Binomialkoeffizient - Unterricht Bettina Bieri

Binomialkoeffizient
Gymnasium Immensee
Stochastik, 5. Klassen
Bettina Bieri
27. Februar 2017
Inhaltsverzeichnis
1 Nötiges Vorwissen: Fakultäten
1.1 Definition: Fakultät . . . . . .
1.2 spezielle Fakuläten . . . . . .
1.3 Rechenregeln für die Fakultät
1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . .
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2 Binomialkoeffizient
2.1 Definition: Binomialkoeffizien . . . . .
2.2 Eigenschaften des Binomialkoeffizienten
2.2.1 Beweis der Regel von Pascal . .
2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Pascalsches Dreieck . . . . . . . . . . .
2.4.1 Binomischer Lehrsatz . . . . . .
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1
1
1
2
3
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4
4
4
5
6
7
8
Kapitel 1
Nötiges Vorwissen: Fakultäten
Der Binomialkoeffizient wird in ersten Linie in der Kombinatorik verwendet.
Um ihn verstehen zu können, braucht es einiges an Vorwissen. Dieses werden
wir in diesem Kapitel erarbeiten.
1.1
Definition: Fakultät
Sei n eine natürliche Zahl. Dann wird das Produkt über alle Zahlen von 1
bis n geschrieben als n! und als Fakultät von n bezeichnet.
1.2
spezielle Fakuläten
Um Problemen bei praktischen Anwendungen vorzubeugen wird per Vereinbarung 0!:=1 gesetzt.
Die ist sinnvoll, da sonst diverse Kombinatorik-Formeln nicht funktionieren
würden. Betrachten wir zum Beispiel die Formel der Variation ohne Wiederholung. Diese lautet:
Vow =
n!
(n−k)!
Nun kann es vorkommen, dass n und k gleich gross sind, dass also alle Elemente angeordnet werden sollen. Mit 0!=1 kommen wir in diesem Fall tatsächlich
auf die Formel der Permutation:
Vow =
n!
(n−n)!
=
n!
0!
= n!
1
1.3
Rechenregeln für die Fakultät
Seien k,n ∈ N mit k ≤ n. Dann gilt:
1. n! = n · (n − 1)!
2.
n!
k!
3.
n!
(n−k)!
= (k + 1) · ... · n
= (n − k + 1) · ... · n
2
1.4
Beispiele
Berechne folgende Ausdrücke möglichst einfach und ohne Taschenrechner:
a)
5!
5
b)
199!
200!
c)
400!
399!
·
9!
10!
d)
100!
2!
·
2!
98!
3
Kapitel 2
Binomialkoeffizient
Um den Binomialkoeffizient zu verstehen, werden die oben eingeführten Fakultäten benötigt.
2.1
Definition: Binomialkoeffizien
Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Dann ist der Binomialkoeffizient
als:
n
=
k
2.2
n
k
definiert
n!
k!(n−k)!
Eigenschaften des Binomialkoeffizienten
1.
2.
n
0
n
1
=
=
= 1 ∀n ∈ N
n
n−1
= n ∀n ∈ N
n
3.
=
∀ n ∈ N0 und k ∈ {0, ..., n}
n−k
n+1
n
n
4.
=
+
k
k
k−1
n
k
n
n
(Regel von Pascal)
4
2.2.1
Beweis der Regel von Pascal
5
2.3
Beispiele
Berechne die folgenden Binomialkoeffizienten ohne Taschenrechner:
6
a)
5
11
9
5
5
100
1
6
0
b)
c)
d)
e)
6
2.4
Pascalsches Dreieck
n+1
n
n
Die Regel von Pascal
=
+
liefert eine einfache
k
k
k−1
Möglichkeit,
Binomialkoeffizienten
rekursiv zu berechnen. Da die Startbedinn
n
0
gungen
=
=
= 1 bekannt sind, können auf diese Art
0
0
n
und Weise alle Binomialkoeffizienten berechnet werden.
Diese Rekursion lässt sich leicht im Pascalschen Dreieck darstellen:
0
0
1
1
0
1
2
2
2
0
1
2
3
3
3
3
0
1
2
3
4
4
4
4
4
0
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5
0
1
2
3
4
5
usw.
Die obere Zahl des Binomialkoeffizienten entspricht der Nummer der Zeile,
in welcher der Koeffizient steht. Die untere Zahl gibt an, an welcher Stelle in
dieser Zeile der Ausdruck steht.
7
Wenn man die Binomialkoeffizienten in der oberen Darstellung ausrechnet,
erkennt man, wie das Pascalsche Dreieck aufgebaut ist: Jeweils die Summe
zweier nebeneinanderstehenden Zahlen ergibt die Zahl, welche unter diesen
beiden Zahlen steht. Die drei obersten Zahlen sind die Startwerte, welche alle
Eins sind:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
usw.
Damit kann das Pascalsche Dreieck einfach und schnell aufgeschrieben und
tiefe Binomialkoeffizienten einfach abgelesen werden.
2.4.1
Binomischer Lehrsatz
Liest man die Zeilen des pascalschen Dreiecks von links nach rechts, bekommt
man die Koffizienten der Binome:
0. Zeile :
1. Zeile :
2. Zeile :
3. Zeile :
4. Zeile :
(x + y)0
(x + y)1
(x + y)2
(x + y)3
(x + y)4
=
=
=
=
=
1
1x + 1y
1x2 + 2xy + 1y 2
1x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
1x4 + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + 1y 4
usw.
Allgemein kommt man damit auf den binomischen Lehrsatz:
(a + b)n =
n
n
n
n
n
n
n−1
n−2 2
n−1
a +
a b+
a b + ... +
ab
+
bn
0
1
2
n−1
n
(Aufgaben zum Binomischen Lehrsatz sind im Stochastik-Buch auf den Seiten 45 und 46 zu finden.)
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