3. ¨Ubungszettel: Felsner, Kleist Vorlesung über

3. Übungszettel:
Vorlesung über Graphentheorie
Felsner, Kleist
30.10.13
Besprechungsdatum: 05.11.13
http://page.math.tu-berlin.de/~felsner/Lehre/dsII13.html
(1)
Vervollständige den Beweis aus der Vorlesung zur Bridg-it-Gewinnstrategie. Zeige, dass es in
einem ((n + 1) × n)-Gitter wobei die oberste und unterste Zeile zu einem Knoten kontrahiert
wurde, zwei aufspannende Bäume gibt, die nur eine gemeinsame Kante haben.
Dies ist ein (6 × 5)-Gitter mit kontrahierter oberster und unterster Zeile.
(2)
Sei T (n) die Anzahl der aufspannenden Bäume des abgebildeten Graphen mit 2n Knoten.
Beweise T (n) = 4 · T (n − 1) − T (n − 2) für alle n ≥ 2.
(3)
(a)
Wie viele aufspannende Bäume hat K2,l ? Wie viele Klassen isomorpher aufspannender
Bäume?
(b)
Wie viele aufspannende Bäume und Klassen isomorpher aufspannender Bäume hat
K3,l ?
(c)
Sei m ≤ n. Was gilt für die Anzahl aufspannender Bäume des Km,n ? Wie viele Klassen
isomorpher aufspannender Bäume gibt es?
(4)
Seien d1 , ..., dn natürliche Zahlen deren Summe 2n − 2. In Aufgabe (2b) auf P
Blatt 2 haben
wir gezeigt, dass (d1 , ..., dn ) genau dann die Gradfolge eines Baumes ist, wenn
di = 2n − 2.
(n−2)!
Zeige, dass es Π(d
verschiedene
Bäume
auf
der
Knotenmenge
[n]
gibt,
sodass
Knoten i
i −1)!
Grad di hat (hier ist nicht nach der Anzahl von Isomorphieklassen gefragt).
(5)
Sei T ein Baum mit n ≥ 3 und xi = |{v|d(v) = i}|.
Pn−1
(a) Zeige, dass i=3 (i − 2)xi = x1 − 2
(b)
Wie viele verschiede (nicht isomorphe) Bäume mit 5 Blättern und ohne Knoten vom
Grad 2 gibt es?
(Prä) Bereite eine 5-minütige Präsentation zu einem der folgenden Themen vor.
(a)
Bestimmung von Minimal aufspannenden Bäumen (MST): rot/grüne Färbungsregel,
Prim, Kruskal, Matroide (die Färbungsregeln sind zu finden in http://page.math.tuberlin.de/ moehring/adm1/adm1.pdf ab S. 62)
(b)
Was sind generisch starre Graphen? Gib 4 verschiedene Charakterisierungen an (z.B.
zu finden in S. Felsner: Geometric Graphs and Arrangements).