben werden kann als:
~ = m1 m2 ~r
(4.53)
K
r2 r
fur zwei Korper mit den Massen m1 und m2 im Abstand r.
Die Konstante wird (bis auf einen Dimensionsfaktor) als "schwere Masse\ eines

Korpers bezeichnet. Gleichung (4.52) bedeutet dann die "Aquivalenz
von schwerer
und trager Masse\ .
Damit lautet das 3. Keplersche Gesetz (4.48) mit c = m1 m2 :
4 2 m1 m2 3
4 2
T2 =
a =
a3 :
(4.54)
c(m1 + m2 )
(m1 + m2 )
Das Verhaltnis T 2 =a3 ist also fur alle Planeten (praktisch) konstant, da mP lanet mSonne .

4.2.3 Aquivalenz-Prinzip

Auf Grund der Aquivalenz
von trager und schwerer Masse (4.52) wirkt auf einen
Korper der Masse m im Schwerefeld der Erde die Kraft
~ = m~g;
K
(4.55)
wobei die "Schwerefeldstarke\ ~g unabhangig von den Eigenschaften des betrachteten
Korpers ist. Daher erfahren alle Korper an einem bestimmten Ort die gleiche Beschleunigung
~b = ~g:
(4.56)
Dieses Resultat hat eine wichtige Konsequenz:
Stellt ein Beobachter fest, da verschiedene (elektrisch neutrale) Korper am gleichen Ort
die gleiche Beschleunigung ~g erfahren, so kann er dies auf zweierlei Art interpretieren:
1. Das System ist ein Inertialsystem und bendet sich in einem Gravitationsfeld,
welches jedem Korper die gleiche Beschleunigung ~g erteilt.
2. Die beobachteten Korper sind frei bzgl. irgendeines Inertialsystems k , aber das
Beobachtersystem ist ein beschleunigtes Bezugssystem 0 . Ist seine Beschleunigung
~b0 , so hangt eine relativ zu 0 gemessene Beschleunigung ~b0k mit der Beschleunigung
~bk bzgl. k zusammen durch:
~b0k = ~bk ~b0 :
(4.57)
Sind die betrachteten Korper also frei, bk = 0, so erfahren sie relativ zum Beobachter
in 0 eine Beschleunigung ~b0k = ~b0 . Der experimentelle Befund lat sich also auch
mit ~b0 = ~g erklaren.
56
Fazit: Ein Beobachter kann nicht feststellen, ob sich sein Labor in einem homogenen

Schwerefeld bendet oder in einem beschleunigten Bezugssystem. Dieses "Aquivalenzprinzip\ ist die Grundlage der Allgemeinen Relativitatstheorie.
4.2.4 Beispiele:
Schwerelosigkeit in einem Erdsatelliten
Minimalgeschwindigkeit zum Verlassen des Erdfeldes
Nach Kap. 4.1.3 ist die "Fluchtbedingung\ (Grenzfall der Parabel!) gegeben durch
mM
= 0:
RE
1
E = v 2
2
(4.58)
Dabei ist RE der Erdradius, M die Erdmasse und m die Masse des betrachteten Korpers; ist die zugehorige reduzierte Masse, welche durch m ersetzt werden darf, solange m M ;
v ist die Relativgeschwindigkeit des Korpers zur Erde. Aus obiger Gleichung folgt fur die
s
"Fluchtgeschwindigkeit\
2 M
m
vF =
104
(4.59)
RE
sec
unabhangig von der Masse des Korpers, solange m M .
4.2.5 Gravitationsfeld einer statischen Massenanordnung
Eine Masse m0 am Ort ~r = 0 ubt auf eine andere am Ort ~r =
6 0 bendliche Masse m die
Kraft
aus mit
~ = m~g
K
(4.60)
m0 ~r
:
(4.61)
r2 r
Interpretation: Die Masse m0 erzeugt am Ort ~r ein 'Gravitationsfeld', dessen Starke
("Schwerefeldstarke\) durch ~g (~r) gegeben ist. Die Feldstarke ~g ist eine Vektor-Funktion,
die jedem Raumpunkt ~r ein Tripel reeller Zahlen gx (~r); gy (~r); gz (~r) zuordnet, die sich
bei Drehungen wie die Komponenten eines Vektors verhalten. Dabei zeigt ~g(~r) stets in
Richtung auf den Koordinatenursprung.
Die der Kraft (4.60) entsprechende potentielle Energie ist
~g(~r) =
U (~r) = m(~r)
mit
(4.62)
m0
:
(4.63)
r
Die Groe (~r) heit das zu ~g gehorige 'Potential'. Kennt man (~r), so kann man ~g (~r)
berechnen uber:
~g = grad :
(4.64)
(~r) =
57
Die Funktion (~r) beschreibt ein 'skalares Feld'. Sie ordnet jedem Raumpunkt genau
eine reelle Zahl zu.
Das Gravitationsfeld eines ruhenden Massenpunktes konnen wir uns durch seine 'Feldlinien' veranschaulichen: Die Tangente an eine Feldlinie gibt in jedem Punkt ~r die Kraftrichtung an, und die Dichte der Feldlinien ist ein Ma fur den Betrag der Kraft. Im Fall eines
einzelnen Massepunktes ist das zugehorige Feld stets radial zum Massenpunkt hin gerichtet. Die Flachen konstanten Potentials sind dann Kugeloberachen, deren gemeinsames
Zentrum im Koordinatenursprung liegt (siehe Abb. 4.8).
Abbildung 4.8:
Generelle Aussage:

Verschiebt man eine beliebige Probemasse innerhalb einer Aquipotential
ache, so andert
sich das Potential nicht, also:
d =
@
@
@
dx + dy + dz = (grad) d~r = ~g d~r = 0 :
@x
@y
@z
(4.65)
Da d~r 6= 0, folgt, da ~g senkrecht zu den A quipotentialachen steht. Dies gilt fur jedes
Feld, dessen Feldstarke sich als Gradient eines skalaren Feldes schreiben lat.
Die praktische Bedeutung liegt in seiner Anwendung auf (diskrete oder kontinuierliche)
Massenverteilungen. Nach dem Superpositionsprinzip (Kap. 0.0) gilt fur die Schwerefeldstarke, erzeugt von N Massenpunkten mi an den Orten ~ri :
~g(~r) =
oder fur das Potential:
(~r) =
N
X
i=1
mi
N
(~r ~ri )
j~r ~rij3 ;
mi
:
r ~ri j
i=1 j~
X
58
(4.66)
(4.67)
Abbildung 4.9:
Fur eine kontinuierliche Massenverteilung sind obige Summen durch Integrale zu ersetzen:
Z
~g (~r) =
und
%(~r 0 )
(~r ~r 0 ) 3 0
j~r ~r 0 j3 d r
%(~r 0 ) 3 0
j~r ~r 0j d r ;
wobei %(~r0 ) die Massendichte bezeichnet (siehe Abb. 4.9).
(~r) =
Z
(4.68)
(4.69)
Beispiel: Homogene Kugel:
%(~r 0 ) =
(
%0 r0 R
0 sonst
(4.70)
Wir fuhren die Volumenintegration in Polarkoordinaten durch (vgl. Abb. 4.10).
Abbildung 4.10:
Man verwendet:
2 = (~r ~r0 )2 = r02 + r2
d 2
d
= 2 = 2rr0 sin #;
d#
d#
d#
2 = 2rr0 sin # :
d
2rr0 cos # ;
59
(4.71)
Es ergibt sich
=
Z R Z Z 2
dr0r0 d# r0 sin #d'
(~r) = %0
0 0 0
Z R Z Z 2
0
2
r sin # d
2 %0 Z R Z max 0 0
0
%0
dr d#d' 0
=
r dr d:
rr sin # d#
r 0 min
0 0 0
Fall 1: r > R (max = r + r0 ; min = r
(4.72)
r0 )
2 %0 Z R 0
4 3
(~r) =
( r (r + r0 (r r0)) dr0 =
%R =
r
r 3 0
0
Hier geht nur die Gesamtmasse M und der Abstand r ein.
M
:
r
(4.73)
Fall 2: r < R Fur die Integration unterscheiden wir: i) r > r0 , d.h. max = r + r0 ; min =
r r0 und ii) r0 > r, d.h. max = r + r0 ; min = r0 r. Die elementare Integration ergibt:
Z R
2 %0 Z r 0
( r (r + r0 (r r0 )) dr0 + r0 (r + r0 (r0 r)) dr0)
r
0
r
"
#
2 %0 Z r 02 0 Z R 0
R2 r 2
0
=
( 2r dr + r 2r dr ) = 4 %0
:
(4.74)
r
2
6
0
r
~ (~r).
Das Gravitationsfeld ~g(~r) folgt dann als negativer Gradient von (~r), d.h. ~g (~r) = r
(~r) =
4.3 Kleine Schwingungen
4.3.1 Der lineare harmonische Oszillator
Die Bewegungsgleichung fur einen "linearen harmonischen Oszillator\ lautet:
mx = kx
k > 0;
oder mit
k
!02 = ;
m
2
x + !0 x = 0:
Die allgemeine (reelle) Losung der Dierenzialgleichung (4.77) lautet dann:
x = A1 cos !0 t + A2 sin !0 t
oder
(4.75)
(4.76)
(4.77)
(4.78)
x = C sin(!0 t + Æ ):
(4.79)
Sie enthalt 2 Integrationskonstanten A1 und A2 bzw. C und Æ . In (4.79) gibt Æ die Phase der
Schwingung zur Zeit t = 0 an; die Amplitude C ist weiterhin mit der Energie verknupft,
was man wie folgt sieht: Die potentielle Energie des Oszillators ist:
1
U (x) = kx2 :
(4.80)
2
60
Der Energiesatz lautet also:
1
1
E = mx_ 2 + kx2 = const:
2
2
oder
(4.81)
o
C2 n 2 2
kC 2
m!0 cos (!0 t + Æ ) + k sin2 (!0 t + Æ ) =
:
(4.82)
2
2
In den Umkehrpunkten x = C ist also die kinetische Energie T = 0, die potentielle
Energie U maximal. Umgekehrt ist in der Gleichgewichtslage (x = 0) die potentielle
Energie U = 0 und die kinetische Energie maximal (siehe Abb. 4.11).
E=
Abbildung 4.11:
Beispiel: Fadenpendel (Abb. 4.12)
 nderung des Drehimpulses ist gegeben durch
Die A
d
d
~ )z =
lz = (ml2 '_ ) = (~r K
dt
dt
oder
g
' + sin ' = 0:
l
Fur kleine Ausschlage, sin ' ', folgt
' + !02 ' = 0 mit !02 =
mgl sin '
(4.83)
(4.84)
g
:
(4.85)
l
Fur groere Pendelausschlage erhalt man eine 'anharmonische Schwingung'.
4.3.2 Dampfung
Wir erweitern die Bewegungsgleichung (4.77) zu:
x + !02 x + 2 x_ = 0;
61
> 0;
(4.86)
Abbildung 4.12:
wobei der geschwindigkeitsabhangige Term (2 x_ ) eine Dampfung beschreibt. Mit dem
Losungsansatz x(t) = et erhalten wir durch Einsetzen in (4.86):
2 + !02 + 2 = 0
(4.87)
mit den beiden Losungen
q
1;2 = 2 !02:
(4.88)
Die allgemeine Losung von (4.86) ist dann eine Linearkombination der Basislosungen
e1 t und e2 t . Fur die weitere Diskussion sind folgende Falle zu unterscheiden:
i) < !0 (schwache Dampfung)
Mit
q
2 !02 = i!
konnen wir die allg. Losung schreiben als
x(t) = A1 ei!t + A2 e i!t e t
mit den Integrationskonstanten A1 und A2 , oder in reeller Form:
x(t) = ce t sin(!t + Æ ):
Diese Gleichung beschreibt eine gedampfte Schwingung (siehe Abb. 4.13).
(4.89)
(4.90)
(4.91)
ii) = !0 (kritische Dampfung)
Dann wird 1 = 2 und der Ansatz x = et liefert nur eine der beiden Basislosungen. Als
zweite Basislosung erweist sich
x(t) = te t
Die allg. Losung im "aperiodischen Grenzfall\ hat dann die Form:
x = A1 e t + A2 te t :
62
(4.92)
(4.93)
x
t
Abbildung 4.13:
iii) > !0 (starke Dampfung)
Wir setzen
q
2
und bekommen als allg. Losung:
x = (A1 e
!02 = > 0
(4.94)
t + A et )e t :
(4.95)
2
Wir erhalten dann eine aperiodische Bewegung; da > strebt x(t) ! 0 fur groe t.
Energiebilanz: Multiplikation von (4.86) mit mx_ liefert:
!
d m 2 k 2
x_ + x = 2m x_ 2 < 0:
dt 2
2
(4.96)
Der Oszillator verliert also auf Grund der Reibung ( ) dauernd Energie.
4.3.3 Erzwungene Schwingungen; Resonanz
Wir betrachten einen gedampften harmonischen Oszillator unter Einu einer aueren
Kraft f (t):
1
x + !02 x + 2 x_ = f (t):
(4.97)
m
Die allg. Losung setzt sich zusammen aus der allg. Losung der homogenen Gleichung
und einer spez. Losung der inhomogenen Gleichung; letztere wollen wir fur den wichtigen
Spezialfall einer periodischen Kraft bestimmen,
1
f (t) = f0 cos !t:
m
63
(4.98)
Wahlt man den Ansatz:
x = cos(!t ')
(4.99)
so folgt aus (4.97):
!02
! 2 cos (!t ') 2! sin (!t ') = f0 cos !t:
(4.100)
Man ndet nach Quadrieren von (4.100) unter Verwendung der Additionstheoreme
cos(
) = cos cos + sin sin sin(
) = sin cos fur den Phasenwinkel ':
cos sin 2!
tan ' = 2
!0 ! 2
und fur die Amplitude
(4.101)
(4.102)
f0
:
(4.103)
(! 2 !02 )2 + 4 2 ! 2
Zu der speziellen Losung der inhomogenen Gleichung tritt noch die allgemeine Losung
der homogenen Gleichung, d.h. eine freie gedampfte Schwingung. Wegen des Faktors e t
ist dieser Anteil nach genugend langer Zeit abgeklungen und es bleibt die inhomogene
Losung als "stationare Losung\ , unabhangig von den Anfangsbedingungen.
Die Amplitude und Phase ' der stationaren Losung haben folgenden Verlauf in Abhangigkeit von ! (siehe Abb. 4.14):
=
q
β
π
0
ϕ
π/2
β=0
0
ω0
ω
Abbildung 4.14:
Fur kleine Frequenzen ! kann das System der aueren Kraft (praktisch) ohne Verzogerung
folgen: ' ! 0 fur ! ! 0. Mit wachsendem ! nimmt ' zu, erreicht fur ! = !0 , wo die
Frequenz der aueren Kraft gleich der 'Eigenfrequenz' !0 des Oszillators ist, den Wert
64
=2 und strebt fur ! ! 1 gegen den Wert , wo der Osillator gegenphasig zur aueren
Kraft schwingt.
Fur den Sonderfall ! 0 wechselt ' sprungartig von 0 auf fur ! = !0 (gestrichelte
2 . Falls ! 2 > 2 2 ,
Linie in Abb. 4.14). Die Amplitude hat fur ! = 0 den Wert f0 =!
0
q0
wachst mit steigender Frequenz ! , erreicht ein Maximum fur !a = !02 2 2 !0 und
strebt dann monoton gegen null (siehe Abb. 4.15).
ξ
β
f 0 / ω0
0
2
β=0
ωa ω0
Abbildung 4.15:
Fur starke Dampfung, 2 2 > !02 , bildet sich kein Maximum aus; strebt mit wachsendem
! gegen Null, beginnend bei f0 =!02 fur ! = 0.
Von besonderer Bedeutung ist die Frequenz ! = !0 . Dort passiert die Phase ' den Wert
=2 und die von der aueren Kraft geleistete Arbeit wird maximal ('Energieresonanz').
Beweis: Wir berechnen die von der aueren Kraft wahrend der Zeit T = 2=! am
Oszillator geleistete, mittlere Arbeit:
mf0 Z T
1ZT
K x_ dt =
x_ cos !t dt;
(4.104)
Wf =
T 0 f
T 0
wobei
x_ = ! sin (!t ')
(4.105)
ist. Ergebnis:
mf02 ! 2
Wf = 2
:
(4.106)
(! !02)2 + (2! )2
Aus der Forderung:
d
d
mf02 ! 2
W f (! ) =
=0
(4.107)
d!
d! (! 2 !02 )2 + (2! )2
ndet man, da die mittlere auf den Oszillator ubertragene Energie W f ein Maximum
hat fur ! = !0 .
65
Die zugefuhrte Energie W f kompensiert exakt die Energie, die der Oszillator auf Grund
der Dampfung - gemittelt uber die Periode T - verliert (4.96), d.h.
W =
2m Z T 2
1 Z T dE
dt =
x_ dt = W f :
T 0 dt
T 0
(4.108)
Beispiele:
1. Ionenkristalle, z.B. NaCl
Fallt eine Lichtwelle auf einen solchen Kristall, so versetzt das oszillierende, elektrische Feld der Lichtwelle die positiv geladenen Ionen in Schwingung relativ zu den
negativ geladenen Ionen. Der Kristall nimmt dabei Energie auf, die der Lichtwelle
entzogen wird; die Absorption von Energie durch den Kristall ist maximal, wenn
die Frequenz ! des Lichtes zusammenfallt mit der Eigenfrequenz !0 des Kristalls.
2. Durch Abstimmung eines elektrischen Schwingkreises kann man die Eigenfrequenz !0 eines Radios auf die Frequenz ! der Radiowelle eines bestimmten Senders
einstellen. Der Empfanger absorbiert dann hauptsachlich Radiowellen des gewunschten Senders.
3. Mikrowellenherd
Durch Abstimmung der Frequenz der Mikrowelle !0 werden resonant Schwingungen der H2 O Molekule angeregt; die aufgenommene Schwingungsenergie wird in
thermische Energie durch Wechselwirkungen umgesetzt.
4.3.4 Gekoppelte harmonische Schwingungen
einfaches Beispiel: 2 gekoppelte Pendel (Abb. 4.16)
Abbildung 4.16:
2 Teilchen mit den Massen m1 und m2 , die sich nur langs einer Geraden (x-Achse) bewegen
konnen, seien miteinander durch eine anziehende Kraft (k) gekoppelt, die proportional zur
Dierenz der Auslenkungen aus der Ruhelage (x1 = 0, x2 = 0) wachst. Auerdem sollen
die Teilchen durch Federkrafte (k1 , k2 ) an ihre Ruhelagen gebunden sein. Dann lauten die
Bewegungsgleichungen:
m1 x1 = k1 x1 k(x1 x2 )
(4.109)
66
m2 x2 = k2 x2 k(x2 x1 ):
(4.110)
Die Terme k1 x1 und k2 x2 sind "auere Krafte\, dagegen ist k12 = k(x1 x2 ) = k21
eine "innere Kraft\, fur die das Actio=Reactio-Prinzip gilt.
Zur Losung der Bewegungsgleichungen formen wir um:
k
x1 + !12 x1 = x2
m1
k
x2 + !22 x2 = x1
m2
mit
!i2 =
k + ki
; i = 1; 2
mi
(4.111)
(4.112)
(4.113)
Struktur des Problems:
Fur k = 0 hatten wir 2 entkoppelte Oszillatoren; fur k 6= 0 beschreiben die rechten Seiten
von (4.111) und (4.112) die Kopplung.
Wir betrachten weiter den vereinfachten Fall:
m1 = m2 = m ; k1 = k2 = k0 ! !1 = !2 = !0
also:
Mit dem Losungsansatz
k
x1 + !02 x1 = x2
m
k
x2 + !02 x2 = x1 :
m
x1 = a1 cos !t ; x2 = a2 cos !t
folgt
(!02
! 2 )a1
und
k
a =0
m 2
(4.114)
(4.115)
(4.116)
(4.117)
(4.118)
k
a1 + (!02 ! 2 )a2 = 0:
(4.119)
m
Damit das lineare Gleichungssystem fur die Unbekannten a1 und a2 nicht-triviale Losungen hat, mu die Determinante der KoeÆzienten verschwinden:
k
2 !2)
(!0
m
(4.120)
k
2 ! 2 ) = 0
(
!
0
m
also:
Die Losungen sind:
(!02
k2
! 2 )2 = 2 :
m
67
(4.121)
1. !a =
q
k0 +2k ;
m
dann folgt:
a1 = a2 ;
(4.122)
d.h. die Teilchen schwingen in Gegenphase ("antisymmetrische Schwingung\ ).
2. !s =
q
k0 :
m
In diesen Fall erhalt man eine "symmetrische Schwingung\ ,
a1 = a2 ;
(4.123)
d. h. die Feder k wird uberhaupt nicht
beansprucht. Daher schwingen die Teilchen
q
k
0
mit der ungestorten Frequenz ! = m , so als ware die Kopplung nicht vorhanden.
Im Fall 1.) dagegen wird die Feder k wahrend der Schwingung gestreckt bzw. zusammengedruckt. Die allgemeine Losung ist eine Superposition beider Losungen und lautet:
x1 = As cos(!st + s ) + Aa cos(!a t + a );
(4.124)
x2 = As cos(!s t + s ) Aa cos(!a t + a ):
(4.125)
Sie enthalt 2 2 = 4 freie Konstanten (As, Aa , s , a ) entsprechend der Zahl der Freiheitsgrade des Systems.
Die oben gefundenen Schwingungstypen legen es nahe, "Normalkoordinaten\ einzufuhren:
qs = x1 + x2
(4.126)
qa = x1 x2 :
(4.127)
In den Variablen qs , qa liegen dann entkoppelte Bewegungsgleichungen vor:
qs + !02
!
k
q = 0;
m s
(4.128)
!
k
qa + !02 +
q = 0;
m a
(4.129)
wie man leicht durch Einsetzen in (4.115) und (4.116) sieht. Entsprechend ndet man fur
die Energie:
m
k
m
k
k
E = x_ 21 + 0 x21 + x_ 22 + 0 x22 + (x1 x2 )2
2
2
2
2
2
m
k
m
k + 2k 2
= q_s2 + 0 qs2 + q_a2 + 0
qa :
(4.130)
4
4
4
4
Das oben skizzierte Verfahren der Entkopplung von Schwingungen durch Einfuhrung von
Normalkoordinaten ist in der harmonischen Naherung generell moglich.
Beispiel: Schwingungen von Molekulen und Kristallen.
68
Kapitel 5
Relativistische Mechanik
5.1 Spezielle Relativitatstheorie
5.1.1 Lorentz-Transformation
Das Galilei'sche Relativitatsprinzip (siehe Kap. 2.1) lautet: Die Grundgesetze der Mechanik haben in allen Inertialsystemen die gleiche Form. Dabei sind zwei Inertialsysteme und 0 miteinander verknupft durch eine Galilei-Transformation (siehe Kap.
2.1.2)
~r0 = ~r ~v0 t;
t0 = t;
(5.1)
woraus fur die Geschwindigkeiten folgt:
~v 0 = ~v ~v0 :
(5.2)
Die Beziehungen (5.1) und (5.2) sind zu benutzen, wenn zwei Inertialbeobachter, die
sich mit der konstanten Geschwindigkeit ~v0 relativ zueinander bewegen, ihre Messungen
vergleichen wollen.
Die Newton'schen Bewegungsgleichungen sind (als Grundgesetz der Mechanik) in der Tat
invariant unter Galilei-Transformationen, da nach (5.1) und (5.2) gilt
~b0 = ~b
(5.3)
und die Masse in der Newton'schen Mechanik eine vom Bewegungszustand unabhangige
Eigenschaft eines Massenpunktes ist. Die Erhaltungssatze fur Energie, Impuls und Drehimpuls sind ebenfalls Galilei invariante Aussagen (vgl. Kap. 3.3 und 3.4).
Das Galilei'sche Relativitatsprinzip hat sich fur 'kleine' Teilchengeschwindigkeiten gut
bewahrt. Schwierigkeiten ergeben sich jedoch: i) fur 'schnell bewegte' Teilchen und
ii) bei der U bertragung auf die Elektrodynamik, speziell die Optik.
