Zur Strahlungsrückwirkung in der Wheeler

BAND
ZEITSCHRIFT
6a
FÜR
HEFT
NATURFORSCHUNG
4
Zur Strahlungsrückwirkung in der Wheeler-Feynmanschen
Neuformulierung der Elektronentheorie
V o n HELMUT
STEINWEDEL
Aus dem Institut für theoretische Physik der- Universität Heidelberg
(Z. Naturforschg. 6 a, 173—177 [1951]; eingegangen am 7. F e b r u a r 1951)
Die von F e y n m a n im Anschluß an Arbeiten von W h e e 1 e r und F e y n m a n gegebene
divergenzenfreie Neuformulierung der klassischenElektronentheorie läßt sich in einfacher Weise
so abändern, daß in den Bewegungsgleichungen nur retardierte Felder auftreten. Das retardierte Eigenfeld des Elektrons liefert unmittelbar die elektromagnetische Masse sowie die
gewohnte Strahlungskraft (2e 2 /3c 3 ) (d 3 r/df 3 ). Darüber hinaus treten in den Bewegungsgleichungen noch höhere zeitliche Ableitungen auf; damit ergibt sich die Möglichkeit, die von
D i r a c , E l i e z e r u. a. gefundenen „divergenten Bewegungstypen" zu vermeiden.
V
or einiger Zeit wurde von F e y n m a n 1 im Anschluß an Arbeiten von W h e e 1 e r und F e y n m a n 2 ' 3 eine relativistisch invariante und divergenzenfreie Neuformulierung der klassischen Elektronentheorie gegeben, die automatisch die Strahlungsdämpfung liefert und in der die gesamte Ruhmasse
mit
S= - J
macf
da + ^
A
des Elektrons als elektromagnetische Masse aufgefaßt
werden kann. Feynman ging dabei aus von dem
Prinzip der kleinsten Wirkung von S c h w a r z s c h i l d , T e t r o d e und F o k k e r für die Maxwellsche Elektrodynamik 4
¿S = 0
2
a b
"f f
Aus (1) und (2) erhält man in gewohnter Weise
(vgl. 3 ) die Bewegungsgleichungen
ma c- au = ea i ^
F^], (a) i a
(3)
a,le b
mit
F
, (x) =
"
dxa
8x1'
,
K
^
d
(1)
da d.i.
(2)
^
A/<
^
= eb
J
ö
— OO
(5)
(l\b)
Die Potentiale Au sind dabei die halbe Summe aus
den avancierten und retardierten Potentialen. Entsprechend gilt für die Feldstärken
(4)
F
>IV
=
l f
F
+
2 L itiret '
F
1
(6)
/tvavJ "
W
Die rechte Seite von Gl. (3) spaltet Feynman wie folgt auf (vgl. auch-' ,3 ):
ma
C 2 au
=
,
I
2
F^
R E T
(A) +
J-
2
[F^
alleb
A V
(„) -
F^
Der erste Term in der geschweiften Klammer liefert
die Kraft, die alle übrigen Teilchen (b =4= a) auf das
herausgegriffene Teilchen a ausüben. Der zweite
Term kann nach der Argumentation von W h e e l e r
und F e y n m a n 2 , 1 identisch gleich Null gesetzt
werden. Der dritte Term liefert die StrahlungsrückB. P. F e y n m a n , Physic. Bev. 74, 939 [1948].
J. A. W h e e l e r u. B. P. F e y n m a n , Bev. mod.
Physics 17, 157 [1945].
3 J. A. W h e e l e r
u. B. P. F e y n m a n , Rev. mod.
Physics 21, 425 [1945],
1
2
R E T
(„)] -
}
[ F «
AV
(„) -
F^
R E T
(FL)] +
F ^
(«)}
'
(7)
Wirkung (vgl. 2). Der vierte Term divergiert für die
Maxwellsche Elektrodynamik und wird daher fort4 Es wird hier die Notation von 5 benutzt: Die Buchstaben a, b . . . beziehen sich auf die einzelnen Teilchen.
Teilchen a hat die Masse ma, Ladung ea und die Koordinaten a 1 = a 1 usw., a 4 = — ö 4 ( = Zeit mal Lichtgeschwindigkeit). Über doppelte Indizes ist zu summieren, und es
ist rat) = — ( a „ — b ) (a,n — b/l). Die aN usw. seien jeweils
als Funktion der Eigenzeit gegeben: aft = au (a), b„ — b„
( ß ) usw.; a = da/da usw., b (F) ist die Diracsche ¿-Funktion.
