14.¨Ubungsblatt zur ” Vorlesung

Institut für Mathematik
Prof. Dr. Helge Glöckner
Alexander Schmeding
WS 10/11
26.01.2011
14. Übungsblatt zur
Vorlesung Funktionalanalysis“
”
Gruppenübung
Aufgabe G32 (Periodische Abbildungen und Stetigkeit)
Zeigen Sie, dass jede stetige und 1-periodische Abbildung f :
ist.
R → C gleichmäßig stetig
Lösung: Wir betrachten das kompakte Intervall I := [0.2]. Nach der Analysis sind
stetige Abbildungen auf Kompakta gleichmäßig stetig, also insbesondere auch f|I . Sei nun
ε > 0 vorgegeben, dann existiert ein δ > 0, so dass für x, y ∈ [0, 2] mit |x − y| < δ bereits
|f (x) − f (y)| < ε folgt. Die Bedingung der gleichmäßigen Stetigkeit ist jedoch nicht nur
auf I sondern bereits global für das so gefundene δ erfüllt: Sind x, y ∈ R mit |x − y| < δ
und ohne Einschränkung gelte δ < 1, dann existiert n ∈ Z, so dass x+n, y+n ∈ [0, 2] gilt.
Aufgrund der 1-Periodizität von f erhalten wir: |f (x) − f (y)| = |f (x + n) − f (y + n)| < ε,
da |x + n − (y + n)| < δ. Dies zeigt, dass f gleichmäßig stetig ist.
Aufgabe G33 (reguläre Maße I)
Sei X ein hausdorffscher topologischer Raum und B(X) die Borel σ-Algebra. Wir betrachten den Maßraum (X, B(X), µ) mit dem positiven Maß µ:
(a) Zeigen Sie, dass für Y ∈ B(X) und ein von innen reguläres Maß µ bereits das auf
B(Y ) eingeschränkte Maß νS:= µ|B(Y ) von innen regulär ist.
(b) Sei X σ-kompakt mit X = n∈N Kn , so dass Kn ⊆ Kn+1 , und µ(Kn ) < ∞, ∀n ∈ N
gelte. Zeigen Sie, dass wenn µ von außen regulär ist, µ auch von innen regulär ist.
Lösung:
(a) Die Borel σ-Algebra B(Y ) wird von den relativ offenen Mengen in Y erzeugt. Jede
der relativ offenen Mengen stammt von einer in X offenen Menge und da Y ∈ B(X),
ist jede relativ offene Menge in Y bereits eine Borel Menge aus B(X). Da aber der
Erzeuger von B(Y ) schon zu B(X) gehört
also B(Y ) ⊆ B(X).
folgt
Dies zeigt aber
gerade für A ∈ B(Y ), dass µ(A) = sup µ(K)K ⊆ A, kompakt gilt, da µ als Maß
auf B(X) von innen regulär ist.
(b) µ ist von außen regulär, nach Vorlesung ist µn := µ|Kn ebenfalls von außen regulär
∀n ∈ N. Da µ(Kn ) < ∞ folgt weiterhin nach der Vorlesung, dass µn genau dann von
außen regulär ist, wenn µn vonSinnen regulär ist. Somit ist µn von innen regulär.
Da X σ-kompakt ist und X = n∈N Kn gilt, erhalten wir für eine beliebige Borel
14. Übung
Vorlesung Funktionalanalysis
S
S
Menge V = V ∩ n∈N Kn = n∈N V ∩ Kn . Mit dem Satz von der Stetigkeit des
Maßes und der Voraussetzung Kn ⊆ Kn+1 erhalten wir:
[
µ(V ) = µ(
V ∩ Kn ) = lim µ(V ∩ Kn )
n∈N
n→∞
= lim sup µ(K)K ⊆ V ∩ Kn kompakt ≤ sup µ(K)K ⊆ V kompakt
n→∞
Die dritte Gleichheit folgte dabei aus der Vorbetrachtung, dass µn von innen regulär
ist und die Abschätzung aus der Beobachtung, dass Kompakta in V ∩ Kn bereits in
V enthalten sind, das
somit höchstens
größer werden kann. Wir haben
Supremum
somit µ(V ) ≤ sup µ(K)K ⊆ V kompakt . Die Umgekehrte Ungleichung stimmt
jedoch trivialerweise, da aufgrund der Eigenschaften eines Maßes bereits wegen
K ⊆ V die Beziehung µ(K) ≤ µ(V ) gelten muss, welche
beim Übergang zum
auch
Supremum erhalten bleibt. Wir erhalten µ(V ) = sup µ(K)K ⊆ V kompakt und
da V beliebig gewält war, ist µ von innen regulär.