Bewegt sich namlich eine Lichtquelle gegenuber einem Beobachter mit der Geschwindigkeit ~v0 , so ware nach (5.2) die Geschwindigkeit eines von der Lichtquelle ausgehenden
Signals c v0 , je nachdem ob sich Lichtquelle und Beobachter einander nahern oder voneinander entfernen. Die Maxwell-Gleichungen (siehe Elektrodynamik), speziell die Wellengleichungen im Vakuum konnten dann nur in einem einzigen Bezugssystem gelten.
69
Alle Versuche (wie z.B. der Michelson-Versuch), die die Existenz eines solchen absolut
ruhenden Systems nachzuweisen, sind eindeutig gescheitert.
Die richtige Konsequenz aus diesem oensichtlichen Problem zog Einstein. Seine Spezielle Relativitatstheorie baut auf 2 Postulaten auf:
1) Die Naturgesetze sind in allen Inertialsystemen gleich.
2) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Lichtsignalen im Vakuum ist in allen
Inertialsystemen gleich.
Da die Postulate 1.) und 2.) nicht mit (5.1), (5.2) vertraglich sind, mussen wir nach
 bergang von einem Inertialsystem auf ein anderes
einer neuen Transformation fur den U
0
Inertialsystem suchen.
5.1.2 Herleitung der Lorentz-Transformation
Wir betrachten zwei Inertialsysteme ; 0 , die sich mit konstanter Geschwindigkeit v = v0
(der Einfachheit halber) in x-Richtung relativ zueinander bewegen. Ein Lichtsignal werde
vom Ursprung O von zur Zeit t=0 ausgesandt, wobei O gerade mit dem Ursprung O0
von 0 zusammenfallt. Nach dem Einstein'schen Relativitatsprinzip mussen 2 Beobachter
in und 0 die Ausbreitung des Lichtsignals nach den gleichen Gesetzen beschreiben.
Fur den Beobachter in breitet sich das Signal als Kugelwelle mit Ursprung in O aus,
deren Front zur Zeit t den Abstand r = ct von O hat. Die Wellenfront ist also bestimmt
durch:
r2 = x2 + y 2 + z 2 = c2 t2 :
(5.4)
Fur den Beobachter in 0 liegt das Zentrum der Kugelwelle in O0 , fur ihn gilt anstelle von
(5.4):
r02 = x02 + y 02 + z 02 = c2 t02 :
(5.5)
Die Beobachtungen (5.4) und (5.5) sind mit (5.1) nicht vertraglich, denn aus (5.5) folgt
mit (5.1):
(x vt)2 + y 2 + z 2 = c2 t2 ;
(5.6)
was fur v 6= 0 nicht mit (5.4) ubereinstimmt. Wir versuchen nun (5.1), (5.2) so zu modizieren, da durch die neue Transformation (5.4) und (5.5) ineinander ubergehen.
Die gesuchte Transformation mu linear sein, damit die kraftefreie Bewegung eines Teilchens im System auch in jedem anderen Inertialsystem 0 kraftefrei ist: die Bahnglei bergang auf 0 eine in ~r0 und t0 lineare Beziehung
chung ~r = ~vt + const: in mu beim U
ergeben. Wegen der Homogenitat von Raum und Zeit konnen wir und 0 stets so wahlen,
da fur t=0 die Punkte O und O0 zusammenfallen; die gesuchte Transformation ist dann
homogen. Fur den oben gewahlten Fall
~v = (v; 0; 0)
(5.7)
kann man auf Grund der Raum-Isotropie die Achsen in 0 immer so wahlen, da die
x0 -Achse dauernd mit der x-Achse zusammenfallt. Fur einen Punkt auf der x-Achse mit
y = 0 = z in gilt dann auch in 0 stets: y 0 = 0 = z 0 . Damit zerfallt die gesuchte
Transformation
(x; y; z; ct) ! (x0 ; y 0; z 0 ; ct0 )
(5.8)
70
derart, da
(x; ct) ! (x0 ; ct0 )
(5.9)
und
(y; z ) ! (y 0; z 0 ):
Durch eine Drehung um die x-Achse kann man dann stets erreichen, da
y = y 0;
z = z 0 ;
(5.10)
(5.11)
wegen der Gleichwertigkeit der Systeme und 0 mu dann = 1 sein:
y0 = y;
z 0 = z:
(5.12)
t0 = a3 x + a4 t:
(5.13)
Fur die Transformation (5.9) setzen wir an:
x0 = a1 x + a2 t;
Da der Ursprung O0 von 0 relativ zu die Geschwindigkeit v hat, folgt aus
sofort
Also wird aus (5.13):
0 = a1 x + a2 t
(5.14)
a2 = a1 v:
(5.15)
x0 = a1 (x vt);
t0 = a3 x + a4 t:
(5.16)
Die restlichen KoeÆzienten a1 ; a3 ; a4 bestimmen wir aus der Forderung, da (5.5) mit
(5.12), (5.16) in (5.4) ubergehen soll. Damit
(a21 a23 c2 )x2 + y 2 + z 2 = 2(a21 v + c2 a3 a4 )xt + (c2 a24 a21 v 2 )t2
(5.17)
fur alle x; y; z; t mit (5.4) ubereinstimmt, mu gelten:
a21 c2 a23 = 1;
a24 2 a21 = 1;
a21 v + c2 a3 a4 = 0
mit der Abkurzung
v
= :
c
Die Kombination der ersten beiden Gleichungen in (5.18) ergibt
c2 a23 a24 = (a21 1)(1 + 2 a21 );
damit folgt aus der 3. Gleichung in (5.18) (aufgelost nach a3 a4 ):
a41 2 = (a21 1)(1 + 2 a21 ) = a21 + a41 2 a21 2
also
(5.19)
(5.20)
1;
! a21 = 1 1 2 :
a21 + 1 + 2 a21 = 0
71
(5.18)
(5.21)
(5.22)
Mit (5.22) ergibt (5.18):
2
2
a4 = 1 +
= a21 ;
2
1 a21 1
2
2
a3 = 2 = 2
:
c
c (1 2 )
Die Wahl der Vorzeichen steht noch aus: Fur ubergehen, also:
1
;
a1 = a4 = p
1 2
(5.23)
! 0 sollen (5.12) und (5.13) in (5.1)
p
:
c 1 2
a3 =
(5.24)
Die Lorentz-Transformation lautet damit:
x0 =
2
px1 vt 2 ; y0 = y; z0 = z; t0 = tp1 vx=c
:
2
x=
px 1+ vt 2 ; y = y0; z = z0 ; t = t p+1vx =c2
Die Umkehrung
0
0
0
0 2
(5.25)
(5.26)
erhalt man durch Ersetzung von v durch v , d.h. durch Vertauschen der gleichberechtigten
Systeme und 0 .
5.1.3 Raum-Zeit Diagramme
Die Zusammenhange zwischen Inertialsystemen lassen sich in einem Raum-Zeit Diagramm
darstellen. Auer der Koordinate x0 = ct betrachten wir noch eine reprasentative OrtsKoordinate x1 . Punkte (x0 ; x1 ), oder allgemein (x0 ; x1 ; x2 ; x3 ), in diesem Diagramm heien
Ereignisse oder Weltpunkte. Die Verbindung zweier Weltpunkte durch eine Weltlinie
kann die Bahn eines Massenpunktes oder eines Lichtsignals sein.
Entscheidend fur die Darstellung von Ereignissen in verschiedenen Inertialsystemen ist
die Tatsache, da der Weltabstand eines Ereignisses vom Ursprung
s2 = c2 t2 r2
(5.27)
invariant unter Lorentz-Transformationen ist (siehe (5.4), (5.5)). In der 2-dimensionalen
Darstellung in der x0 ; x1 Ebene ist
r2 = x21
(5.28)
zu setzen; allgemein:
r2 = x21 + x22 + x23 :
(5.29)
Nach (5.4) ist die Lichtausbreitung, d.h. die Weltlinien von Photonen, gekennzeichnet
durch
s2 = 0:
(5.30)
In der 2-dimensionalen Darstellung reduziert sich (5.30) auf die beiden Geraden
x1 = x0 ;
72
(5.31)
nimmt man eine weitere Ortskoordinate x2 hinzu, so erhalt man aus (5.31) durch Rotation
um die x0 -Achse einen Kegel (Lichtkegel), im allgemeinen Fall einen Hyperkegel in 4
Dimensionen. Gleichung (5.30) beschreibt fur x0 < 0 ein Lichtsignal, das am Ursprung
(0; 0) eintrit, fur x0 > 0 ein Lichtsignal, welches von (0; 0) ausgesandt wird.
Der Lichtkegel unterteilt den Minkowski-Raum (Abb. 5.1) in 2 Bereiche fur
s2 > 0 und s2 < 0:
(5.32)
Das Gebiet s2 > 0 umfat die Vergangenheit, x0 < 0, aus der ein Beobachter in (0; 0)
Signale empfangen kann, und die Zukunft, x0 > 0, in die er Signale senden kann. Pkysikalisch von uns realisierbare Weltlinien verlaufen immer im Gebiet s2 > 0, da c die
Grenzgeschwindigkeit fur den Transport von Materie oder Energie darstellt (siehe unten).
Abbildung 5.1:
Das Gebiet s2 < 0 ist fur uns nicht erreichbar; wir konnen weder dorthin gelangen,
noch von dort (nach dort) Signale empfangen (senden). In diesem (raumartigen) Gebiet
konnte es Teilchen geben, fur die die Lichtgeschwindigkeit c eine untere Grenze bildet (Tachyonen). Solche Spekulationen sind jedoch fur die weitere Formulierung der Mechanik
ohne Bedeutung.
Bemerkung: Die obige Unterteilung von Vergangenheit, Zukunft und raumartigen Weltpunkten (s2 < 0) ist in jedem Inertialsystem diesselbe, da der trennende Lichtkegel eine
Lorentz-Invariante ist!
Um 2 Inertialsysteme ; 0 in einem Minkowski-Diagramm darzustellen, schreiben wir
(5.25) in der Form
x00 = (x0 x1 );
x01 = (x1 x0 )
(5.33)
mit der Abkurzung
1
=p
:
(5.34)
1 2
73
Die x01 -Achse ist dann die Gesamtheit aller Punkte mit x00 = 0; umgekehrt ist die x00 -Achse
durch x01 = 0 bestimmt. Dann folgt aus (5.33):
0 = (x0
x1 ) ! x0 = x1 ; 0 = (x1
x0 ) ! x1 = x0 :
(5.35)
Die Achsen in 0 sind also Geraden durch den Ursprung, die symmetrisch zum Lichtkegel
liegen und gegen die Achsen in um den Winkel geneigt sind, fur den gilt:
tan = :
(5.36)
Abbildung 5.2:
Zur Festlegung von (Zeit- und Langen-) Einheiten benutzen wir, da die Groe s2 Lorentzinvariant ist. Der Schnittpunkt der Hyperbel (bzw. des einschaligen Hyperboloids)
s2 = 1
(5.37)
mit der (positiven) x1 - bzw. x01 -Achse ist der Punkt (0; 1) in bzw. 0 ; er deniert die
Langeneinheit. Der Schnittpunkt der Hyperbel (bzw. des zweischaligen Hyperboloids)
s2 = +1
(5.38)
mit der (positiven) x0 - bzw. x00 -Achse ist der Punkt (1; 0) in bzw. 0 , der die Zeiteinheit
deniert.
74
5.2 Konsequenzen der Lorentz-Transformationen
5.2.1 Addition von Geschwindigkeiten
Ein Massenpunkt bewege sich in mit der Geschwindigkeit
d~r
:
(5.39)
dt
Wir suchen nun den Zusammenhang von ~v mit der von einem anderen Inertialbeobachter
in 0 festgestellten Geschwindigkeit des Massenpunktes
~v =
~v 0 =
d~r0
:
dt0
(5.40)
Dazu bilden wir die Dierentiale zu (5.25):
dx0 = (dx vdt) = (vx
Dann wird
v )dt; dt0 = (dt
v
dx) = (1
c2
p1 2
p1 2
dy 0 dy
0
vy = 0 =
= vy
dt
dt (1 vvx=c2 )
(1 vvx=c2 )
p1 2
0 dz p1 2
dz
vz0 = 0 =
= vz
;
dt
dt (1 vvx=c2 )
(1 vvx =c2 )
da dy 0 = dy; dz 0 = dz . Dagegen erhalten wir fur vx0 mit (5.41):
und ebenso
p1 2
vx v
dx0 dx0
0
=
:
vx = 0 =
2
dt
dt (1 vvx =c ) (1 vvx =c2 )
vvx
)dt:
c2
(5.41)
(5.42)
(5.43)
(5.44)
Spezialfall: Fur vy = vz = 0 wird
vx0 =
vx v
; v 0 = 0; vz0 = 0;
(1 vvx=c2 ) y
und man erhalt fur den Grenzfall
i) v c
gerade (5.2) und im Limes
ii) v ! c
vx0 = vx
v
jvx0 j ! c;
womit c die Rolle einer Grenzgeschwindigkeit spielt.
75
(5.45)
(5.46)
(5.47)
5.2.2 Lorentz-Kontraktion
Wir betrachten einen Stab der Lange l0 , der im System ruht und (der Einfachheit
halber) in x-Richtung liegen moge. Die Koordinaten der Endpunkte des Stabes x1 ; x2
sind dann unabhangig von der Zeit t in und es ist
l0 = x2 x1
(5.48)
die Ruhelange des Stabes. Um die Lange des Stabes in einem System 0 , das sich relativ zu mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, zu berechnen, mu man die
Koordinaten der Endpunkte x01 ; x02 gleichzeitig in 0 , d.h. zu einer Zeit t01 = t02 = t0 ,
bestimmen; die so bestimmte Lange
l0 = x02 x01
(5.49)
ist dann gema (5.25) mit l0 verknupft durch:
l0 = x2 x1 = (x02 x01 ) = l0
(5.50)
oder
l
(5.51)
l0 = 0 < l0 ;
da > 1. Der gegenuber dem Stab bewegte Beobachter in 0 beurteilt dessen Lange also
kurzer als die Ruhelange in : Lorentz-Kontraktion. Senkrecht zur Bewegungsrichtung
ergeben Langenmessungen in und 0 das gleiche Resultat.
Wenn umgekehrt ein Beobachter in einen in 0 ruhenden Stab mit, stellt auch er
nach dem Relativitatsprinzip eine Verkurzung fest, nicht etwa eine Verlangerung! Die
Lorentz-Kontraktion bedeutet keine Veranderung des Objektes Stab, sondern nur eine
unterschiedliche Betrachtungsweise der Beobachter in und 0 . Entscheidend fur das
Verstandnis der Lorentz-Kontraktion ist der Begri
5.2.3 Gleichzeitigkeit
Wir betrachten zwei Ereignisse, die im Inertialsystem in den Punkten x1 und x2 mit
x1 6= x2 zur gleichen Zeit t1 = t2 = t stattnden. Nach der Lorentz-Transformation (5.25)
sind die beiden Ereignisse in einem anderen Inertialsystem 0 nicht nur raumlich getrennt,
x01 6= x02 , sondern nden dort auch zu verschiedenen Zeiten t01 6= t02 statt: Das Ereignis, das
zur Zeit t am Ort x1 in stattndet, wird in 0 zur Zeit
t01 = (t vx1 =c2 )
(5.52)
beobachtet; entsprechend das Ereignis, das in am Ort x2 zur Zeit t stattndet, zur Zeit
t02 = (t vx2 =c2 )
(5.53)
in 0 . Also ist
t0 = t02 t01 6= 0
(5.54)
0
falls x1 6= x2 . Die in gleichzeitigen Ereignisse sind in nicht mehr gleichzeitig.
Gleichzeitigkeit kann immer nur in einem bestimmten System deniert werden und geht
 bergang auf ein anderes System verloren. Damit mu das Newton'sche Konzept
beim U
der absoluten Zeit aufgegeben werden. Damit zusammen hangt auch die
76
5.2.4 Zeitdilatation
Wir betrachten einen Sender am Ort x im System , welcher im Abstand
t = t2
t1
(5.55)
Signale aussendet. Fur einen Beobachter in einem System 0 , welches sich langs der xAchse von mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt, ergibt sich nach (5.25) der zeitliche
Abstand der Signale zu
t0 = t02 t01 = t > t:
(5.56)
Die in 0 gemessene Zeit t0 ist also langer als die in gemessenen Eigenzeit = t des
Senders (Zeitdilatation). Beobachter in verschiedenen Inertielsystemen messen also verschiedene Zeitabstande der Signale, berechnen aber uber (5.56) alle die gleiche Eigenzeit
. Analog zur Lorentz-Kontraktion bedeutet die Zeitdilatation nicht eine Veranderung
des Objektes Sender.
5.2.5 Kausalitat und Grenzgeschwindigkeit von Signalen
Das Kausalitatsprinzip besagt: Wenn ein Ereignis A Ursache eines anderen Ereignisses B ist, so darf es kein Inertialsystem geben, in dem B vor A stattndet.
Andernfalls konnte man durch Wechsel des Bezugsystems die zeitliche Reihenfolge von
Ursache und Wirkung vertauschen.
Als Folge des Kausalitatsprinzips ist die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum eine obere
Grenze fur die U bermittlung von Information in Form von Energietransport (Lichtsignal)
oder Massentransport (Austausch von Teilchen).
Erlauterung: Ein Neutron moge im System am Ort A entstehen (z.B. durch den Zerfall
eines angeregten Atomkerns) und sich von dort zum Ort B bewegen, wo es zerfallt. Dann
darf es nach dem Kausalitatsprinzip kein anderes Inertialsystem 0 geben, fur dessen
Beobachter das Neutron in B zerfallt bevor es in A entstanden ist.
Wir nehmen nun an, das Neutron bewege sich mit Geschwindigkeit v = c mit > 1 und
zeigen, da dies im Widerspruch zum Kausalitatsprinzip steht: In 0 ndet man fur das
Zeitintervall t0 zwischen Entstehung und Zerfall des Neutrons
t0 = (t v x=c2 );
(5.57)
wenn 0 sich relativ zu mit der Geschwindigkeit v langs der x-Achse bewegt. t ist die
Laufzeit des Neutrons in , x die entsprechende Strecke,
x = ct:
Damit wird:
v
);
c
und da > 1 angenommen war, kann man v < c so wahlen, da
v
(1
) < 0:
c
t0 = t(1
77
(5.58)
(5.59)
(5.60)
Es gabe dann ein System 0 , in dem t0 < 0 bei t > 0, d.h. in dem das Neutron in B
zerfallt, bevor es in A entstanden ist!

Bemerkung: Die obigen Uberlegungen
schlieen nicht aus, da geometrische Geschwindigkeiten > c auftreten. Man kann z.B. den Lichteck, der auf dem Mond von einem von
der Erde ausgesandten Laserstrahl erzeugt wird, mit einer Geschwindigkeit > c uber die
Mondoberache wandern lassen. Dies widerspricht nicht dem Kausalitatsprinzip, denn der
Weg des Lichtecks auf dem Mond ist nur die Gesamtheit der Auftrepunkte einzelner
Lichtimpulse, von denen jeder die Strecke Erde-Mond mit der Geschwindigkeit c zurucklegt. Die Geschwindigkeit des Lichtecks ist nicht mit dem Transport von Masse oder
Energie auf der Mondoberache verbunden! Geschwindigkeiten > c konnen auch bei der
Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in dispersiven Medien in Form von Phasengeschwindigkeiten auftreten.
5.2.6 Beispiele und Erlauterungen
Lebensdauer von Myonen
Ein Beispiel fur die Zeitdilation liefert die Beobachtung von Muonen ( ), welche beim
Eintritt der kosmischen Strahlung in der Erdatmosphare entstehen, an der Erdoberache.
Die Myonen entstehen zwischen hmin = 10 Km und hmax = 20 Km uber der Erdoberache;
ihre Mindestlaufzeit ist dann
h
t = min 30 10 6 sec: = 30s:
(5.61)
c
Die Lebensdauer eines (ruhenden) Myons ist jedoch nur 2 s, was einer maximalen
Laufstrecke von c 600 m entsprechen wurde! Folglich durften nach der Newton'schen
Mechanik die in den oberen Schichten der Erdatmosphare entstandenen Myonen die Erdoberache uberhaupt nicht erreichen!
Der scheinbare Widerspruch lost sich im Rahmen der Einstein'schen Relativitatstheorie
zwanglos: Der Zerfall der Myonen ist eine Struktureigenschaft und damit die Lebensdauer
vergleichbar der Eigenzeit einer Uhr. Die Lebensdauer im Ruhesystem ist daher von der
auf der Erde gemessenen Zeit t zu unterscheiden; Gleichung (5.56) zeigt, da fur 0.98 die obigen Werte fur und t miteinander vertraglich sind. Umgekehrt lost sich das
Problem aus der Sicht des Ruhesystems des Myons durch die Lorentz-Kontraktion der
Strecke von der oberen Atmosphare zur Erdoberache.
Lorentz-Kontraktion im Minkowski-Diagramm
Wir betrachten einen in ruhenden Einheitsmastab, der zur Zeit t = 0 die Endpunkte
O und A haben moge. Im Minkowski-Diagramm bewegt sich der Mastab senkrecht zur
x1 -Achse in positiver x0 -Richtung.
Fur einen Beobachter in 0 ist die Lange des Mastabs durch die Strecke von OA0 gegeben, welche oensichtlich kurzer ist als die Langeneinheit OB 0 in 0 . Letztere erscheint
umgekehrt fur einen Beobachter in auf die Strecke OB verkurzt (siehe Abb. 5.3).
78
Abbildung 5.3:
5.3 Mathematische Aspekte der Lorentz -Transformationen
Es soll weiterhin gezeigt werden, da die Grundgleichungen der relativistischen Mechanik
in allen Inertialsystemen die gleiche Form haben (Kovarianz) und damit dem Relativitatsprinzip genugen. Zur Vorbereitung untersuchen wir die mathematische Struktur der
Lorentz-Transformationen.
5.3.1 Lorentz-Gruppe
Zunachst soll gezeigt werden, da die Lorentz-Transformation als orthogonale komplexe
Transformationen in einem 4-dimensionalen pseudoeuklidischen Vektorraum (Minkowski-Raum) aufgefat werden kann. Dazu fuhren wir folgende Koordinaten ein:
x0 = ict;
x1 = x;
x2 = y;
79
x3 = z;
(5.62)
womit sich das Langenquadrat eines Raum-Zeit-Vektors in verschiedenen Bezugssystemen
und 0 schreiben lat als:
3
3
X
X
x2 = x02 :
(5.63)
=0
=0
Die allgemeine Lorentz-Transformation
x0 =
X
a x ;
; = 0; 1; 2; 3
(5.64)
mu die Lange des Vektors (x0 ; x1 ; x2 ; x3 ) invariant lassen:
3
X
x2 = r2 c2 t2 = const:
=0
(5.65)
In Analogie zum 3-dimensionalen euklidischen Raum kann man diese Bedingung als Orthogonalitatsrelation fur die TransformationskoeÆzienten a schreiben:
X
aT a = Æ ;
(5.66)
wo aT die zu a transponierte Matrix ist. Gleichung (5.66) folgt aus:
X
XX
X X
X
X
x2 =
a a x x = f aT a gx x = Æ x x = x2 :
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(5.67)
Fur eine Lorentz-Transformation in x1 -Richtung mit Geschwindigkeit = v=c hat die
Transformationsmatrix a die spezielle Gestalt
0
B
a = B
B
@
i
i 0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
C
C
C
A
(5.68)
mit 2 = 1=(1 2). Die in (5.68) enthaltene Auszeichnung der x1 -Achse lat sich beheben,
indem man (5.68) mit einer orthogonalen Transformation im R3 in Form einer Drehung
kombiniert. Grundlage dafur ist die Gruppeneigenschaft der Lorentz-Transformationen:
1) Fuhrt man 2 Lorentz-Transformationen nacheinander aus,
x0 =
X
x00 =
a x ;
X
a0 x0 ;
( ! 0 ! 00 );
(5.69)
a00 x ;
( ! 00 )
(5.70)
so ist das Ergebnis
x00 =
X
;
a0 a x =
X
wieder eine Lorentz-Transformation, denn fur die Matrizen a00 , a0 und a gilt:
(a00 )T a00 = (a0 a)T (a0 a) = aT (a0T a0 )a = aT a = 14 ;
80
(5.71)
da nach Voraussetzung
aT a = 14 ;
(a0 )T a0 = 14
(5.72)
ist mit 14 als der 4 4 Einheitsmatrix. Die Verknupfung zwischen den Elementen der
Gruppe ist also die (4 4) Matrix-Multiplikation.
