Wissenskarte Algebra Wissenskarte Algebra

Basis
ammerterme (a + b)2, (a – b)2 und
(a – b) tauchen in der Algebra sehr oft auf.
tt jedes Mal auszumultiplizieren, merkt
ich die Ergebnisse der Multiplikation als
1
mal
n

an = a ◊  ◊ a
Die positive Lösung der Gleichung wird
„Quadratwurzel aus 2“ genannt.
Für jedes a ≥ 0 ist die n te Wurzel aus a
diejenige nichtnegative Zahl, die zur
n ten Potenz genommen, a ergibt:
Wissenskarte Algebra –Potenzgesetze
Die Landkarte zur Schulalgebra
für Schüler der gymnasialen Oberstufe und Studierende im Anfangssemester
( )
3
Taschenrechner
3, 8 ◊10 4 = 3, 8 EXP 4
Wurzelgleichungen
Abnahme auf
das 0,90-fache
Preisnachlass  10 %
Preisnachlass = 0,10 · Preis
y
f (x) =
( x + 2) ( x - 2)
… sind Gleichungen mit (mindestens) einer Unbekannten unter der Wurzel.
x -1
Durch Quadrieren werden Wurzelgleichungen nicht äquivalent in lineare, quadratische oder
höhere Gleichungen umgeformt. Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist,
muss jede Lösung auf ihre Gültigkeit geprüft werden (Probe!).
Die Definitionsmenge D einer Gleichung umfasst alle
y
oder
Polynome
vom
Grad n (nwerden
Œ) sind
vom Typ
x-Werte,…
die
in die
Gleichung
eingesetzt
dürfen.
Beispiel: 2 - x - x = 0
n-1
Bei Bruchgleichungen
f ( x ) = an x n + anmüssen
+ alle
+ ax-Werte
x
-1 x
1 x + a0
Maximale Definitionsmenge:
D={x|2–x ≥ 0}={x|x £ 2}
ausgeschlossen werden, für die der Nenner Null wird.
f ( x) = x3 + 2x2 - 4 x - 8
Die Wurzel auf eine Seite bringen und quadrieren:
Für das Kürzen von Bruchtermen gilt die bekannte Regel:
2 - x = x ()2
2
2
2- x = x fi x + x -2=0
Aus Differenzen und
Summen
nur die …vom
. Typ f ( x ) = x z mit veränderlicher BasisLösen
z Œ.
… kürzen
sind Funktionen
x undder
Gleichung (x1 = 1, x 2 = -2 ) und Probe: fi L = { 1}
sind allgemeine Parabeln für positive und Hyperbeln für negative C
x Ihre Graphen
1
x1 = 1
x 2 = -2
2- x = x
2- x = x
π 3+5
Exponenten. Potenzfunktionen mit gebrochenen Exponenten
sind
3 x + 5ganze
2 = -2
1= 1 ✓
Wurzelfunktionen: f ( x ) = + x ist für x ≥ 0 die Umkehrfunktion von f ( x ) = x 2 .
Potenzfunktionen
Gleichungen höherer Ordnung
y
n-1
1
Ungerader Exponent
y = x3
y
0
Gebrochenrationale
y
Parabel
Positiver Exponent
n-1
Negativer Exponent
4
=2
4
x
vo
n
a>0
a<0
ng
Nullstellen
a<0
a>0
a>0
oben offen unten offen
n d u ng
we
An
a<0
a>0
Lö
su
Zerlegungssatz
Scheitelform
Zerlegungssatz
Wissenschaftdesign®Verlag
Christian Kornherr
Vollständige und schülergerecht
formulierte Lösungen
Basiswissen Gymnasium
Die gesamte Schulalgebra auf einer Karte!
Über 200 gelöste Aufgaben auf der Rückseite!
Die großformatige Wissenskarte richtet sich an Schüler der gymnasialen Oberstufe
und an Studierende mit Mathematik im Nebenfach. Das Wissensnetz auf der Karte
beschreibt schülernah die Grundvoraussetzungen für die Mathematik in der
Oberstufe und im Studium: Terme, Gleichungen und Funktionen.
Teilgebiete (z. B. quadratische Gleichungen und Funktionen) sind durch Pfeile und
Querverweise miteinander vernetzt und können nach den Regeln der Lernpsychologie im Zusammenhang gelernt werden. Die praktische Landkartenfalz
dient zum Ein- und Ausblenden einzelner Themen.
Über 200 Aufgaben auf der Rückseite mit ausführlichen Lösungen bieten die
optimale Basis zum Einüben, Wiederholen und Festigen der Theorie.
Besonderer Wert wurde bei der Auswahl der Aufgaben auf die Vernetzung
unterschiedlicher Gebiete und auf Prüfungsrelevanz gelegt.
Hyperbel
a<0
Parabel
oben offen unten offen
n d u ng
we
An
2
Algebra
Typische Fehlerquellen im
Überblick
Allgemeine Form der quadratischen Funktion
unten offen
Dr. Helmut Pruscha,
Professor für Mathematik an der
Ludwig-Maximilians-Universität
München
Verschiebungen/Streckungen der Normalparabel
oben offen
„Wie eine Kompasskarte führt die
Wissenskarte Algebra durch die
Umkehrfunktionen
Landschaft der Schulmathematik,
lässt mit einem Blick Benachbartes und
VorzeichenEntferntes
von Winkeln erkennen. …“
unten offen
Direkte Proportionalität
oben offen
Funktion
Nullstellen
„Wurzel ziehen“
Positiver Exponent
Potenzfunktionen
Verwandte Themenbereiche sind
Ungleichungendurch ihre räumliche Nähe auf der
Allgemeine Form der quadratischen Funktion
Verschiebungen/Streckungen der Normalparabel
Direkte Proportionalität
Karte, durch Pfeile und Querverweise
„Substitution“
„Faktorisieren“
miteinander vernetzt:
Gleichungssyteme
Quadratische Funktionen und
quadratische Gleichungen, sowie
exponentielles Wachstum, Exponentialgleichungen und Logarithmuse Funktionen und Proportionalitäten
Quadratische Funktionen
gesetze werden nicht für sich alleine,
Scheitelform
sondern im Zusammenhang gelernt.
Negativer Exponent
Quadratische Funktionen
Ganzrationale Funktionen
Hyperbel
Negativer Exponent
Lö
su
ng
vo
n
x
„Raten, Polynomdivision, Faktorisieren“
methode
onalitäten
=2
2
x
… Funktionen sind vom Typ (n, m Œ)
Bei reinen Potenzgleichungen,
Eine Gleichung vom Grad n hat höchstens n Lösungen!
Biquadratische Gleichungen werden mit
1
x n = d , wird die n-te Wurzel gezogen.
2
gelöst.
Reinquadratische Gleichung x 2 = d x 2 einer
Gemischtquadratische
Gleichung
= d Substitution (Ersetzung)
a x n + a x n-1 +  + a1x + a0
( x + 2)2 ( x - 2)
f ( x ) = n m n-1 m-1
f (x) =
2
x
und mit der „p-q-Formel“ gelöst:
x4 + x2 - 2 = 0
Substitution:
x -1
bm x + am-1x +  + b1x + b0
ax 2 + bx + c = 0x = u z. B. a = 2, b = 3, c = 4
?
1
x 2 = -7
x2 = 3
x
u2 + u - 2 = 0
n ungerade n gerade x n = d
D=
4
4
Alternative 1
p
p
fi
L
=
{
}
2
2
2
5
4
3
2
Rücksubstitution
fi u1 = 1, u2 = -2
Fehlt in der Gleichung das
x - 2x - x + 2x = 0
x1,2 = - ± x1(,2 =)± -3q
x3 = 2
x4 = 2
2
Die Lösungen werden mit der „allgemeinen
d > 0 konstante Glied, wird x aus- x 2 ◊ ( x 3 - 2yx 2 - x + 2) = 0 fi x = 0 1 y
L =2{- 3 ; + 3 }
L = { 3 2}
L = {± 4 2 }
y
y 1=,2 x -1 =
geklammert! Die Ordnung
y = x -2 = 12
quadratischen
… oder Polynome vom Grad n (n Œ) sind vom Typ
x2 = 1
x 2 = -2 Lösungsformel“ bestimmt:
x
x
der Gleichung reduziert sich.
Die Diskriminante D = ( 2p )2 - q entscheidet
x 3 = -2
fi x1 = 1, x 2 = -1
x 4 = -2
fi keine Lösung
Falls d < 0,
Falls d > 0,
f ( x ) = an x n + an-1x n-1 +  + a1x + a0
x
d<0
wie oben über die
der Lösungen.
-b ± b2 - 4 ac L = {- 3 2 }
! Anzahl
! keine reelle
Liegt kein spezieller Gleichungstyp vor, muss die erste Lösung „erraten“
L = {}
± nicht vergessen!
fi LLösung!
= {-1; 1}
1
x1,2 =
f ( x) = x3 + 2x2 - 4 x - 8
werden. (Tipp: Setzen Sie systematisch1±1, ± 2, in die Gleichung ein!)
2a
x
1
Unerfüllbare Gleichung
2 x = -14
x
Die Diskriminante D = b2 - 4 ac entscheidet
x 2 = -7
x2 = 3
13 - 2 ◊-1
12 - 1+1
2 = 0 fi x3 = 1
Die Gleichungen 4 x + 8 = 4 x + 7; 4 x + 1 = 4 x ; 1 = 0 ;
über
die
Anzahl
der
Lösungen.
ll
der :
Fa
2 ◊ x = -14 : 2
sind unerfüllbar:
einerDie Diskriminante gibt Aufschluss darüber, wie viele Nullstellen eine quadratische Funktion hat.
D =  \ {0} … sind Funktionen vom Typ f ( x ) = x z mit veränderlicher Basis x und z Œ.
Allgem
Polynomdivision
Einsetzen beliebiger Zahlen der Grundmenge G = 
( x 3 - 2 x 2 - x + 2) : ( x - 1) = x 2 - x - 2
D > 0 Zwei reelle Lösungen
x = -7
L = {-7}
=0
Mit welchen Methoden
2
Ihre Graphen sind allgemeine Parabeln für positive und Hyperbeln für negative C
3x + 4
(→Rückseite 7.3)
führt stets auf eine falsche Aussage.
2x +
Achsensymmetrie zur y-Achse
Punktsymmetrie bzgl. O
D = 0 Eine reelle Lösung
kann ich quadratische
ganze Exponenten. Potenzfunktionen mit gebrochenen Exponenten sind
