UNIVERSIT¨AT KONSTANZ Fachbereich Physik Prof. Dr. Georg

UNIVERSITÄT KONSTANZ
Fachbereich Physik
Prof. Dr. Georg Maret (Experimentalphysik)
Raum P 1009, Tel. (07531)88-4151
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Prof. Dr. Matthias Fuchs (Theoretische Physik)
Raum P 907, Tel. (07531)88-4678
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Übungen zur Physik III: Integrierter Kurs
Wintersemester 2004/2005
Übungsblatt 3, Ausgabe 09.11.2004, abzugeben bis 16.11.2004
Besprechung in den Übungen in der 5. Semesterwoche (17.-19. Nov.)
13. (Doppelbrechung; 6 Punkte)
a) Induzierte Doppelbrechung - Kerr-Effekt
Zwischen zwei gekreuzten und um 45◦ gegen die optische Achse verkippten
Polarisatoren ist eine Kerr-Zelle angebracht. Welche Spannung (senkrecht zur
Strahlrichtung) muss an die beiden Elektroden angelegt werden, um mit einem
Detektor hinter dem System maximale Intensität messen zu können, wenn das System
durchleuchtet wird und die Kerr-Zelle mit Nitrobenzol gefüllt ist?
Kerr-Zelle: Länge 5 cm, Höhe (= Abstand der Elektroden) 3 mm.
(2 Punkte)
Kerr-Koeffizient Nitrobenzol (bei 546 nm): 2, 44 · 10−12 Vm2
b) LCD-Display und optische Diode
Welche Anforderungen sind an Flüssigkristall-Displays zu stellen? Vergleichen Sie die
Resultate mit der Schaltspannung aus a). Was ändert sich, wenn hinter dem
Polarisationsfilter (an die Stelle des Detektors) ein Spiegel gebracht wird? Ersetzen
Sie die Kerr-Zelle durch eine magnetooptische Substanz (Faraday-Effekt) und
konstruieren Sie eine optische Diode.
(2 Punkte)
c) Optische Aktivität (zirkulare Doppelbrechung)
Die Kerr-Zelle aus a) wird nun mit Wasser gefüllt. Darin wird Traubenzucker
(D-Glucose) im Verhältnis 1:100 gelöst. Welche Intensität wird bei Durchleuchten des
Systems am Detektor gemessen?
D-Glucose in H2 0(1 : 100) : γ(20◦ C; 589nm) = 0, 525 Grad
. Mit diesem Verfahren kann
mm
der Dextrose-Gehalt z.B. in Wein bestimmt werden.
(2 Punkte)
14. (Linse mit Brechungsindexgradient; 8 Punkte)
Eine Scheibe der Dicke d (in z-Richtung = Hauptachse), die einen ortsabhängigen
Brechungsindex n(x, y) = n2 − α(x2 + y 2 ) besitzt (n2 , α = const.)., soll als Linse eingesetzt
werden.
Konstruieren Sie nach dem Fermat’schen Prinzip den Strahlengang, um zu zeigen, dass
1
ist.
diese Linse in paraxialer Näherung eine Sammellinse der Brennweite f = 2dα
15. (Fresnel’sche Formeln für senkrechte Polarisation; 9 Punkte)
Gesucht ist der Reflexions- und Transmissionskoeffizient für die Beugung an der
Grenzfläche zweier optischer Medien mit den Brechungsindizes n1 und n2 . Das elektrische
Feld sei senkrecht zur Einfallsebene polarisiert. Der Einfallswinkel (in Medium 1) sei α, der
Beugungswinkel (in Medium 2) sei β.
a) Die einfallende Welle ist gegeben durch


0
x
z
EI (r, t) =  EIy  ei[ωt−(k1 x+k1 z)]
0
Verwenden Sie für die reflektierte und die transmittierte Welle zunächst den
allgemeinen Ansatz
 x 
 x 
ET
ER
x
z
x
z
ER (r, t) =  ERy  ei[ωt−(k1 x−k1 z)] , ET (r, t) =  ETy  ei[ωt−(k2 x+k2 z)]
ETz
ERz
und zeigen Sie, dass ERx = ERz = ETx = ETz = 0 gilt. Verwenden Sie hierzu die
Stetigkeitsbedingungen für E an einer ungeladenen Grenzfläche und beachten Sie,
dass die Wellen außerdem die Maxwell-Gleichung div E = 0 erfüllen müssen.