2.) Das neutrale Element ist die 14 -Matrix fur Lorentz-Transformationen mit Geschwindigkeit v = 0.
3.) Zu jeder Transformation a gibt es eine inverse, da aus (5.66) folgt:
det(aT a) = (det(a))2 = 1;
also gilt:
det(a) 6= 0:
(5.73)
(5.74)
4.) Da die Matrix-Multiplikation assoziativ ist, gilt fur Lorentz-Transformationen auch
das Assoziativ-Gesetz.
Die orthogonalen Transformationen im R3 (Drehungen und Spiegelungen) bilden eine
Untergruppe der Lorentz-Gruppe, dargestellt durch
d =
mit i; k = 1,2,3 und
3
X
m=1
1 0
0 dik
!
(5.75)
dim dmj = Æij :
(5.76)
Die allgemeine Lorentz-Transformation (5.64) mit der Bedingung (5.66) erhalt man durch
Kombination von (5.68) mit (5.75), (5.76) und Hinzunahme der Zeitumkehr
x0i = xi ;
x00 = x0 ;
i = 1; 2; 3:
(5.77)
Die Lorentz-Transformationen umfassen also: Drehungen im R3 , Raum-Spiegelungen und
Zeitumkehr sowie den U bergang zwischen Inertialsystemen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen.
Bei einer Translation im Raum oder in der Zeit andert sich die Bedingung (5.63) nicht, da
sie nur raumliche und zeitliche Abstande enthalt. Die oben besprochene Gruppe der homogenen Lorentz-Transformationen konnen wir also noch durch Translationen in Raum
und Zeit erganzen. Man erhalt dann die 10-parametrige Poincare-Gruppe, welche 3
Parameter fur raumliche Drehungen, 3 Parameter fur Lorentz-boosts mit der Geschwindigkeit v und 4 Parameter fur raum-zeitliche Translationen enthalt. Sie wird heute als die
aller Physik zugrundeliegende Invarianz-Gruppe angesehen.
81
5.3.2 Lorentz-Skalare, -Vektoren, -Tensoren
Analog dem Fall der Gruppe der Drehungen denieren wir nun Tensoren (verschiedener
Stufen) bzgl. der Lorentzgruppe:
1.) Lorentz-Skalar
Wir nennen eine Groe einen Lorentz-Skalar, wenn sich unter Lorentz-Transformationen nicht andert,
! 0 = :
(5.78)
2
Ein Beispiel dafur ist die elektrische Ladung, das Massenquadrat M (siehe Kap. 5.4)
oder der Raum-Zeit-Abstand s2 .
2.) Lorentz-Vektor
Wir denieren einen Lorentz- oder Vierer-Vektor dadurch, da sich bei LorentzTransformationen seine Komponenten A ( = 0; 1; 2; 3) wie die Komponenten x transformieren
X
A ! A0 = a A :
(5.79)
Beispiele:
i) Die partiellen Ableitungen eines Lorentz-Skalars nach den x bilden die Komponenten
eines Vierer-Vektors, denn:
@ 0 X @ @x X @ =
(5.80)
0 = a @x :
@x0
@x @x
Dabei wurde die Umkehrformel zu (5.64) benutzt:
x =
X
a x0 :
(5.81)
ii) Die 4-Divergenz eines Vierer-Vektors ist ein Vierer-Skalar:
X @A0
= X X a a @A = X @A
0
@x
;
@x
@x
0
0
0
(5.82)
bei Beachtung von (5.66).
iii) Wahlt man als Komponenten des Vierer-Vektors gema (5.79)
@
A =
;
(5.83)
@x
so folgt aus (5.82):
X @2
X @2
=
0 :
(5.84)
2
2
@x
@x
P
Der Operator 2 = @ 2 =@x2 ist also invariant unter Lorentz-Transformationen. Daher
transformiert sich fur einen Vierer-Vektor mit den Komponenten A die Groe
X @2
(5.85)
2 A = 2A
@x
0
82
wie die -te Komponente eines Vierervektors.
iv) Das Skalarprodukt zweier Vierer-Vektoren ist ein Vierer-Skalar:
X
A0 B0 =
XX
;
a a A B =
X
A B :
(5.86)
3.) Lorentz-Tensoren 2. Stufe Auer den Skalaren ( Tensoren 0. Stufe) und den
Vektoren ( Tensoren 1. Stufe) werden wir noch auf Tensoren 2. Stufe treen. Sie sind
deniert als 4 4-Matrizen, deren Komponenten F die Transformationseigenschaft
0 =
F
X
;
a a F
(5.87)
besitzen.
5.3.3 Viererstromdichte
Als Beispiel fur einen Vierer-Vektor untersuchen wir das Transformationsverhalten der
Quellen j und des elektromagnetischen Feldes. Als Ausgangspunkt dient die Ladungserhaltung:
r j + @
= 0:
(5.88)
@t
Mit den Bezeichnungen
j0 = ic;
j1 = jx ;
j2 = jy ;
j3 = jz
(5.89)
konnen wir eine Kontinuitatsgleichung in Vierer-Notation schreiben als
X
@
j = 0:
@x (5.90)
Wegen der Ladungsinvarianz mu (5.90) in jedem Inertialsystem gelten, denn (5.90) ist
invariant unter Lorentz-Transformationen. Dann sind nach (5.82) j die Komponenten
eines Vierer-Vektors, der Vierer-Stromdichte.
Davon wollen wir uns fur einen einfachen Fall direkt uberzeugen: Wir betrachten eine im
System 0 ruhende Ladungsverteilung:
j00 = ic0 ;
j10 = j20 = j30 = 0:
(5.91)
Als Komponenten eines Vierer-Vektors mussen sich die j0 unter der Lorentz-Transformation
mit Geschwindigkeit = v=c in x1 -Richtung
x0 = (ix01 + x00 );
x1 = (x01
ix00 );
x2 = x02 ;
x3 = x03 ;
(5.92)
transformieren wie
j0 = ic0 ;
j1 = 0 v ;
j2 = 0;
83
j3 = 0:
(5.93)
Ein Vergleich mit (5.89) ergibt:
= 0 :
(5.94)
Nun wissen wir, da ein in 0 ruhendes Volumenelement dV0 fur einen Beobachter in die Groe
dV
dV = 0
(5.95)
aufgrund der Langenkontraktion hat. Die Ladungsinvarianz,
Z
V
dV =
Z
dV0 Z
= 0 dV0
0
(5.96)
zeigt also, da ic tatsachlich als 0.te Komponente eines Vierer-Vektors angesehen werden
kann. Weiter ist mit (5.94)
j1 = v
(5.97)
in U bereinstimmung mit der Denition der (gewohnlichen) Stromdichte; die Komponenten
von j sind also tatsachlich die 1,2,3-Komponenten eines Vierer-Vektors.
5.3.4 Vierer-Potential
In der Elektrodynamik tritt neben einem skalaren Feld , als dessen Quelle die Ladungsdichte j0 = ic fungiert, auch ein (Dreier-) Vektorpotential A auf, als dessen Quelle
die Stromdichte j zu betrachten ist (siehe (5.99)). Um das Transformationsverhalten eines (Dreier-) Vektorpotentials A und eines skalaren Potentials zu nden, arbeiten wir
zweckmaigerweise in der Lorentz-Eichung (siehe Elektrodynamik)
r A + c12 @@t = 0:
Dann gelten fur A und die inhomogenen Wellengleichungen
2A = 0j;
2 = :
0
Fuhrt man analog (5.89) ein
i
(A ) = ( ; A);
c
so kann man (5.99) zusammenfassen zu
2A = 0 j ;
wenn man benutzt:
(5.98)
(5.99)
(5.100)
(5.101)
0 0 = c 2 :
(5.102)
Da auf der rechten Seite von (5.101) die Komponenten eines Vierer-Vektors stehen und
der Dierentialoperator 2 nach (5.84) ein Vierer-Skalar ist, erweisen sich die A als Komponenten eines Vierer-Vektors.
84
Die Lorentz-Konvention (5.98) schreibt sich nun als:
X
@
A =0
@x (5.103)
und ist gema (5.82) Lorentz-invariant.
Ergebnis:
Die Gleichungen (5.90) und (5.103) sind Lorentz-invariant, d.h. sie andern sich nicht beim
U bergang von einem Inertialsystem auf ein anderes. Wenn in X
gilt, so auch in 0 :
@
j = 0;
@x X
@
A =0
@x (5.104)
X @
@ 0
j
=
0;
A0 = 0:
0
0
@x
@x
Die 4 Gleichungen (5.101) sind kovariant, denn aus (5.101) in folgt fur 0
X
2A0 = 0 j0 ;
da:
X
a 2A = 2
X
(5.105)
(5.106)
a A = 2A0 = 0
X
a j = 0 j0 :
(5.107)
5.3.5 Ebene Wellen
Eine ebene Welle im Vakuum sei beschrieben in einem Inertialsystem durch
X
A = A(0) exp(i(k r !t)) = A(0) exp(i k x )
mit den Abkurzungen:
!
k0 = i ;
k1 = kx;
k2 = ky ;
c
Wegen der Kovarianz der homogenen Wellengleichung
k3 = kz :
2 A = 0
(5.108)
(5.109)
(5.110)
entsteht aus (5.108) in einem anderen System 0 wieder eine ebene Welle gema (5.79):
X
X
X
X
A0 (x0 ) = a A (x ) = a A(0) exp(i k x ) = A (0) exp(i k0 x0 ): (5.111)
0
Die Phase der Welle mu also invariant sein:
X
k x =
85
X
k0 x0
(5.112)
wie im Fall einer punktformigen Erregung, deren Wellenfronten in jedem Inertialsystem
Kugelachen sind, die sich mit der Geschwindigkeit c fortpanzen.
Da (5.112) die Form eines (invarianten) Skalarproduktes hat, sind k die Komponenten
eines Vierer-Vektors. Sie transformieren sich unter einer Lorentz-Transformation der Form
(5.68) wie:
v
kx0 = (kx 2 ! );
ky0 = ky ;
kz0 = kz ;
(5.113)
c
! 0 = (! vkx):
(5.114)
Benutzt man die Dispersionsrelation
!
!0
=c= 0
(5.115)
k
k
und bezeichnet man mit und 0 die Winkel, die k und k0 mit der Richtung von v (der
x-Richtung im Fall von (5.78)) bilden, so wird:
! 0 = ! (1 cos )
(5.116)
und
k
cos cos 0 = 0 (cos ) =
:
(5.117)
k
1 cos Gleichung (5.116) beschreibt den Doppler-Eekt, der auer dem longitudinalen Effekt,
1
!0 = ! p
!(1 )
(5.118)
1 2
fur 1 und = 0; , auch noch einen transversalen Eekt beinhaltet,
!
(5.119)
!0 = p
1 2
fur = =2, der ein typisch relativistisches Phanomen ist. Er wurde (1938) bei der
Untersuchung der Strahlung bewegter Wasserstoatome nachgewiesen. Bekanntestes Beispiel fur den longitudinalen Eekt ist die Rotverschiebung des Lichts weit entfernter
Galaxien, welche zeigt, da diese Galaxien sich von uns wegbewegen.
5.4 Relativistische Dynamik
Die Newton'schen Bewegungsgleichungen sind invariant unter Galilei- Transformationen,
nicht jedoch unter Lorentz-Transformationen (vgl. Kap. 5.1). Das Relativitatsprinzip verlangt daher eine Modikation der Newton'schen Gleichungen, und zwar derart, da bei
Geschwindigkeiten v c die Newton'schen Gleichungen gultig bleiben.
86
5.4.1 Impuls und Energie
Wir betrachten zunachst ein freies Teilchen. Seinen Newton'schen Impuls
dr
(5.120)
dt
erweitern wir zu einem Vierer-Impuls, dessen Komponenten gegeben sind durch
p = m0
dx
;
(5.121)
d
wobei die Eigenzeit des Teilchens in seinem Ruhesystem ist, m0 die Ruhemasse. Die
Eigenzeit hangt mit der Zeit t im System , auf das sich die Koordinaten x beziehen,
wie folgt zusammen:
v2
(5.122)
t = ;
= (1 2 ) 1=2 = (v ):
c
Fur v c wird ! 1 und die raumlichen Komponenten von (5.121) gehen in (5.120)
uber. Zur Deutung der ad hoc eingefuhrten 0. Komponente in (5.121),
p = m0
dx
i
p0 = m0 0 = m0 c2
(5.123)
d c
beachten wir, da die p einen Vierer-Vektor bilden, da m0 und Invarianten sind. Die
Lange eines Vierer-Vektors ist jedoch nach Kap. 5.3 eine Lorentz-Invariante:
X
p2 = const = m20 c2 ;
(5.124)
wobei man die rechte Seite von (5.124) wie folgt erhalt: Fur die raumlichen Komponenten
ist
X
p2 = p2i = m20 2 v 2 ;
(5.125)
i
wobei v der Betrag der Geschwindigkeit v des Teilchens ist. Weiter ist
p20 = m20 2 c2 ;
so da in der Tat
X
p2 = m20 c2 ( 2 2
2 ) = m20 c2 :
(5.126)
(5.127)
Zur Deutung von p0 entwickeln wir (v ) fur v c:
2
1
2
2
m0 c = m0 c (1 + ) = m0 c2 + m0 v 2 + (5.128)
2
2
Da der 2. Term rechts gerade die nichtrelativistische (kinetische) Energie des Teilchens
ist, liegt es nahe
= m0 (v )c2 = m(v )c2
(5.129)
87
als Energie des freien Teilchens zu deuten, den Anteil
0 = m0 c2
(5.130)
als seine Ruhenergie. Es ist dann
T = 0
(5.131)
seine relativistische kinetische Energie. Gleichung (5.127) kann dann als relativistische
Energie-Impuls-Beziehung geschrieben werden:
2 = c2 (p2 + m20 c2 )
(5.132)
und der Vierer-Vektor (5.121) hat die Komponenten
i
( ; p1 ; p2 ; p3 ):
c
(5.133)

Die in (5.129) behauptete Aquivalenz
von Energie und Masse ist durch eine Vielfalt
von Experimenten bestatigt worden. Wir geben hier einige reprasentative Beispiele:
1.) Bindungsenergien von Atomen und Kernen
Fur das Deuteron entspricht die Massendierenz
m = mp + mn
md 3:5 10 27 g
(5.134)
einer Energie
d = m c2 2:2MeV;
(5.135)
welche gerade die Bindungsenergie des Deuterons ist. In Atomen ist die Bindungsenergie
um Groenordnungen geringer: aus
mp + me mH 2:4 10 32 g
(5.136)
folgt fur die Bindungsenergie
2.) Energieerzeugung in Sternen
H 13:5eV:
(5.137)
Eine der wesentlichen Reaktionen der Energieerzeugung in Sternen ist die Verbrennung
von Wassersto (H ) zu Helium (4 He). Dabei werden pro Elementarproze entsprechend
der Massenbilanz
4mp + 2me m4 He 0:5 10 25 g
(5.138)
etwa 25 MeV frei.
3.) Paar-Erzeugung und Vernichtung
Bei der Kollision von Elektronen mit Positronen konnen hochenergetische -Quanten
entstehen,
e+ + e ! 2;
(5.139)
88
wobei die Enrgie-Impuls-Bilanz das Auftreten von 2 -Quanten erfordert. Umgekehrt kann
ein -Quant ( 1.02 MeV 2me c2 ) in ein Elektron-Positron-Paar ubergehen,
! e+ + e ;
(5.140)
wenn ein weiteres Teilchen (z.B. ein Atomkern) fur den Impulsausgleich sorgt.
Das Newton'sche Tragheitsgesetz, wonach
p = const
(5.141)
fur ein freies Teilchen gilt, verallgemeinern wir auf
p = const;
= 0; 1; 2; 3;
(5.142)
fordern also zugleich mit der Erhaltung der raumlichen Komponenten auch die Konstanz
der 0. Komponente, der Energie .
Die Verallgemeinerung (5.142) von (5.141) folgt zwingend aus dem Transformationsverhalten der p . Da sie die Komponenten eines Vierer-Vektors sind, gilt bei einer LorentzTransformation:
v
= (v )(0 + vp0x);
px = (v )(p0x + 2 0 );
py = p0y ;
pz = p0z :
c
(5.143)
Die Vermischung von Raum- und Zeit-Komponenten fuhrt also dazu, da Impuls- und
Energie-Erhaltung nur simultan moglich sind.
Das Ruhesystem eines Teilchens (0 ) denieren wir durch:
0 = m0 c2 ;
p0 = p0 = p0 = 0;
(5.144)
x
y
z
dann gilt nach (5.143) in einem anderen Inertialsystem :
v
= (v )0 = m0 c2 = m(v )c2 ;
px = (v ) 2 0 = m(v )v ;
c
Bemerkung:
py = pz = 0:
(5.145)
Fur Teilchen mit m0 = 0 wie ein Photon ist ein Ruhesystem nicht denierbar, da dann
nach (5.144), (5.145) in jedem Inertialsystem p = 0, = 0; 1; 2; 3 ware und man nicht
sinnvoll von einem Teilchen sprechen konnte.
5.4.2 Stoprobleme
Zur relativistischen Beschreibung von Stoprozessen denieren wir Energie und Impuls
fur N Teilchen:
N
N
X
X
P = pi ;
= i ;
(5.146)
i=1
i=1
wobei pi die raumlichen Komponenten des relativen Impulses von Teilchen i, i seine
Energie gema (5.129) ist.
89
Wir betrachten nun den Sto zweier Teilchen
1 + 2 ! 3 + 4;
(5.147)
wobei 1; 2 die Teilchen vor dem Sto , 3; 4 nach dem Sto bezeichnen moge. Da asymptotisch (vor und nach dem Sto ) freie Teilchen vorliegen, mu die Impulserhaltung gelten:
p1 + p2 p3 p4 = 0:
(5.148)
Wenn aber die 3 raumlichen Komponenten eines Vierer-Vektors verschwinden, so mu
nach (5.143) auch die 0. Komponente verschwinden,
1 + 2
3
4 = 0;
(5.149)
also Energieerhaltung gelten, damit die Aussage der Impulserhaltung in jedem Inertialsystem gilt. Energie- und Impulssatz konnen als Lorentz-invariante Aussagen nur simultan
gelten!
Beispiel: Compton-Eekt
Wir untersuchen die Streuung eines Photons an einem freien, anfangs ruhenden Elektron.
Die Energie des Photons hangt mit der Frequenz der Lichtwelle zusammen gema
= h !;
(5.150)
wobei h 197 MeV fm/c die Planck'sche Konstante ist. Dann folgt fur den Impulsbetrag
nach (5.132)
h ! 2h
=
= h k;
(5.151)
p = =
c
c
da das Photon keine Ruhemasse hat.
Nach Energie- und Impulssatz gilt dann:
P = h (k k0 )
und
q
c P 2 + m20 c2
m0 c2 = h (!
90
(5.152)
!0)
(5.153)
fur die kinetische Energie des Elektrons nach dem Sto . Wir quadrieren beide Gleichungen
P 2 = h 2 (k2 2kk0 cos + k02 );
(5.154)
sowie
P 2 + m20 c2 = m20 c2 + h 2 (k k0 )2 + 2m0 h c(k k0 );
(5.155)
und bilden die Dierenz:
1 1
h
( 0
)=
(1 cos ):
(5.156)
k k
m0 c
Wir erhalten die A nderung der Wellenzahl des Lichts in Abhangigkeit von Streuwinkel .
Die experimentelle Bestatigung von (5.156) ist eine wichtige Stutze fur die Beschreibung
einer Lichtwelle durch Photonen, masselose Teilchen, deren Energie und Impuls durch
(5.150), (5.151) deniert sind.
5.4.3 Bewegungsgleichungen
In Verallgemeinerung der Newton'schen Kraft-Denition fuhren wir im Minkowski-Raum
eine Vierer-Kraft ein durch ihre Komponenten:
dp
K = dp
= (v ) :
d
dt
(5.157)
Dabei ist d im momentanen Ruhesystem des Teilchens als dierenzielle Eigenzeit erklart. Die Raum-Komponenten von (5.157) ergeben die relativistische Verallgemeinerung
der Newton'schen Bewegungsgleichungen:
dp
~ = K;
= 1K
(5.158)
dt
wobei K z. B. fur die Lorentz-Kraft steht. Mit (5.125) konnen wir auch schreiben:
d
(m (v )v) = K;
(5.159)
dt 0
woraus fur v c, ! 1 gerade die nichtrelativistische Bewegungsgleichung entsteht:
dv
= m 0 b = K:
(5.160)
dt
Gleichung (5.159) hat zwei Interpretationsmoglichkeiten:
i) Man behalt die nichtrelativistische Geschwindigkeit v bei und akzeptiert eine geschwindigkeitsabhangige Masse,
d
(m(v )v) = K;
(5.161)
dt
mit
m(v ) = (v ) m0 ;
(5.162)
oder
m0
91
ii) man arbeitet stets mit der Ruhemasse m0 , einer Lorentz-invarianten Groe, und modiziert die Denition der Geschwindigkeit:
du
(5.163)
m0 = K
dt
mit der modizierten Geschwindigkeit
u = (v ) v:
(5.164)
Die Gleichungen (5.161) und (5.162) zeigen, da Teilchen der Ruhemasse m0 =
6 0 die
Geschwindigkeit v = c nicht erreichen konnen, da wegen
m(v ) ! 1
(5.165)
fur v ! c dazu eine 1-groe Energie notig ware.
Zur Diskussion der Komponente K0 benutzen wir:
X
X
Kp = 21 dd ( p2 ) = 0
wegen (5.124), woraus
3
X
oder mit (5.121), (5.123)
i=1
(5.166)
Kipi = K0 p0
(5.167)
K0 = ci K~ v = ci (v) K v:
(5.168)
Da K v die von der Kraft K am Teilchen pro Zeiteinheit geleistete Arbeit ist, konnen
wir auch schreiben
K0 = ci (v) d
(5.169)
dt
oder
i d
K0 = (v ) 1 K0 =
(5.170)
c dt
wie nach (5.133) zu erwarten war. Die Gleichungen (5.168) und (5.169) bestatigen noch

einmal unsere Vorstellung von der Aquivalenz
von Energie und Masse.
5.4.4 Lorentz-Transformation der Kraft
Da K die Komponenten eines Vierer-Vektors sind, gilt fur die Transformation vom momentanen Ruhesystem auf ein anderes Inertialsystem 0 mit der speziellen Transformation (5.68):
K10 = (v)(K1 + i K0) = (v)K1;
K20 = K2;
K30 = K3;
(5.171)
da in als momentanem Ruhesystem K0 = 0 gema (5.168) ist. Kurz formuliert:
K~ ?0 = K~ ?;
K~ k0 = (v) K~ k:
92
(5.172)
Wegen (5.158) gilt dann umgekehrt
q
K0? = 1
v 2 =c2 K?;
K0k = Kk ;
(5.173)
da im momentanen Ruhesystem gilt
(v ) = (0) = 1:
Ergebnis:
(5.174)
Wir haben die Grundbegrie und Grundgleichungen der Newton'schen Mechanik fur die
relativistische Mechanik erweitert derart, da
i) die Newton'sche Mechanik im Grenzfall v c enthalten ist,
ii) die modizierten Grundgleichungen kovariant bzgl. Lorentz-Transformationen sind.
93
Kapitel 6
Formaler Aufbau der Mechanik
6.1 Generalisierte Koordinaten
6.1.1 Zwangsbedingungen
Ausgangspunkt der Newton'schen Mechanik sind die Bewegungsgleichungen der Teilchen
in kartesischen Koordinaten:
~ i ; i = 1; 2; : : : ; N :
mi~ri = K
(6.1)
Schwierigkeiten ergeben sich, wenn die Bewegung des Systems 'Zwangsbedingungen'
unterworfen ist:
1. Die Koordinaten ~ri sind dann abhangig.
2. Damit das System bestimmte Zwangsbedingungen einhalt, mu man 'Zwangskrafte' einfuhren, welche nicht explizit vorgegeben sind, sondern erst aus der gesuchten Losung bestimmt werden.
