Einführung in die theoretische Physik 1

Einführung in die theoretische Physik 1
Prof. Dr. L. Mathey
Dienstag 15:45 – 16:45 und Donnerstag 10:45 – 12:00
Beginn: 23.10.12 Jungius 9, Hörs 2
Mathey
Einführung in die theor. Physik 1
1
Grundhypothese der Thermostatik
Im Gleichgewichtszustand kann ein System durch eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung (ein ’Ensemble’) beschrieben werden,
das die Entropie maximiert, unter Berücksichtigung der
Zwangsbedingungen, z.B. der Erhaltungsgrößen.
Eine wichtige Erhaltungsgröße ist die Energie. Wir betrachten den
Fall, dass ein System aus N Zuständen besteht. Jeder dieser
Zustände habe eine Energie Ei , mit i = 1,P. . . , N. Wir maximieren
die Entropie unter der Bedingung hE i = i pi Ei = U. Die Größe
U ist die innere Energie. Also:
⇣X
⌘
⇣X
⌘
X
F ({pi }) =
pi log pi +
pi 1
pi Ei U
i
i
i
Das Minuszeichen vor ist die Standardkonvention, damit
positive Zahl ist. Daher:
@pi F
Mathey
=
1
log(pi ) +
eine
Ei
Einführung in die theor. Physik 1
2
Also können wir pi wie folgt schreiben
pi
=
exp(
Ei )
Z
wobeiPder Normierungskoeffizient Z gegeben ist durch
Z = i exp( Ei ). Die ist das kanonische Ensemble, und Z ist
die kanonische Zustandssumme. ist die inverse Temperatur
= kB1T .
Beispiel: Harmonischer Oszillator. Das kanonische Ensemble ist
P(x, p) =
1
exp
Z
⇣
p2
2m
m! 2 2 ⌘
2 x
+
kB T
Die kanonische Zustandssumme ist
Z
Mathey
=
ZZ
dxdp
exp
h
⇣
p2
2m
m! 2 2 ⌘
2 x
+
kB T
kB T
=
~!
Einführung in die theor. Physik 1
3
In diesem Integral muss eine Konstante h eingeführt werden, die
die Einheit einer Wirkung hat, damit das Integral einheitslos ist.
Diese kann mit dem Planckschen Wirkungsquantum identifiziert
h
werden. ~ ist definiert als 2⇡
. Die Erwartungswerte des Ensembles
enthalten h nicht. Erst bei quantenmechanischen Systemen, ist h
oder ~ in den Observablen sichtbar.
Die freie Energie ist definiert als
A =
kB T log Z
Die innere Energie kann man wie folgt schreiben:
P
exp( Ei )( Ei )
iP
U =
@ log Z =
= hE i
Ei )
i exp(
Beispiel: Harmonischer Oszillator. Mit Z =
U =
Mathey
1
~!
gilt
⇣ 1 ⌘
@ log
= kB T
~!
Einführung in die theor. Physik 1
4
Die Entropie des kanonischen Ensembles ist
S
kB
=
X
pi log pi =
i
=
X
pi ( log Z
i
A
U
+
kB T
kB T
Ei ) = log Z + hE i
Also ergibt sich folgender Zusammenhang: A = U TS. Dieser
Zusammenhang existierte bereits in der Thermodynamik. Viele
Observablen können als partielle Ableitung von
thermodynamischen Größen geschrieben werden. Dieser
Zusammenhang führt zu und verbindet wichtige thermodynamische
Größen, und ergibt daher alternative Darstellungen.
Beispiel: Harmonischer Oszillator. Mit Z =
A =
Mathey
⇣k T ⌘
B
kB T log
~!
kB T
~!
gilt
⇣k T ⌘
S
B
= log
+1
k
~!
Einführung in die theor. Physik 1
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dU
Die Wärmekapazität eines Systems is definiert als C ⌘ dT
. Es
beschreibt die Veränderung der inneren Energie durch eine
Veränderung der Temperatur. Es gilt:
P
Ei )
dU
d
i Ei exp(
P
C=
=
dT
dT
Ei )
i exp(
P
P
P
Ei
Ei
E
exp(
E
)
E
exp(
E
)
i kB T 2
i kB T 2
Ei ) i i
i i
i Ei exp(
P
P
P
=
Ei )
Ei )
Ei )
i exp(
i exp(
i exp(
1
1
2
2
=
(hE
i
hE
ihE
i)
=
h
E
i
2
2
kB T
kB T
Die Wärmekapazität ist also proportional zur Varianz der Energie.
Beispiel: Harmonischer Oszillator. Die Energie ist gegeben durch
dU
U = kB T . Also gilt dT
= kB .
Mathey
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Klassischer Paramagnetismus
Wir betrachten N klassische Dipole mit magnetischem Moment µ
~
~ Die magnetischen
in einem konstanten, magnetischen Feld H.
Momente µ
~ sind Vektoren konstanter Länge µ. Die Energie ist
gegeben durch:
X
X
~ = µH
E =
µ
~i · H
cos ✓i
i
i
Der Grundzustand dieses Systems ist gegeben durch ✓i = 0: Alle
Dipole sind in z-Richtung
ausgerichtet. Die Magnetisierung des
P
Systems ist M ⌘ N1 i µhcos ✓i i. Für den Grundzustand ergibt
sich M = µ. Für endliche Temperaturen werden die Dipole
thermische ’aktiviert’ und die Magnetisierung wird reduziert. Für
sehr große Temperaturen verschwindet die Magnetisierung. Wir
leiten dieses Ergebnis nun quantitativ her.

