Numerik Lebesgueintegration Banachräume

Analysis III, SS 2012
20. September 2012
Zusatzaufgaben
Numerik
1. Was besagt die Hölderungleichung im Fall p = ∞? Beweise sie für diesen Fall.
2. Skizziere die Einheitsbälle im R2 für alle p-Normen, 1 ≤ p ≤ ∞.
3. Schätze k·k2 , k·k1 gegeneinander ab. (Hinweis: 2xy ≤ x2 + y 2 .)
4. Schätze k·k2 , k·k∞ gegeneinander ab.
p→∞
5. Zeige: kxkp −−−→ kxk∞ für alle x ∈ Rn .
6. Zeige die Konsistenz induzierter Matrixnormen.
7. Zeige die Äquivalenz der verschiedenen Matrixnormdefinitionen.
8. Zeige die besprochenen Charakterisierungen der von den p-Normen induzierten Matrixnormen für p = 1, 2, ∞.
9. Stelle die hinreichende Bedingung für Konvergenz der einfachen Iteration auf (für die ∞Norm).
Lebesgueintegration
1. Zeige: Jede endliche Menge ist eine Nullmenge.
2. Zeige: Jede abzählbare Menge ist eine Nullmenge.
3. Zeige: Abzählbare Vereinigungen von Nullmengen sind Nullmengen.
4. Die Cantormenge ist eine Nullmenge, obwohl sie überabzählbar ist.
5. Zeige: für fast alle x ∈ [a, b]: für alle n ≥ 1: . . .“ ist äquivalent zu für alle n ≥ 1: für fast
”
”
alle x ∈ [a, b]: . . .“
6. Mache dir klar, dass die Äquivalenz nicht mehr gegeben ist, wenn man n ∈ A“ statt
”
n ≥ 1“ schreibt, wobei A eine überabzählbare Menge ist.
”
7. Zeige: fast überall gleich“ ist eine Äquivalenzrelation.
”
8. Zeige: Der zur Definition des Lebesgueintegrals verwendete Grenzwert existiert tatsächlich.
9. Zeige: Lebesgueintegrale fast überall gleicher Funktionen sind gleich.
Banachräume
1. Zeige: Die Normfunktion eines normierten Raums ist stets stetig.
2. Zeige: Die Distanzfunktion eines metrischen Raums ist stets stetig.
3. Zeige die besprochenen Besonderheiten ultrametrischer Räume:
a) Jedes Dreieck ist gleichschenklig.
b) Jeder Punkt in Br (x) kann als Zentrum dienen.
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Zusatzaufgaben
c) Bälle Br (x) sind auch abgeschlossen.
4. Zeige die Gültigkeit der Kriterien für Konvergenz von Folgen und Reihen in vollständigen
ultrametrischen Ringen.
5. Sei X eine Menge. Kann man auf X eine Metrik definieren, sodass alle Teilmengen von X
offen sind?
6. Zeige: In metrischen Räumen sind Grenzwerte von Folgen eindeutig.
7. Verallgemeinere das bekannte Quotientenkriterium für Konvergenz von Reihen auf Banachräume. Beweise die Gültigkeit deiner Verallgemeinerung.
8. Zeige die Vollständigkeit von Rn , L(E, F ) (falls F vollständig ist) und C 0 [a, b].
9. Zeige die Gültigkeit des Folgenkriteriums für Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen Räumen.
10. Zeige die Gültigkeit des Folgenkriteriums für Abgeschlossenheit von Teilmengen metrischer Räume.
11. Finde ein Beispiel für eine lineare Abbildung, die nicht stetig ist.
12. Finde eine lineare stetige Abbildung E → E, E ein Banachraum, die injektiv, aber nicht
surjektiv ist; und umgekehrt.
13. Ist die Abbildung C 0 [a, b] → R, f 7→
Rb
a
f , linear und stetig?
14. Zeige: Sei A: E → F eine lineare und stetige Abbildung. Dann ist die Operatornorm kAk
die kleinste Zahl C ≥ 0, sodass für alle x ∈ E gilt: kA(x)k ≤ Ckxk.
15. Finde eine Folge stetiger Funktionen, die punktweise gegen eine unstetige Funktion konvergiert. Überlege, wieso die Konvergenz nicht gleichmäßig sein kann.
16. Zeige: Eine Folge stetiger Funktionen konvergiert genau dann gleichmäßig gegen eine gegebene stetige Funktion, wenn die Folge in dem Banachraum C 0 [a, b] gegen die angegebene
Funktion konvergiert.
17. Zeige: Der Vektorraum C 0 [a, b] ist mit der durch kf k2 :=
vollständig.
qR
b
a
|f | definierten Norm nicht
Topologie
1. Zeige: Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist genau dann offen, wenn jeder Punkt
der Teilmenge eine offene Umgebung besitzt, die vollständig in der Teilmenge enthalten
ist. (Bonusaufgabe: Zeige dieselbe Behauptung ohne Verwendung des Auswahlaxioms.)
2. Zeige: Abgeschlossene Teilmengen kompakter Räume sind kompakt.
3. Zeige: Kompakte Teilmengen von Hausdorffräumen sind abgeschlossen.
4. Zeige die Gültigkeit der Charakterisierung dichter Teilmengen in metrischen Räumen.
5. Zeige: Q liegt in R dicht.
6. Zeige: Bilder kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen sind kompakt. Finde Gegenbeispiele für die analoge Behauptung mit offen und abgeschlossen statt kompakt.