Klassikation von Zwangsbedingungen:
1. "Holonome\ Bedingungen:
(a) Skleronome Bedingungen:
Beispiele:
Starrer Korper
(~ri
~rj )2
c2ij = 0 ; i; j = 1; 2; : : : ; N :
(6.2)
Kugelpendel der Lange l
x2 + y 2 + z 2
(b) Rheonome Bedingungen
l2 = 0
f (~r1 ; : : : ~rN ; t) = 0
enthalten eine explizite Zeitabhangigkeit.
Beispiel: "Perle\ auf einem geraden rotierenden Draht
94
(6.3)
(6.4)
2. "Nichtholonome\ Bedingungen erfordern explizit die Losung der Bewegungsgleichungen!
Beispiel: Gasmolekule in einem spharischen Behalter, ri R
Fur holonome Bedingungen konnen wir das Problem losen, indem wir 'generalisierte
Koordinaten' qj so einfuhren, da fur
~ri = ~ri (q1 ; : : : ; qs; t)
(6.5)
fr (~r1 ; : : : ; ~rN ; t) = 0 ; r = 1; 2; : : : ; m
(6.6)
die m Zwangsbedingungen
identisch in den neuen Variablen qj sowie t erfullt sind. Die Variablen qj sind unabhangig
voneinander; wenn m Zwangsbedingungen vorgegeben sind, so hat man bei N Teilchen
s = 3N
m 3N
(6.7)
generalisierte Koordinaten qj .
6.1.2 Bewegungsgleichungen in generalisierten Koordinaten
Ausgehend von den Newton'schen Bewegungsgleichungen bilden wir die folgenden (3N
m) Dierentialgleichungen (mit ~ri = ~ri (ql )):
X
i
@~r X ~ @~ri
mi~ri i = K
= Ql :
i
@ql
@ql
i
(6.8)
Die linke Seite schreiben wir als:
!
!
@~ri d
@~ri
d @~ri

_
_
mi~ri =
m ~r mi~ri ;
@ql dt i i @ql
dt @ql
dabei ist
denn
mi~r_i (6.9)
@~ri
@~v
@ 1 2 @
m v = Ti ;
= mi~vi i =
@ql
@ q_l @ q_l 2 i i
@ q_l
2
(6.10)
3
@
@
@ 4X @~ri
@~r
@~r
~vi = ~r_i =
q_j + i 5 = i ;
@ q_l
@ q_l
@ q_l j @qj
@t
@ql
(6.11)
da @~ri =@qj und @~ri =@t nicht von q_j abhangen. Mit
0
1
!
X
@ 2~ri
@ 2~ri
@ @X @~ri
@~r
@
d @~ri
=
q_j +
=
q_j + i A = ~vi
dt @ql
@ql @t @ql j @qj
@t
@ql
j @qj @ql
(6.12)
folgt fur den 2. Term auf der rechten Seite von (6.9):
!
d @~ri
@
@ 1 2 @
mi~vi = mi~vi ~vi =
m v = Ti :
dt @ql
@ql
@ql 2 i i
@ql
95
(6.13)
Mit der kinetischen Energie
T=
X
i
Ti =
1X 2
m v = T (qj ; q_j ; t):
2 i i i
(6.14)
folgt nach Summation uber alle Teilchen i:
!
@
d @T
T = Ql
:
(6.15)
dt @ q_l
@ql
Zur Interpretation der Groen Ql genugt es, den Fall zu betrachten, da die Zeit t nicht
explizit auftritt. Dann ergibt sich bei innitesimalen Verschiebungen d~ri der Teilchen,
~ i geleistete Arbeit:
welche die Zwangsbedingungen einhalten, fur die von den Kraften K
dW =
X
i
~ i d~ri = X X K
~ i @~ri dql = X Ql dql :
K
@ql
i l
l
(6.16)
Dies legt nahe, die Groen Ql als "generalisierte Krafte\ zu bezeichnen. Da die Verschiebungen dql so eingefuhrt waren, da die Zwangsbedingungen automatisch eingehalten werden, konnen Zwangskrafte keinen Beitrag geben, da sie ja nur zur Einhaltung der
Zwangsbedingungen dienen. Das bedeutet, da sich Zwangskrafte bei der Berechnung der
~ i (die zusatzlich die Zwangskrafte enthalten) herausheben.
Ql aus den K
6.1.3 Konservative Krafte
Wir betrachten den Fall, da eine Funktion U = U (qj ) 6= U (q_j ) so existiert, da
@U
@ql
Ql =
gilt. Deniert man dann als "Lagrange-Funktion\ des Systems
L=T U ;
(6.17)
(6.18)
so erhalten wir aus (6.15) die "Lagrange-Gleichung 2.Art\
@L
d @L
=
:
dt @ q_l
@ql
!
(6.19)
In Analogie zu den Newton'schen Gleichungen deniert
pl =
@L
@ q_l
(6.20)
einen "generalisierten Impuls\ . Dann hat (fur T = T (q_i ))
d
@L
@U
pl = p_l =
=
= Ql
dt
@ql
@ql
die Form einer Newton'schen Bewegungsgleichung.
96
(6.21)
6.1.4 Beispiele
1. Teilchen ohne Zwangsbedingungen: In diesem Fall sind die generalisierten Koordinaten ql = (x; y; z ); wir bilden
m
T = (x_ 2 + y_ 2 + z_ 2 ) ;
(6.22)
2
also wird
@T
@T
@T
@T @T @T
=
=
=0 ;
= mx_ ;
= my_ ;
= mz:_
(6.23)
@x @y @z
@ x_
@ y_
@ z_
Mit
Qx = Kx
wird
(6.24)
!
d @T
= mx = Kx = Qx
dt @ x_
etc, fur y; z , womit wir die Newton'schen Bewegungsgleichungen erhalten.
(6.25)
2. Bewegung eines Teilchens in der Ebene: Wir verwenden zweckmaigerweise
Polarkoordinaten (siehe Abb. 6.1), d.h.
Abbildung 6.1:
x = r cos ' ; y = r sin '
Dann gilt fur die Geschwindigkeiten:
x_ = r_
@x
@x
+ '_ = r_ cos ' r'_ sin ' ; y_ = r_ sin ' + r'_ cos ' :
@r
@'
97
(6.26)
(6.27)
Die kinetische Energie lautet somit:
m
m
T = (x_ 2 + y_ 2 ) = (r_ 2 + r2 '_ 2 )
2
2
und
@T
@T
= mr'_ 2 ;
=0
@r
@'
@T
@T
= mr_ ;
= mr2 '_
@ r_
@ '_
Fur die Krafte erhalten wir
@~r
~r
Qr = F~ = F~ = F~ ~er = Fr
@r
r
@~r
Q' = F~ = rF~ ~e' = rF' :
@'
(6.28)
(6.29)
(6.30)
(6.31)
(6.32)
Abbildung 6.2:
Die Lagrange{Gleichungen lauten also:
mr mr'_ 2 = Fr ;
d
(mr2 '_ ) = rF' :
dt
(6.33)
In der rechten Gleichung ist mr2 '_ der Drehimpuls, dessen zeitliche A nderung
durch das Drehmoment rF' = Q' gegeben ist, welches die Rolle einer generalisierten Kraft spielt.
Speziell: Fur das ebene Pendel (siehe Abb. 6.2) haben wir die Zwangsbedingung:
r
l=0 ;
98
(6.34)
wenn l die konstante Pendellange ist. Dann reduziert sich T auf
ml2 2
@T
T=
'_ ;
= ml2 '_ :
2
@ '_
Die Lagrange{Gleichungen mit U (') = mgl(1
(6.35)
cos ') vereinfachen sich zu
ml' = F' = mg sin '
beziehungsweise
g
:
' + !02 sin ' = 0 mit !02 =
l
Fur kleine Auslenkungen gilt: sin ' ' und damit
' + !02 ' = 0:
(6.36)
(6.37)
(6.38)
3. Atwood'sche Fallmaschine
Abbildung 6.3:
Die Zwangsbedingung (Abb. 6.3)
x1 + x2 = l = x + (l
x)
(6.39)
ist in der Koordinate q = x identisch erfullt. Dann ist die kinetische Energie:
1
T = (m1 + m2 )x_ 2 ;
2
(6.40)
U = m1 gx m2 g (l x) :
(6.41)
und die potentielle Energie:
99
Also ist
Damit wird
und wir erhalten:
L = m1 +2 m2 x_ 2 + m1 gx + m2 g(l x) :
(6.42)
d @L
= (m1 + m2 )x ;
dt @ x_
(6.43)
!
(m1 + m2 )x = (m1
m2 )g :
(6.44)
4. Perle auf rotierendem Draht:
Abbildung 6.4:
Aus (siehe Abb. 6.4)
folgt nach (6.28)
x = r cos(!t) ; y = r sin(!t)
m
T = (r_ 2 + r2 ! 2 ) :
2
Die Bewegungsgleichungen fur den kraftefreien Fall L = T lauten dann
mr mr! 2 = 0
mit mr! 2 als der bekannten Zentrifugalkraft.
(6.45)
(6.46)
(6.47)
6.1.5 Geschwindigkeitsabhangige Krafte
Fur geschwindigkeitsabhangige Krafte gilt die Lagrange{Gleichung 2. Art, wenn eine
Funktion U (qi ; q_i ; t) existiert so, da:
!
@U d @U
Ql =
:
(6.48)
+
@ql dt @ q_l
100
Ein wichtiges Beispiel fur eine derartige geschwindigkeitsabhangige Kraft ist die Lorentz{
Kraft, die sich aus
U (~r; ~v ; t) = e((~r; t) ~v A~ (~r; t))
(6.49)
fur ein Teilchen der Ladung e mit der Geschwindigkeit ~v herleiten lat. Dazu bildet man
(in kartesischen Koordinaten ql = (x; y; z )):
Kx = e( grad
Ky = e( grad
Kz = e( grad
unter Verwendung von
@ A~
+ (~v rotA~ ))x ;
@t
@ A~
+ (~v rotA~ ))y ;
@t
@ A~
+ (~v rotA~ ))z ;
@t
(6.50)
@A
@A
@A
dAx @Ax
=
vx + x vy + x vz + x :
(6.51)
dt
@x
@y
@z
@t
Wichtiger Hinweis: Bei einer Eichtransformation
@
A~ ! A~ + grad ; ! ;
(6.52)
@t
wobei die Funktion = (~r; t) beliebig, aber stetig dierenzierbar in allen Variablen ist,
wird
!
d
@
=U e :
(6.53)
U ! U e ~v grad +
@t
dt
Die Bewegungsgleichungen andern sich dann unter einer Eichtransformation
L ! L0 = L + dg
(6.54)
dt
mit einer beliebigen 2 stetig dierenzierbaren Funktion g = g (ql ; t) nicht. Wegen
@g
dg X @g
=
q_j +
dt
@t
j @qj
wird
!!
(6.55)
!
d @ dg
d @g
=
;
dt @ q_l dt
dt @ql
so da sich der Zusatzterm (6.56) in der Lagrange-Gleichung
(6.56)
!
d @g
dt @ql
gegen den Zusatzterm in der partiellen Ableitung nach ql
@ dg
@ql dt
101
(6.57)
!
(6.58)
wieder weghebt, da 2 stetige Dierenzierbarkeit vorausgesetzt war. Die Invarianz der Bewegungsgleichungen unter der Transformation (6.54) beinhaltet, da die Lagrangefunktion
L selbst nicht eindeutig bestimmt ist. Diese Eigenschaft werden wir spater in der Feldtheorie ausnutzen, um wiederum die Lorentzkraft selbst aus 'einfachen Betrachtungen'
herzuleiten.
6.2 Das Hamilton'sche Variationsprinzip
6.2.1 Variationsprinzip und Eulersche Gleichungen
Ein System von N Teilchen mit m holonomen Zwangsbedingungen werde durch generalisierte Koordinaten qi beschrieben. Die Werte der Koordinaten zu einem festen Zeitpunkt
t bestimmen dann einen Punkt in dem von den Koordinaten qi aufgespannten Kongurationsraum mit der Dimension s = 3N m. Die zeitliche Entwicklung des Systems
entspricht also einer Bahn im Kongurationsraum mit der Zeit t als Bahnparameter.
Die vom System durchlaufene (tatsachliche) Bahn ist Losung der s Lagrange-Gleichungen
(6.19). Sie ist eindeutig bestimmt, wenn zur Festlegung der 2s Integrationskonstanten
1. zu einem Zeitpunkt t auer den qi (t1 ) noch die generalisierten Geschwindigkeiten
q_i (t1 ) bekannt sind, oder
2. die Bahnpunkte qi (t1 ) und qi (t2 ) zu verschiedenen Zeiten t1 6= t2 gegeben sind.
Im letzteren Fall kann man die tatsachliche Bahn gegenuber Nachbarbahnen, welche ebenfalls durch die Punkte qi (t1 ) und qi (t2 ) gehen, auch dadurch charakterisieren, da bei
gegebener Lagrange{Funktion L(qi ; q_i ; t) das Funktional
S [qi ; q_i ] =
Z
t2
t1
L(qi; q_i; t)dt
(6.59)
ein Extremum besitzt fur die tatsachliche Bahn, d.h.
ÆS [qi ; q_i ] = 0:
(6.60)
Um das Variationsprinzip (6.60) naher zu erlautern betrachten wir irgendeine Nachbarbahn zur tatsachlichen Bahn qi (t),
qi0 (t) = qi (t) + "i(t);
(6.61)
mit der Eigenschaft, da qi0 (t) mit der Bahn qi (t) zu den Zeiten t1 und t2 ubereinstimmt,
d.h.:
i (t1 ) = i (t2 ) = 0:
(6.62)
Dann mu fur
Z t
2
S~(") =
L(qi + "i; q_i + "_i; t) dt
(6.63)
t1
102
Abbildung 6.5:
nach (6.60) gelten:
@ S~
= 0:
@" "=0
!
Explizit bedeutet dieses:
Z
t2 X
t1
(
i
(6.64)
@L
@L
i + _i dt = 0:
@qi
@ q_i
)
(6.65)
Nach partieller Integration in der Zeit fur den 2. Term
Z
t2
t1
@L
@L
_i dt =
@ q_i
@ q_i i
"
t2
#
t1
Z
t2
t1
d @L
dt
dt @ q_i i
!
(6.66)
folgt, da der ausintegrierte Term [:::] nach Voraussetzung (6.62) verschwindet, da (6.65)
ubergeht in
(
!)
Z t
2 X @L
d @L
i dt = 0:
(6.67)
@qi dt @ q_i
t1 i
Da die i (t) linear unabhangig und in t1 < t < t2 beliebig sind, folgen als "Euler'sche
Gleichung\ des Variationsprinzips gerade die Lagrange{Gleichungen
d @L
dt @ q_i
!
@L
= 0:
@qi
(6.68)
Bemerkung: Das Hamilton'sche Variationsprinzip bietet nicht nur eine elegante, den Be-
wegungsgleichungen aquivalente Formulierung der klassischen, nichtrelativistischen Mechanik, sondern kann auch auf andere Gebiete der Physik, wie z.B. elastische Medien,
Elektrodynamik, Feldtheorie der Elementarteilchen, ausgedehnt werden.
103
6.2.2 Kanonische Gleichungen
Fur den U bergang von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik und zur statistischen Mechanik wird es sich als zweckmaig erweisen, von den Variablen fqi ; q_i g
uberzugehen zu dem gleichwertigen Satz von Variablen fqi ; pi g. Wir wollen im folgenden anstelle der in qi , q_i formulierten Bewegungsgleichungen (6.68) aquivalente Gleichungen ("Kanonische Gleichungen\ ) in den qi , pi aufzustellen. Dabei wird anstelle der
Lagrange{Funktion L = L(qi ; q_i ; t) eine neue Funktion H = H (qi ; pi; t), die \Hamilton{
Funktion\ des Systems eingefuhrt.
 bergang in den Variablen
Der U
sowie
fqi; q_i; tg ! fqi; pi; tg
(6.69)
L(qi; q_i; t) ! H (qi; pi; t) =?
(6.70)
wird durch eine "Legendre{Transformation\ vermittelt.
Zur Erlauterung der Legendre-Transformationen betrachten wir zunachst { als ein einfaches Beispiel { eine Funktion f (x; y ) der unabhangigen Variablen x; y . Dann kann das
totale Dierential von f geschrieben werden als:
df = vdx + udy
mit
wobei v (x; y ) und u(x; y ) durch
v=
@f
@x
u=
@f
;
@y
(6.71)
(6.72)
@v
@2f
@u
=
=
(6.73)
@y @y@x @x
verknupft sind, wenn f als 2 stetig dierenzierbar vorausgesetzt wird. Vollzieht man
nun die Transformation
fx; yg ! fx; ug;
(6.74)
so kann
uy f (x; y ) = g (x; u)
(6.75)
als Funktion der unabhangigen Variablen (x; u) allein dargestellt werden.
Beweis: Fur das totale Dierential von g , das nach (6.75) zunachst eine Funktion von
x; y; u ist, ergibt sich:
@g
@g
dg = udy + ydu df = udy + ydu vdx udy = vdx + ydu = dx + du; (6.76)
@x
@u
d.h. die Funktion g hangt nur von x und u = @f=@y und nicht mehr von y ab (q.e.d.).
Nach KoeÆzientenvergleich folgt:
@g @f
@g
v=
=
y= :
(6.77)
@x @x
@u
104
Analog fuhren wir nun die Hamilton-Funktion H ein:
H (qi ; pi ; t) =
X
i
L(qi ; q_i; t):
q_i pi
(6.78)
Bildet man das totale Dierential von H nach der Denition (6.78),
dH =
X
@L
dq
@qi i
(
i
q_i dpi + pi dq_i
so folgt mit der Denition von
pi =
fur das totale Dierential von H :
dH =
Der Vergleich mit
X
i
q_i dpi
@L
dq_
@ q_i i
)
@L
dt;
@t
@L
@ q_i
X
i
@L
dq
@qi i
(6.79)
(6.80)
@L
dt:
@t
(6.81)
X @H
@H
@H
dqi +
dpi +
dt
(6.82)
@t
i @qi
i @pi
zeigt, da (unter Ausnutzung der Lagrange-Gleichung):
@H
@H
q_i =
; p_i =
(6.83)
@pi
@qi
und
@H
@L
=
:
(6.84)
@t
@t
Die 2s Dierentialgleichungen 1. Ordnung (6.83), die als "Kanonische Dierentialgleichungen\ bezeichnet werden, treten an die Stelle der s Dierentialgleichungen 2.
Ordnung (6.68).
X
dH =
Der Zustand des Systems zur Zeit t wird jetzt reprasentiert durch einen "Punkt\ in dem
von den unabhanggigen Variablen (qi ; pi ) aufgespannten "Phasenraum\ mit der Dimension 2s. Wahrend es durch jeden Punkt im Kongurationsraum eine s-fach unendliche
Mannigfaltigkeit von Bahnen gibt, die sich durch die generalisierten Geschwindigkeiten
unterscheiden, gibt es durch einen Punkt im Phasenraum bei vorgegebenen Kraften nur
genau eine "Trajektorie\ , da die Werte von qi und pi zu einem festen Zeitpunkt die
zeitliche Entwicklung des Systems eindeutig festlegen.
Bemerkung: Die kanonischen Gleichungen (6.83) lassen sich auch aus dem Hamilton'schen
Variationsprinzip ableiten, d.h.:
t2
Z
t1
(
X
i
)
pi q_i
H (qi; pi ; t) dt = Extremum
(6.85)
Gleichung (6.85) ist aquivalent zu (6.60), da (6.85) aus (6.60) unter Verwendung von
(6.78) entsteht. Die "Variationen\ von qi und pi sind dabei als voneinander unabhangig
zu betrachten.
105
6.2.3 Beispiele:
1.) Fur den eindimensionalen harmonischen Oszilator ist
L = 21 mv2 D2 x2 ;
also:
p=
@L
= mq_ = mv;
@v
L = 2T T + U = T + U = 21m (p2 + !02m2x2 )
H = qp
_
(6.86)
(6.87)
mit !02 = D=m. Die kanonischen Dierentialgleichungen lauten dann:
q_i = x_ =
@H p
= =v
@p m
(6.88)
p_ =
@H
= Dx;
@x
(6.89)
und
oder zusammen (mit !02 = D=m):
x + !02 x = 0:
(6.90)
2.) Fur ein Teilchen im elektromagnetischen Feld mit Ladung e ist
L = T e + e~v A~
(6.91)
mit einem skalaren Potential und einem Vektorpotential A~ . Es folgt:
px =
@L
@L
@L
= mvx + eAx ; py =
= mvy + eAy ; pz =
= mvz + eAz :
@vx
@vy
@vz
(6.92)
Dann wird mit m~v = p~ eA~
H = ~r_ ~p
L = ~v p~ T + e e~v A~
= ~v (m~v + eA~ ) T + e e~v A~
2
1 p~ eA~ + e;
(6.93)
2m
und wir erhalten die kanonischen Dierentialgleichungen z.B. fur die Komponenten in
x-Richtung:
@H 2mvx
1
x_ =
=
= vx = (px eAx )
(6.94)
@px
2m
m
@H
@ e @ A~
p_x =
= e +
p~ eA~ :
(6.95)
@x
@x m
@x
Zusammengefat:
@ e
@ A~
dA
mx = e + (p~ eA~ ) e x;
(6.96)
@x m
@x
dt
= mv 2
T + e = T + e =
106
 B)
oder (U
!
@ @Ax
~ A~ :
+
+ e ~v r
(6.97)
mx = e
x
@x
@t
3.) Rotierende Koordinatensysteme
Der Zusammenhang von zwei relativ zueinander um die z -Achse mit Winkelgeschwindigkeit ~! = (0; 0; ! ) = !~ez rotierenden Koordinatensystemen sei:
x = x0 cos !t y 0 sin !t
y = x0 sin !t + y 0 cos !t
z = z0
Nach der Produktregel folgt fur die Zeitableitungen:
(6.98)
x_ = x_ 0 cos !t x0 ! sin !t y_ 0 sin !t y 0! cos !t
y_ = x_ 0 sin !t + x0 ! cos !t + y_ 0 cos !t y 0! sin !t
z_ = z_ 0 :
(6.99)
Fur die kinetische Energie erhalten wir dann:
1 m
m! 2 02 02 T = m x_ 2 + y_ 2 + z_ 2 = (x_ 02 + y_ 02 + z_ 02 ) + m! (x0y_ 0 x_ 0 y 0) +
x + y : (6.100)
2
2
2
Fur geschwindigkeitsunabhangige Potentiale U (x; y; z ) folgt:
@ L @T
=
= m(x_ 0 !y 0)
(6.101)
@ x_ 0 @ x_ 0
@ L @T
(6.102)
p0y = 0 = 0 = m(y_ 0 + !x0 )
@ y_ @ y_
@ L @T
p0z = 0 = 0 = mz_ 0 :
(6.103)
@ z_ @ z_
In den Impulsen p0x ; p0y ; p0z und Koordinaten x0 ; y 0; z 0 ergibt sich fur die Hamiltonfunktion:
p0x =
1 02 02 02
(p + p y + p z ) + ! (p0xy 0
2m x
und die kanonischen Gleichungen lauten:
H = p~0 ~v 0
T +U =
x_ 0 =
@H p0x
= + !y 0 = vx0
@p0x m
p0y
m
@H
=
@p0y
@H
z_ 0 = 0
@pz
y_ 0 =
=
107
!x0 = vy0
p0z
= vz0 :
m
p0y x0 ) + U;
(6.104)
(6.105)
(6.106)
(6.107)
Wie im 2. Beispiel ist ~v 0 nicht einfach proportional zu ~p0 . Die Zeitableitungen der Impulskomponenten ergeben:
@H
@U
p_0x =
=
+ !p0y
(6.108)
0
@x
@x0
@U
@H
=
!p0x
(6.109)
p_0y =
0
@y
@y 0
@H
@U
p_0z =
=
:
(6.110)
@z 0
@z 0
Die Kombination der obigen Gleichungen ergibt die bekannten Bewegungsgleichungen:
Kx
(6.111)
m
K
(6.112)
y0 + 2! x_ 0 ! 2 y 0 = y
m
K
z0 = z
(6.113)
m
in denen automatisch Coriolis- und Zentripetalbeschleunigung auftreten. Zum expliziten Beweis verwendet man ~! = ! ~ez und wertet die Coriolis-Beschleunigung 2~! ~v 0
sowie die Zentripetalbeschleunigung ~! (~! ~r0 ) aus.
x0
2! y_ 0
! 2 x0 =
0
0
0
Bemerkung: Die Beispiele 2. und 3. zeigen, da der 'kanonische' Impuls, z.B. px =
@ L=@vx , von dem 'mechanischen\ Impuls, mvx , zu unterscheiden ist.
