Financial Mathematics -DAV Supplement

Winter Term 2011
Prof. Dr. Robert Stelzer
Stefan Ehrenfried
Institute of
Mathematical
Finance
Financial Mathematics -DAV Supplement
Übungsaufgaben
Aufgabe 1
Betrachten Sie den folgenden Zahlungsanspruch:
Gewinn
K1
K2
ST
und bestimme Sie eine formale Repräsentation (mittels Calls/Puts) des Zahlungsanspruches.
Aufgabe 2
Angenommen ein Forwar-Kontrakt über den Kauf einer (dividenlosen) Aktie, der in
T = 180 (1 Jahr =360)
b
fällig ist, sei mit einem Lieferpreis von K = 28 abgeschlossen worden. Der Aktienkurs S(0) = 25 und der risikolose (stetige) Zinssatz beträgt
r = 10%.
a) Zeige Sie dass ein risikoloser Profit möglich ist.
b) Wie würde Sie verfahren, um diese Profit zu realisieren.
Aufgabe 3
Betrachte die Long-Position in einem Forward-Kontrakt zum Kauf einer (dividenlosen)
Aktie in T = 90 Tagen (1 Jahr =360).
b
Der aktuelle Aktienkurs sei S(0) = 40 Euro.
Der risikolose (stetige) Zinssatz für diese Periode sei r = 5% p.a.
a) Man bestimme den T −Forward-Preis zum Zeitpunkt t = 0. Wie groß ist der Wert
dieses Forwards zur Zeit t = 0?
b) Angenommen wir haben diesem Forward-Kontrakt mit der Gegenpartei zu einem
Lieferpreis von K = 43 Euro vereinbart. Wieviel müssen wir (Long-Position) für
diesen Kontrakt bezahlen? Warum musss eine Zahlung erfolgen?
Aufgabe 4
Ein Unternehmen investierte vor 3 Monaten in einen Forward, um eine Aktie zu kaufen.
Die Restlaufzeit beträgt 100 Tage und der delivery-price des Kontrakts ist 50, 25 Euro.
Aus bestimmten Gründen will das Unternehmen die Aktie nicht mehr, weshalb es einen
neuen Forward startet, um die Aktie in 100 Tagen zu verkaufen. Momentan hat die
Aktie einen Wert von S(0) = 45 Euro und der risikolose (stetige) Zinssatz beträgt
r = 4.75% p.a. (1 Jahr =360)
b
a) Berechne den T -Forward-Preis (delivery-price) des neuen Kontrakts.
b) Wie groß ist die Gesamtposition am Verfallstag beider Kontrakte?
c) Was ist der Wert der Gesamtposition heute?
Aufgabe 5
Nehmen Sie an ein Unternehmen möchte sein Portfolio zum Zeitpunkt t = 1 durch den
Verkauf von Futures absichern. Das Portfolio bestehe aus 100 Anteilen einer Aktie S,
wobei der heutige Aktienkurs gegeben sei durch S(0) = 100e. Die Varianz des Aktienkurses im Zeitpunkt t = 1 betrage 100. Zu jeder Zeit kann Kapital zum risikolosen
Zinssatz r = 4% aufgenommen oder angelegt werden. Alle im Folgenden betrachteten Futures haben Fälligkeitszeitpunkt t = 1 und beziehen sich auf eine Einheit des
jeweiligen Underlyings. Sämtliche Marking to Market-Effekte sollen unberücksichtigt
bleiben.
a) Gehen Sie zunächst davon aus, dass das Underlying des Futures gerade die Aktie
S sei. Berechenen Sie den T-Future-Preis zur Zeit t = 0 und geben Sie die Anzahl
der zu verkaufenden Futures an, wenn ein varianzminimaler Hedge angestrebt
wird.
b) Nehmen Sie nun an, am Markt existierten nur Futures mit Underlying S̃. Der
gegenwärtige Kurs der Aktie S̃ betrage 200e, die Varianz im Zeitpunkt t = 1 habe
einen Wert von 400 und die Kovarianz zwischen den Aktien S̃ und S im Zeitpunkt
t = 1 sei gegeben durch Cov(S(1), S̃(1)) = 180. Wie viele Futures müssten in
diesem Fall verkauft werden, wenn ein varianzminimaler Hedge angestrebt wird?