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14. Übung
Vorlesung Funktionalanalysis
Hausübung
Aufgabe H33 (Weierstraß’scher Approximationssatz)
Ziel dieser Aufgabe ist es den Weierstraß’schen Approximationssatz zu beweisen:
Die Menge der Polynomfunktionen P ⊆ C[0, 1] liegt dicht in C[0, 1]
Wir approximieren dazu eine beliebige Abbildung f ∈ C[0, 1] durch ein Polynom. Gehen
Sie dazu in folgenden Schritten vor:
1. Finden Sie einen geeigneten Term, hf ∈ C[0, 1], so dass f + hf ∈ C1 [0, 1] gilt, wobei
C1 [0, 1] die 1-periodischen stetigen Abbildungen bezeichne.
2. Approximieren Sie f +hf durch ein trigonometrisches Polynom und dieses wiederum
durch ein Polynom.
• Tipp: Man erinnere sich daran, dass das Restglied
für eine entR xder Taylorformel
n
(n+1) (t)dt ist.
wickelbare Abbildung f von der Form Rn+1 (x) = a (x−t)
f
n!
Beweisen Sie den Weierstraß’schen Approximationssatz.
Lösung: Wir gehen nach der Anleitung vor und betrachten für f ∈ C[0, 1] die lineare
Abbildung hf : [0, 1] → C, x 7→ x(f (0) − f (1)). Man sieht sofort, dass f + hf ∈ C1 [0, 1]
gilt. Wir dürfen also ohne Einschränkung annehmen, dass bereits f ∈ C1 [0, 1] gilt. Nach
Vorlesung sind die trigonometrischen Polynome
dicht in C1 [0, 1]. Für ε > 0 finden wir
P
ε
daher ein solches Polynom P (f, ε)(x) := N
k=−N ak ek , so dass kf − P (f, ε)k∞ < 2 gilt.
Da trigonometrische Polynome als endliche Summe von analytischen Abbildungen analytische Abbildungen sind, können wir P (f, ε) mit einem Taylor Polynom approximieren.
Es reicht nun zu zeigen, dass das Restglied für n → ∞ verschwindet, um mit dem Taylorpolynom P (f, ε) und damit aber auch f zu approximieren. Wir betrachten also das
Restglied der Taylor Entwicklung in 0 für P (f, ε) und müssen den Betrag abschätzen:
|Rn+1 (P (f, ε), x)| ≤
N
X
Z
|ak |
0
k=−N
=
N
X
k=−N
≤
N
X
k=−N
1
|ak |
n!
x
n
(x − t) P (f.ε)(n+1) (t) dt
n!
Z
0
x
|x − t|n (2πik)n+1 e2πikt dt
| {z }
(2πk)n+1
|ak |
n!
≤1
Z
|0
x
2πikt e
dt
{z
}
≤1 da x∈[0,1]
≤
N
X
k=−N
|ak |
(2πk)n+1
n! }
| {z
→0 für n→∞
Somit ist gezeigt, dass das Restglied für n → ∞ verschwindet und wir können insbesondere ein M ∈ N finden, so dass für das M -te Taylor Polynom TM (P (f, ε)) bereits
kTM (P (f, ε)) − P (f, ε)k∞ < 2ε gilt. (Hier haben wir mit k · k∞ die Supremumsnorm auf
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14. Übung
Vorlesung Funktionalanalysis
C[0, 1] bezeichnet. Insgesamt folgt dann nach der Dreiecksungleichung und der Konstruktion des trigonometrischen Polynoms sowie des Taylor Polynoms: kf − TM (P (f, ε))k∞ <
ε. Da f und ε > 0 beliebig gewählt waren, können wir also jede Abbildung aus C[0, 1]
beliebig gut mit Polynomen approximieren. Dies beweist den Weierstraß’schen Approximationssatz.
Aufgabe H34 (reguläre Maße II)
Sei X ein lokalkompakter und σ-kompakter topologischer Raum, versehen mit der Borel
σ-Algebra B(X) und dem Maß µ, so dass µ(K) < ∞ für alle K ⊆ X kompakt. Zeigen
Sie, dass
S
(a) Eine Folge offener Mengen U1 ⊆ U2 ⊆ U3 ⊆ . . . existiert, so dass X = ∞
i=1 Ui und
U i ist kompakt für alle i ∈ N.
(b) wenn µ von innen regulär ist, so ist µ auch von außen regulär.
Hinweis: Benutzen Sie für (b) Aufgabenteil (a) um induktiv eine offene Menge zu Konstruieren, die für ein gegebenes ε > 0 das Maß einer Menge E approximiert.
Lösung:
(a) Da X σ-kompakt
ist, existiert eine Familie (Kn )n∈N von kompakten Mengen, so
S
dass X = n∈N Kn gilt. Sei nun n ≥ 1. Da X lokal kompakt ist, finden wir für
jedes x ∈ Kn eine offene Umgebung, deren Abschluss kompakt ist. Wir finden
also eine offene Überdeckung von Kn mit Mengen deren Abschluss kompakt ist.