6.3 Symmetrien und Erhaltungssatze
6.3.1 Zyklische Variable
Wenn die Lagrange{Funktion L(qi ; q_i ; t) von einer generalisierten Koordinate qC nicht
abhangt, d.h.
@L
= 0;
(6.114)
@qC
so folgt aus der zugehorigen Lagrange{Gleichung
d @L
= 0:
dt @ q_C
!
(6.115)
Der generalisierte Impuls pC ist also eine Konstante der Bewegung,
pC =
@L
= const:
@ q_C
(6.116)
Generalisierte Koordinaten mit der Eigenschaft (6.114) nennt man "zyklische\ Variablen.
108
Beispiel: Fur ein Teilchen im Zentralfeld gilt in Kugelkoordinaten (r; #; ') (U B):
(6.117)
L = m (r_ 2 + r2#2 + r2 sin2 # '_ 2 ) U (r):
2
L ist unabhangig vom Winkel ', der sich als zyklische Variable erweist. Der zugehorige
generalisierte Impuls ist dann eine Erhaltungsgroe,
@L
p' =
= mr2 sin2 # '_ = lz = const:
(6.118)
@ '_
6.3.2 Translationsinvarianz und Impulssatz
Wegen der Homogenitat des Raumes mu die Lagrange{Funktion eines abgeschlossenen
Systems invariant sein gegen Translationen. Dann mu gelten:
L(~ri; ~vi; t) = L(~ri + ~a; ~vi; t);
(6.119)
dabei ist ~a ein beliebiger, fur alle Teilchen gleicher Verschiebungsvektor. Da die Translationen eine kontinuierliche Gruppe bilden, genugt es, kleine Verschiebungen zu betrachten,
fur die durch Taylor{Entwicklung folgt:
!
X
X @L
@L
@L
@L
ax + ay + az =
~a = 0;
(6.120)
@xi
@yi
@zi
ri
i
i @~
d.h.
@L
= 0;
ri
i @~
da ~a beliebig war. Aus den Lagrange-Bewegungsgleichungen folgt dann:
!
!
d X
d X @L
=
p~ = 0;
dt i @~r_ i
dt i i
also:
X
N
X
P~ = p~i = const;
i=1
was der Impuls{Erhaltung entspricht.
(6.121)
(6.122)
(6.123)
6.3.3 Rotationsinvarianz und Drehimpulssatz
Wegen der Isotropie des Raumes mu fur hinreichend kleine Winkel ' fur ein abgeschlossenes System gelten:
L(~ri; ~vi; t) = L(~ri + '(~u ~ri); ~vi + '(~u ~vi); t):
(6.124)
Die Vektoren ~ri , ~vi werden also um eine durch den Einheitsvektor ~u gegebene, beliebige
Achse um den Winkel ' gedreht. Analog zu den Betrachtungen bei der Translationsinvarianz folgt durch Taylor{Entwicklung:
X @L
X @L
(~u ~ri ) +
(~u ~vi) = 0;
(6.125)
ri
i @~
i @~vi
109
oder mit den Langrange-Gleichungen:
X
X
p~_i (~u ~ri ) + p~i (~u ~vi ) = 0:
i
(6.126)
i
Mit der zyklischen Invarianz des Spatproduktes, ~a (~b ~c) = ~b (~c ~a) = ~c (~a ~b), und
der Produktregel vereinfacht sich (6.126) zu
d
dt
X
i
!
(~ri p~i ) ~u =
X
i
(~vi ~pi ) ~u + (~ri ~p_i ) ~u = 0:
(6.127)
Da der Einheitsvektor ~u beliebig gewahlt werden kann, erhalten wir
N
X
X
L~ = ~li = (~ri p~i ) = const;
i=1
i
(6.128)
d.h. den Drehimpulssatz.
6.3.4 Zeit{Translation und Energiesatz
Die Homogenitat der Zeit erlaubt uns, den Zeit{Nullpunkt beliebig festzulegen. Fur ein
abgeschlossenes System mu daher die Lagrange{Funktion invariant unter der Transformation
t!t+
(6.129)
fur beliebiges sein, d.h.
@L
= 0:
(6.130)
@t
Dann wird unter Ausnutzung der Lagrange-Gleichungen:
0
1
X
@L
d @L
@L
d X @L A
dL X @ L
=
q_j + qj =
q_j + qj = @
q_ ;
dt
@qj
@ q_j
dt @ q_j
@ q_j
dt j @ q_j j
j
j
!
also ist
und damit
!
0
d@
L
dt
!
(6.131)
1
X
j
@L A
d
q_j =
H=0
@ q_j
dt
(6.132)
X
@L
q_j L = pj q_j L = H = const:
(6.133)
j @ q_j
j
Die Hamilton{Funktion H des Systems ist also eine Erhaltungsgroe. Sie ist identisch
mit der Energie E des Systems, wenn konservative Krafte und skleronome Zwangsbedingungen vorliegen. Dann wird:
L = T U;
(6.134)
wenn U die potentielle Energie des Systems ist, und
X @L
q_j = 2T;
(6.135)
j @ q_j
X
110
so da
T
U
2T = H
(6.136)
oder
H =T +U =E
(6.137)
wird. Die besondere Rolle der Hamilton-Funktion H wird auch in den kanonischen Die
rentialgleichungen (6.83) deutlich: die Anderung
von H bezgl. eines Impulses pi bestimmt
die Zeitentwicklung der assoziierten Koordinate qi und umgekehrt.
Zum Beweis von (6.135) nutzen wir aus, da fur konservative Krafte das Potential U
nicht von q_j abhangt, so da
@ L @T
=
:
(6.138)
@ q_j @ q_j
Fur skleronome Bedingungen ist
und damit
~ri = ~ri (q1 ; ::; qs)
(6.139)
@~ri
q_ ;
@qj j
(6.140)
~vi =
X
j
wobei @~ri =@qj eine Funktion der generalisierten Koordinaten ql allein ist. Die kinetische
Energie ist daher eine quadratische Form in den q_j :
T=
1X 2 X
m v = a q_ q_ ;
2 i i i j;l jl j l
(6.141)
in der die KoeÆzienten ajl nur noch von den Koordinaten ql abhangen. Damit wird:
X
X
@T X
= arl q_l + ajr q_j = 2 arl q_l ;
@ q_r
j
l
l
(6.142)
wenn man die Symmetrie der KoeÆzienten ajl = alj beachtet. Mit (6.142) folgt nun die
Behauptung:
X @L
X @T
X
q_r =
q_r = 2 arl q_r q_l = 2T:
(6.143)
r @ q_r
r @ q_r
r;l
111
Kapitel 7
Anwendungen des
Lagrange-Formalismus
Als explizite Anwendung des Lagrange-Formalismus wollen wir die Dynamik des starren Korpers berechnen. Ein starrer Korper ist ein Festkorper, dessen Massenelemente
einen festen Abstand voneinander haben, der also keinen Verformungen unterliegt. Starre Korper sind auch dadurch deniert, da sie nur Translationen und Rotationen
durchfuhren konnen.
7.1 Bewegungen starrer Korper
Zur Beschreibung starrer Korper fuhren wir zwei Koordinatensysteme ein: Ein Inertialsystem xI ; yI ; zI (Abb. 7.1) und ein korperfestes Koordinatensystem x; y; z , das fest an den
bewegten Korper angeheftet ist (Abb. 7.2).
Abbildung 7.1:
112
Abbildung 7.2:
Die Bewegung eines starren Korpers besteht aus einer Translation, bei der sich die Winkellage des Korpers nicht andert und alle Massenpunkte dieselbe Geschwindigkeit haben,
und einer Drehung um den frei wahlbaren Koordinatenursprung 0 (Euler-Theorem). Da
Translationen durch drei Koordinaten und Drehungen durch die Richtung der momentanen Drehachse und die Groe des Drehwinkels gekennzeichnet werden, hat ein frei beweglicher starrer Korper sechs Freiheitsgrade.
Da sich jede Bewegung eines starren Korpers aus einer Translation und einer Drehung
des korperfesten Koordinatensystems um 0 zusammensetzt, ist die im Inertialsystem gemessene Geschwindigkeit vI eines korperfesten Punktes P gleich
~vI = ~v0 + ~! ~r
(7.1)
mit
~v0 = Geschwindigkeit des Koordinatenursprungs 0 im Inertialsystem
!~ = Winkelgeschwindigkeit des starren Korpers im Inertialsystem
~r = OP = Ortsvektor von P im korperfesten Koordinatensystem
7.2 Kinetische Energie und Tragheitstensor
Wir nehmen an, da der starre Korper aus n Massenpunkten ma besteht. Die kinetische
Energie lautet dann
n
n m
ma 2 X
a
T =
vIa =
[~v0 + (~! ~ra )]2
a=1 2
a=1 2
n
X m
a 2
=
v0 + ~v0 (~! ~ra ) + (~! ~ra )2
a=1 2
X
113
n m
n
X
X
M 2
a
=
v0 + (~v0 ~!) ma~ra +
(~! ~ra )2
2
a|=1 2 {z
a=1
| {z }
{z
}
}
|
Ttrans
TW
Trot
M :=
n
X
a=1
ma = Masse des Korpers
(7.2)
Der erste Term ist die Translationsenergie Ttrans , der dritte Term die Rotationsenergie
Trot und der mittlere Term eine "wechselseitige\ Energie TW , die zugleich durch Translation und Rotation bestimmt wird. Ist der starre Korper frei, soPwird der Koordinatenursprung 0 am besten in den Schwerpunkt S~ gelegt. Dann ist a ma~ra = 0 und die
wechselseitige Energie TW verschwindet, d.h.:
T = Ttrans + Trot :
(7.3)
Die kinetische Energie ist dann die Summe aus der kinetischen Translationsenergie der
im Schwerpunkt vereint gedachten Masse und der Rotationsenergie der Drehung um den
Schwerpunkt.
Wird der starre Korper in mindestens einem Punkt festgehalten, so legt man den Ursprung
0 des korperfesten Koordinatensystems zweckmaigerweise in einen dieser Punkte und
erhalt wegen ~v0 = 0:
T = Trot :
(7.4)
Die kinetische Energie ist gleich der Rotationsenergie der Drehung um den festen Punkt.
Wir rechnen nun die Rotationsenergie auf die korperfesten Komponenten !i und xai {
mit i = 1; 2; 3 { der Vektoren ~! und ~ra um. Dabei gelte:
~ra = (xa ; ya ; za ) := (xa1 ; xa2 ; xa3 )
Mit
(~a ~b)2 = a2 b2
(~a ~b)2 =
ergibt sich:
Trot =
wobei
3
X
i;j =1
a = 1; : : : n:
(ai ai bj bj
ai bi aj bj )
n m X
3
X
ma
a
(~! ~ra )2 =
[!i !i xaj xaj !i xai !j xaj ]
a=1 2
a=1 2 i;j =1
"
#
n
3
3
X
X
1X
=
m
!!
x x Æ xai xaj
2 a=1 a i;j =1 i j k=1 ak ak ij
n
X
(
Æij :=
das sog. 'Kroneckersymbol' ist.
1 fur i = j
0 fur i 6= j
114
(7.5)
(7.6)
(7.7)
(7.8)
In (7.7) lassen sich nun die Parameter (Massen und Orte) von den Projektionen der
Winkelgeschwindigkeit ~! auf die Korperfesten Achsen trennen. Dazu denieren wir den
"Tragheitstensor\ uber
"
#
n
3
X
X
Iij := ma
xak xak Æij xai xaj
(7.9)
a=1
k=1
und erhalten
3
1 X
I !! :
(7.10)
Trot =
2 i;j =1 ij i j
Es sei ausdrucklich betont, da die !i die korperfesten Komponenten der Winkelgeschwindigkeit, d.h. die Projektionen von ~! auf die Korperachsen x; y; z = x1 ; x2 ; x3 sind.
Bemerkung:
Wenn sich der starre Korper nur um eine seiner korperfesten Achsen dreht, wenn
also nur eine Komponente von ~! ungleich Null ist, oder wenn Iij = IÆij gilt, so geht
obige Gleichung in die bekanntere Formel
1
T = I! 2
(7.11)
2
uber.
Bildet der starre Korper ein Kontinuum, so gilt
"
#
Z
3
X
Iij := (x1 ; x2 ; x3 )
xk xk Æij xi xj dx1 dx2 dx3
(7.12)
k=1
mit der Massendichte (x1 ; x2 ; x3 ). Zur Verdeutlichung stellen wir den Tragheitstensor Iij
(7.9) noch in Matrixschreibweise dar:
0
1
ya2 + za2
xa ya
xa za
n
X
ya xa x2a + za2
ya za C
I = ma B
(7.13)
@
A
2
2
a=1
za xa
za ya xa + ya
fur n diskrete Massen ma . Im Falle einer kontinuierlichen Massendichte (x1 ; x2 ; x3 ) erhalten wir mit (7.12):
0
1
x22 + x23
x1 x2
x1 x3
Z
I = (x1 ; x2 ; x3 ) B
x2 x1 x21 + x23
x2 x3 C
(7.14)
@
A dx1 dx2 dx3 :
x3 x1
x3 x2 x21 + x22
Die Diagonalelemente des Tragheitstensors heien "Tragheitsmomente\, die Nichtdiagonalelemente " Deviationsmomente\.
Der Tragheitstensor ist laut Denition (7.9) symmetrisch:
Iij = Iji :
115
(7.15)
Er kann daher durch die Einfuhrung eines neuen, gedrehten Koordinatensystems stets
auf Diagonalform transformiert werden. Die entsprechenden Achsen werden "Haupttragheitsachsen\, die Diagonalelemente Iii =: i "Haupttragheitsmomente
\ genannt.
Die Bestimmung derjenigen Haupttragheitsachsen, die durch den Schwerpunkt gehen, ist
fur symmetrische Korper einfach: Eine Haupttragheitsachse fallt mit der Symmetrieachse
uberein; die beiden anderen Haupttragheitsachsen stehen orthogonal dazu, konnen aber
ansonsten beliebig gewahlt werden.
Fur die Haupttragheitsachsen lautet die Rotationsenergie
1
Trot = (1 !12 + 2 !22 + 3 !32 ):
2
Def.: Ein starrer Korper heit
(7.16)
1. Rotator, wenn er eindimensional ist und seine Massenpunkte nur auf einer Achse,
z.B. der z {Achse liegen, so da 1 = 2 ; 3 = 0.
2. unsymmetrisch, wenn alle drei Haupttragheitsmomente verschieden sind.
3. symmetrisch, wenn zwei Haupttragheitsmomente gleich sind.
4. Kugelkreisel, wenn 1 = 2 = 3 .
Kugelkreisel sind nichtpunbedingt Kugeln. So sind z.B. Wurfel Kugelkreisel und
 B).
Zylinder der Hohe h = 3r (U
7.3 Drehimpuls
Wir nehmen wieder an, da der starre Korper aus n Massenpunkten ma besteht. Der
~ ges ist dann im Inertialsystem
Gesamtdrehimpuls L
n
X
L~ ges = ma (~rIa ~vIa ):
a=1
(7.17)
Wir bezeichnen die Ortsvektoren im korperfesten Koordinatensystem mit ~ra , setzen
~rIa = ~r0 + ~ra
(7.18)
~vIa = ~v0 + ~! ~ra
(7.19)
ein und erhalten:
"
~ ges = M (~r0 ~v0 ) + ~r0 ~! L
+
n
X
a=1
!
ma~ra
~v0 +
116
n
X
a=1
n
X
a=1
!#
ma~ra
ma (~ra (~! ~ra )) :
(7.20)
Freies System:
Wird der starre Korper in keinem Punkt festgehalten, so legen wir den KoordinatenurP
sprung 0 wieder in den Schwerpunkt S~ ) ~r0 = ~rS und ~v0 = ~vS . Weiterhin: aus a ma~ra =
0 im transformierten system folgt
n
~ ges = M~rS ~vS + X ma~ra (~! ~ra ) =: M (~rS ~vS ) + L~
L
a|=1
{z
}
(7.21)
~
L
~ ges ist die Summe aus dem Term M (~rS ~vS ), der den BahnDer Gesamtdrehimpuls L
"
drehimpuls\ der Schwerpunktbewegung bezuglich 0I widergibt, und dem "Eigendrehimpuls\ L~ fur die Eigendrehung um den Schwerpunkt S~ .
Festgehaltenes System:
Wird der starre Korper in mindestens einem Punkt festgehalten, so legen wir den inertialen
Koordinatenursprung 0I und den korperfesten Koordinatenursprung 0 zweckmaigerweise
in einen dieser ruhenden Punkte und erhalten wegen ~r0 = ~v0 = 0:
n
~ ges = X ma (~ra (~! ~ra )) =: L:
~
L
a=1
(7.22)
~ ges gleich dem EigenFur Drehungen um einen festen Punkt ist der Gesamtdrehimpuls L
~ , falls beide Koordinatenursprunge 0I und 0 in diesem Punkt liegen. Mit
drehimpuls L
~r (~! ~r) = ~!(~r ~r) ~r(~r ~!)
~ die Form
erhalten die korperfesten Komponenten des Eigendrehimpulses L
"
#!
3 X
n
3
3
X
X
X
Li =
ma
xak xak Æij xai xaj !j = Iij !j
i = 1; 2; 3:
j =1 a=1
j =1
k=1
(7.23)
(7.24)
Verwendet man die Haupttragheitsachsen als korperfeste Koordinatenachsen, so lauten
~:
die korperfesten Komponenten des Eigendrehimpulses L
L1 = 1 !1
L2 = 2 !2
L3 = 3 !3 :
(7.25)
~ eines starren Korpers i.a. nicht parallel zur WinkelDemnach ist der Eigendrehimpuls L
~ und
geschwindigkeit ~!. Lediglich bei Rotationen um eine Haupttragheitsachse haben L
~
~! die gleiche Richtung. Die Nichtparallelitat von L und ~! ist einer der Grunde fur die
mathematische Schwierigkeit bei der Untersuchung starrer Korper.
7.4 Die Eulerschen Gleichungen
Wir mussen uns jetzt noch den Drehimpulssatz genauer ansehen. Im allgemeinen ist der
Tragheitstensor nur im korperfesten Koordinatensystem konstant, so da es notwendig
117
~S
ist, die Bewegungsgleichung, d.h. in erster Linie die Zeitableitung des Drehimpulses L
auf das Inertialsystem umzurechnen:
"
#
2
3
n
d X
d X
L~_ S =
ma~ra (~! ~ra ) = 4 Iij !j~ei 5 ;
dt a=1
dt i;j
(7.26)
wobei !j = ~ej ~! die korperfesten Koordinaten von ~! und ~ei die Basisvektoren des
korperfesten Koordinatensystems sind. Mit
~e_ i = !~ ~ei
(7.27)
folgt:
3
X
X
d~
LS = L~_ S =
Iij !_ j ~ei + ~! Iij !j ~ei :
(7.28)
dt
i;j =1
i;j
Der erste Term ist die Zeitableitung des Drehimpulses fur einen Beobachter, der im korperfesten System steht und daher die Basisvektoren ~ei als konstant ansieht. Wir bezeichnen
~ s =dt und erhalten
diese "korperfeste Ableitung\ mit dk L
d~
d
LS = L~_ S = k L~ S + ~! L~ S = N~ S ;
(7.29)
dt
dt
~ S ; !~ ; N~ S in der korperfesten Basis entwickelt werden und N~ S ein
wobei die Vektoren L
aueres Drehmoment bezeichnet.
Wenn die korperfesten Achsen Haupttragheitsachsen sind, nden wir mit Li = i !i durch
Multiplikation von (7.28) bzw. (7.29) mit den Basisvekroren ~ek ,
d
~ek L~ S = ~ek dt
X
i
!
i !_ i~ei + ~ek ~! X
i
!
i !i~ei = ~ek N~ S = Nk
(7.30)
fur k = 1; 2; 3 die wichtigen gekoppelten, nichtlinearen "Euler'schen Gleichungen\
1 !_ 1
(2
3 )!2 !3 = N1
2 !_ 2 (3 1 )!3 !1 = N2
3 !_ 3 (1 2 )!1 !2 = N3 :
(7.31)
Dabei sind !i und Ni die Projektionen von ~! und N~ auf die korperfesten Koordinatenachsen ~ei , die Haupttragheitsachsen sein mussen.
Als Beispiel fur die Euler'schen Gleichungen (7.31) untersuchen wir den kraftefreien,
symmetrischen Kreisel, d.h. N~ S = 0 und 1 = 2 . Die Gleichungen (7.31) gehen dann
uber in
1 !_ 1 (1 3 )!2 !3 = 0
1 !_ 2 (3 1 )!3 !1 = 0
3 !_ 3 = 0:
(7.32)
118
Aus (7.32) folgt, da !3 = const. und damit auch
1
! = const:
(7.33)
= 3
1 3
Wir erhalten in Folge lediglich ein lineares gekoppeltes System in den Variablen !1 ; !2 ,
d.h. mit (7.33)
!_ 1 + !2 = 0;
!_ 2 !1 = 0:
(7.34)
Wir bilden eine weitere Zeitableitung der ersten Gleichung, setzen die 2. Gleichung ein
und erhalten
! 1 + 2 !1 = 0:
(7.35)
Die Losung von (7.35) ist
!1 (t) = A cos(
t + )
(7.36)
mit einer durch die Anfangsbedingungen zu bestimmenden Phase . Die Losung von !2 (t)
erhalten wir durch Integration der 2. Gleichung in (7.34) unter Verwendung von (7.36) zu
!2 (t) = A sin(
t + );
(7.37)
so da mit !12 (t) + !22(t) = A2 die Konstanz des Betrages von ~! folgt. Der kraftefreie,
symmetrische Kreisel rotiert also mit der Frequenz um die Figurenachse.
7.5 Die Eulerschen Winkel
Die Eulerschen Gleichungen bestimmen nur die Projektionen der Winkelgeschwindigkeit
~!(t) ~ei = !i (t). Wir fuhren nun die Eulerschen Winkel ein, mit denen sich die Winkellage,
d.h. die Orientierung des korperfesten Koordinatensystems und damit des Korpers im
Inertialsystem sehr anschaulich angeben lat.
 bergang vom Inertialsystem I auf das gedrehte korperfeste System wird mit drei
Der U
Drehungen ausgefuhrt, die nach Abb. 7.3 in folgender Reihenfolge vorzunehmen sind:
1. Drehung ' um die zI -Achse. Dabei geht die x-Achse in die punktierte "Knotenlinie\ 0N uber. Es entsteht das neue Koordinatensystem (^x; y^; z^).
2. Drehung # um die Knotenlinie 0N . Die inertiale zI -Achse und die korperfeste
z-Achse schlieen danach den Winkel # ein.
3. Drehung um die z-Achse. Man erhalt das korperfeste (x; y; z )-Koordinatensystem.
Die Eulerschen Winkel legen die Orientierung des korperfesten Koordinatensystems und
somit auch des starren Korpers relativ zum Inertialsystem eindeutig fest: Gema Abbildung 7.3 geben die Winkel ' und # die Stellung der korperfesten z-Achse im Inertialsystem
an. Der Winkel beschreibt die Eigendrehung um die z-Achse.
Die Winkelgeschwindigkeit ~! setzt sich aus den drei Eulerschen Winkelgeschwindigkeiten
~!' ; ~!#; ~! zusammen:
~! = ~!' + ~!# + ~! :
(7.38)
119
Abbildung 7.3:
Wir projizieren diese drei Winkelgeschwindigkeiten auf das korperfeste Koordinatensystem, um so die Komponenten !1 ; !2 ; !3 zu erhalten.