Lösungsmenge L = { }.
äßige Wachstumsvorgänge werden durch lineare Funktionen
… tauchen beispielsweise in der Physik als
Wurfparabellösen?
(Flugbahn eines Balls) und bei Wachstumsvorgängen
auf:Lösung
Die Fläche eines Ölteppichs oder einesQuadratische
Gleichungen
D < 0 Keine reelle
x 2 - x - 2 = 0 fi x 4 = 2, x 5 = -1
Wurzelfunktionen: f ( x ) = + x ist für x ≥ 0 die Umkehrfunktion von f ( x ) = x 2 .
Waldbrands wächst mit der Zeit quadratisch an. Die Skizze der Funktionsgraphen ist zum Lösen quadratischer Ungleichungen nützlich!
Lösungsformel
Gerader Exponent
Ungerader Exponent
Alternative 2
5
4
3
2
2
Faktorzerlegung
x - 2 x - x + 2 x = x ( x - 1)( x - 2)( x + 1)
2
( x - 3)( x + 1) = 0
! –2x > 12 | : (–2)
uso gelöst wie lineare Gleichungen bis auf
x + 3x = 0
Die quadratische Gleichung wird auf
y
y
y = x4
y = x3
Bei Multiplikation oder Division mit negativen
x < –6
Normalform x 2 + px + q = 0 gebracht,
= u
±n
Zwei
Größen x und y heißen
zueinander
Die Nullstellen einer
2
das Ungleichheitszeichen
um!
2
2
L = ] – •; –6 [ Normalparabel y (…)(…)
=x
2 x + 3 xf+:4y= =
0 ax
: 2 + bx + c
D>0
D=0
D<0
direkt proportional (x ~ y), wenn sie stets
quadratischen Funktion
„Je mehr,
2
Zentrische Streckung
Bei reinen Potenzgleichungen,
Die Funktion y = x 2
Biquadratische Gleichungen werden mit
den gleichen Quotienten haben.
1
f ( x ) = ax 2 + bx + c
x2 + 3 x + 2 = 0
desto mehr“
2
y
y
y
( x - x1 )( x - x 2 ) = 0
x n = d , wird die n-te Wurzel gezogen.
2
y = ax
a x 2+, bx
a π=00
einer Substitution (Ersetzung) gelöst.
lässt sich allgemeiner
Die Diskriminante D der quadratischen
I) 2 x - y = 1
ergeben sich durch Lösen
x
Beispiel: Auslenkung und Federkraft
y
y
den Potenzfunkund mit der „p-q-Formel“
gelöst:
x4 + x2 - 2 = 0
Substitution: x 2 = u
y = mII)◊ x
Stauchung
1
x 2 + 3 x = 0 Streckung
Die Lösungen
Gleichung ax 2 + bx + c = 0 und der
g können
4 x + 3 y = 2 tionen →C6
der entsprechenden
x
x
x
mehrere
lineare
Gleichungen
u2 + u - 2 = 0 x
n ungerade n gerade x n = d
direkt abgelesen werden:
Streckungsfaktor a geben Aufschluss
D=
yx wird ausgeklammert:
y
Auslenkung
x in
cm
1 (mit
2 zwei 3oder mehreren
quadratischen Gleichung →C4:
60
4
p den pFunktionsverlauf.
zuordnen.
-4 2
2
y,… bzw. x1, x2, x3,…) gleichzeitig erfüllt werden, spricht man
Rücksubstitution
fi u1 = 1, u2 = -2
I) 2 x - y = 1
x1,2 = -über
± ( )2 - q
( x - 3)( x + 1) = 0
x y◊ (=x1+x 23) = 0
x3 = 2
x4 = 2
40
y = 2x2
y
y
y
2
2
y
en Gleichungssystem.
2
2
d>0 x x
y
fi y = 2 x - 1 (I‘)
3
4+ c = 0
ax
+
bx
1
x
3
=
0
⁄
x
+
1
=
0
-1
fi
f
hat
zwei
Nullstellen
x
=
0
⁄
x
+
3
=
0
1
D
>
0
L
=
{
2
}
2
1
L
=
{
±
2
}
-2
Kraft y in N
23
46
69
20
y=x =
y=x = 2
x2 = 1
x 2 = -x2
x
in II) 4 x + 3(2 x - 1) = 2
x
x
x
x
e aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten werden
p 2
x
fi
x
=
3
,
x
=
1
fi
x
=
0
,
x
=
3
3
1
2
1
2
Die Diskriminante
( 2 ) -unten
q entscheidet
a < 0 fiDf =nach
offen
x
x = -2
fi x1 = 1, x 2 = -1
x 4 = -2
fi keine Lösung
Einsetzen gelöst. Ein lineares Gleichungssystem kann genau
fi x = 0, 5
d<0
1 2 3
fi L = {-1; 3}
wie oben über die Anzahl der Lösungen.
yfi L = { -3; 0} y
D
L = {}
L = {- 3 2 }
fi L = {-1; 1}
x
y0 ) , yunendlich
oder gar keine Lösung haben.
1
= 2 ◊ 0, 5 - 1= 0
y = -2 x 2
in I‘) fi y Verschiebung
= 23 = 46viele
= 69Lösungen
= m = konstant
y = - 21 x 2
Quadratische Ergänzung
x 1
2
3
1
x
x
x
in y-Richtung
y = - 21 x 2 - x + 21
1
Quad
ratisc
x
he Erg
-1
1
y = x 2 + y0
änzung
y = - 21 ( x 2 + 2 x - 1)
liefert
die Sch
Verschiebung
eit
y = - 21 ( x 2 + 2 x + 12 - 12 - 1)
Indirekte Proportionalität
D =  \ {0}
Die elf
Diskriminante
gibt Aufschluss darüber, wie viele Nullstellen eine quadratische Funktion hat.
orm.
in x-Richtung
|a| < 1
|a| > 1
Sind
x
und
x
Nullstellen
von
f,
2
2
2
1
1
1
1
1
2
y
y = - 2 [( x + 1) - 2] = - 2 ( x + 1) - 2 ◊ ( -2) = - 2 ( x + 1) + 1
y = ( x - x 0 )2
gilt die Zerlegung:
Achsensymmetrie zur y-Achse
Punktsymmetrie bzgl. O
Zwei Größen x und y heißen zueinander
~ 1 / y), wenn sie
ax 2 + bx +oder
c = aeines
( x - x1 )( x - x 2 )
nindirekt
sind dieproportional
einfachsten (x
Funktionstypen
– ihre Graphen sind Geraden. Gleichmäßige Wachstumsvorgänge werden durch
lineare Funktionen
y
… tauchen beispielsweise in der Physik als Wurfparabel (Flugbahn eines Balls) und bei Wachstumsvorgängen auf: Die Fläche eines Ölteppichs
„Je mehr,
Ausmultiplizieren
Produkt haben:
mstets
Auffdas
üllengleiche
einer Regentonne
steigt der Wasserspiegel linear an.
Waldbrands wächst mit der Zeit quadratisch an. Die Skizze der Funktionsgraphen ist zum Lösen quadratischer
Ungleichungen nützlich!
desto weniger“
Beispiel:
Verschiebungen und Streckungen der
2
Beispiel: Volumen und Druck eines Balls
Normalparabel führen auf die Scheitelform.
hat
die
f ( x ) = 2 x - 4 x - 30
der Scheitelform lässt
y
f : y = - 1 ( x + 1)2 + 1
x
!
f : y = a ( x - x 0 )2 + y 0 In
2
Nullstellen x1 = -3 und x 2 = 5.
f : y = - 2 x +y2= k ◊ 1
sich der Scheitel S(x0 ; y0)
3
Volumen x in dm3
5
10
15 y
x
Zur Funktion f
3
x
fi 2 x 2 - 4 x - 30 = 2( x + 3)( x - 5)
einer Parabel direkt
Zwei Größen x und y heißen zueinander
Die Nullstellen einer
2
Verschiebung nach
2
gehört
die
3 nach
Normalparabel
2
D>0
D=0
D<0
ablesen.
g : y = 3y( x=- 2x)2 - 1 fi S(2; –1)
-2, t =2 3
direkt proportional
(x ~ y), wenn sie stets
quadratischen Funktion
Scheitel: y f : y = ax + bx + c
Druck ymin=Bar
1,5
1
„Je mehr,!
rechts
3
ScheitelZentrische Streckung
Das Vorzeichen der
y =Quotienten
x2 +1
Verschiebung nach
Die Funktion y = x 2
denoben:
gleichen
haben.
2
1
S(–1;
1)
f ( x ) = ax 2 + bx + c
desto
mehr“
y
y
y
h
:
y
=
(
x
+
2
)
! Nullstellen ist entgegenfi
S(–2;
0)
Zur Verschiebung nach rechts,
koordinate
2 nach
y = a x2 , a π 0
lässt sich allgemeiner
linearen Funktion ist eine
2
unten: y = x 2 - 1
x
y
=
(
x
1
)
rechts:
Die
Diskriminante
D
der
quadratischen
also
in
positive
x-Richtung,
2
x
=
–1.
ergeben sich durch Lösen
y ◊ x = 3 ◊ 5 = 1, 5 ◊10 = 1◊15 = k = konstant
0
gesetzt zum Vorzeichen im
unten
Beispiel: Auslenkung und Federkraft
y
fi S(0; –2)
den Potenzfunk- i : y = x y- 2
x
5 10 15
y=m
Stauchung
Streckung
Gleichung ax 2 + bx + c = 0 und der Funktionsterm.
y ◊=x( x - 1)2 .
gehört
links:
y = ( x + 1)2
der
entsprechenden
x
x
x
x
tionen →C6
Streckungsfaktor a geben Aufschluss
y
y
Auslenkung x in cm
1
2
3
quadratischen Gleichung →C4:
60
or
zuordnen.
über den Funktionsverlauf.
y
40
y = 2x2
y = 21 x 2
y
y
y
r m heißt Steigungsfaktor der
m<0
g: y = x
x1 x2
ax 2 + bx + c = 0
D > 0 fi f hat zwei Nullstellen
ion.
Kraft y in N
23
46
69
20
x
x
x
x
x
a < 0 fi f nach unten offen
nde Gerade
x
1 2 3
y
echte Gerade
x
y
D
y 23 46 69
x
y = -2 x 2
=
=
=
= m = konstant
y = - 21 x 2
Quadratische Ergänzung
de Gerade
Verschiebung
0 Lösung von Gleichungen
xVerkettung
1
2 von
3 Funktionen
Umkehrbarkeit
Mehrdeutigkeiten
Graphische Lösung
Rechnerische Lösung
Kosinusfunktion am Einheitskreis ist m
für>die
2
1
1
x
x
in y-Richtung
y =-2 x - x+ 2
Quad
ie Tangensfunktion finden Sie in →Wissenskarte
Trigonometrie.
ratisc
Ursprungsgeraden:
y= mx
he Erg wird die FunktionsgleiZunächst
Wird die Funktion f mit g verkettet, entsteht eine
Werden zwei verschiedene x-Werte auf denselDen Graphen der Umkehrfunktion
nitt
Eine Funktion f ist umkehrbar,
y = x 2 + y0
änzung
y = - 21 ( x 2 + 2 x - 1erhält
)
liefert
y
chung
y
=
f
(
x)
nach
x
aufgelöst,
neue
Funktion
„f
nach
g“,
in
Zeichen:
.
ben
y-Wert
abgebildet,
ist
f
ohne
Einschränkung
man
durch
Spiegelung
an
der
Winkelf