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H. S T E I N
174
Schreibt man statt (4) und (5)
gelassen, was man in konsistenter Weise durch Streichung der Terme a = b in der Doppelsumme in
Gl. (2) erreichen kann. Setzt man in (2) dagegen statt
der singulären d (jT)-Funktion eine weniger singulare
Funktion f { T ) ein, so ist die Streichung des vierten
Terms in (7) nicht nötig. Dieser Term liefert dann,
wie Feynman zeigte 1 , bei nicht zu großen a„ die
elektromagnetische Masse jna des Teilchens a:
fit-) dt
»« **
= e a \ Z < F Cret («) + 1
WJ == a
mit
A<fo)(s) = e ,
F?i<*>
'
1
"
•p
p
o L fi v ret
,u v
dit,
AATfc)(x)
3A¡f > (x)
dxu
8xv
"
so daß (F)ret nicht streng retardiert ist8. Diese Aufteilung wurde von Feynman gewählt, um wiederum zu erreichen, daß der zweite Term verschwindet.
Die Begründung dafür setzt nämlich voraus2, daß
dieser Term eine Lösung der homogenen Feldgleichungen ist, und die Feldgleichungen für die Potentiale An waren zunächst nicht bekannt. Wie Verf.
zeigen konnte5, genügen die durch (9) definierten
Potentiale, wenn man zweckmäßigerweise f(x) = 0
™ a c 2 % = ea\ 2 F ^ r e t ( a ) +
W)tfl
f(rxb)b„
C r e t («)] " } [ F ? L («) - F ^
alle/?
(F), v ret
f
(10)
so ergeben sich wieder die Bewegungsgleichungen
(3), wenn man die ungestrichenen durch die gestrichenen Feldstärken ersetzt. Statt (7) schreibt Feynman
nun (vgl. auch')
(8)
Z i ^ a v («)
WEDEL
2
(«)] + F¡?> ( fl ) 1
>
(11)
(12)
,u r a v j '
für x < 0 setzt 9 , linearen „hyperbolischen" Feldgleichungen von i. allg. unendlich hoher Ordnung,
und das durch F a v — F re t definierte Feld genügt den
homogenen Feldgleichungen. Damit läßt sich nach der
oben zitierten Wheeler-Feynmanschen Argumentation
auch im vorliegenden Fall das Verschwinden der
Summe £
K!
a v
— F^ret]
begründen-
Diezweck-
allefo
mäßigste Aufteilung von (3) ist dann aber die folgende:
[F^av(a)-F^ret(a)]+F^ret(a)U\
alieb
(13)
>
Wegen des Verschwindens des zweiten Terms
gehen in die Bewegungsgleichung keine avancierten
Felder mehr ein, auch nicht für die Strahlungskraft.
Wir haben somit eine konsistente, relativistisch invariante und divergenzenfreie Form der Elektrodynamik, die die bisherigen Vorstellungen über Kausalität
unangetastet läßt, wenn man die Begründung für die
Streichung des zweiten Terms konzediert10. Es bleibt
nur noch übrig, den dritten Term, der die elektromagnetische Rückwirkung des Teilchens auf sich selbst
liefert, näher zu untersuchen.
5 H. S t e i n w e d e l ,
[1951],
8 Die unüberstrichenen F
sind in (11) u. (12) wie
uv
bisher die nach (4) u. (5) berechneten Maxwellschen Felder.
9 Nur dann lassen sich die Feldgrößen in einen avancierten und einen retardierten Teil aufspalten, vgl. 5 .
!0 Wenn man nicht von dem Wirkungsprinzip (1) u.
(2), sondern von den (nach 5 zu gewinnenden) Feldgleichungen ausgeht, kann man sich natürlich, wie bisher in
der Elektrodynamik, von vornherein auf die retardierten
Felder beschränken.
Z. Naturforschg. 6 a ,
123
(i Der Querstrich über den Feldgrößen bedeutet, daß
diese mit f (T) statt d (F) berechnet werden sollen. Mit
(9) erhält man aus (8) für die „Selbstenergie" ua c- den
Ausdruck (ea2/2) A4(«) («)g tat ., wobei A4 stat _ das statische
Potential {au = d 4 u ) bedeutet.
7 H. L e h m a n n ,
Ann. Physik (6) 8, 109 [1950],
A. D i s k u s s i o n
der
Ergebnisse
Zur Untersuchung des dritten Terms, der sich nach
(6), (9) und (10) mit A ( « 0 ) = Ö 0 ZU
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rflret (*>) = ~
/ ¿ f [(°0 " ~fl/«>ö " ~ (°<> " ~ <0 Ö«1 d f t
4
ergibt, muß man eine geeignete Reihenentwicklung
des Integranden vornehmen11. Dabei muß man voraussetzen, daß f(x) für x — oo exponentiell abfällt 7 .