1. !~ ' hat im Inertialsystem die Komponentendarstellung
0
!~ 'I = B
@
0
0
'_
1
C
A
;
(7.39)
und im korperfesten System:
0
~!' = '_ B
@
sin sin #
cos sin #
cos #
1
C
A
(7.40)
2. !~ # hat im Koordinatensystem (^x; y^; z^) die Form
0
~!^ # = B
@
#_
0
0
1
C
A
;
(7.41)
so da fur das korperfeste Koordinatensystem gilt:
0
~!# = #_ B
@
120
cos
sin
0
1
C
A
(7.42)
3. Fur die Winkelgeschwindigkeit ~! gilt:
0
~! = B
@
0
0
_
1
(7.43)
C
A
Es ergibt sich fur die korperfesten Komponenten von ~! durch Addition der Komponenten:
0
~! = B
@
!1
!2
!3
1
0
C
A
=B
@
'_ sin # sin
'_ sin # cos
'_ cos #
1
0
C
A
+B
@
+ cos #_
sin #_
_
1
C
A
:
(7.44)
7.6 Die Lagrangegleichungen des starren Korpers
Mit den geleisteten Vorarbeiten ist die Aufstellung der Lagrangefunktion einfach. Fur
einen symmetrischen Kreisel mit 1 = 2 , dessen korperfestes Koordinatensystem mit
den Haupttragheitsachsen zusammenfallt, ergibt sich nach kurzer Rechnung:
Trot =
1X
1 X 2 1 2 2
Iij !i!j =
i !i = ('_ sin # + #_ 2 ) + 3 ('_ cos # + _ )2 :
2 i;j
2 i
2
2
(7.45)
Beispiel: Schwerer Kreisel. Ein beliebtes Beispiel fur die Anwendung des Lagrangeformalismus ist der symmetrische Kreisel im homogenen Schwerkraftfeld, bei dem ein vom
Schwerpunkt verschiedener Punkt auf der Symmetrieachse festgehalten wird. Ein solcher
Kreisel heit 'Schwerer Kreisel'.
Abbildung 7.4:
121
Die Nullpunkte des raumfesten und des korperfesten Koordinatensystems werden nach
Abbildung 7.4 in den Unterstutzungspunkt des Kreisels gelegt. Mit der potentiellen Energie U = mgl cos # lautet die Lagrangefunktion dann nach (7.45)
L = T U = 21 ('_ 2 sin2 # + #_ 2 ) + 23 ('_ cos # +
_ )2
mgl cos #:
(7.46)
Dabei sind 1 = 2 ; 3 die Haupttragheitsmomente fur Drehungen um den Unterstutzungspunkt, m die Masse des Kreisels und l der Abstand des Schwerpunktes vom Unterstutzungspunkt.
Es folgt: Die Winkel '; , die die Drehungen um die zI { und die z{Achse beschreiben,
sind zyklisch und ihre Impulse sind Erhaltungsgroen:
p' =
@L
= 1 sin2 #'_ + 3 ('_ cos # + _ ) cos # = const
@ '_
(7.47)
p' ist die raumfeste zI -Komponente des Drehimpulses L~ und
p =
@L
= 3 ('_ cos # + _ ) = 3 !3 = const:
_
@
(7.48)
Im allgemeinen Fall des nichtsymmetrischen Kreisels mit 1 6= 2 6= 3 erhalten wir
die Lagrangefunktion L durch Einsetzen von (7.44) in (7.45), was allerdings zu etwas
langeren Ausdrucken fuhrt. Da L dann von den Winkeln #; und den Zeitableitungen
_ _ explizit abhangt, ist nur noch die Variable ' zyklisch, wenn das Potential nicht
';
_ #;
von ' abhangt, d.h. U 6= U ('). Entsprechend variationsreich sind dann die Losungen der
Lagrange-Bewegungsgleichungen.
122
Kapitel 8
Dynamik im Phasenraum

8.1 Zeitliche Anderung
einer Observablen
Wir wollen versuchen, die zeitliche A nderung einer Observablen
F = F (qi ; pi; t)
(8.1)
des betrachteten Systems, wie z.B. der Energie, des Impulses, des magnetischen Moments
in einem aueren Feld, 'direkt' zu berechnen. Dazu bilden wir
!
s
dF X
@F
@F
@F
=
q_i + p_i +
dt i=1 @qi
@pi
@t
und benutzen die kanonischen Gleichungen:
s
dF X
@F @H
=
dt i=1 @qi dpi
(8.2)
!
@F @H
@F
+ :
@pi dqi
@t
(8.3)
Gleichung (8.3) lat sich mit Hilfe der Poisson Klammer, deniert durch:
s
@u @v
fu; vg =
i=1 @qi dpi
X
schreiben als:
Spezialfalle:
dF
@F
= fF; H g + :
dt
@t
i) F = H , dann wird
!
@u @v
;
@pi dqi
(8.4)
(8.5)
dH @H
=
= 0;
(8.6)
dt
@t
falls H nicht explizit von der Zeit t abhangt, d.h. fur ein abgeschlossenes System ist H =
const.
123
ii) Kanonische Gleichungen
Fur F = qi wird:
da
Ebenso wird fur F = pi :
wegen
@H
;
@pi
(8.7)
@qi
= 0:
@pj
(8.8)
@H
;
@qi
(8.9)
@pi
= 0:
@qj
(8.10)
q_i = fqi ; H g =
@qi
= Æij ;
@qj
p_i = fpi ; H g =
@pi
= Æij ;
@pj
8.2 Eigenschaften der Poisson Klammern
 nderung
Die in (8.4) denierten Poisson Klammern sind uber das Problem der zeitlichen A
einer Observablen hinaus von Bedeutung, da sie erlauben, die klassische Mechanik in einer
Form darzustellen, welche den Zusammenhang mit der Quantenmechanik besonders klar
aufzeigt. Wir geben daher im folgenden eine Reihe wichtiger Regeln fur den Umgang mit
Poisson-Klammern an, die die Berechnung von Klammerausdrucken erleichtern:
i) Antisymmetrie
fu; vg = fv; ug
(8.11)
ii) Linearitat
fu; v + wg = fu; vg + fu; wg
(8.12)
iii) Produktregel
fu; vwg = v fu; wg + fu; vg w
(8.13)
iv) Jacobi Identitat
fu; fv; wgg + fv; fw; ugg + fw; fu; vgg = 0:
(8.14)
Die Beweise zu (8.11) { (8.14) ergeben sich direkt aus der Denition (8.4) und den
Standard-Regeln der Dierentiation.
Beispiele:
1.) Kanonisch-konjugierte Variable qi ; pi zeichnen sich dadurch aus, da
fqi; qj g = 0;
fpi; pj g = 0;
fqi ; pj g = Æij :
(8.15)
2.) Drehimpuls: Fur die Komponenten des Drehimpulses gilt:
fL1 ; L2g = L3 ;
fL3; L1 g = L2 ;
fL2; L3 g = L1 ;
(8.16)
wie man leicht unter Verwendung von (8.15) nachweist (U B). Das quantenmechanische
Analogon zu (8.16) ist die Basis der Quantisierung des Drehimpulses!
124
3.) Erhaltungsgroen: Wenn eine Observable G nicht explizit von der Zeit t abhangt,
so wird
also G= const, falls fG; H g = 0.
dg
= fG; H g = 0;
dt
(8.17)
Die Bedeutung der Poisson-Klammern liegt darin, da sie eine algebraische Formulierung
der Dynamik von physikalischen Systemen bieten und einen formalen 'Einstieg' in die
Quantenmechanik erlauben, in der die konjugierten Variablen (ql ; pl ) durch Operatoren
in einem abstrakten Hilbertraum ersetzt werden (siehe Quantenmechanik).
4.) Der harmonische Oszillator:
Eine vollstandig algebraische Losung ist z.B. fur den harmonischen Oszillator moglich,
d.h. fur die Hamiltonfunktion
p2 m 2 2
H (q; p) =
+ !q:
(8.18)
2m 2 0
Mit (8.7) ergibt sich q_ unter Verwendung von (8.15) zu:
p2 m 2 2
1
q_ = fq; H g = fq;
+ !0 q g = fq; p2g
2m 2
2m
1
1
p
(pfq; pg + fq; pgp) =
(p + p) =
(8.19)
=
2m
2m
m
und p_ zu:
p2 m 2 2
m!02
p_ = fp; H g = fp;
+ !0 q g =
f
p; q 2 g
2m 2
2
2
2
m!
m!0
(q fp; q g + fp; q gq ) = 0 ( q q ) = m!02 q:
=
(8.20)
2
2
Zusammen:
p_
(8.21)
q = = !02 q oder q + !02 q = 0;
m
d.h. eine Schwingungsgleichung mit der Frequenz !0 .
8.3 Kanonische Transformationen
Wir wollen nun untersuchen, unter welchen Bedingungen bei einer Transformation der
2s Koordinaten eines physikalischen Systems die Lagrange- Gleichungen und kanonischen
Bewegungsgleichungen sich nicht andern, d.h. forminvariant sind.
8.3.1 Punkttransformationen
Bei der Formulierung der Lagrange-Dynamik hatten wir generalisierte Koordinaten ql
eingefuhrt, welche die an das System gestellten Zwangsbedingungen identisch erfullen. Die
Wahl der generalisierten Koordinaten ql ist jedoch bei Vielteilchensystemen keineswegs
125
eindeutig und man kann verschiedenen Koordinatensysteme wahlen. Die Frage stellt sich
daher, ob die Dynamik invariant unter Punkttransformationen
qi ! Qi (ql ; t);
l = 1; ::; s
(8.22)
formuliert werden kann. Als ein Beispiel fur eine solche Punkttransformation sei noch einmal die Transformation von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten aufgefuhrt:
0
1
0
1
x
r(x; y; z )
B
C
B
C
(8.23)
@ y A ! @ #(x; y; z ) A :
z
'(x; y; z )
Andererseits ist man daran interessiert, einen 'optimalen' Satz von Koordinaten Qj zu
nden, in denen alle zyklischen Variablen des Systems unmittelbar auftreten.
Wir zeigen nun, da die Lagrange-Gleichungen in der Tat unter Punkttransformationen
(8.22), d.h.
L(qi; q_i; t) ! L0(Qi ; Q_ i; t) = L(qi(Qj ; t); q_i(Qj ; Q_ j ; t); t)
(8.24)
forminvariant sind in dem Sinne:
d @ L0 @ L0
d @L @L
= 0 ()
= 0:
(8.25)
dt @ q_i @qi
dt @ Q_ j @Qj
Zum Beweis berechnen wir
s @ L @q
s
X
@ L0 X
@L
i
=
= aij
(8.26)
@Qj i=1 @qi @Qj i=1 @qi
mit der s s Transformations-Matrix
@q
aij = i :
(8.27)
@Qj
Fur den Impuls Pj erhalten wir analog mit (8.27)
s
s @ L @ q_
s
s
X
@ L0 X
@ q_i X
@qi X
i
=
aij pi ;
(8.28)
Pj = _ =
=
p
=
p
i
i
@ Qj i=1 @ q_i @ Q_ j i=1 @ Q_ j i=1 @Qj i=1
d.h. mit (8.26)
s
s
X
d
d
@ L0 X
@L
Pj = aij pi =
= aij :
(8.29)
dt
dt
@Qj i=1 @qi
i=1
Die Forminvarianz folgt nun daraus, da die Lagrange-Gleichungen in den Koordinaten
ql and Qj durch Multiplikation mit einer invertierbaren s s Matrix (a)ij auseinander
hervorgehen, deren Determinante 6= 0 ist.
Fur die Hamiltonfunktion H 0(Qi ; Pi ; t) erhalten wir
X
H (qi ; pi ; t) ! H 0(Qi ; Pi ; t) = Q_ i Pi L0 (Qi ; Q_ i ; t)
(8.30)
i
und nach dem Variationsprinzip (6.85) die Bewegungsgleichungen
@H 0
@H 0
;
P_i =
:
(8.31)
Q_ i =
@Pi
@Qi
Oensichtlich ist die Form der Bewegungsgleichungen (8.31) invariant unter einer Punkttransformation der Form (8.22).
126
8.3.2 Beispiele
Freies Teilchen in der Ebene
Wir beschranken uns { fur ein freies Teilchen der Masse m { auf die Transformation in
der (x; y )-Ebene, d.h. z_ = 0:
0
qi = B
@
x
y
z
1
C
A
0
! Qi =
B
@
r cos '
r sin '
z
1
C
A
:
(8.32)
Die Lagrangefunktion L geht dann uber in
L = m2 (x_ 2 + y_ 2) ! L0(x_ (r; '; z; r;_ ';_ z_ ); y_ (r; '; z; r;_ ';_ z_ ); t)
und wir erhalten mit
d
x_ = Q_ 1 = (r cos ') = r_ cos ' r'_ sin ';
dt
d
y_ = Q_ 2 = (r sin ') = r_ sin ' + r'_ cos '
dt
die Lagrangefunktion
L0 = m2 (r_ 2 + r2'_ 2 ) = L0(Qi; Q_ i; t):
Die Impulse Pi = @ L0 =@ Q_ i ergeben sich zu
Pr =
@ L0
= mr;_
@ r_
P' =
@ L0
= mr2 ':
_
@ '_
(8.33)
(8.34)
(8.35)
(8.36)
(8.37)
Fur die Hamiltonfunktion H 0 folgt nach (8.30)
H 0 = rP
_ r + 'P
_ '
2
2
P'
L0(r;_ r; '_ ) = 2Pmr + 2mr
2:
(8.38)
Die Bewegungsgleichungen lauten nach (8.31)
r_ =
@H 0 P' _
@H 0 P'2 _
@H 0
@H 0 Pr
= ; '_ =
= 2 ; Pr =
= 3 ; P' =
= 0;
@Pr m
@P' mr
@r
mr
@'
(8.39)
d.h. die Variable ' ist zyklisch.
Freies Teilchen im rotierenden Bezugssystem
Das Teilchen der Masse m bewege sich weiterhin in einem System, welches zusatzlich mit
der Winkelgeschwindigkeit ! um die z -Achse rotiert. Als neue Koordinaten fuhren wir
ein:
r ! R = r;
' ! = ' + !t;
127
(8.40)
wobei die neue Koordinate jetzt explizit von der Zeit t abhangt. Die Lagrangefunktion
L00(R; R;_ ; ;_ t) folgt dann mit
R_ = r_ ;
_ = '_ + !
(8.41)
nach (8.36):
Mit den Impulsen
L00(R; R;_ ; ;_ t) = m2 (R_ 2 + R2 (_ !)2):
@ L00
_
= mR;
@ R_
ergibt sich die neue Hamiltonfunktion H 00
Pr =
_ R + _ P
H 00 = RP
P =
@ L00
= mR2 (_ ! )
@ _
2
2
_ = PR + P + !P :
L00(R;_ R; )
2m 2mR2
(8.42)
(8.43)
(8.44)
Hinweis: Mit (8.44) wird aus dem Zusatzterm !P ersichtlich, da aus
L0(Qi ; Q_ i; t) = L(qi(Qi; t); q_i(Qi ; Q_ i; t); t)
(8.45)
im allg. nicht folgt, da die Hamiltonfunktion H 0 aus H durch Einsetzen von q (Qi ; Pi ; t),
p(Qi ; Pi ; t) berechnet werden kann, d.h. in der Regel ist bei explizit zeitabhangigen Transformationen
H 0 (Qi ; Pi ; t) 6= H (qi (Qi ; Pi ; t); pi (Qi ; Pi ; t); t):
(8.46)
Als Bewegungsgleichungen fur das freie Teilchen im rotierenden Bezugssystem folgen mit
der Hamiltonfunktion (8.44):
@H 00 PR _ @H 00
P
@H 00
P2
@H 00
= ; =
= 2 + ! ; P_R =
= 3 ; P_ =
= 0; (8.47)
R_ =
@PR m
@P mR
@R mR
@
womit sich die Variable in diesem Fall als zyklisch erweist.
8.4 Erweiterte kanonische Transformationen
Bisher haben wir Punkttransformationen der Form (8.22) betrachtet, die lediglich eine
Transformation der Koordinaten qi beinhalten. In der Hamiltonfunktion H (qi ; pi ; t) sind
jedoch die Variablen qi und pi unabhangige (gleichberechtigte) Variablen, so da wir
allgemeine Transformationen der Form
qi
pi
!
!
Qi (qj ; pj ; t)
Pi (qj ; pj ; t)
!
(8.48)
untersuchen mussen.
Beispiel: Die erweiterte Transformation
!
qi ! Qi
pi
Pi
!
128
=
pi
qi
!
;
(8.49)
welche generalisierte Koordinaten und Impulse vertauscht, ist kanonisch, da mit H (qi; pi ; t)
die Hamiltonfunktion H 0 (Qi ; Pi ; t) gegeben ist durch
H 0 (Qi ; Pi; t) = H (Pi ; Qi ; t):
(8.50)
Es folgen die kanonischen Bewegungsgleichungen
@H 0 (Qj ; Pj ; t) @H (Pj ; Qj ; t) @H (qj ; pj ; t)
=
=
= p_i = Q_ i ;
@Pi
@Pi
@qi
(8.51)
@H (qj ; pj ; t)
@H 0 (Qj ; Pj ; t) @H (Pj ; Qj ; t)
=
=
= q_i = P_i ;
(8.52)
@Qi
@Qi
@pi
womit die 'Forminvarianz' der kanonischen Bewegungsgleichungen unter der Transformation (8.49) gezeigt ist.
Das Beispiel verdeutlicht, da generalisierte Koordinaten und generalisierte Impulse 'austauschbar' und damit gleichberechtigt sind. Beide Freiheitsgrade werden zu 'abstrakten'
Koordinaten, in denen sich die Hamiltonfunktion auf dem 2s-dimensionalen Phasenraum
darstellen lat.
Die allgemeine Abbildung (8.48) sei durch eine Transformation T (qj ; pj ; t) beschrieben,
die beliebig, aber invertierbar sein soll, d.h. die inverse Abbildung T 1 (Pi ; Qi ; t) liefert
Qi
Pi
!
!
!
qi (Qj ; Pj ; t) :
pi (Qj ; Pj ; t)
(8.53)
Das Problem bei allgemeinen invertierbaren Transformationen T besteht jedoch darin,
da die Lagrangegleichungen nicht mehr 'forminvariant' sind. Ebenso sind auch die Hamilton'schen Gleichungen nicht mehr 'forminvariant', d.h. von der Gestalt (8.31). Wir
mussen daher nach 'Einschrankungen' an die Transformation T suchen, welche die 'Forminvarianz' generell gewahrleisten.
Zunachst denieren wir geeignete Transformationen wie folgt: Wir nennen eine Transformation T kanonisch im weiteren Sinne, wenn fur alle Hamiltonfunktionen H (qi; pi ; t)
eine Funktion H 0 (Qi ; Pi; t) in den neuen Variablen Pi ; Qi existiert, so da die Bewegungsgleichungen 'forminvariant' sind.
Um geeignete Bedingungen fur solche Transformationen zu nden, gehen wir zuruck auf
das Variationsprinzip (6.85), wobei die Variationen
ÆS = Æ
t2
Z
t1
s
X
i=1
!
q_i pi
H (qi ; pi ; t) dt = 0 = Æ
Z
t2
t1
s
X
i=1
Q_ i Pi
!
H 0(Q ; P ; t)
i
i
dt (8.54)
an den beliebigen Intervallsgrenzen t1 ; t2 verschwinden. Es sei daran erinnert, da das Variationsproblem (8.54) gerade auf die Hamilton'schen (kanonischen) Bewegungsgleichungen fuhrt. Dieser Zusammenhang wird direkt ersichtlich, wenn wir zu der tatsachlichen
129
Bahn (qi (t); pi (t)) beliebige Nachbarbahnen (qi (t) + i (t); pi (t) + i (t)) betrachten, wobei die Funktionen i und i linear unabhangig sein mussen, da auch die qi ; pi linear
unabhangig sind. Die Ableitung der Wirkung S () nach fuhrt (im Limes ! 0) auf :
!
s
dS Z t2 d X
=
[q_i + _i ][pi + i ] H (qi + i ; pi + i ; t) dt
d
t1 d i=1
!
s
@H
@H
=
_i pi + q_i i
i
dt:
(8.55)
@qi
@pi i
t1 i=1
Nach partieller Integration des Terms mit _i und Beachtung der Randbedingungen (i (t1 ) =
i (t2 ) = 0) an den Integrationsgrenzen erhalten wir
Z
t2
X
s
dS Z t2 X
=
[ i p_i ] + q_i i
d
t1 i=1
s "
t2 X
@H
@qi i
!
!
@H
dt
@pi i
!
#
@H
@H
=
p_i
i + q_i
dt = 0:
(8.56)
@qi
@pi i
t1 i=1
Da die Funktionen i ; i beliebig und linear unabhangig sind, mussen die KoeÆzienten in
den (::) selbst verschwinden, was gerade auf die kanonischen Bewegungsgleichungen (8.31)
in den Variabeln (qi ; pi ) fuhrt.
Z
Wir kommen nun zuruck auf Gleichung (8.54). Wegen der verschwindenden Variation an
den Integrationsgrenzen unterscheiden sich dann die Integranden { abgesehen von einer
unbedeutenden Konstanten c { lediglich um ein totales Zeitdierential einer belieben,
stetig dierenzierbaren Funktion F in den Variablen qi ; pi ; Qi ; Pi ; t; explizit:
X
i
!
q_i pi
H (qi; pi ; t) = c
X
i
Q_ i Pi
!
H 0 (Qi ; Pi ; t) +
d
F (q ; p ; Q ; P ; t);
dt i i i i
(8.57)
da bei der Variation die Endpunkte festgehalten werden, d.h.
Æ
Z
t2
t1
dt
dF
= Æ (F (t1 ) F (t2 )) = 0:
dt
(8.58)
Nach diesen vorbereitenden Bemerkungen denieren wir nun eine Transformation als
kanonisch, wenn die Konstante c=1 ist, d.h. wenn fur eine beliebige Hamiltonfunktion
H (qi ; pi; t) eine Hamiltonfunktion H 0 (Pi ; Qi ; t) existiert mit der Eigenschaft:
s
X
i=1
q_i pi
Pi Q_ i
H (qi ; pi; t) + H 0 (Qi ; Pi; t) =
d
F (q ; p ; Q ; P ; t):
dt i i i i
(8.59)
8.4.1 Erzeugende der kanonischen Transformationen
Die in (8.59) eingefuhrte Funktion F (qi ; pi ; Qi ; Pi ; t) ist eine beliebige (stetig dierenzierbare) Funktion von 4s + 1 Variablen, von denen aber nur 2s + 1 linear unabhangig sind,
da die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems s betragt und wir fur jeden Freiheitsgrad
130
2 unabhangige Variablen benotigen; die Zeit t ist ein zusatzlicher Parameter. Es gibt
also { bis auf Linearkombinationen { nur 6 unterschiedliche Klassen von erzeugenden
Funktionen mit jeweils 2s + 1 unabhangigen Variablen:
F1 (qi ; Qi ; t); F2 (qi ; Pi ; t); F3 (pi ; Qi ; t); F4 (pi ; Pi; t); F5 (qi ; pi ; t); F6 (Qi ; Pi; t):
(8.60)
Von diesen Funktionen ist F5 eine Funktion der Variablen (qi ; pi ) allein, so da wir (8.59)
schreiben konnen in der Form
s
X
i=1
!
q_i pi
s
X
H (qi ; pi ; t)
i=1
Pi Q_ i
!
d
H 0 (Qi ; Pi ; t) = F5 (qi ; pi ; t)
dt
!
s
@F
@F
@F
(8.61)
=
q_i 5 + p_i 5 + 5 :
@qi
@pi
@t
i=1
Die Zeitableitung in der Koordinate Qi konnen wir umschreiben unter Verwendung der
funktionalen Abhangigkeit von den (qi ; pi ; t),
X
!
s
@Qi
@Q
@Q
Q_ i =
q_k + i p_k + i
@pk
@t
k=1 @qk
X
(8.62)
und erhalten aus (8.61)
s
X
i=1
q_i pi
s
X
k=1
Pk
s
"
#
@Qk
@Q
@Q
q_i + k p_i + k
@pi
@t
i=1 @qi
X
!
H (qi ; pi ; t) + H 0 (Qi ; Pi ; t)
!