Führen Sie die Ableitung zur Bestimmung des varianzminimalen Hedges explizit
durch!
Aufgabe 6
Nehmen Sie an, ein Portfolio bestehend aus 100 Anteilen einer Aktie S soll zum Zeitpunkt t = 1 durch den Verkauf von Futures abgesichert werden. Der heutige Aktienkurs
von S betrage S(0) = 150 EUR. Die Varianz des Aktienkurses im Zeitpunkt t = 1 betrage 60. Am Markt existieren nur Futures mit Underlying S̃. Der gegenwärtige Kurs
der Aktie S̃ betrage
S̃(0) = 230 EUR, die Varianz im Zeitpunkt t = 1 sei 500 und die Kovarianz zwischen
den Aktien S und S̃ im Zeitpunkt t = 1 sei gegeben durch Cov(S(1), S̃(1)) = 220. Zu
jeder Zeit kann Kapital zum risikolosen Zinssatz r = 4 % aufgenommen oder angelegt
werden. Alle betrachteten Futures haben den Fälligkeitszeitpunkt T = 1 und beziehen sich auf eine Einheit des jeweiligen Underlyings. Marking to Market-Effekte sollen
vernachlässigt werden.
(a) Wie viele Futures müssen verkauft werden, wenn ein varianzminimaler Hedge
angestrebt wird? Führen Sie die Ableitung zur Bestimmung des varianzminimalen
Hedge explizit durch!
(b) Wieviel Futures müssen verkauft werden, wenn der Fälligkeitszeitpunkt der Futures T = 4 beträgt?
Aufgabe 7
Gegeben sei ein (spot-starting) Receiver-Swap mit fixem Zinssatz K = 5%, Nominalwert N = 10 Mio. , Laufzeit 3 Jahre und jährlichen Zahlungen. Die stetige
Spotrate-Kurve zum heutigen Zeitpunkt t=0 sei gegeben durch
T
1
R(0,T) 4,62%
2
4,65%
3
4,70%
4
4,75%
5
4,79%
a) Berechnen Sie den Wert des Swaps und die “faire” Swaprate S0,3 (0).
b) Berechnen Sie den Wert eines 3x2-Swaps (d.h. eines Forward-Swaps mit T0 =
3, T1 = 4 und T2 = 5) mit K = 5%, N = 10 Mio. Welchen Wert müsste K haben
damit der Forward-Swap heute (t=0) den Wert Null hätte ?
Aufgabe 8
Gegeben sei ein Receiver-Swap mit fixem Zinssatz K = 4.8%, Nominalwert N = 10
Mio. e, Laufzeit 5 Jahre und jährlichen Zahlungen. Die stetige Spotrate-Kurve zum
heutigen Zeitpunkt t=0 sei gegeben durch
T
1
R(0,T) 4,62%
2
4,65%
3
4,70%
4
5
4,75% 4,79%
6
4,82 %,
7
4,82%,
8
4,82%
a) Berechne die Forward-Zinssätze F (0, Ti , Ti+1 )
b) Berechne die einfache Spot-Rates P (0, Ti )
b) Berechnen Sie den Wert des Swaps und die “faire” Swaprate S0,5 (0).
d) Berechnen Sie den Wert eines 6x2-Swaps (d.h. eines Forward-Swaps mit T0 =
6, T1 = 7 und T2 = 8) mit K = 5%, N = 10 Mio. e. Welchen Wert müsste K
haben damit der Forward-Swap heute (t = 0)den Wert Null hätte ?