g
wenn
zwei
verschiedene
x-Werte
stets
auf
die Sch
Verschiebung
Funktion y = mx + t
eitelform
y = - 21 ( x 2 + 2 x + 12 - 12 - 1)
Indirekte Proportionalität
t>0
dann werden x und y vertauscht.
des
Definitionsbereichs nicht|a|umkehrbar.
zwei verschiedene y-Werte
in
x-Richtung
.
-Achse im Punkt (0 | t ).
<1
|a| > 1 halbierenden des I. und1III. Quadranten.
Sind x1 und x2 Nullstellen von f,
Es gilt: f  g ( x ) = f ( g( x ))
y
y = - 2 [( x + 1)2 - 2] = - 21 ( x + 1)2 - 21 ◊ ( -2) = - 21 ( x + 1)2 + 1
abgebildet werden.
h: y =1
t wird y-Achsenabschnitt
y = ( x -eine
x 0 )2geeignete Einschränkung des
Auflösen nach x
gilt die Zerlegung:
Durch
ausgewertet
der Stelle
g(x)“
Zwei„fGrößen
x und yan
heißen
zueinander
x
äußere Funktion
f1( x ) = x 2
f2 ( x ) = x 2
Gegen den Uhrzeigersinn
Definitionsbereichs
(z. B. auf  +0 ) lässt sich f
y = x2 fi x = ± y
Die Zuordnung y Æ x ist damit eindeutig
indirekt proportional (x ~ 1 / y), wenn sie
ax 2 + bx + c = a( x - x1 )( x - x 2 )
y
p
(mehr,
)
f„Je
t <durchlaufene
0
Winkel werden
umkehren.
( x ≥ 0)
r x-Achse durch den Punkt
Ausmultiplizieren
und heißt Umkehrfunktion f -1 zu f.
( x < 0) y
+
stets das
g( xgleiche
)
f (Produkt
)
fhaben:
3
(g( x ))
Df = 0
x=+ y
desto weniger“
x h: y = 1 beschrieben.
positiv gezählt.
1
Beispiel:
◊ch
Parallelen zur x-Achse: y = t
Verschiebungen und Streckungen der
–
p
60°
x +Volumen
2
x=- y
Df = 
und Druck
x + eines
2
Beispiel:
Balls
Normalparabel führen auf die Scheitelform.
f ( x ) = 2 x 2 - 4 x - 30 hat die
innere Funktion
2 lässt
Im Uhrzeigersinn
der Scheitelform
y
f : y = - 1 ( x + 1)2 + 1
–60°
x
!
f : y = a ( x - -x1 0 )2 + y 0 In
y
2
Nullstellen x1 = -3 und x 2 = 5.
g( x )
durchlaufene
Winkel werden
2x x in dm
Vertauschen
sich
der Scheitelvon
S(xx0 ;und
y0) y
sin(3) sin(
y =k◊ 1
y = f ( x) = 2x +1
f1 ( x ) = + x
Volumen
5 2x )10
15
2
x
Zur Funktion f
Achse
3
x
fi 2 x 2 - 4 x - 30 = 2( x + 3)( x - 5)
negativ gezählt.
einer Parabel direkt
Df
Wf nach
-p
!
x2
e
ex
Verschiebung
gehört die
x=1
Wf –1 = +0
2
ablesen.
-Achse stellen keinen
y=+ x
f ( x) = x2
g : y = 3( x - 2)2 - 1 fi S(2; –1)
3
Scheitel: y
4 !
2
–2
Druck y in Bar
3
1,5
1
1 2
1
3y = x 2 + 1
5
ScheitelKeine
Funktion
Das Vorzeichen der
x
oben:
Verschiebung nach
usammenhang dar.
y=- x
x fi S(–2; 0)
1
S(–1; 1)
h : y = ( x + 2)42
! Nullstellen ist entgegenWf –1 = –
Zur Verschiebung nach rechts,
koordinate
r y-Achse durch den Punkt
2
unten: y = x 2 - 1
y
x
x - 1)2
rechts: y = (?
also in positive x-Richtung,
x0 = –1.
D=
y„f◊ xnach
= 3 ◊ 5g“,
= 1in
, 5 ◊Zeichen:
10 = 1◊15 f=kg= konstant
gesetzt zum Vorzeichen im
i : y = x2 - 2
fi S(0; –2)
ch die Gleichung x = 1 Periode 360°Parallele
E
x
x = f -1( y )
5 10 15
2
2
bzw. 2pzur y-Achse
y = ( x - 1) .
gehört
links:
yMehrdeutigkeiten
= ( x + 1)
Funktionsterm.
entstehen
f
g
f2-1( x ) = - x
-2
f
1
x
beim Umkehren nicht monotoner
x
x+2
x +2
Die verkettete Funktion „f -1 nach f “
4
2
Funktionen!
f1-1
Durch Einschränken des Definitionsbereichs erhält
bildet alle x ŒDf auf sich selbst ab:
III
IV
man die monotonen Teilfunktionen f1 und f2:
Erst + 2
Dann
f -1  f ( x ) = f -1 (f ( x )) = x
x2 + 3 x + 2 = 0
Wissenskarte Algebra · Basiswissen Gymnasium
n
Basiswissen Gymnasium
n
Wissenskarte Algebra · Basiswissen Gymnasium
n
!
Durch das Quadrieren
der Gleichung können
zusätzliche Lösungen
auftreten.
Die Probe am Ende entfernt diese scheinbaren
Lösungen.
Wissenskarte
Algebra
Gerader Exponent
y = x4
Gleichungen vom Typ a x + a x +  + a x + a = 0 mit n > 2 nennt man
±
„Substitution“
„Wurzel ziehen“
Gleichungen höherer Ordnung (ausführlich: algebraische Gleichungen vom Grad n).
x =…
„Lösungsformel“
„… Auch aus Sicht der Hochschule für
angehende Studenten unbedingt zu empfehlen.“
he
isc
om als es enBin nn alt ein nt
ka
r Ka r- en
e 1. el
Di rm eninhs de ve rd
Fo ch rat + b) t we
Flä ad (a ch
Qu ge uli
län scha ppelt Prod
e
an
do ht ic
Die gesamte Schulalgebra auf einer
Landkarte! Über 200 gelöste Aufgaben auf
der Rückseite!
Die großformatige Wissenskarte richtet sich
an Schüler der gymnasialen Oberstufe und an
Studierende mit Mathematik im Nebenfach.
Das Wissensnetz auf der Karte beschreibt
schülernah die Grundvoraussetzungen für die
Mathematik in der Oberstufe und im Studium:
Terme, Gleichungen und Funktionen.
B
x
2
Ganzrationale Funktionen
1,2
Basiswissen Gymnasium
Reduzierter Preis  90 %
Reduzierter Preis = 0,90 · Preis
2
x 5 - 2 x 4 - x 3 + 2 x 2 = x 2 ( x - 1)( x - 2)( x + 1)
!
Abnahme um 10 %
von 100 % auf 90 %
Preis  100 %
2
b
ab
ab
Wissenschaftdesign®Verlag
Christian Kornherr
www.wissenschaftdesign.de
ab
= u
!
ab
2
a
1 = 1 ◊ 2= 2
2
2
2 2
Geschickt erweitern
Preis
b
auflösen
Plusklammern
b
b
Faktorzerlegung
„Wurzel ziehen“
3 y 2 = (3 y )2 ◊ 2 = 18 y 2
ISBN: 978-3-940838-00-1
84 cm × 60 cm. Beidseitig vierfarbig.
Kartonierter Umschlag. Folienkaschierung.
€ 14,90.
FlächeninhaltRechtecke.
den grauen
ern
von innen
Vereinfachung
und Plusklamm
weiteren
a
2
Quadratische Gleichungen
Falls y ≥ 0 ist, gilt:
! Netto Zunahme um 19 % Netto MwSt.
von 100 % auf 119 %
Durch das Quadrieren
der Gleichung können
Nettopreis
(ohne
Bruttopreis (incl.
zusätzliche
Lösungen
Mehrwertsteuer)
Mehrwertsteuer)
auftreten.
DieNetto
Probeam
100Ende
% entBrutto  119 %
fernt diese scheinbaren
Brutto = 1,19 · Netto
Lösungen.
Mehrwertsteuer
!
Zunahme auf
MwSt  19 %
das 1,19-fache
MwSt = 0,19 · Netto
… Funktionen sind vom Typ (n, m Œ)
„Raten, Polynomdivision, Faktorisieren“
… sind Gleichungen mit (mindestens) einer Unbekannten im Nenner.
Sie werden durch Multiplikation mit dem Nenner oder Hauptnenner in
lineare, quadratische oder höhere
Gleichungen umgeformt.
Fehlt in der Gleichung das
x5 - 2x4 - x3 + 2x2 = 0
konstante Glied, wird
2 =x aus3
x 2 ◊ ( x 3 - 2 x 2 - x + 2) = 0 fi x1,2 = 0
Beispiel:
geklammert!
DiexOrdnung
-1 x +1
der Gleichung reduziert sich.
Maximale Definitionsmenge: D =  \ {1; –1}
Liegt kein spezieller Gleichungstyp vor, muss die erste Lösung „erraten“
Die Bruchgleichung
wird mit dem
werden. (Tipp:
Setzen Sie systematisch
±1, ±Hauptnenner
2, in die Gleichung ein!)
(oder „über Kreuz“) multipliziert.
2 = 3
◊( x - 1)(1x3 +-12) ◊12 - 1+ 2 = 0 fi x 3 = 1
x -1 x +1
2 ◊ ( x - 1) ( x + 1) 3 ◊ ( x -3 1) ( x 2+ 1)
Polynomdivision
= ( x - 2 x - x + 2) : ( x - 1) = x 2 - x - 2
x +1
(→Rückseite 7.3)x - 1
Die quotientenfreie Gleichung 2( x + 1) = 3( x - 1) wird gelöst.
Quadratische
x 2 - x - 2 = 0 fi x 4 = 2, x 5 = -1
Lösungsformel
in den
Formeln
die Binomischen
treten
auf:
Häufig
Formen
1
2
folgenden
2
+ 4x +
2x +1
2
2
1 = 4x
=x +
2
( x + 1)
◊ 2 x ◊1+
1.
x) + 2
)2 = (2
b gleich
(2 x + 1
2x und2 4x2 und
a gleich
(2x) =
Hier ist a2 gleich = 4x .
ist
1
9
2 · 2x ·
Damit
2
12 x +
gleich
2
4x 2ab ist
+3 =
2
◊2x ◊3
x) - 2
2
)2 = (2
-9
2
= 4x
(2 x - 3
2
x) - 3
3) = ( 2
)(2 x +
(2 x - 3
b)
2
b
a
a
?
bd
beidseitig
Binomische
Die 1. kann als
eines
Formel
Flächeninhalt
der KantenQuadrats+ b) ver(a
werden.
länge
anschaulicht
Das doppeltProdukt
dem
gemischte
2 a b entsprichtder bei-
Nenner rational machen
6 2 = 36 ◊ 2 = 72
Gebrochenrationale
Wurzelgleichungen
a x n + a x n-1 +  + a1x + a0
f ( x ) = n m n-1 m-1
bm x + am-1x +  + b1x + b0
ad
ab
2
ab
b ab
die zur
Klammern,werden:
e enthalten ( ntfernt)
Prozentrechnen
Bruchgleichungen
d
Minus-
… sind Gleichungen mit (mindestens) einer Unbekannten unter der Wurzel.
a |aŒ
Durch Quadrieren werden
Wurzelgleichungen
äquivalent
quadratische oder
 ; b Œ ; bin
π 0lineare,
}
Rationale
Zahlen:  = {nicht
! höhere Gleichungen umgeformt.
Da Quadrierenb keine Äquivalenzumformung ist,
JedeGültigkeit
rationale geprüft
Zahl lässt
sich als(Probe!).
endlicher oder
Dermuss
Nenner
istLösung
stets auf ihre
jede
werden
Rabatte, Steuern, Benzinpreiserhöhungen – im Alltag wird mit Prozenten gerechnet.
periodischer Dezimalbruch darstellen.
ungleich Null!
Prozentualer Zuschlag – z. B. Mehrwertsteuer
Prozentualer Abschlag – z. B. Rabatt
Beispiel: 2 - x - x = 0
Die Wurzel auf eine Seite bringen und quadrieren:
Gleichnamige
Brüchevon Bruchtermen
Kürzen
a ◊ c Regel:
3 ◊ 2 = 3◊2 = 6 2
3
◊13
Für das Kürzen
gilt die bekannte
2 - x = x ()
= a◊c
!
a ◊ c = a Kürzen
5 7 5 ◊ 7 2 35 2
a ± cAus=Diff
a erenzen
± c 4und
b d b◊d
2- x = x fi x + x -2=0
+ 35 = 39 = 13
60
b ◊ c b 15 3 ◊ 5 3
 20
„Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner“
b bSummenbkürzen60nur60
die …
=
3◊20.
L== { 1}
Lösen der Gleichung (x1 = 1, x 2 = -2 ) und Probe:
10 2 ◊fi
5 2
3
x
1
Ungleichnamige
Brüche:
Hauptnenner
x
=
1
x 2 = -2
2
x
=
x
2- x = x
a
c
a
d
π
3 : 2 1= 5 = 3 ◊ 7 = 21
: = ◊
3 x + 5 3+5
5 7 2 5 2 10
1= 1 ✓
1 + 7 = 1 + 7 = 1 ◊4 + 7 ◊5 =
Erweitern 2 = -2
b d b c
7
15 12 3 ◊ 5 3 ◊ 4 3 ◊ 5 4 3 ◊ 4 5
3
3
◊
5