@F
@F
@F
=
q_i 5 + p_i 5 + 5 :
(8.63)
@qi
@pi
@t
i
Da nach Voraussetzung die qi ; pi linear unabhangig sind, mussen auch die q_i ; p_ i linear
unbhangig sein und damit die KoeÆzienten der Terme q_i und p_i identisch verschwinden. Wir erhalten dann durch KoeÆzientenvergleich:
X
pi
s
X
k=1
s
Pk
@Qk @F5
=
;
@qi
@qi
(8.64)
@Qk @F5
=
;
(8.65)
@pi
@pi
k=1
s
X
@Q @F
0
(8.66)
H = H + Pk k + 5 :
@t
@t
k=1
Die Gleichungen (8.64),(8.65) stellen ein System von gekoppelten Gleichungen (der Dimension 2s) dar, welches nach den Pk (qi ; pi ; t); Qk (qi ; pi ; t) aufzulosen ist. Die gesuchte Hamiltonfunktion H 0 (Qk ; Pk ; t) folgt dann aus (8.66) durch Einsetzen der Losungen
Pk (qi ; pi; t); Qk (qi ; pi ; t), wobei die partielle Zeitableitung von F5 noch beliebig gewahlt
werden kann. Die 'Erzeugende Funktion' F5 generiert somit unendlich viele kanonische
Transformationen! Ohne expliziten Beweis sei bemerkt, da dieser Sachverhalt auch fur
X
Pk
131
die Erzeugende F6 (Qi ; Pi ; t) gilt, da sie ebenfalls eine Funktion der konjugierten Variablen Qi ; Pi ist. Die Auosung des gekoppelten Gleichungssystems (8.64),(8.65) ist jedoch
recht aufwendig, da alle Gleichungen die gesuchten Funktionen Pk und Qk in nichttrivialer
Weise enthalten.
Wir untersuchen daher im Folgenden die Funktionen F1 ; ::; F4 und beginnen mit F1 (qi ; Qi ; t).
Eine Transformation heit dann kanonisch, wenn
s
X
i=1
q_i pi
s
X
i=1
Pi Q_ i
H (qi ; pi; t) + H 0 (Qi ; Pi; t) =
dF1
dt
!
s
@F
@F
@F
(8.67)
=
q_i 1 + Q_ i 1 + 1 :
@qi
@Qi
@t
i=1
Aufgrund der linearen Unabhangigkeit der q_i und Q_ i erhalten wir durch KoeÆzientenvergleich
@F (q ; Q ; t)
pi = 1 i i ;
(8.68)
@qi
@F1 (qi ; Qi ; t)
Pi =
;
(8.69)
@Qi
@F (q ; Q ; t)
H0 = H + 1 i i :
(8.70)
@t
Falls die Koordinaten qi ; Qi linear unabhangig sind, ist die Transformation auf die Koordinaten pi ; Pi genau dann kanonisch, falls eine Funktion F1 (qi ; Qi ; t) mit den Eigenschaften (8.68),(8.69),(8.70) existiert.
X
Als Beispiel berechnen wir die Transformationsgleichungen aus der erzeugenden Funktion
Q
F1 (q; Q) =
:
(8.71)
q
Nach (8.68) folgt
@F (q; Q) Q
= 2
(8.72)
p= 1
@q
q
und nach (8.69)
@F1 (q; Q) 1
P=
= = P (q; p):
(8.73)
@Q
q
Mit (8.72) ergibt sich dann
Q = pq 2 = Q(q; p);
(8.74)
womit das Problem der Transformationsgleichungen von den Variablen (q; p) auf die neuen
Variablen (Q; P ) gelost ist.
Umkehrung: Andererseits kann man aus einer bekannten Transformation, z.B.
!
!
!
q ! Q(q; p) = ln p
(8.75)
p
P (q; p)
qp
132
die Erzeugende F1 (q; Q) berechnen. Gleichung (8.75) ergibt sofort
p = exp(Q):
(8.76)
Wir beginnen mit (8.68) und integrieren uber dq , was F1 liefert in der Form
F1 (q; Q; t) =
Z
p(q; Q) dq + g (Q; t) = q exp(Q) + g (Q; t)
(8.77)
mit einer beliebigen, stetig dierenzierbaren Funktion g (Q; t). Mit (8.69) erhalten wir
weiterhin
@F1
@g (Q; t)
P=
= q exp(Q) +
= qp(q; Q);
(8.78)
@Q
@Q
woraus unmittelbar folgt:
@g (Q; t)
= 0:
(8.79)
@Q
Damit ist die Erzeugende F1 = q exp(Q) { bis auf eine unbedeutende Konstante { bestimmt.
Die allgemeine Vorgehensweise zur Berechnung der Transformationen Qj (qi ; pi ; t) und
Pj (qi ; pi ; t) ist wie folgt: Bei gegebenem F1 (qi ; Qi ; t) berechnet man zunachst die s Bewegungsgleichungen fur die pi durch Dierentiation der Erzeugenden F1 nach den qi und lost
die Gleichungen nach den Qj (qi ; pi ; t) auf. Sodann berechnet man die Ableitungen von F1
formal nach den Qj und setzt die berechneten Qj (qi ; pi ; t) in den gewonnenen Ausdruck
fur die Pj ein, woraus sich die Transformationen Pj (qi ; pi ; t) ergeben.
Die erzeugende Funktion F2 (qi ; Pi; t)
Wir beginnen zunachst mit einer Funktion F~2 (qi ; Pi ; t), welche die gleichen linear unabhangigen Variablen wie die (spater zu denierende) Funktion F2 (qi ; Pi ; t) hat. Eine
Transformation (8.48) ist dann kanonisch wenn:
s
X
i=1
q_i pi
s
X
i=1
Pi Q_ i
H (qi ; pi; t) + H 0 (Qi ; Pi; t) =
dF~2
dt
!
@ F~2 _ @ F~2
@ F~
=
q_i
+ Pi
+ 2=
@qi
@Pi
@t
i=1
!
#
s "
s
X
X
@Qi _
@Qi
@Qi
q_k +
Pk
Pi
H (qi ; pi ; t) + H 0 (Qi ; Pi ; t)
(8.80)
q_i pi Pi
@q
@P
@t
k
k
i=1
k=1
unter Ausnutzung der funktionalen Abhangigkeit Qi (qk ; Pk ; t). Aufgrund der linearen Unabhangigkeit der q_i und P_i erhalten wir durch KoeÆzientenvergleich
s
X
"
#
s
@Qk @ F~2 (qj ; Pj ; t)
@ ~ X
+
=
F + PQ ;
pi = Pk
@qi
@qi
@qi 2 k=1 k k
k=1
s
X
133
(8.81)
"
#
s
@Qk @ F~2 (qj ; Pj ; t)
@ ~ X
0 = Pk
+
=
F + PQ
Qi ;
(8.82)
@Pi
@Pi
@Pi 2 k=1 k k
k=1
"
#
s
s
X
@ ~ X
@Qi @ F~2 (qj ; Pj ; t)
0
+
=H+
F + PQ ;
(8.83)
H = H + Pi
@t
@t
@t 2 k=1 k k
i=1
wobei wir zusatzlich die lineare Unabhangigkeit der Variablen (qi ; Pk ) ausgenutzt haben,
d.h. @Pk =@qi =0.
s
X
Die Gleichungen (8.81), (8.82), (8.83) legen nahe, eine erzeugende Funktion F2 (qi ; Pi; t)
zu denieren uber
s
X
F2 (qi ; Pi ; t) = F~2 (qi ; Pi ; t) + Pk Qk :
(8.84)
k=1
Damit lassen sich die Gleichungen (8.81), (8.82), (8.83) in kompakter Form schreiben:
@F2 (qj ; Pj ; t)
;
@qi
pi =
(8.85)
@F2 (qj ; Pj ; t)
;
@Pi
@F (q ; P ; t)
H0 = H + 2 j j :
@t
Beispiel: Wir berechnen die Erzeugende F2 fur die Transformation
Qi =
Q
P
!
=
ln p
qp
(8.86)
(8.87)
!
:
(8.88)
Mit p = P=q erhalten wir durch Integration von (8.85):
F2 (q; P ) =
Z
p(P; q )dq + g (P ) = P ln q + g (P )
(8.89)
mit einer beliebigen, stetig dierenzierbaren Funktion g (P ). Wir nutzen nun (8.86) um
g (P ) uber (8.89) zu bestimmen:
@F2 @ [ P ln q + g (P )]
@g (P )
=
= ln q +
:
@P
@P
@P
Integration von @g (P )=@P uber P liefert (mit ln(p) + ln(q ) = ln(pq ))
Q = ln p =
g (P ) =
Z
ln(pq )dP =
Z
ln( P )dP = P ln( P )
P:
(8.90)
(8.91)
Damit erhalten wir die Erzeugende F2 (q; P ) zu
F2 (q; P ) = P ln q + P ln( P ) P = P (ln( P=q ) 1)) :
134
(8.92)
Tabelle 8.1:
F1 (q; Q; t)
F2 (q; P ; t)
F3 (p; Q; t)
F4 (p; P ; t)
p = +@F1 =@q
p = +@F2 =@q
q = @F3 =@p
q = @F4 =@p
U bersicht
P = @F1 =@Q
Q = +@F2 =@P
P = @F3 =@Q
Q = +@F4 =@P
H 0 = H + @F1 =@t
H 0 = H + @F2 =@t
H 0 = H + @F3 =@t
H 0 = H + @F4 =@t
Zusammenhang zwischen den Erzeugenden F1 und F2
Aus den Denitionsgleichungen fur kanonische Transformationen (8.67) und (8.80) folgt
sofort:
d
F1 F~2 = 0 oder F1 = F~2 + const:;
(8.93)
dt
wobei die Konstante ohne Einschrankung als 0 angenommen werden kann. Mit (8.84)
erhalten wir dann unter Verwendung von (8.69):
F2 (qi ; Pi ; t) = F~2 (qi ; Pi; t) +
s
X
k=1
Pk Qk = F1 (qi ; Pi ; t) +
s
X
(
k=1
@F1
)Q
@Qk k
s
@F1
Qk :
k=1 @Qk
Damit erweist sich die Erzeugende F2 als Legendre-Transformierte von F1 .
= F1 (qi ; Pi ; t)
X
(8.94)

8.4.2 Die erzeugenden Funktionen im Uberblick
Analog zur vorhergehenden Betrachtung ndet man, da auch die Erzeugenden F3 und
F4 sich als Legendre-Transformierte von F1 ergeben:
F3 (pi ; Qi ; t) = F1 (qi ; Qi ; t)
s
@F1
qk ;
k=1 @qk
X
(8.95)
wahrend F4 (pi ; Pi ; t) durch eine doppelte Legendre-Transformation ensteht:
!
s
s
X
@F1
@F
F4 (pi ; Pi ; t) = F1 (qi ; Qi ; t)
qk + 1 Qk = F1 (qi ; Qi ; t) + (Pk Qk
@Qk
k=1 @qk
k=1
X
pk qk ) :
(8.96)
Die aus den Forderungen (8.59) durch KoeÆzientenvergleich folgenden Verknupfungen
sind in der Tabelle 8.1 fur die Erzeugenden F1 ; ::; F4 zusammengestellt:
Bemerkung I: Aus der Tabelle 8.1 folgt unmittelbar, da bei nicht zeitabhangigen Transformationen die Hamiltonfunktion selbst eine kanonische Invariante ist, d. h. H 0 = H .
135
Bemerkung II: Alle Punkttransformationen qi ! Qi (qj ; t) sind kanonisch, denn es gibt
eine Erzeugende
F2 (qi ; Pi ; t) =
mit
und
s
X
Qi (qj ; t)Pi
(8.97)
pi =
s @Q
@F2 X
k
=
(q ; t)Pk
@qi k=1 @qi j
(8.98)
Qi =
s @P
@F2 X
k
=
(q ; t)Qk :
@Pi k=1 @Pi j
(8.99)
i=1
Als Beispiel betrachten wir zum Abschlu wieder den harmonischen Oszillator,
p2 m 2 2
H (q; p) =
+ !q;
(8.100)
2m 2 0
und untersuchen die kanonische Transformation, die von der Erzeugenden
m
(8.101)
F1 (q; Q) = !0 q 2 cot(Q)
2
generiert wird. Wir erhalten dann nach Tabelle 8.1
2
@F
@F1
m!0 q 2
2 = 2P sin (Q) : (8.102)
p = 1 = m!0 q cot(Q);
oder
q
P=
=
@q
@Q 2 sin2 (Q)
m!0
Durch einfaches Umformen ergibt sich dann:
s
q
cos(Q) 2P
cos(Q)
= m!0
sin(Q) = 2P m!0 cos(Q) = p(P; Q):
p = m!0 q
sin(Q)
sin(Q) m!0
(8.103)
s
q
p sin(Q)
sin(Q)
2P
q=
= 2P m!0 cos(Q)
=
sin(Q) = q (P; Q): (8.104)
m!0 cos(Q)
m!0 cos(Q)
m!0
Die Hamiltonfunktion H 0(Q; P ) ist in den neuen Koordinaten gegeben durch:
p2 m 2 2
H 0 (Q; P ) = H (q (P; Q); p(Q; P )) =
+ !q =
2m 2 0
2P m!0 cos2 (Q) m 2 2P
+ !0
sin2 (Q) = P !0 cos2 (Q) + P !0 sin2 (Q) = P !0; (8.105)
=
2m
2 m!0
und die Bewegungsgleichungen in den Koordinaten P; Q sind:
@H 0
@H 0
=0
Q_ =
= !0 :
(8.106)
P_ =
@Q
@P
Diese Bewegungsgleichungen zeigen unmittelbar, da P = H 0 =!0 = P0 eine Konstante
der Bewegung ist, welche proportional zur Energie E = H 0 ist. Andererseits folgt aus der
2. Gleichung sofort die Losung fur die Winkelvariable
Q(t) = !0 t + ;
136
(8.107)
wobei eine beliebige Phase bezeichnet, die durch Anfangsbedingungen zu spezizieren
ist. Die Losung ist vollstandig, wenn wir noch die Ergebnisse fur P und Q(t) in die
Transformationsformeln (8.103), (8.104) einsetzen:
s
q (t) =
q
2P0
sin(!0 t + );
m!0
(8.108)
p(t) = 2P0 m!0 cos(!0 t + ):
(8.109)
Die von der Erzeugenden F1 (8.101) induzierte Variablen-Transformation erlaubt also eine
einfache Losung des Oszillatorproblems.
8.4.3 Kanonische Invarianten
Als kanonische Invarianten bezeichnen wir solche Groen, welche sich nicht unter kanonischen Transformationen andern. Bisher haben wir als Beispiele die Invarianz der Hamiltonfunktion H unter { nicht explizit zeitabhangigen { kanonischen Transformationen
kennengelernt sowie die Forminvarianz der Hamilton'schen Bewegungsgleichungen. Wir
zeigen nun generell, da die Formulierung der Dynamik mit Hilfe der Poisson-Klammern
(8.4) { bei zeitunabhangigen Transformationen { kanonisch invariant formuliert werden
kann. Wir beginnen mit der
Invarianz der fundamentalen Poisson-Klammern
Seien (qi ; pi ) und (Qj ; Pj ) zwei kanonisch konjugierte Variablensatze, fur die jeweils die
Hamilton'schen Bewegungsgleichungen gelten mit
Dann gelten :
H 0 (Qj ; Pj ) = H (qi (Qj ; Pj ); pi (Qj ; Pj )):
(8.110)
fQi ; Qj gp;q = 0; fPi; Pj gp;q = 0; fQi; Pj gp;q = Æij :
(8.111)
Zum Beweis von (8.111) bilden wir die Zeitableitung von Qi ,
!
s
!
s
X
@Qi
@Qi
@Qi @H @Qi @H
_Qi =
q_k +
p_k =
=
@pk
@pk @qk
k=1 @qk
k=1 @qk @pk
"
#
"
#!
s
X
@Qi @H 0 @Ql @H 0 @Pl
@Qi @H 0 @Ql @H 0 @Pl
=
+
+
=
@Pl @pk
@pk @Ql @qk @Pl @qk
k;l=1 @qk @Ql @pk
X
@H 0 @Qi @Ql
=
k;l=1 @Ql @qk @pk
s
X
"
=
Folglich mu gelten:
s
X
l=1
@Qi @Ql
@H 0 @Qi @Pl
+
@pk @qk
@Pl @qk @pk
#
"
@Qi @Pl
@pk @qk
P_l fQi ; Ql gp;q + Q_ l fQi ; Pl gp;q = Q_ i :
#!
=
(8.112)
fQi; Ql gp;q = 0;
fQi; Pl gp;q = Æil :
(8.113)
Der noch fehlende Beweis fur fPi ; Pl gp;q = 0 folgt aus der analogen Berechnung fur P_ i .
137
Invarianz allgemeiner Poisson-Klammern
Wir wollen nun zeigen, da der Wert einer Poisson-Klammer unabhangig ist von dem { als
Basis { verwendeten Satz kanonischer Koordinaten. Dazu betrachten wir zwei beliebige
Phasenraumfunktionen F und G und zwei Satze kanonischer Variabler (qi ; pi ) und (Qj :Pj )
mit
!
!
!
!
ql = ql (Qj ; Pj ) ;
Ql = Ql (qj ; pj ) :
(8.114)
p
p (Q ; P )
P
P (q ; p )
l
l
j
j
l
l j
j
Fur die Poisson-Klammer von F und G in den Variablen q; p folgt dann:
s
@F @G
fF; Ggp;q =
j =1 @qj @pj
X
s
"
#
!
@F @G
=
@pj @qj
"
#!
@F @G @Ql @G @Pl
@F @G @Ql @G @Pl
=
+
+
=
@Pl @pj
@pj @Ql @qj @Pl @qj
j;l=1 @qj @Ql @pj
!
s
X
@G
@G
=
fF; Ql gp;q + @P fF; Plgp;q :
(8.115)
l
l=1 @Ql
Zwei Zwischenergebnisse, die aus (8.115) unmittelbar folgen, sind:
i) Fur F = Qk folgt unter Ausnutzung der fundamentalen Poisson-Klammern
@G
fG; Qk gq;p = @P
:
(8.116)
k
ii) Fur F = Pk ergibt sich analog
@G
fG; Pk gq;p = @Q
:
(8.117)
k
Setzen wir (8.116) und (8.117) in (8.115) ein, so ergibt sich die Invarianz der PoissonKlammer unter kanonischen Transformationen, da F und G beliebig gewahlt waren:
"
#
"
#!
s
X
@G @F
@G @F
+
= fF; GgP;Q:
(8.118)
fF; Ggq;p =
@Pl
@Pl @Ql
l=1 @Ql
Wir konnen also die Indizes an den Poisson-Klammern, welche die Basis-Variablen verdeutlichen, weiterhin einfach weglassen.
X
8.4.4 Kriterien fur kanonische Transformationen
In der Praxis stellt sich oft die Frage, ob eine bestimmte Transformation kanonisch ist
oder nicht. Diese Frage lat sich haug nicht einfach beantworten, wenn die zugehorige
explizite erzeugende Funktion nicht bekannt ist. Zur praktischen U berprufung ist dagegen
der folgende Satz von groer Hilfe:
Eine erweiterte Transformation (8.48) ist genau dann kanonisch, wenn die
fundamentalen Poisson-Klammern in den neuen Variablen erfullt sind, d.h.
fQi; Qj g = 0 = fPi; Pj g;
138
fQi; Pj g = Æij :
(8.119)
Wir fuhren den Beweis fur nicht explizit zeitabhangige Transformation, d.h. fur verschwindende explizite Zeitableitung der Erzeugenden @Fk =@t = 0, durch, so da wiederum gilt:
H (qi ; pi ) = H 0 (Qj ; Pj ) = H (qi(Qj ; Pj ); pi (Qj ; Pj )):
(8.120)
Da nach Abschnitt 8.4.3 die Poisson-Klammern invariant sind unter kanonischen Transformation, wahlen wir der Einfachheit halber die Variablen qi ; pi . Fur die Zeitableitung
von Qj und Pj gilt dann:
!
s
@Qj @H @Qj @H
;
(8.121)
Q_ j = fQj ; H gq;p =
@pl @ql
l=1 @ql @pl
!
s
_Pj = fPj ; H gq;p = X @Pj @H @Pj @H :
(8.122)
@pl @ql
l=1 @ql @pl
Die partielle Ableitungen der Hamiltonfunktion lassen sich weiterhin wie folgt umschreiben:
!
s
@H X
@H 0 @Qk @H 0 @Pk
=
+
:
(8.123)
@pl k=1 @Qk @pl @Pk @pl
!
s
@H X
@H 0 @Qk @H 0 @Pk
=
+
:
(8.124)
@ql k=1 @Qk @ql @Pk @ql
Wir setzen (8.123) und (8.124) in Gleichung (8.121) ein,
X
@Qj @H 0 @Qk @H 0 @Pk
+
Q_ j = fQj ; H gq;p =
@Pk @pl
l;k=1 @ql @Qk @pl
s
X
und fassen zusammen zu:
!
@Qj @H 0 @Qk @H 0 @Pk
+
;
@pl @Qk @ql @Pk @ql
(8.125)
!!
s
X
@H 0
@H 0
Q_ j = fQj ; H gq;p =
f
Qj ; Qk gq;p +
fQ ; P g :
@Pk j k q;p
k=1 @Qk
Auf gleiche Weise ndet man mit (8.122):
!
s
X
@H 0
@H 0
f
Qk ; Pj gq;p +
fP ; P g :
P_j = fPj ; H gq;p =
@Qk
@Pk j k q;p
k=1
Die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen
(8.126)
!
@H 0
P_j =
@Qj
0
@H
;
Q_ j =
@Pj
(8.127)
(8.128)
gelten also genau dann, wenn die fundamentalen Poisson-Klammern (8.119) in den neuen
Variablen erfullt sind (q.e.d.).
Die Formulierung der Newton'schen Dynamik in Form von Poisson-Klammern, welche
invariant unter kanonischen Transformation sind und konjugierte Variable uber die
 bergang
fundamentalen Poisson-Klammern (8.119) festlegen, erlaubt einen einfachen U
zur Quantenmechanik.
139
8.5 Theorem von Liouville
Das Theorem von Liouville bietet weiterhin einen eleganten Einstieg in the statistische Mechanik. Um den Zustand eines Systems von Teilchen als Punkt im Phasenraum
festlegen zu konnen, mu man die Anfangsbedingungen zur Losung der kanonischen Gleichungen exakt kennen, was fur Systeme mit sehr vielen Teilchen (N 1023 ) praktisch
unmoglich ist. Als eine weniger genaue (fur viele Fragen dennoch ausreichende) Zustandsbeschreibung bietet sich dann die Angabe der Wahrscheinlichkeit (qi ; pi ; t) an, mit
der das System sich zur Zeit t am Punkt (qi ; pi ) im Phasenraum bendet. Kennt man
(qi ; pi ; t), so kann man den Erwartungswert einer Observablen G als Mittelwert berechnen:
Z
Y
< G >= (qi ; pi ; t) G(qi ; pi; t) dqi dpi
(8.129)
i
mit der Normierung
Z
(qi ; pi ; t)
Y
i
dqi dpi = 1:
(8.130)
Wenn die mittleren quadratischen Abweichungen G2 =< G2 > < G >2 hinreichend
klein sind (was fur groe Teilchenzahlen in der Regel der Fall ist), kann man den Mittelwert
(8.129) mit dem makroskopischen Mewert identizieren.
Der Veranschaulichung von dient in der statistischen Mechanik das Konzept des Ensembles: Man ersetzt das tatsachliche System, dessen Anfangsbedingungen man ungenau
(oder unvollstandig) kennt, durch einen Satz vieler gleichartiger Systeme ('Ensemble') mit
verschiedenen, aber jeweils genau spezizierten Anfangsbedingungen, in Einklang mit den
makroskopischen Kenntnissen uber das tatsachliche System. Jedes Mitglied des Ensembles wird im Phasenraum durch einen Punkt reprasentiert, das Ensemble also durch einen
'Schwarm' von Punkten im Phasenraum, deren Verteilung durch die Wahrscheinlichkeit
bestimmt ist.
Aus dieser Vorstellung folgt die Liouville-Gleichung fur die Verteilungsfunktion , welche besagt:
d
@
= f; H g + = 0:
(8.131)
dt
@t
Zur Erlauterung von (8.131) benutzen wir die kanonischen Gleichungen, womit wir
!
X
@
@
q_ + p_
(8.132)
f; H g =
@qi i @pi i
i
nach der Denition (8.4) erhalten. Da nun
!
X
X
@ q_i @ p_i
@2H
+
=
@qi @pi
@qi @pi
i
i
wird
also
f; H g =
X
i
X
i
@2H
= 0;
@pi @qi
!
(8.133)
!
@
@
(q_i ) + (p_i ) ;
@qi
@pi
(8.134)
!