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit berechnen
,,
e - i' ^
mQr = - ;
r ff(t*)dt
c
9
+
(14)
- CO
e a
wir (14) für das Ruhesystem des Teilchens a. Es ergibt sich (vgl. Abschnitt B) für das Teilchen a folgende
Bewegungsgleichung im Eigenfeld (ein Strich bedeutet Ableitung nach der Zeit)
00
x2jf
0
3
(titelt-
e
2
a
,<«• s "•> »\ 00
r+ | ^r)ff(^tsdt+...
c
o
Der erste Term auf der rechten Seite ist nach (8)
gleich iua r. Wir können also die „mechanische" Masse
des Teilchens Null setzen und, wie Feynman 1 , in
relativistisch invarianter Weise die gesamte Masse
elektromagnetisch erklären. Der zweite Term liefert
die bei Wheeler und Feynman diskutierte Strahlungskraft. Zweckmäßigerweise wird man die Funktion
f { r ) ebenso normieren wie die Funktion d ( r ) der
Maxwellschen Elektrodynamik (sonst müßte man die
Ladung e ändern); wir fordern also (man beachte,
daß f(r)= 0 für r < 0):
"
(15)
o
CO
2 f f (t2) t dt ^ 1,
ö
CO
,/-
f f(t2)t2 dt = l.T
Ö
(Normierung!)
o,
4
allgemein
(/" (x) ist hier die Gammafunktion.)
+ CO
/ / (Od/'
— CO
CO
oo
-//(Od/'=
Ö
2 f f(t2)dt
Ö
= l.
(16)
Der zweite Term ist somit von der speziellen Wahl
der Funktion /(/") unabhängig. Den dritten Term
sowie die folgenden muß man als bewegungsabhängige Zusätze zur Masse (soweit sie proportional r
sind) und zur Strahlungskraft deuten.
Setzen wir z. B. 7
f(t2)
(17)
= ~ e
wobei wir o als „kleinste Länge" oder „Elektronenradius" deuten können, so ergibt sich
OO
f m d i
o
1
-1-;,
11 Vgl. dazu auch H. L e h m a n n 7 . Daß bei Lehmann
in (15) nur höhere Glieder mit geraden Potenzen von t in
den Integralen / f (f2) tn df auftreten, liegt daran, daß in
seiner Gl. (35) die Funktion F avancierte und retardierte
Anteile hat und somit die Integrale von — oo bis + oo
zu erstrecken sind, wobei die Integrale mit ungeraden
Potenzen n verschwinden. Die Lehmannsche Gl. (35) entspricht somit genau der Feynmanschen Aufteilung (11).
Es ist also nicht leicht, die genaue Gestalt der
Funktion /(T) aus experimentellen Daten festzulegen,
da die detaillierte „Struktur" dieser Funktion erst in
die höheren Terme der Bewegungsgleichung (15) eingeht. Nur eine dem Elektronenradius Q äquivalente
Konstante läßt sich durch die Elektronenmasse (8)
festlegen. Die Bewegungsgleichungen für ein geladenes Teilchen werden nach (13), (14) bzw. (15) i. allg.
entweder komplizierte Integrodifferentialgleichungen
oder, was dasselbe ist, Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung. Da die höheren Terme in (15)
für „vernünftige" Bewegungen aber sehr schnell klein
werden, dürfte dies für praktische Rechnungen kein
Hindernis sein.
Durch die Existenz dieser höheren Terme ist jedoch
das von E 1 i e z e r 12 gefundene paradoxe Verhalten
der Lösung der Bewegungsgleichungen (7) für ein
geladenes Teilchen im Coulomb-Feld gegenstandslos geworden (Eliezer hatte gefunden, daß für dieses
C. J. E l i e z e r , Rev. mod. Physies 19, 1 4 7 [ 1 9 4 7 ] .
In einer weiteren Arbeit zeigt E l i e z e r (Proc. Roy. Soc.
[London], Ser. A 194, 5 4 3 [ 1 9 4 8 ] ) , daß sich bei Bewegungsgleichungen höherer Ordnung die divergenten
Bewegungstypen tatsächlich vermeiden lassen; vgl. dazu
auch die „Massenstabilität" bei F. B o p p , Z. Naturforschg. 1 , 5 3 [ 1 9 4 6 ] .
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Problem keine stabilen Lösungen existieren); zumindest läßt sich die Nichtexistenz stabiler Lösungen
nicht nach dem Verfahren von Eliezer beweisen.