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Zusatzaufgaben
7. Zeige: Bijektive stetige Abbildungen von Kompakta in Hausdorffräume sind Homöomorphismen.
8. Zeige, dass die Produkttopologie die erwartete universelle Eigenschaft hat.
9. Zeige: Ein topologischer Raum ist genau dann diskret, wenn seine Diagonale offen ist.
10. Zeige: Endliche Teilmengen topologischer Räume sind stets kompakt.
11. Zeige: In einem diskreten topologischen Raum sind nur die endlichen Teilmengen kompakt.
12. Zeige: Diskrete topologische Räume sind stets hausdorffsch.
13. Zeige: Jede Abbildung aus einem diskreten topologischen Raum heraus ist stetig.
14. Zeige umgekehrt: Besitzt ein topologischer Raum X die Eigenschaft, dass für jeden
Raum Y jede Abbildung X → Y stetig ist, so ist X diskret.
15. Welche Topologie muss ein Raum X besitzen, wenn für jeden Raum Y jede Abbildung Y → X stetig sein soll? (Diese Topologie heißt Klumpentopologie.)
p-adische Analysis
1. Sei L ⊇ Fq eine Körpererweiterung und x ∈ L. Zeige: x ∈ Fq ⇔ xq−1 = 1.
2. Zeige die Formel fürs Legendresymbol über Quadratwurzeln in geeigneten Körpererweiterungen.
3. Zeige die Rechenregeln fürs Legendresymbol.
4. Berechne ein paar Legendresymbole.
5. Skizziere Z3 und Z5 . Wie wird die Ultrametrik verständlich? Überzeuge dich davon, dass
die angesprochenen Besonderheiten ultrametrischer Räume im Fall Zp offensichtlich sind.
6. Zeige heuristisch durch eine Skizze: Z2 ist homöomorph zur Cantormenge.
7. Skizziere Q bezüglich der p-adischen Metrik. Mache dir klar, dass deine Skizze Löcher
enthält und diese in Qp gefüllt werden.
8. Berechne die p-adischen Entwicklungen folgender Zahlen aus Qp mit p = 3 und markiere
die Zahlen in einer geeigneten Skizze: 0, 1, 2, 3, . . . , 10, −1, −2, −3, 1/2, 1/3, 1/4, 2/3.
9. Für welche p gilt 14/75 ∈ Zp ?
10. Erinnere dich an die Algorithmen zur schriftlichen Addition, Subtraktion, Multiplikation
und Division und übertrage sie auf Zp .
11. Verdeutliche die Operationen
· p in einer Skizze von Qp .
+ 1 und
12. Zeige: Die nichtnegativen natürlichen Zahlen liegen dicht in Zp .
13. Zeige: Die p-adische Entwicklung einer Zahl aus Qp ist genau dann periodisch, wenn die
Zahl rational ist.
14. Zeige: Die p-adische Entwicklung einer Zahl aus Qp terminiert genau dann, wenn sie eine
nichtnegative rationale Zahl ist, deren Nenner eine p-Potenz ist.
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Zusatzaufgaben
×
15. Zeige, dass die Abbildung Z×
p → Zp , x 7→ 1/x, stetig ist.
16. Berechne die Grenzwerte folgender Folgen in R und Qp :
n
1
, p .
1+pn 1+pn
17. Seien a, b ∈ Q. Finde eine Folge rationaler Zahlen, die in R gegen a und in Qp gegen b
konvergiert.
18. Zeige: Eine Folge p-adischer ganzer Zahlen konvergiert genau dann, wenn sich für jedes n ≥
0 die Ziffern an ∈ {0, . . . , p − 1} der einzelnen Folgeglieder stabilisieren.
19. Zeige: Das Polynom (X 2 − 2)(X 2 − 17)(X 2 − 34) besitzt in jedem Qp eine Nullstelle.
(Hinweis: Fallunterscheidung p = 2; p = 17; sonst.)
20. Wie viele Nullstellen besitzt das Polynom X 3 + 25X 2 + X − 9 in Qp für p = 2, 5, 7?
(Bonusaufgabe: für p = 3.)
21. Sei n eine zu p teilerfremde Zahl und a ≡ 1 mod p. Zeige, dass a eine n-te Wurzel in Qp
besitzt. Finde ein Gegenbeispiel im Fall p = n.
Die
x(x−1)(x−2)···(x−n+1)
∈
n!
x
Abbildung Qp → Qp , x 7→ n ,
22. Zeige:
x
n
:=
Qp liegt für n ≥ 1 und x ∈ Zp sogar in Zp . (Hinweis:
ist stetig, wieso?)
23. Berechne ein paar Hilbertsymbole.
24. Berechne ein paar Normen von Elementen aus endlichen Körpererweiterungen.
25. Stelle Darstellungsmatrizen von [·, ·] für k = R und k = Qp auf.
26. Diagonalisiere ein paar quadratische Formen über Q, R, Fq (p 6= 2) und Qp (p beliebig).
27. Berechne die besprochenen Invarianten einiger quadratischer Formen über diesen Körpern.
Die Aufgaben 19 und 20 sind einem Kurs von David Savitt entnommen, siehe http://math.
arizona.edu/˜savitt/teaching/p-adics/. Aufgabe 21 steht in N. Koblitz, p-adic Numbers,
p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Springer, 1984.
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