@
@
@
(q_i ) + (p_i ) + = 0
@qi
@pi
@t
140
(8.135)
auf Grund von (8.131). Gleichung (8.135) kann nun als Kontinuitatsgleichung im Phasenraum verstanden werden,
@
+ div (~v ) = 0
(8.136)
@t
mit
!
q
_
i
~v = p_
(8.137)
i
als Geschwindigkeit im Phasenraum und
div = (
@ @
; ):
@qi @pi
(8.138)
Das in (8.131), (8.135) oder (8.136) ausgesprochene Liouville Theorem lat sich dann
{ analog zur Ladungserhaltung in der Elektrodynamik { als Erhaltung der Zahl der das
Ensemble reprasentierenden Punkte im Phasenraum verstehen: laut (8.136) kann sich die
Zahl der Punkte in einem bestimmten Bereich VP h des Phasenraumes nur dadurch andern,
da Punkte des 'Schwarms' hinein- bzw. herauswandern.
Von besonderem Interesse fur die Gleichgewichtsthermodynamik ist der Fall einer stationaren Verteilung,
@
= 0;
(8.139)
@t
wofur
f; H g = 0
(8.140)
wird. Wichtige Losungen von (8.140) sind:
= Æ (H
E );
(8.141)
was als mikrokanonisches Ensemble bezeichnet wird, wo die Gesamtenergie des Systems genau bekannt ist. Falls nur der Mittelwert (8.129) der Energie < H > aufgrund
einer Wechselwirkung mit einem 'Warmebad' bekannt ist, wird zu
= exp( H=(kT ));
(8.142)
was als kanonisches Ensemble bezeichnet wird. In (8.142) kann T dann mit der phanomenologischen Temperatur des Systems identiziert werden, wahrend k die BoltzmannKonstante bezeichnet.
Neben dem mikrokanonischen und dem kanonischen Ensemble treten in der statistischen
Physik noch weitere Ensemble auf, die jeweils dadurch charakterisiert werden, ob eine
thermodynamische Observable exakt oder nur im Mittel erhalten ist. Bei sehr groen
Teilchenzahlen spielen diese Unterscheidungen keine Rolle, sind jedoch von groer Bedeutung fur die Quantenstatistik, in welcher die thermodynamischen Potentiale { ahnlich
den erzeugenden Funktionen F1 ; ::; F4 { auseinander durch Legendre-Transformationen
hervorgehen.
141
Kapitel 9
Erganzungen
9.1 Relativistische Mechanik
Am Beispiel der relativistischen Behandlung eines geladenen Teilchens wollen wir zeigen,
wie Lagrange- und Hamilton-Formalismus sich auf andere Gebiete der Physik ubertragen
lassen.
9.1.1 Lagrange-Funktion fur ein relativistisches Teilchen
Wir suchen nach einer Lagrange-Funktion, die die Bewegungsgleichung
d
~
(m(v )~v ) = K
(9.1)
dt
mit
m
(9.2)
m(v ) = (v )m0 = q 0
1 v 2 =c2
und
~ = q (E~ + (~v B~ ))
K
(9.3)
fur den Fall der Lorentzkraft reproduziert. Dabei sollen die fundamentalen Beziehungen
der Lagrange-Mechanik,
@L
(9.4)
pi = ;
@vi
fur die generalisierten Impulse (9.4) sowie die Lagrange{Gleichungen,
d @L
@L
=
;
(9.5)
dt @vi
@xi
erhalten bleiben. Da sich gegenuber dem nichtrelativistischen Fall nur (9.2) andert, liegt
es nahe anzusetzen:
~
L = T~ q + q~v A;
(9.6)
wobei T~ so aufgebaut sein mu, da
@ T~
= m(v )vi
(9.7)
@vi
!
142
gilt. Die Losung ist (bis auf eine Integrationskonstante)
q
T~ = m0 c2 1
v 2 =c2 =
m0 c2
;
(v )
oensichtlich verschieden von der kinetischen Energie
m c2
T=q 0
m0 c2 = m0 c2 ( (v ) 1):
2
2
1 v =c
(9.8)
(9.9)
Setzt man (9.8), (9.6) in (9.5) ein, so erhalt man { wie gewunscht { die Gleichungen (9.1)
 B).
{ (9.3) (U
9.1.2 Hamilton-Funktion fur ein relativistisches Teilchen
Die Hamilton-Funktion erweist sich als identisch mit der Energie:
H=
X
i
q
X
vi pi + m0 c2 1 v 2 =c2 + q q vi Ai =
q
m0 v 2
q
+ m0 c2 1
1 v 2 =c2
da
pi =
i
v 2 =c2 + q = T + q + m0 c2 = E;
@L
= m(v )vi + qAi :
@vi
(9.10)
(9.11)
9.2 Kontinuumsmechanik
9.2.1 Lagrange-Funktion fur die schwingende Saite
Wir gehen aus von einer (langen) linearen Kette von Massenpunkten (siehe Abb. 9.1),
deren Lagrange-Funktion fur harmonische Krafte bei Beschrankung auf Nachste-NachbarWechselwirkung lautet:
X
X
(9.12)
L = m2 q_i2 k2 (qi+1 qi)2:
i
i
Dabei sind die generalisierten Koordinaten qi die Auslenkungen der Teilchen aus der
Gleichgewichtslage, q_i die zugehorigen generalisierten Geschwindigkeiten (Abb. 9.1).
Aus (9.12) ergeben sich die bekannten Bewegungsgleichungen gekoppelter, harmonischer Oszillatoren:
mqi k(qi+1 qi ) + k(qi qi 1 ) = 0:
(9.13)
Fur den Grenzubergang zum Kontinuum (siehe Abb. 9.2) formen wir (9.13) um mit =
m=a und = ka:
!
X
X
(qi+1 qi )2
2
q_i a
=
aLi
(9.14)
L=
2
2a2
i
i
143
Abbildung 9.1:
und ersetzen (im Limes a ! 0)
i ! x;
X
i
:::: !
Z
dx::::; qi ! (x; t); q_i !
Dann wird
@ 1
; (q
@t a i+1
qi ) !
@
:
@x
(9.15)
!
Z
@ 2
@ 2
1Z
L = 2 ( @t ) ( @x ) dx = Ldx:
Lassen wir zu, da im allg.
@ @
L = L( ; ; ; t);
@t @x
so folgt aus dem (verallgemeinerten) Hamilton'schen Variationsprinzip,
@ @
; ; t) dxdt = Extremum;
@t @x
fur die zugehorigen Euler'schen Gleichungen:
Z Z
L( ;
!
(9.17)
(9.18)
!
@
L
L
@
@L
+
= ;
@
@
@t @ ( @t )
@x @ ( @x )
@
analog zu
(9.16)
(9.19)
@L
d L
= :
(9.20)
dt @ q_i
@qi
Speziell im obigen Fall (9.16) erhalt man aus (9.19) die bekannte Schwingungsgleichung
!
(
@ 2
)
@x
@ 2
( ) = 0:
@t
144
(9.21)
Abbildung 9.2:
9.2.2 Hamilton-Funktion fur die schwingende Saite
Anstelle der generalisierten Impulse im diskreten Fall,
pi =
@L
;
@ q_i
(9.22)
tritt sinngema :
@L
;
@ ( @@t )
und wir konnen mit Hilfe der Lagrange-Dichte L eine Hamilton-Dichte
(x; t) =
@
L
@t
denieren. Die Hamilton-Funktion ist dann das raumliche Integral von h:
h=
H=
entsprechend
Z
h dx =
H=
im diskreten Fall.
X
i
L dx
L
pi q_i
(9.24)
!
@
@t
Z
(9.23)
(9.25)
(9.26)
Erweiterungen:
1) Die Verallgemeinerung auf 3 raumliche Dimensionen ist einfach:
x ! xl ;
Z
dx::: !
145
Z
dx1 dx2 dx3 :::::
(9.27)
und (l = 1; 2; 3)
@
@
!
:
(9.28)
@x @xl
2.) Im Fall der Elektrodynamik tritt nicht nur 1 Feldfunktion (~r; t) auf, sondern 4 unabhangige Feldfunktionen, die einen 4-Vektor bilden:
(x; t) ! (xl ; t);
i
(A (~r; t)) = ( (~r; t); A~ (~r; t)):
(9.29)
c
Die allgemeinen Gleichungen fur das Vierer-Feld A (~r; t) mit ( = 0; 1; 2; 3) aufzustellen,
ist Gegenstand der Elektrodynamik.
9.3 Numerische Verfahren
Zum Abschlu erlautern wir die wichtigsten numerischen Verfahren, die fur die Losung
der Probleme in der Mechanik von Bedeutung sind.
9.3.1 Dierentiation
Eine Funktion fn = f (xn ) sei auf einem Gitter mit gleichem Abstand h bekannt, d.h.
fn = f (xn ); xn = nh; (n = 0; 1; 2; :::):
(9.30)
Um die Ableitung der Funktion f (xn ) an der Stelle x = 0 zu berechnen, entwickeln wir f
in der Umgebung von x in einer Taylor-Reihe
x2
x3
f (x) = f0 + xf 0 + f 00 + f 000 + :::
(9.31)
2
3!
wobei alle Ableitungen an der Stelle x = 0 zu berechnen sind. Damit ist die Funktion f
an den Gitterpunkten x1 gegeben durch
h2
h3
f1 = f0 hf 0 + f 00 f 000 + O(h4 ):
(9.32)
2
6
Mit O(h4 ) werden dabei Terme der Ordnung h4 oder hohere Potenzen von h bezeichnet.
Weiterhin gilt:
4h2 00 8h3 000
f2 = f0 2hf 0 +
f f + O(h4 ):
(9.33)
2
6
Nach Subtraktion von f 1 von f1 in (9.32) und Umordnung der Terme gilt:
f f 1 h2 000
f0 = 1
f + O(h4 );
(9.34)
2h
6
wobei der Term f 000 fur hinreichend kleine h verschwindet. Die Dierenzformel
f
f0 = 1
f 1
2h
146
(9.35)
ist exakt, wenn die Funktion f im Interval [ h; h] ein Polynom 2. Grades ist, da hohere
Ableitungen verschwinden.
Durch geeignete Kombinationen der Formeln (9.32), (9.33) lassen sich Dierenzformeln
fur hohere Ableitungen angeben. Zum Beispiel sieht man direkt, da
f1 2f0 + f 1 = h2 f 00 + O(h4 )
(9.36)
gilt. Daraus folgt fur die 2. Ableitung von f an der Stelle x = 0 mit einer Genauigkeit der
Ordnung h2
f1 2f0 + f 1
f 00:
(9.37)
h2
Fur die 3. Ableitung von f in x = 0 erhalt man
f2
2f1 + 2f 1 f 2
f 000:
(9.38)
2h3
Bemerkung: Fur die Berechnung der Ableitung von f an der Stelle xn verschiebt man
die Argumente in den diskreten Formeln um n.
9.3.2 Integration
Fur die Integration einer Funktion f (x) im Intervall [a; b] teilt man das Integral auf:
Z b
Z a+2h
Z a+4h
Z a+4h
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx +
f (x)dx + :::: +
f (x)dx: (9.39)
a
a
a+2h
a+2h
b 2h
Die zugrundeliegende Idee ist nun, die Funktion f innerhalb des Integrationsintervalls
[ h; h] durch eine Funktion zu approximieren, die sich leicht exakt integrieren lat. Die
einfachste Funktion ist eine lineare Approximation, welche die Trapez-Formel
h
f (x)dx = (f 1 + 2f0 + f1 ) + O(h3 )
(9.40)
2
h
liefert. Genauere Integrationsformeln lassen sich wieder aus den Taylor-Entwicklungen
(9.32), (9.33) herleiten:
Z
h
f
f (x) = f0 + 1
f 1
f 2f0 + f 1 2
x+ 1
x + O(x3 ):
(9.41)
2h
2h2
Dieser Ausdruck lat sich elementar integrieren und wir erhalten die Simpson-Regel,
h
(9.42)
f (x)dx = (f1 + 4f0 + f 1 ) + O(h5);
3
h
die um 2 Ordnungen in h genauer ist als (9.40). Mit (9.42) lat sich das Integral (9.39)
approximieren durch:
Z
b
Z
a
h
h
f (x)dx = [f (a) + 4f (a + h) + 2f (a + 2h) + 4f (a + 3h)
3
+2f (a + 4h) + 4f (a + 5h) + ::: + 4f (b h) + f (b)]:
147
(9.43)
Unter Berucksichtigung von hoheren Termen in der Taylor-Entwicklung ergibt sich die
Bode-Formel
x4
Z
x0
f (x)dx =
2h
(7f + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4 ) + O(h7 );
45 0
(9.44)
welche um 2 Ordnungen genauer in h als (9.42) ist, aber auch einen deutlich erhohten
Rechenaufwand impliziert.
9.3.3 Gewohnliche Dierentialgleichungen
Die allgemeinste Form einer gewohnlichen Dierentialgleichung ist ein Satz von M = 2s
gekoppelten Gleichungen 1. Ordnung,
dy
= f (y; t);
(9.45)
dt
mit einer unabhangigen Variablen t und einem M -dimensionalen Vektor y = (y1 ; :::; yM ),
wie zum Beispiel die kanonischen Bewegungsgleichungen in der Hamilton-Dynamik. Die
Aufgabe besteht nun darin, den Wert von y(t) zu bestimmen, wenn ein Anfangswert von
y(t0 ) = y0 gegeben ist.
Eine der einfachsten Algorithmen ist die Euler-Methode, in der die Gleichung (9.45) am
Punkt tn betrachtet und die Ableitung auf der linken Seite durch die Vorwarts-DierenzenNaherung ersetzt wird:
yn+1 yn
+ O(h) = f (yn ; tn ):
(9.46)
h
Damit lat sich yn+1 durch eine Rekursionsformel aus yn berechnen:
yn+1 = yn + hf (yn ; tn ) + O(h2 ):
(9.47)
Diese Formel hat einen lokalen Fehler von der Ordnung h2 , da der Fehler der VorwartsDierenzen-Formel O(h) betragt. Der globale Fehler ist dann bei N Integrationsschritten
von t = 0 bis t = 1 von der Ordnung NO(h2 ) O(h). Dieser Fehler nimmt nur linear mit
der Schrittweite h = t ab.
Ein anderer Weg, um Losungsverfahren hoherer Genauigkeit zu nden, ist es, Rekursionsformeln aufzustellen, in denen yn+1 nicht nur mit yn , sondern auch mit yn 1 ; yn 2 ; yn 3 ; ::
verknupft wird. Um solche Formeln explizit herzuleiten, integrieren wir einen Schritt der
Dierentialgleichung exakt und erhalten:
yn+1 = yn +
Z
tn+1
tn
f (y; t) dt:
(9.48)
Man kann nun die Werte von y an den Stellen tn und tn 1 benutzen, um eine lineare
Extrapolation von f fur das gesuchte Integral zu nden:
f (y ; t) t tn 1
f (y; tn)
h
148
t tn
f (y; tn 1) + O(h2 ):
h
(9.49)
Setzt man (9.49) in (9.48) ein und fuhrt das t-Integral aus, so erhalt man die Zweischrittmethode von Adams-Bashforth:
1
3
yn+1 = yn + h( fn
fn 1 ) + O(h2 ):
(9.50)
2
2
Verwandte Methoden hoherer Ordnung kann man dadurch erreichen, da die f -Extrapolation mit einem Polynom hoherer Ordnung durchgefuhrt wird. Bei Approximation durch
ein kubisches Polynom ergibt sich das Vierschrittverfahren von Adams und Bashforth:
h
(9.51)
yn+1 = yn + (55fn 59fn 1 + 37fn 2 9fn 3 ) + O(h4 ):
24
Bei diesen Verfahren reicht die Kenntnis des Anfangswertes allein nicht aus, um die Algorithmen zu starten. Deshalb ist es notwendig, die Werte von y an den ersten Stutzstellen
zunachst z.B. mit Hilfe des Runge-Kutta-Verfahrens zu berechnen.
Die bisherigen Verfahren sind explizit, da sie yn+1 aus den bekannten Werten von yn
berechnen. Implizite Verfahren, bei denen eine Gleichung gelot werden mu, stellen
einen anderen Weg dar, um eine hohere Genauigkeit zu erreichen. Als Beispiel fuhren wir
den
Runge-Kutta-Algorithmus zweiter Ordnung auf, der haug Verwendung ndet. Dazu approximieren wir die Funktion f im Integral von (9.48) durch seine Taylor-Entwicklung
um die Mitte des Integrationsintervalls und erhalten
yn+1 = yn + hf (yn+1=2 ; tn+1=2 ) + O(h3):
(9.52)
Da der Fehlerterm von der Ordnung O(h3 ) ist, ist eine Approximation von f (yn+1=2 ; tn+1=2 )
der Ordnung O(h2 ) gut genug, die von der einfachen Euler-Methode (9.46) geliefert wird.
Falls wir nun k als eine intermediare Approximation fur die doppelte Dierenz von yn+1=2
und yn denieren, so lat sich mit der folgenden Zweischrittprozedur yn+1 aus yn berechnen:
k
h
k = hf (yn ; tn );
yn+1 = yn + hf (yn + ; tn + ) + O(h3 ):
(9.53)
2
2
Der Vorteil des Runge-Kutta Verfahrens besteht darin, da es keine besonderen Anforderungen an die Funktion f stellt, wie z. B. leichte Dierenzierbarkeit oder Linearitat in y.
Es benutzt ebenfalls nur den Wert von y an einem einzigen vorhergehenden Punkt, im
Gegensatz zu den obigen Mehrschrittverfahren. Gleichung (9.53) verlangt allerdings, da
bei jedem Integrationsschritt der Wert von f zweimal berechnet wird.
Runge-Kutta-Algorithmen hoherer Ordnung konnen auf relativ direktem Wege hergeleitet werden. Dazu verwendet man Integrationsformeln hoherer Ordnung (siehe Unterkapitel 9.3.2), um das Integral (9.48) durch eine endliche Summe von f -Werten zu ersetzen.
Zum Beispiel ergibt die Simpson-Regel:
h
yn+1 = yn + [f (yn ; tn ) + 4f (yn+1=2 ; tn+1=2 ) + f (yn+1 ; tn+1 )] + O(h5 ):
6
149
(9.54)
Der Algorithmus wird dadurch komplettiert, da man sukzessive Naherungen fur die y's
mit einer vergleichbaren Genauigkeit in der rechten Seite von (9.54) einsetzt. Ein Algorithmus dritter Qrdnung mit einem lokalen Fehler O(h4 ) ist dann:
k1 = hf (yn ; tn );
k
h
k2 = hf (yn + 1 ; tn + );
2
2
k3 = hf (yn k1 + 2k2; tn + h);
1
yn+1 = yn + [k1 + 4k2 + k3 ] + O(h4):
(9.55)
6
Er basiert auf der Simpson-Formel (9.42) und erfordert eine dreifache Berechnung der
Funktionswerte von f pro Integrationsschritt.
Runge-Kutta Algorithmus vierter Ordnung: In der Erfahrung hat sich gezeigt,
da ein Algorithmus vierter Ordnung, welcher 4 Funktionsberechnungen pro Integrationsschritt erfordert, die beste Ausgewogenheit zwischen Genauigkeit und numerischem
Aufwand herstellt. Der Algorithmus lautet fur 4 Zwischenvariable ki :
k1 = hf (yn ; tn );
k
h
k2 = hf (yn + 1 ; tn + );
2
2
k
h
k3 = hf (yn + 2 ; tn + );
2
2
k4 = hf (yn + k3 ; tn + h);
1
yn+1 = yn + [k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ] + O(h5 ):
6
(9.56)
Als Beispiel fur eine aktuelle Realisierung des Algorithmus geben wir ein FORTRAN
Programm fur die Integration der Bewegungsgleichungen eines gedampften, nichtlinearen
harmonischen Oszillators an:
150
Programmbeispiel in FORTRAN
C
Test Programm zur Loesung der Bewegungsgleichungen fuer
C
einen gedaempften, nichtlinearen harmonischen Oszillator
C||||||||||||||||||C
Einheiten: Masse DM in Kg
C
Laengen in cm
C
Winkel in Radian oder *180/PI in Grad
C
Zeit in sec
C
Energie in Kg cm**2/sec**2
C
Reibung GAMMA in 1/sec
c**********************************************************
IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)
REAL*8 Y(2),HF(6)
COMMON /DAT/ DK1,DL1,DM,GAMMA,R
EXTERNAL FBAHN
PI=4.*ATAN(1.0)
C
Federkonstante in Kg/sec**2
DK1=1000.
C
Laenge in cm: Abstand zu der Masse
DL1=4.
C
Masse in Kg
DM=0.5
C
Abstand des Schwerpunktes vom Drehpunkt in cm
R=10.
C********************************************************
C
Integration der Bewegungsgleichungen fuer 30 Werte von GAMMA
C
beginnend mit GAMMA=0
DO 10 IG=1,30
GAMMA=FLOAT(IG-1)*2.5
C
Anfangsbedingungen fuer Winkel Y(1) und Winkelgeschwindigkeit Y(2)
Y(1)=50./180.*PI
Y(2)=0.0
C
Anfangszeit T
T=0.0
C
Maximale Anzahl der Zeitschritte
NTMAX=1500
C
Zeitschrittweite in Sec
DT=0.001
C
Hoher Anfangswert fuer Einschwingzeit (wird ueberschrieben)
TC=2.0
C||||||||||||||||||C
Integration der Bewegungsgleichungen fuer festes GAMMA
DO 1 IT=1,NTMAX
C
Aktuelle Zeit T
T=FLOAT(IT-1)*DT
151
CALL RKUTDF(2,DT,T,Y,HF,FBAHN)
C
Ausgabe von Zeit, Winkel in Grad, Winkelgeschwindigkeit
WRITE(1,100) T,Y(1)*180./PI,Y(2)
IF(ABS(Y(1)).LT.0.01.AND.ABS(Y(2)).LT.0.001) THEN
TC=T
C
Einschwingzeit TC
ENDIF
100
FORMAT(1X,8E12.4)
1
CONTINUE
C||||||||||||||||||
33
CONTINUE
C
Ausgabe von Reibung und Einschwingzeit
WRITE(2,100) GAMMA,TC
WRITE(1,300)
300
FORMAT(/)
10
CONTINUE
C*******************************************************
STOP
END
C********************************************************************
C
SUBROUTINE FUER DIE ZEIT-INTEGRATION (N=2)
SUBROUTINE RKUTDF(N,H,T,Y,HF,F)
IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)
EXTERNAL F
C
Die Dimension ist Y(N) und HF(3N)!
REAL*8 Y(2),HF(6)
C
Erster Funktionsaufruf
CALL F(T,Y,HF)
T1=T+0.5D0*H
DO 10 I=1,N
I1=I+N
I2=I+2*N
HF(I2)=Y(I)
HF( I1)=0.5D0*HF(I)*H
10
Y(I)=HF(I2)+HF(I1)
S=0.D0
20
S=S+0.5D0
C
Zweiter und dritter Funktionsaufruf
CALL F(T1,Y,HF)
T1=T+H*S
DO 30 I=1,N
I1=I+N
I2=I+2*N
HF(I)=HF(I)*H
HF(I1)=HF(I1)+HF(I)
152
30
Y(I)=HF(I2)+HF(I)*S
IF(S.LT.1.D0) GOTO 20
C
Vierter Funktionsaufruf
CALL F(T1,Y,HF)
T=T1
DO 40 I=1,N
I1=I+N
I2=I+2*N
HF(I1)=HF(I1)+0.5D0*HF(I)*H
C
Addition der Beitraege
40
Y(I)=HF(I2)+HF(I1)/3.D0
RETURN
END
C******************************************************************
C
Bewegungsgleichungen fuer das aktuelle Problem
C
kinetische Energie: DM/2*R*R*Y(2)*Y(2)
C
potentielle Energie: 1/2*(DK1*DL1*DL1)*SIN(Y(1))**2
SUBROUTINE FBAHN(T,Y,B)
IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)
REAL*8 Y(2),B(6)
COMMON /DAT/ DK1,DL1,DM,GAMMA,R
C
BEWEGUNGSGLEICHUNGEN MIT REIBUNG GAMMA
B(1)=Y(2)
B(2)=-1./(DM*R**2)*(DL1**2*DK1)*DCOS(Y(1))*DSIN(Y(1))
B(2)=B(2)-GAMMA*Y(2)
4
RETURN
END
153