Hinweis: Sie erhalten ein homogenes Gleichungssystem für ERx , ERz , ETx und ETz . Wie
lautet die Lösung dieses Gleichungssystems?
(2 Punkte)
b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Stetigkeitsbedingungen für B den Reflexionskoeffizienten
R = ER /EI und den Transmissionskoeffizienten T = ET /EI .
(3 Punkte)
c) Diskutieren Sie R in Abhängigkeit vom Einfallswinkel α für n2 > n1 .
(1 Punkt)
d) Diskutieren Sie R in Abhängigkeit vom Einfallswinkel α für n2 < n1 . Was passiert für
Einfallswinkel α > αG , wobei αG der Grenzwinkel der Totalreflexion ist? In diesem
Fall lässt sich der Reflexionskoeffizient in der Form R = e−2iψ schreiben (warum?).
Bestimmen Sie die Phase ψ. Wie lässt sich die Beziehung R = e−2iψ physikalisch
interpretieren im Hinblick auf die Felder EI und ER ? Macht die Bezeichnung
Totalreflexion“ Sinn?
(3 Punkte)
”
16. (Elektromagnetische Wellen in Ohm’schen Leitern; 10 Punkte)
Für einen elektrischen Leiter mit der Leitfähigkeit σ gelte das Ohm’sche Gesetz j = σE.
Außerdem gelten die konstituierenden Gleichungen D = 0 E und H = µ−1
0 B (µ = 1).
a) Zur Zeit t = 0 sei im Leiter eine Ladungsverteilung ρ0 (r) vorhanden. Bestimmen Sie
mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen die zeitliche Entwicklung von ρ(r, t). Was ist die
charakteristische Zeitskala τ , so dass für t τ die Näherung ρ = 0 gilt, und was folgt
im Grenzfall des idealen Leiters (σ → ∞)? Was gilt insbesondere im Fall ρ0 (r) = 0?
(1 Punkt)
b) Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen je eine geschlossene Gleichung für die Felder
E und B in einem ungeladenen Ohm’schen Metall ab. (Welche Gleichung erhalten Sie
im Grenzfall σ → 0?)
Hinweis: Verwenden Sie die Identität rot (rot A) = grad (div A) − ∆A.
(2 Punkte)
c) Verwenden Sie als Lösungsansatz ebene, monochromatische Wellen:
E(r, t) = E 0 ei(ωt−k·r) . Was folgt damit als Lösbarkeitsbedingung oder
Dispersionsrelation? Bestimmen Sie daraus den komplexen Brechungsindex
n0 = n(1 − iκ) mit n, κ ∈ R, der definiert ist durch k = (ω/c)n0 . Wie tief kann demnach
eine elektromagnetische Welle in einen guten Ohm’schen Leiter eindringen?(3 Punkte)
d) Betrachten Sie den Fall, dass eine ebene, monochromatische Welle aus dem Vakuum
senkrecht auf die Leiteroberfläche trifft. In der Vorlesung wurde für die zeitlich
gemittelte Energiestromdichte einer monochromatischen Welle im Vakuum die
Beziehung hSi = (0 c2 /2) Re{E ∗ × B} hergeleitet. Bestimmen Sie damit den
Reflexionskoeffizienten r = −hSR i/hSI i (wobei S = S · ez ).
Hinweis: Verwenden Sie die Stetigkeitsbedingungen für E und B an Grenzflächen
ohne Oberflächenladungen und -ströme.
(2 Punkte)
e) Gehen Sie nun über zum idealen Metall, das durch σ → ∞ charakterisiert ist. Was
folgt für den Reflexionskoeffizienten? Was lässt sich über die Felder E und B direkt
an der Metalloberfläche aussagen? Was folgt aus dem Verhalten von B für die
Stromdichte?
(2 Punkte)