Des weiteren beseitigt die Form (13) der Bewegungsgleichungen das vom Verf. 13 gefundene paradoxe
Verhalten der Strahlungskraft in der klassischen
Mesonentheorie, daß nämlich die Strahlungskraft
auch von der zukünftigen Bahn des Teilchens abhängen würde, wenn man sie analog zum Feynmanschen Ansatz (7) definierte. Eine solche Paradoxie wird
nach (13) prinzipiell ausgeschlossen, da nur retardierte
Felder auftreten. Sie rührte, wie man nunmehr sieht,
im wesentlichen davon her, daß man mit der Streichung der Terme a = b in (2) die Rückwirkung eines
Teilchens auf sich selbst ausschloß, ein Verfahren, das
sich in der Quantentheorie bereits als undurchführbar
Dadurch, daß der Hauptbeitrag zur Strahlungskraft
[2. Term in (15)] nicht von der Gestalt der Funktion
f(r) abhängt, sind wohl auch die von F e y n m a n 1 4
geäußerten Bedenken hinfällig, daß zwar das mit
einer geeigneten Funktion /+(/") (vgl. 14 ) berechnete
Feld in größerer Entfernung von den Teilchen sich
vom Maxwellschen beliebig wenig unterscheidet,
andererseits aber die Strahlungsdämpfung durch
f+(r) wesentlich modifiziert werden könnte, so daß
der Energiesatz verletzt wäre.
Nach 15 und 5 ist es übrigens nicht schwer, die Gestalt der in der Feynmanschen Quantenelektrodynamik 14 auftretenden Funktion f+ (F) anzugeben. In
der Notation von 5 ergibt sich sofort
wenn man H ( j / q F) für 7 " < 0 geeignet fortsetzt.*
Dabei ist
die Besseische, N t die Neumannsche, fft
die Hankeische und K t die modifizierte Hankeische
Funktion 1. Ordnung. Die Funktion o(>;) muß natürlich den Regularisierungsbedingungen (32) aus 3 genügen.
B. D u r c h f ü h r u n g
der
Rechnungen
Im Ruhsystem erhalten wir, wegen a 0 — — <3l>4,
a 0 4 = 0, mit der Bezeichnung \a — a0 } = {r, f] aus
(14) und (13) mit V
F(*> (a) = 0 (Punkte bedeuten
b + 0
jetzt Ableitung nach t):
iac°- to = 4e2a
f
d/.
[vt-x]dt.
(19)
Es gelten nun folgende Reihenentwicklungen
r t — r = l r„ /s + ~ r0 tA + J r 0 t4
(20)
und wegen r = t"1 — t 2
d/(F)
dl'
=
dfjñ _
' d (t*)
d2 H ñ
d (t2)2
,
(21)
t 2 = \ r02f4 +
Mit diesen Entwicklungen folgt nach elementaren
partiellen Integrationen und unter Berücksichtigung,
M 0
= /(0 +
4 » M - n
_ 1 7 Ji ( f ; ñ +»Ni
T J
\r
für
daß t = Zeit mal Lichtgeschwindigkeit ist, sofort (15).
F > 0
2 i K, (]/- vT)
Q {>))}'>! d)¡
V-r
für
Herrn M. D a n o s , Heidelberg, danke idi für anregende
Diskussionen.
(V>7f) o ()))}'>1 d))
C. Z u s a t z
(18)
F< 0
also
oc
(0 = l f
h[WT)
o (>i) y« di),
13 H. S t e i n w e d e l ,
S.-B. Heidelberger Akad. Wiss.,
math.-naturwiss. Kl. 1950, 281.
14 R. P . F e y n m a n , Physic. Bev. 76, 769 [1949].
13 J . S c h w i n g e r , Physic. Bev. 75, 651 [1949] Appendix.
bei
der
Korrektur
Nach dem oben Gesagten kann man die klassische
Elektronentheorie so formulieren, daß die gesamte Buhmasse eines geladenen Teilchens von seiner Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld herrührt. Dieses
Ergebnis wirft die Frage auf, ob dasselbe nidit auch in
der Quantentheorie möglich ist. Eine nähere Untersuchung
läßt sich in einfacher Weise auf Grund der Feynman* (18) ist natürlich der Feynmanschen Definition 14 von
/a. äquivalent.
i« B. P. F e y n m a n , Physic. Bev. 76. 749, 769 [1949];
80, 440 [1950].'
17 Es ist hier fi = c = 1 gesetzt, vgl. auch
Feynm a n 1 0 . Gl. (Z. 1) mit dem Potential 21 nach (Z. 2) ist
offenbar ein Spezialfall der Gl. ( I C ) bei F e y n m a n ,
Physic. Bev. 80, 440 [1950],
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sehen Neuformulierung der Quantenelektrodynamik 16
durchführen.