=
= 15
3 :2= 3 = 3
1
„Mit dem Kehrbruch
4 + 35 Weiter wie oben 1
2 2 ◊ 5 10
5
5 ◊ 2 10
60 60
multiplizieren“
bc
Unter die Wurzel ziehen
36 ◊ 2 ◊ x 2 = 6 2 x
Maximale Definitionsmenge:
D={x|2–x ≥ 0}={x|x £ 2}
Multiplikation/Division
Kürzen/Erweitern
Addition/Subtraktion
ac
a+
a a
1 umfasst2 alle
–1D einer 0Gleichung
Die Definitionsmenge
x-Werte, die in die Gleichung eingesetzt werden dürfen.
Bei Bruchgleichungen müssen alle x-Werte
ausgeschlossen werden, für die der Nenner Null wird.
c
b
b
a
a a
e Formeln
Nenner
des
eninhalt
Rechtecks
an entweder
a mal
ukt Seite als
+ d) oder
Flächene der
einzelnen
e der
ecke.
a
1.
2.
3.
2
und
2 (a – b)
oft auf.
,
(a + b) Algebra sehr
merkt
in der
als
Die Klammerterme
– b) tauchen
(a + b)(a jedes Mal auszumultiplizieren,
der Multiplikation
Anstatt die Ergebnisse
man sich
Formeln
2
Zähler
5
4
2
(a - b )
Binomisch
!
1
0, 3 = 3
2
2
2ab
=a +
2
b
2
2ab +
=a 2
2
b
=a a - b)
(a + b )(
2
(a + b )
2
Brüche
–0,5 = - 1
2
und
2 (a – b)
oft auf.
,
(a + b) Algebra sehr
n, merkt
in der
als
Die Klammerterme
– b) tauchen
(a + b)(a jedes Mal auszumultipliziere
der Multiplikation
Anstatt die Ergebnisse
man sich
Formeln
2
Binomische
+b
b
10 -6 m
Rechnen mit Wurzeln
Wissenskarte Algebra
Dr. Helmut Pruscha, Professor für Mathematik an
der Ludwig-Maximilians-Universität München
e Formeln
Binomisch
b
10 -3 m
Brutto
 119 %
n gerade
n ungerade
Brutto = 1,19 · Netto
Abnahme auf
( -5)4 = 54
( -5)3 = -53
das 0,90-fache
Zunahme
( -5)12 = 512auf
( -5)1001
= -51001
Preisnachlass
 10 %
Teilweise Wurzel ziehen
das 1,19-fache
Preisnachlass = 0,10 · Preis
Potenzen mit negativer Basis
8 = 4 ◊2 = 4 ◊ 2 = 2 2
sind nur für ganzzahlige
Falls x ≥ 0 ist, gilt:
Exponenten definiert!
B
72 x 2 = 36 ◊ 2 ◊ x 2 =
Kommaverschiebung
Mehrwertsteuer
!
38000
= 3,8 ◊10
MwSt
194%