H
Mathey
kalt
warm
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Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Dipoles
kBT µ H = 0.1
k BT µ H = 2
Mathey
kBT µ H = 0.5

H
k BT µ H → ∞
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Die Richtungen der Dipole seien durch die Kugelkoordinaten ✓i
und i parametrisiert. Die Zustandssumme ist
⇣
⌘
X
X
Z =
exp µH
cos ✓i = Z1N
{✓i },{ i }
i
Z1 ist die Zustandssumme eines einzelnen Dipoles:
Z 2⇡
Z ⇡
sin ✓d✓ exp( µH cos ✓)
Z1 =
d
0
0
Z 1
sinh( µH)
= 2⇡
du exp( µHu) = 4⇡
µH
1
u = −cosθ
Die Magnetisierung kann wie folgt geschrieben werden:
P
P
1
1 X
i µ cos ✓i exp( µH
j cos ✓j )
N
M =
hµ cos ✓i i =
N
Z
i
=
Mathey
1
@H log Z
N
Einführung in die theor. Physik 1
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Mit log Z = log(Z1N ) = N log Z1 gilt:
1
1
@H log Z = @H log Z1
N
⇣
⌘
1
µH
4⇡
4⇡
=
sinh( µH) +
cosh( µH) µ
2
4⇡ sinh( µH)
µH
µH
⇣
1 ⌘
= µ coth( µH)
⌘ µL( µH)
µH
L(x) ist die Langevin Funktion: 1.4
L(x) ⌘ coth x
Für x ⌧ 1 gilt:
L(x) ⇡
1
x
L(x)
1.2
1.0
0.8
0.6
x
+ ...
3
0.4
0.2
0
Mathey
x
3
2
4
6
8
x
Einführung in die theor. Physik 1
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10
M µ 1.4
1.2
Für die Magnetisierung M gilt also
M
µ
Für kB T
1.0
⇣ µH ⌘
= L
kB T
0.8
0.6
µH gilt also
0.4
M
µ
0.2
=
CT
µH
3kB T
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
T µH
Die magnetische Suszeptibilität ist definiert als
@M
H!0 @H
= N lim
Für hohe Temperaturen kB T
µH gilt
@M
Nµ2
C
= N lim
=
⌘
H!0 @H
3kB T
T
Diese Temperaturabhängigkeit des magnetischen Suszeptibilität ist
das Curie Gesetz, mit der Curie Konstante C .
Mathey
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Suszeptibilität eines
Materials bei hohen
Temperaturen
Bestätigung des Curie
Gesetzes!
Mathey
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1.0
Die innere Energie ist
U =
0.5
@ log Z
=
harm.Osz.
U NµH
k BT µ H
NµHL( µH)
1
Die Wärmekapazität ist
C
=
dU
dT
3
4
!0.5
!1.0
⇣
= kB N 1
( µH)2 ⌘
sinh2 ( µH)
C NkB
Für kB T ⌧ µH verhält sich die innere
Energie und die Wärmekapazität wie ein
System aus N harmonischen
Oszillatoren. Für kB T
µH sättigt
sich die innere Energie, und die
Wärmekapazität strebt gegen 0.
Mathey
2
harm.Osz.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
k BT µ H
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Einführung in die theor. Physik 1
Ising Spins
Im Gegensatz zu klassischen Spins nehmen quantenmechanische
Spins diskrete Werte an. Z.B nimmt ein Spin- 21 die Werte ± 12 an.
Der Phasenraum eines Systems aus N Spins besteht also aus allen
Kombinationen ("""), (""#), ("#"), etc. In einem Magnetfeld H
haben die Zustände " und # die Energien µH und µH. Die
Zustandssumme eines einzelnen Spins ist
Z1 = exp( µH) + exp(
µH) = 2 cosh( µH)
M µ
CT
Die Zustandssumme von N Spins ist
Z = Z1N . Die Magnetisierung ist
M =
1
@H log Z = µ tanh( µH)
N
Spinfluktuationen exponentiell unterdrückt Mathey
T µH
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T µH
Für hohe Temperaturen gilt
M ⇡
µ2 H
C
=
kB T
T
Das System erfüllt also das Curie
Gesetz. Die Energie ist
U =
NµH tanh( µH)
Die Wärmekapazität ist
C
=
C NkB
Schottky peak
dU
( µH)2
= NkB
dT
cosh2 ( µH)
d
1
tanh x =
dx
cosh 2 x
Mathey
U NµH
T µH
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Ideales Gas und Gibbs Paradox
Wir betrachten ein System klassischer, nicht-wechselwirkender
Teilchen der Masse m in einem Volumen V . Die Energie ist
E
N
X
pi2
=
2m
i=1
Sie ist unabhängig von xi .
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