Aufgrund der Kompaktheit von Kn existiert dann eine endliche Teilüberdeckung
von solch offenen Mengen. Bezeichne mit Vn die Vereinigung aller offenen Mengen
in dieser endklichen Teilüberdeckung. Dann ist Vn offen und da wir nur endlich
viele Mengen vereinigt haben,
deren Abschluss kompakt ist, gilt: V n ist kompakt
S
∀n ∈ N. Setze nun Un := m≤n Vn und wir erhalten eine Folge von Mengen, welche
nach Konstruktion die gewünschten Eigenschaften besitzt.
(b) Ohne Einschränkung müssen wir die Eigenschaft nur für jede Menge E ∈ B(X)
mit µ(E) < ∞ zeigen, da in dem Fall µ(E) = ∞ die Aussage trivial ist. Sei also
E ∈ B(X) mit µ(E) < ∞ gegeben und ε ≥ 0. Wir fixieren eine Folge von Mengen
(Un )n∈N mit den Eigenschaften aus Aufgabenteil (a). Nach Vorlesung wissen wir
bereits, dass das auf eine kompakte Teilmenge U n eingeschränkte Maß µ von außen
regulär ist, da µ von innen regulär ist und µ(U n ) < ∞. Wir können E ∩U1 als Borel
Menge aus B(Un ) auffassen und nach Vorbemerkung existiert somit eine relativ
offene Teilmenge W1 ⊆ U 1 , so dass E ∩ U1 ⊆ W1 und µ(W1 ) < µ(E ∩ U1 ) + 4ε Indem
wir W1 durch W1 ∩ U1 ersetzen können wir W1 ⊆ U1 annehmen. Insbesondere ist
W1 somit ohne Einschränkung offen in X und nicht nur relativ offen.
Nun betrachten wir W1 ∪ (E ∩ U2 ) als Borel Menge von U 2 und finden wieder eine
offene Teilmenge W2 ⊆ U 2 , so dass W1 ∪ (A ∩ U2 ) ⊆ W2 und µ(W2 ) < µ(W1 ∪
(E ∩ U2 )) + 8ε . Indem wir wieder W2 durch W2 ∩ U2 ersetzen dürfen wir ohne
Einschränkung annehmen, dass W2 ⊆ U2 und somit offen in X ist.
Allgemein nehme nun an, Wn−1 sei konstruiert für n ≥ 2. Wir finden nun induktiv
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14. Übung
Vorlesung Funktionalanalysis
eine offene Teilmenge Wn ⊆ U n so dass Wn−1 ∪ (E ∩ Un ) ⊆ Wn und µ(Wn ) <
ε
µ(Wn−1 ∪(E ∩Un ))+ 2n+1
. Analog zu den vorigen Schritten dürfen wir nach ersetzen
von Wn durch Wn ∩ Un annehmen, dass Wn ⊆ Un und Wn in X offen ist. Wir
erhalten somit insgesamt eine Folge von offenen Mengen Wn ⊆ X, so dass E ∩ Un ⊆
Wn ⊆ Un für alle n ≥ 1 gilt und W1 ⊆ W2 ⊆ . . .. Nach Konstruktion ist außerdem
µ(Wn ) < µ(Wn−1 ∪ (E ∩ Un )) +
ε
2n+1
∀n ≥ 1
(1)
(hier haben wir W0 = ∅ gesetzt). Nun ist Wn−1 \ (A ∩ Un ⊆ Wn−1 \ (A ∩ Un−1 ) und
wir erhalten nach (1) die Abschätzung
ε
2n+1
ε
≤ µ(E ∩ Un ) + µ(Wn−1 \ (E ∩ Un−1 )) + n+1
2
µ(Wn ) < µ(E ∩ Un ) + µ(Wn−1 \ (E ∩ Un )) +
Umschreiben der obigen Ungleichung und ausnutzen der Eigenschaften eines Maßes
ε
liefert dann µ(Wn \ (E ∩ Un )) < µ(Wn−1 \ (E ∩ Un−1 )) + 2n+1
. Induktion nach n
zeigt nun aber:
µ(Wn \ (E ∩ Un )) <
ε
ε ε
+ + · · · + n+1 ,
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2
und somit
∀n ≥ 1
ε
∀n ≥ 1
(2)
2
S
Setze nun U := n∈N Wn . Dann haben wir eine offene Menge U ⊆ X, so dass
E ⊆ U gilt und da E aufsteigende Vereinigung von Mengen der Form E ∩ Un
ist und U aufsteigende Vereinigung von Mengen der Form Wn haben wir µ(E) =
limn→∞ µ(E ∩ Un ) und µ(U ) = limn→∞ Wn . Übergang zum Grenzwert in (2) zeigt
nun die gewünschte Abschätzung µ(U ) ≤ µ(E) + 2ε . Wir können somit das Maß von
E beliebig gut von oben durch das Maß offener Mengen approximieren und dies
zeigt gerade, dass µ von außen regulär ist.
µ(Wn ) < µ(E ∩ Un ) +
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