Riemann`sche Geometrie - KIT

Universität Karlsruhe (TH)
Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. Enrico Leuzinger
Dr. Andreas Weber
Riemann’sche Geometrie
Übungsblatt 3
Sommersemester 2007
Aufgabe 1. Reguläre Untermannigfaltigkeiten.
Sei (N n , A) eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Teilmenge M ⊂ N (versehen mit der Spurtopologie) heißt m-dimensionale reguläre Untermannigfaltigkeit von N , falls es zu jedem p ∈ M eine Karte
(U, ϕ) ∈ A mit p ∈ U gibt, so dass folgendes gilt:
ϕ(U ∩ M ) = ϕ(U ) ∩ (Rm × {0}),
(m ≤ n).
Jede solche Karte (U, ϕ) nennt man eine an M angepasste Karte.
Sei weiter π : Rn → Rm die Projektion π(x1 , . . . , xn ) := (x1 , . . . , xm ).
Zeigen Sie, dass
{(U ∩ M, π ◦ ϕ|U ∩M ) : (U, ϕ) ∈ A an M angepasste Karte }
ein Atlas von M ist. Hierdurch wird M zu einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit.
Zeigen Sie weiter, dass die Inklusionsabblidung ι : M → N, p 7→ p differenzierbar ist.
Aufgabe 2. Abbildungen mit konstantem Rang.
Seien M m und N n differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Seien weiter F ∈ C ∞ (M, N ) und p ∈ M . Das
Differential dF von F habe in einer Umgebung von p konstanten Rang r > 0.
Zeigen Sie, dass es Karten (U, ϕ) und (V, ψ) an p bzw. q := F (p) mit ϕ(p) = ψ(q) = 0 gibt, so dass gilt:
ψ ◦ F ◦ ϕ−1 (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xr , 0, . . . , 0).
Hinweise:
(1) Zeigen Sie, dass es Karten (U1 , ϕ1 ) und (V1 , ψ1 ) an p ∈ M bzw. q := F (p) ∈ N gibt, so dass
∂ F̄i
ϕ1 (p) = 0, ψ1 (q) = 0 gilt, sowie für F̄ := ψ1 ◦ F ◦ ϕ−1
die Matrix ( ∂x
)1≤i,j≤r an der Stelle 0
1
j
regulär ist.
(2) Wir definieren h̄ : ϕ1 (U1 ) → Rm , (x1 , . . . , xm ) 7→ (F̄1 (x), . . . , F̄r (x), xr+1 , . . . , xm ). Zeigen Sie, dass
die Einschränkung von h̄ auf eine Umgebung W von 0 ein Diffeomorphismus ist: h̄ : W → h̄(W ).
(3) Sei ḡ : h̄(W ) → Rn , ḡ := F̄ ◦ h̄−1 . Bestimmen Sie ḡ(w) für w ∈ W und zeigen sie, dass
für alle r + 1 ≤ i ≤ n und r + 1 ≤ j ≤ m in einer Umgebung W1 von 0 gilt.
∂ ḡi
∂wj
=0
(4) Wir betrachten die differenzierbare Abbildung
k̄ : W1 × Rn−m
(y1 , . . . , yn )
→ Rn ,
7
→
y1 , . . . , yr , yr+1 − ḡr+1 (y1 , . . . , yr , 0, . . . , 0), . . . , yn − ḡn (y1 , . . . , yr , 0, . . . , 0) .
Zeigen Sie, dass die Einschränkung von k̄ auf eine Umgebung W2 von 0 ein Diffeomorphismus ist.
(Für n < m muss W1 × Rn−m entsprechend abgeändert werden.)
(5) Betrachten Sie k̄ ◦ F̄ ◦ h̄−1 .
Bitte wenden.
Aufgabe 3. Reguläre Werte und reguläre Untermannigfaltigkeiten.
Seien M n+k und N n differenzierbare Mannigfaltigkeiten, sowie F ∈ C ∞ (M, N ). Ein Punkt q ∈ N heißt
regulärer Wert von F , falls für jeden Punkt p ∈ F −1 (q) das Differential dFp surjektiv ist.
Zeigen Sie, dass für einen regulären Wert q ∈ N das Urbild F −1 (q) eine k-dimensionale reguläre Untermannigfaltigkeit von M ist.
Hinweis: Aufgaben 1 und 2.
Abgabe der Lösungen bis zum Donnerstag, den 10. 5. 2007 um 13:00 Uhr in den entsprechenden Briefkasten neben dem Seminarraum 32 im Mathematikgebäude. Die Abgabe darf auch in Zweiergruppen
erfolgen. Bitte vermerken Sie auf Ihrer Abgabe jeweils Name und Matrikelnummer. Jede Aufgabe wird
mit maximal 4 Punkten bewertet. Die Übungsblätter stehen auch unter
http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/iag2/lehre/riemgeo2007s/de
zum Download bereit.