4MwSt = 0,19 · Netto
-3
0 , 0038
 = 3, 8 ◊10
A
2 < 1, 415
Wurzeln wie 2 lassen sich nicht als
Brüche darstellen, sie sind irrational:
Die Behauptung
2 = a (a, b Œ , b π 0 )
b
führt auf einen Widerspruch!
Die Dezimaldarstellung irrationaler
Zahlen ist nicht periodisch und bricht
nicht ab: 2 = 1, 41421356… .
16 = 4 = 2
Reduzierter Preis
 90 % m m Ï a für m gerade
a2 = a
a =
Reduzierter Preis = 0,90 · Preis ÌÓ a für m ungerade ( a ≥ 0 )
Preis  100 %
1,43
fi 1, 414 <
ab
b ab
10 m
10 -2 m
16 =
1,42
2
1.
2.
3.
-1
100 = 100 = 10 = 2
25
5
25
4
1,414 1,415
2
1,41 < 2 < 1,42
2
2
1,414 < 2 < 1,415
3
2
10 0 m
Prozentualer Abschlag – z. B.
n
a
a =Rabatt
n
b nb
Abnahme um 10 %
m n
m◊n
von 100 % auf 90 %a = a
9 +
16
π
9+
16


 MwSt.
Preis
Netto
3
4
5
Bruttopreis (incl.
Negative Basis
Mehrwertsteuer)
1,41
2
+b
103 m
Nettopreis (ohne
Mehrwertsteuer)
Netto  100 %
10 0 = 1
8 +1
Quadrieren
36 = 4 ◊ 9 = 
4 ◊
9 =6
b
+b
Negativer Exponent
Zehnerpotenzen
Kürzen
15 = 3 ◊ 5 = 3
10 2 ◊ 5 2
km
· 1000
m
Erweitern
· 10
dm
·310
= 3 ◊ 5 = 15
2 2 ◊ 5 cm
10
· 10
mm
· 1000
mm
Gleichungen vom Typ an x n + an-1x n-1 +  + a1x + a0 = 0 mit n > 2 nennt man
Gleichungen höherer Ordnung (ausführlich: algebraische Gleichungen vom Grad n).
Eine Gleichung vom Grad n hat höchstens n Lösungen!
Die quadratische Gleichung wird auf
Normalform x 2 + px + q = 0 gebracht,
2x2 + 3x + 4 = 0 ± : 2
a
b
n
2
2ab
=a +
a◊c
27
gibt immer 1!
um 19 %
00 ist nicht defiZunahme
niert.
Netto
von 100 % auf 119 %
3
Gleichungen höherer Ordnung
Alternative 2
x2 + 3x = 0
„Faktorisieren“
mal
3