Wir gehen aus von der Dirac-Gleichung für ein Elektron im Potential A/(17
(iV-M) v =
V•
(Z. 1)
Hierbei ist 2i = e Aß y(über gleidie Indizes ist wie üblich
a
zu summieren, au bu = aibi—a^b
x—— -sb3),
V = yß 3/3xu und xf die vierkomponentige Spinor-Wellenfunktion. Für 21 wählen wir das Eigenfeld des Elektrons,
das sich nach F e y n m a n 1 6 zu
(Z.2)
%(x) = eff+(s2xb)\(b)d*b
mit &xb
=
(xfl — bfl)(xu—bfl)
und j (b) = /'„ (b) yß
— e (b) y
(b) yß ergibt.
ist die von F e y n m a n 1 0
eingeführte regularisierte ¿^-Funktion 1 8 . Betrachten wir
das Elektron im Buhsystem [d. h. wir denken uns den
Zustand des Elektrons durch ein Wellenpaket mit der
Eigenschaft
(Mittelwert) = <5(( 4 g (Mittelwert) dargestellt], und entwickeln wir die Funktion f+
(s-xb)
18 Im Unterschied zur klassischen Elektrodynamik tritt
in der Quantenelektrodynamik die Funktion
an die
Stelle von f , vgl. F e y n m a n 1 6 und M. F i e r z , Helv.
physica Acta 23, 731 [1950],
[(vgl. auch (21)]
= f+ (t*xb—i*xb)
d/ + (i-)
f+ (i2 - r2) = f+ (f-) -
r'2 + . . . ,
(Z. 3)
so liefert uns das erste Glied der Beihe (Z. 3)
o
f f+ (t2) df .
21 (x) = -A efodV
(Z. 4)
— oo
Berücksiditigt man, daß J Q dV = e ist (Normierung!)
und daß das Integral über den Imaginärteil von /+
[vgl. (18)] verschwindet, sowie daß in der hier betrachteten Näherung (Beschränkung auf das Ruhsystem) die
dritte und vierte Komponente von ip verschwinden (d. h.
daß die negativen Eigenwerte von y4 hier irrelevant sind),
so ergibt sich
oo
21 (x) = e2 j f+ ( t 2) d f
0
oo
=
e2
f f
0
(i 2)
di = H ,
(Z. 5)
wo wir /u gemäß (Z. 1) als elektromagnetische Masse deuten können. In der hier betrachteten Näherung kann man
also auch in der Quantentheorie die „mechanische" Masse
m Null setzen und die gesamte Masse elektromagnetisdi
erklären. Für p liefert (Z. 5) übrigens gerade den klassischen Wert [vgl. (8)].
Zweizentrenintegrale mit 2 s- und 2p-Funktionen II
Ionenintegrale
Von
HERMANN-JOSEF
KOPINECK
Aus dem Max-Planck-Institut für Physik, Göttingen
(Z. Naturforschg. 6 a, 177—183 [1951]; eingegangen am 12. März 1951)
I
m ersten Teil der Arbeit 1 wurde ein großer Teil der
Wechselwirkungsintegrale zwischen 2 s - und 2 p Funktionen für das Elektronensystem eines zweiatomigen, homonuklearen Moleküls numerisch ausgewertet angegeben. Die Vollständigkeit jener Tabellen wird jedoch durch das Fehlen fast aller Ionenintegrale eingeschränkt. Dieser Mangel soll mit vorliegender Arbeit behoben werden.
Die in gemachten Voraussetzungen sowie die dort
angeführte Bezeichnungsweise der Integralsymbole
usw. sollen auch hier gelten.
Die Ionenintegrale sind durch (1) definiert und
haben wie die Austauschintegrale usw.1 die Dimension
einer Energie: e2/öo1
Kßy-ö
= k
(1) a , (2)
fl2
a y ( l ) b „ (2) |,
(1)
a, ß, y sind darin die Quantenzahlen der Elektronenzustände am Atom a und d, ausgezeichnet durch den
Querstrich, die Quantenzahl des Elektronenzustandes
am Atom b.
Die Integration von (1) wird von uns in den behandelten speziellen Fällen, d.h. für 2 s - und 2 p Eigenfunktionen, in elliptischen Koordinaten X, /1, <p
durchgeführt, auf deren Definition in 1 Gl. (5), (6)
und (7) besonders hingewiesen sei. Als Folge dieser
Festlegung der elliptischen Koordinaten ergibt sich
1
H. J. K o p i n e c k , Z. Naturforschg. 5 a, 420 [1950].
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