4◊4◊4 ◊ 4◊4
2
n
2
( x - 3)( x + 1) = 0
: (–2)
„Lösungsformel“
eichungen
sind lineare Gleichungen.
Durch geeignete Umformungen können sie stets
–6
[
(…)(…)
b = 0 gebracht werden. Lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme
fgaben sehr oft auf.
ax 2 + bx = 0
( x - x1 )( x - x 2 ) = 0
1
x2 + 3x = 0
Die Lösungen
g können
=2
direkt abgelesen
werden: Gleichung
x wird ausgeklammert:
Allgemeingültige
2x - y = 1
( x - 3)( x Die
+ 1) =Gleichungen
0
3 x + 7x =◊ (3xx++37) =
; 20x = 2 x ; 0 = 0 ;
8 + 16 = 2 ( x - 3)
Seite
fi
y = 2 x -41x -(I‘)
x - 3 = 0 sind
⁄ x allgemeingültige
+ 1= 0
x =0 ⁄ x +3=0
Gleichungen:
4 x + 3(2 x - 1) =42x + 8 = 2 x - 6 fi x = 3,Einsetzen
G=
x 2 = -1 beliebiger Zahlen
fi x1 =der
0 , Grundmenge
x 2 = -3
1
fi x–= 0 , 5 4 x + 8 = 2 x - 6
oder
-8fi L = {-1führt
; 3} stets auf eine wahre
fi LAussage.
= {-3; 0}
Lösungsmenge: L = .
fi y = 2 ◊ 0, 5 - 1= 0
4 x = 2 x - 14 -2 x
eine
45
2
n
2
2ab
Binomische
2
Die 1. kann als
=a 2
eines
Formel
2
b
=a Flächeninhalt
der Kantena - b)
Quadrats+ b) verin den
(a
Formeln
werden.
länge
anschaulicht
die Binomischen
treten
auf:
Häufig
Formen
Das doppeltProdukt
1
2
folgenden
dem
2
+ 4x +
2x +1
2
gemischte
2
1 = 4x
=x +
2
( x + 1)
◊ 2 x ◊1+
2 a b entsprichtder bei1.
x) + 2
)2 = (2
b gleich
FlächeninhaltRechtecke.
(2 x + 1
2x und2 4x2 und
den grauen
a gleich
(2x) =
Hier ist a2 gleich = 4x .
ist
1
9
2 · 2x ·
Damit
2
12 x +
gleich
2
4x 2ab ist
+3 =
2
◊2x ◊3
x) - 2
2
)2 = (2
-9
2
= 4x
(2 x - 3
2
x) - 3
3) = ( 2
)(2 x +
(2 x - 3
Quadratische Gleichungen
2 x )2 - 2 ◊ 2 x ◊1+ 12 = (2 x - 1)2
Zwei Terme können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie von
- 32 = (2 x - 3)(2 x + 3)
der gleichen Bauart (man sagt: gleichartig) sind.
n sie stets
x1,2 = …
±
systeme
Gleichartige Terme sind z. B. Potenzen mit
Gleichartig sind:
her Gleichungen
2
2
gleiche
x3 ; 3x3
Reinquadratische Gleichung xgleicher
Gemischtquadratische
Gleichung
= d und gleichem Exponenten,
= d xBasis
Wurzelausdrücke oder gleiche Kombinationen
Bauart an x n +  + a1x + a0 = 0
ax 2 + bx + c = 0
z. B. a =x2+, 1b; = 33, cx =+ 14
2
2
dem die linke Seite der Gleichungxso
xmehrerer
= -7 Variablen.
=3
3 xyz 2 ; 5 xyz 2 ; - xyz 2
Alternative 1
in ein Produkt zerlegt (faktorisiert)
fiL={}
x1,wird.
2 =± 3
Gleichartige
Terme
werden
addiert
(subtrahiert),
erer
= 2 xOrdnung
; 0 = 0 ;→C5.
Die(subtrahiert)
Lösungen werden mit der „allgemeinen
indem ihre Koeffizienten addiert
L = {- 3 ; + 3 }
quadratischen Lösungsformel“ bestimmt:
werden: 2x 2 + 3x 2 = 5x 2 .
ndmenge G = 
„2 Äpfel
Fallsplus
d < 0,3 Äpfel sind 5 Äpfel.“
Falls d > 0,
- 9 ) = x ◊ ( x - 3) ◊ ( x + 3) = 0 (3. Binom.)
-b ± b2 - 4 ac
! ± nicht vergessen!
! keine reelle Lösung!
x1,2 =
rd genau dann Null,
3x2 + x2 = 4 x2
ax
+
bx
cx
=
(
a
+
b
c
)
x
2a
Das Zeichen ⁄
Faktoren Null wird.“
2
bedeutet2„oder“.
!
Die Diskriminante
acx 2entscheidet
Terme, z. B. Potenzen
mit un- D = b 3-x 34+
x 2 = Verschiedenartige
-7
x =3
1 =x4=x ;-13= 0 ;
3+ ⁄
über die
Anzahl
der Lösungen.
terschiedlichen er
Exponenten,
können
nicht
weiter
bleibt unverändert
Fall
ein
zusammengefasst
werden!
stehen.
Allgem
ndmenge G = 
D > 0 Zwei reelle Lösungen
=0
Mit welchen Methoden
2
3x + 4
2x +
D = 0 Eine reelle Lösung
kann ich quadratische
Gleichungen lösen?
D < 0 Keine reelle Lösung
e Gleichungen
2
n
3
(a + b )(
Minus- und Plusklammern
„Wurzel ziehen“
6
n
3
(a - b )
=
n
(a + b )
2
Wurzelgesetze
(a + b )2 π a2 + b2
→Binomische Formeln
Wissenskarte
Algebra
Binomische
62
3 ◊ 2 = 3◊2 = 6
5 7 5 ◊ 7 35
b d b◊d
Das doppelt=
b◊c
gemischte
„ZählerProdukt
mal Zähler, Nenner mal Nenner“
2 a b entspricht dem
3 Potenzen mit negativen
Flächeninhalt
a : c =der
a ◊beid
3 : 2 = 5 =Exponenten
3 ◊ 7 = 21 sind Brüche:
den grauen Rechtecke.
5 7 2 5- n2 110
b d b c
(für a π 0 )
7 a = an
3 : 2 = 3 =-53 1
„Mit dem Kehrbruch
3-1 = 1
5
5 ◊ 2 2 10= 25 ,
3
multiplizieren“
m = m ◊ s -1
a -5 = 15 ,
s
a
Terme zusammenfassen
6 mal
3
=( ) =2
=
=4
3
3
Multiplikation/Division
4
Kürzen/Erweitern
4◊4
◊
Prozentrechnen
bd
eln rückwärts
( 4 2 )3 = 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 = 4 6

a
Rationale Zahlen:  = { b | a Œ ; b Œ ; b π 0}
a m =sicha mals-nendlicher oder a0 Rabatte,
(a + b ) π–aim+ b
ab = a ◊
Alltag wird mit Prozenten gerechnet.
= 1 Steuern, Benzinpreiserhöhungen
= ( aJede
)n rationale Zahl lässt
(
2
+ 1
) π2 + 1
darstellen.
bperiodischer Dezimalbruch
an

„Irgendetwas
hoch Zuschlag
0“
Prozentualer
– z. B. Mehrwertsteuer
Rückseite
Bestimmung von 2 durch
Intervallschachtelung:
1,999396 2,002225
2
1,41 =1,9881
2,0164
ad
Die
1 1. Binomische
2
Formel kann als
Flächeninhalt eines
Quadrats der Kantenlänge (a + b) veranschaulicht
a c werden.
a◊c
können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie von
Bauart
sind.
+ x - 5 x(man
- 5 =sagt:
x 2 - 4gleichartig)
x -5
)
)(a + b
2 = (a + b
Terme sind z. B. Potenzen mit
Gleichartig
2
ab + b sind:
a +x23 ; 3 x 3
s und gleichem Exponenten, gleiche
… sind Gleichungen mit (mindestens) einer Unbekannten im Nenner.
ücke oder gleiche Kombinationen
x + 1; 3 x + 1
Sie werden durch Multiplikation mit dem Nenner oder Hauptnenner in
ablen.
-a - b = ( -1) ◊ (a3+xyz
b ) =2 ; -5(axyz
+ b2 ;) - xyz 2
lineare, quadratische oder höhere Gleichungen umgeformt.
Terme werden addiert (subtrahiert),
oeffi
zienten addiert
(subtrahiert) ist
2 = 3
Herausheben“
oder „Faktorisieren“
Beispiel:
Viele Terme enthalten
Klammern,
2
2
x - 1 die
x +zur
1 weiteren Vereinfachung von innen
+
3
x
=
5
x
.
g einer Summe oder Differenz in ein
nach außen aufgelöst (entfernt) werden: 3 - ( 4 - ( 4 - 1)) = 3 - ( 4 - 3) = 3 - 1 = 2.
3 Äpfel sind
Äpfel.“
Maximale Definitionsmenge: D =  \ {1; –1}
mkehrung
des5„Ausmultiplizierens“.
Minusklammern auflösen
Plusklammern auflösen
Die Bruchgleichung wird mit dem Hauptnenner
3x2 + x2 = 4 x2
-ktor
cx a=ausklammern
(a + b - c ) x
(oder
„über
Kreuz“)
multipliziert.
+(a + b ) = a + b
-(a - b + c ) = -a + b - c
2 = 3
=
a ◊ (Terme,
c + dz.) B. Potenzen mit un!
3x3 + x2
artige
◊( x - 1)( x + 1)
x - 1 wechseln
x +1
Alle Glieder in der Klammer
Plusklammern
kann man einfach
en Exponenten, können nicht weiter Zurbleibt
unverändert
Sicherheit die
ihr Vorzeichen.
2 ◊ ( x - 1) ( x + 1) 3 ◊ ( x - 1weglassen.
) ( x + 1)
efasst
stehen.
+ x ◊ 8 xwerden!
= x ◊ (3 + 8 x )
Probe
machen!
=
x -1
x +1
5 xy ◊ ( x - 3 y ) =
-( x 2 - x + 1 ) = -( + x 2 – x +1 ) = – x 2 + x – 1
3 + ( 4 x - 1) = 3 + 4 x - 1 = 2 + 4 x
1+ 2 x ◊ 4 x = 2 x ◊ (1+ 4 x )
Die quotientenfreie Gleichung 2( x + 1) = 3( x - 1) wird gelöst.
5 x 2 y - 15 xy 2 
5 xy ◊ x - 5 xy ◊ 3 y = 5 xy ◊ ( x - 3 y )
mern
43 ◊ 42 = 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 = 45



n
( )Vorderseite
1 = 1 ◊ a2 = =2a
2
2
2 2
Der Term unter der Wurzel (hier: a) heißt
Geschickt
Radikant.erweitern
n heißt Wurzelexponent.
Falls y ≥ 0 ist, gilt:
3 y 2 = (3 y )2 ◊ 2 = 18 y 2
a m + an nicht zusammenfassen
→Verschiedenartige Terme B3
d
bd
52 ◊ 32 = (5 ◊ 3)2 = 152
5 mal
!
!
x2 = 6 2 x
n
n
bc
bc
(a m )n =36a◊ m2◊n◊
2
c
b
= ac + ad + bc + bd
Falls x ≥ 0 ist, gilt:
Potenz einer2Potenz
72 x = 36 ◊ 2 ◊ x 2 =
a m ◊ a n = a m+ n
1
1
a 2 = a , a 3 = 3 a , a 3 = ( 3 a )2
6 2 = 36 ◊ 2 = 72
8 = 4 ◊2 = 4 ◊ 2 = 2 2
Die positive Lösung der Gleichung wird
„Quadratwurzel aus 2“ genannt.
Für jedes a ≥ 0 ist die n te Wurzel aus a
diejenige nichtnegative Zahl, die zur
Nenner
rational
machen
n ten
Potenz
genommen, a ergibt:
1
n
a ≥ 0 ziehen
fürWurzel
a n = Unter
a die
Teilweise Wurzel ziehen
an ◊ b n = (ab )n
a
Der Nenner ist stets
ungleich Null! b n
Beide Gehirnhälften werden in den
Lernprozess miteinbezogen.
zusammenfassen
Das Grundwissen prägt sich fotografisch
ins Gedächtnis ein;Bruchgleichungen
im Park, im Zug oder
am Schreibtisch.
1 7
1
7 = 21 ◊ 4 +2 7 ◊ 5 =
(2 x - 3)2 += (2 x=)2 - 2 +
◊2x ◊3 +
3 = 4 x - 12 x + 9
15 12 3 ◊ 5 3 ◊ 4 3 ◊ 5 4 3 ◊ 4 5

1
4 35 Weiter2 wie2 oben2 1
(2 x - 60
3)(2+x60
+ 3) = ( 2 x ) - 3 = 4 x - 9
1001
a
Der Schwerpunkt
liegt in der Vernetzung verschiedener
Teilbereiche, z. B. Funktionen und Gleichungen.
Die Gleichung x 2 = 2 hat zwei
reelle Lösungen: x1,2 = ± 2 .
a
ac
( x + 1)2 = x 2 + 2 x + 1
Gleichnamige Brüche
Kürzen
3◊13
(2 x + 1)2 = (2 x )2 + 2 ◊ 2 x ◊1+ 12 = 4 x 2 + 4 x +
a c = a ± c 4 + 35 = 391 = 13
60 1.
60 60
Hier ist a±gleich
 20
b b 2x und
b b gleich
3◊20
Damit ist a2 gleich (2x)2 = 4x2 und
2ab ist
gleich 2 · 2x · 1 =Brüche:
4x .
Ungleichnamige
Hauptnenner
1001
Potenzgesetze
n
b
Häufig treten die Binomischen Formeln in den
folgenden Formen auf:
12
Quadratwurzel
Allgemeine Wurzel
des
eninhalt
Rechtecks
0
Zähler
b2
Nenner
12
sind nur für ganzzahlige
Exponenten defi
niert!Basis
Taschenrechner Gleiche Exponenten
Gleiche
3, 8 ◊10 4 = 3, 8 EXP 4
Wurzeln
an entweder
a mal
ukt Seite als
+ d) oder
Flächene der
einzelnen
e der
ecke.
Lernpsychologie und des
Addition/Subtraktion
Informationsdesign:
–1
5
4
1
0, 3 = 3
a2 = a
6
www.wissenschaftdesign.de
Basiswissen Gymnasium
ISBN: 3.486554-33-3 © 2008 Wissenschaftdesign® Verlag Christian Kornherr
5
a
–0,5 = - 1
2
16 = 4 = 2
he
isc
om als es nBin nn ein nte
1. ka alt r Ka rn
el
Die rm eninhs de ve rde
Fo ch rat + b) we
Flä ad (a licht
Qu ge au
elt d
län sch
pp Pro
an
do hte ic
2
16 =
ab
2
2
Wurzeln wie 2 lassen sich nicht als
Brüche darstellen, sie sind irrational:
Die Behauptung
2 = a (a, b Œ , b π 0 )
b
Gebrochener
Ï a für
m gerade Exponent
m m
führt auf einen Widerspruch!
a =Ì
Die Dezimaldarstellung irrationaler
Ó a für m ungerade ( a ≥ 0 )
Potenzen mit gebrochenen Zahlen ist nicht periodisch und bricht
Exponenten sind Wurzeln: nicht ab: 2 = 1, 41421356… .
4
ab
ab
2
a = m◊n a
Ausführlicher und didaktisch gut auf den
Theorieteil abgestimmter Aufgabenteil.
2 < 1, 415
b
Den Flächeninhalt des
gesamten Rechtecks
+ xy (Produkt in Summe)
erhält manvon
entweder
nthalten Klammern, die zur weiteren Vereinfachung
innen
(Produkt in Differenz)
-6
a 2mal
ufgelöst (entfernt) werden: 3 - ( 4 - ( 4 - 1)) =als
3 -Produkt
( 4 - 3) =Seite
3 - 1=
.
Seite (c + d) oder als
Summe
Flächenmern auflösen
Plusklammern
auflder
ösen
inhalte
der
einzelnen
+(a + Rechtecke.
b) = a + b
+mmer“
c ) = -a + b - c
+ d) den Parameter a durch die Summe
der Klammer
kann man einfach
rnTerm
(a + b)(c +wechseln
d). Je komplexer Plusklammern
ein
n.
weglassen.
wichtiger
ist, die Struktur des Terms
d
c
n (z. B. mithilfe
eines Termbaums →B1).
=multiplizieren
-( + x 2 – x +1 )liefert:
= –x 2 +x –1
3 + ( 4 x - 1) = 3 + 4acx - 1 =ad2 + 4 x
a
ab
( -5)4 = 54
fi 1, 414 <
b
2
(Produkt in Summe)
3
10 -6 m
3
A
100 = 100 = 10 = 2
25
5
25
Potenzieren
(„a hoch n “) heißt,
n ungerade
a wird n-mal mit sich selbst multipliziert.
( -5)3 = -53
mal
( -
5)
=5
( -5) = -5
n
an = a ◊ Potenzen
◊ a mit negativer Basis
4
-3
0 , 0038
 = 3, 8 ◊10
Wissenskarte Algebra · Basiswissen Gymnasium
1,43
2
Ausklammern
n einer Klammer“
+5
Kommaverschiebung
Basis
4
38000
 = 3, 8 ◊10
3
10 -b
m
1,42
2
a
a a2mm
1.
a ac
ad
Klar strukturierte
und ansprechende
ab
(a - b ) = a - 2ab + b
2. b ab
- und Plusklammern
Darstellung nach(a +Brüche
den
Regeln3.der
b )(a - b ) = a - b
(a + b )2 = a2 + 2ab + b2
10 0 m
10 -1m
10 -2 m
m n
1,414 1,415
a
d
c
m
4
Negative Basis
Hochzahl
oder
n gerade
Exponent
10 0 = 1
cm
1,41
2
1,41 < 2 < 1,42
2
2
1,414 < 2 < 1,415
3
Potenzen
n
Dieagesamte Schulalgebra
auf mit
einer
Landkarte!
Rechnen
Wurzeln
103 m
dm
amm
n
3
a= na
b nb
Wissenskarte Algebra · Basiswissen Gymnasium
Quadrieren
36 = 4 ◊ 9 = 
4 ◊
9 =6
2
9 +
16
9+
16


π
4
ab = n a ◊ n b
a
ac + ad
km
n
8 +1
5
Zehnerpotenzen
Binomische Formeln
plizieren
27
3
Das doppeltgemischte Produkt
2
(a + b ) ◊ (a + b2) =
+ 2ab + b2 dem
a ba entspricht
Potenzen mit negativen
Flächeninhalt der bei· 1000
Exponenten sind Brüche:
den grauen Rechtecke.
2
ndlung
von 2Produkten der
2
2 Bauart
2
· 10
Die Klammerterme
(a – b)
a - n = (a1n+ b)2,(für
a πund
0)
- 3) = (2 x ) - 2 ◊ 2 x ◊ 3 + 3 = 4 x - 12 x + 9
+ d), … in eine Summe oder Differenz.
(a + b)(a – b) tauchenain der Algebra sehr oft auf. · 10
gende
Anstatt jedes Mal
merkt
2-5 auszumultiplizieren,
= 15 ,
3-1 = 1
- 3)(2 xGesetz
+ 3) = (2heißt
x )2 -Distributivgesetz.
32 = 4 x 2 - 9
3
2 der Multiplikation
man sich die Ergebnisse
als · 10
m = m ◊ s -1
Ausmultiplizieren
a -5 = 1 ,
· 1000
s
Binomische Formelna5
r ist a gleich 2x und b gleich 1.
mit ist a2 gleich (2x)2 = 4x2 und
ist gleich 2 · 2x · 1 = 4x .
(a + b )n π an + b n
(
2
+ 1
)3 π 23 + 13

auflösen
62 = ( 6 )2 = 22
32 3
→Binomische Formeln
„Irgendetwas hoch 0“
gibt immer 1!
00 ist nicht definiert.
mal
3

45 = 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 = 43
42
4◊4
Wurzelgesetze
(a + b )2 π a2 + b2
6 mal
a0 = 1
Plusklammern
( 4 2 )3 = 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 = 4 6

a m = a m- n
an
ern
von innen
Vereinfachung
und Plusklamm
weiteren
43 ◊ 42 = 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 ◊ 4 = 45



an = ( a )n
bn b
1,999396 2,002225
1,41 =1,9881
2,0164
2
die zur
Klammern,werden:
e enthalten ( ntfernt)
52 ◊ 32 = (5 ◊ 3)2 = 152
Bestimmung von 2 durch
Intervallschachtelung:
Der Term unter der Wurzel (hier: a) heißt
Radikant. n heißt Wurzelexponent.
a m + an nicht zusammenfassen
→Verschiedenartige Terme B3
Minus-
(a m )n = a m◊n
b)
en mit Klammern
Potenz einer Potenz
a m ◊ a n = a m+ n
a+
2
+ 1)2 = (2 x )2 + 2 ◊ 2 x ◊1+ 12 = 4 x 2 + 4 x + 1
Gleiche Basis
an ◊ b n = (ab )n
5 mal
Die 1. Binomische
Formel kann als
Flächeninhalt eines
Quadrats der Kantenlänge (a + b) veranschaulicht werden.
g treten die Binomischen Formeln in den
den Formen auf:
1)2 = x 2 + 2 x + 1
b2
!
Gleiche Exponenten
n
a =a
Wissenschaftdesign®Verlag
Christian Kornherr
ab
b ab
n
www.wissenschaftdesign.de
+ b )(a - b ) = a2 - b2
ab
2
a 3 = ( 3 a )2
Wissenschaftdesign®Verlag
Christian Kornherr
1.
2.
3.
- b )2 = a2 - 2ab + b2
a a2
1
a3 = 3 a ,
Die gesamte Schulalgebra auf einer Karte!
Über 200 gelöste Aufgaben auf der Rückseite!
+ b ) = a + 2ab + b
2
1
a2 = a ,
Algebra
2
für a ≥ 0
an = n a
Die großformatige Wissenskarte richtet sich an Schüler der gymnasialen Oberstufe
und an Studierende mit Mathematik im Nebenfach. Das Wissensnetz auf der Karte
2
b
Basiswissen Gymnasium
mische Formeln
a
Tipp: Lernen Sie mit der Karte in der Gruppe und nutzen Sie die Karte aktiv beim
Lösen der Aufgaben! Beim Erklären und Selberrechnen behalten Sie ein Vielfaches
von dem, was Sie nur lesen!
© 2008 Wissenschaftdesign®Verlag Christian Kornherr · www.wissenschaftdesign.de · Alle Rechte vorbehalten
1
A
A
Terme
Kommutativund Assoziativgesetz
Termbäume
B
B
Vorrangregeln
2
Potenzrechnen
Terme zusammenfassen
Bruchgleichungen
Wurzelgleichungen
Ausklammern
Funktionen
Lineare
Gleichungen
Quadratische
Gleichungen
Ungleichungen
Gleichungssysteme
Lösungsformel
Lineare Funktionen
Definitionsmenge
Wertemenge
Funktionsgraph
6
Wurzeln
Wurzelgesetze
Brüche
Äquivalenzumformungen
E
5
Potenzgesetze
Plus- und Minusklammern
Gleichungen
D
4
Potenzen
Binomische
Formeln
Zahlenbereiche
C
C
3
Rechnen mit Klammern
Ausmultiplizieren
Proportionalität
direkt/indirekt
Trigonometrische
Funktionen
Höhere
Gleichungen
A
Potenzfunktionen
Quadratische Funktionen
D
Umkehrfunktionen
E
Exponentialfunktionen
Wertetabelle
Spezielle Werte der Sinusund Kosinusfunktion
F
F
Exponentialgleichungen
Logarithmusfunktionen
Logarithmus
F
Relation
1
A
Ausklammern B2
Ausmultiplizieren A2
Assoziativgesetz A1
Äquivalenzumformung C1
B
Binomische Formeln A3
Bruchgleichungen B4
D
Definitionsmenge D1
Distributivgesetz A2
E
Erweitern B5
Exponentialfunktionen F4
Exponentialgleichungen F6
F
Funktionsterm D1
Funktionsgraph E1
2
3
G
Gleichartige Terme B3
Gleichungen höherer
Ordnung C5
Gleichungssysteme
(lineare) C2
H
Hauptnenner B4
Hyperbel C6
I
Intervallschachtelung A6
K
Kommutativgesetz A1
Kosinus E2–3
Kürzen B5
L
lineare Funktionen D2
Gleichungen C2
Logarithmus F4–6
C
Verschiebungen Allgemeine Form Nullstellen
Streckungen
Scheitelform
Zerlegungssatz
Sinus
Kosinus
B
Rationale
Funktionen
4
Lösungsmenge C1
P
Parabel C6, D4
Potenzfunktionen C6
Potenzgesetze A4
Proportionalität
direkte, indirekte D3
Prozentrechnen B6
Q
quadratische
Ergänzung D6
Funktionen D4
Gleichungen C3–4
Lösungsformel C4
R
Relation F1
S
Scheitelform D5
Sinus E2–3
5
6
Zur schnellen Übersicht und
optimalen Orientierung auf
der Karte dient ein
alphabetischer Index und ein
verkleinerter Kartenausschnitt
auf dem Umschlag.
Substitution C5
U
Umkehrfunktionen E4–6
Ungleichungen C2
W
Wertemenge D1
Wertetabelle F1
Wurzelgesetze A5
Wurzelgleichungen B6
Z
Zahlenbereiche B1
ISBN: 978-3-940838-00-1
Zum Ein- und Ausblenden
einzelner Themengebiete dient
die praktische Landkartenfalz.
Die Mathematik der gymnasialen Oberstufe,
die Abiturprüfung und jede Anfängervorlesung zur Mathematik setzen den sicheren
Umgang mit Termen, Gleichungen und
Funktionen voraus: Wie können Schüler und
Studierende den Integralbegriff einüben,
wenn sie zum einen deutliche Lücken beim
Rechnen mit Brüchen und elementaren Termumformungen haben und zum anderen die
elementaren Funktionen nicht kennen?
Hier setzt die Wissenskarte Algebra an:
Die Schüler und Studierenden erkennen, dass
die Schulalgebra kein „Fass ohne Boden“ ist.
Sie haben mit der Wissenskarte Algebra stets
im Blick, wo sie mit ihrem Wissen auf der Karte
stehen und welche Wissenslücken sie noch
schließen müssen.
Der große Aufgabenteil auf der Rückseite mit
ausführlichen Lösungen bietet eine ideale
Basis zum Einüben, Wiederholen und
Festigen der Theorie. Besonderer Wert wurde
bei der Auswahl der Aufgaben auf die
Vernetzung unterschiedlicher Gebiete gelegt.
Mit ihrem kartonierten Umschlag, der Folienkaschierung und dem strapazierfähigen Landkartenpapier ist die Karte überall einsatzfähig!
Demnächst erscheint die Wissenskarte Algebra
als Wandtafel im XXL-Format für das Klassenzimmer, den Seminarraum oder die Aula!
Wandtafel Algebra
Die ideale Ergänzung zum
Wissenskarten-Klassensatz!