Algorithmische Graphentheorie I (WS 11/12)

Prof. Dr. M. Sonntag, Dipl.-Math. S. Matos Camacho, Institut für Diskrete Mathematik und Algebra
Algorithmische Graphentheorie I (WS 11/12)
Serie 2 - Bäume und andere spannende Dinge
„The trouble with computers, of course, is that they’re very sophisticated idiots.“
(The Doctor in Robot)
Aufgabe 1
(a) Man begründe, warum ein Baum T mindestens ∆(T ) Blätter (d.h. Knoten vom Grad 1) besitzt.
(b) Man zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen bezüglich eines Graphen G:
(i) G ist ein Baum,
(ii) G ist minimal zusammenhängend (d.h. G ist zusammenhängend, aber nach dem Entfernen einer
beliebigen Kante zerfällt G),
(iii) je zwei voneinander verschiedene Knoten sind durch genau einen Weg miteinander verbunden.
(c) Sei T nun ein Baum mit Maximalgrad ∆(T ) = 3. Man zeige, dass dann gilt
jnk
− 1,
d3 (n) 6
2
wobei d3 (n) die Anzahl der Knoten von Grad 3 angibt, wenn T genau n Knoten enthält.
Aufgabe 2
Die neue Fluggesellschaft MathAIR hat sich zum Ziel gesetzt, die Nummer 1 der Fluggesellschaften in Graphistan zu werden. Dazu muss man aber die größten Städte Graphistans (Bad Ramsee, Bergen, Brookshire,
Eulerton, Ford Fulkerson, New Hamilton, Königsberg, Oberdösach und Turannen) möglichst optimal anfliegen.
Wie könnte ein solches Streckennetz aussehen?
New Hamilton
Ford Fulkerson
2
5
9
Brookshire
4
3
4
7
Oberdösach
3
10
8
7
Eulerton
Königsberg
6
6
10
2
5
Turannen
Bergen
4
3
Bad Ramsee
(Die Zahlen an den Kanten bezeichnen die Flugstunden von einem Ort zum anderen.)
Aufgabe 3
Bestimmen Sie alle nicht isomorphen Graphen G mit c(G) = 3, n(G) = 12, δ(G) = 3, ∆(G) = 4.
Prof. Dr. M. Sonntag, Dipl.-Math. S. Matos Camacho, Institut für Diskrete Mathematik und Algebra
Aufgabe 4
Man bestimme alle schlichten nicht isomorphen Graphen G ohne isolierte Knoten mit Knotenanzahl n(G) =
11, die aus drei Zusammenhangskomponenten G1 , G2 und G3 bestehen, wobei
(i) G1 bipartit ist und genau einen Kreis besitzt,
(ii) G2 3-regulär und
(iii) G3 ein Baum ist.
Aufgabe 5
(a) Geben Sie einen kantengewichteten Graphen an, der einen eindeutig bestimmten minimal aufspannenden Baum besitzt, obwohl mindestens zwei Kanten das gleiche Gewicht besitzen.
(b) Man gewichte die Kanten des Kn mit natürlichen Zahlen. Zeigen Sie, dass das Gewicht jedes geraden
Kreises (die Summe der einzelnen Kantengewichte) gerade ist, falls das Gewicht jedes Dreiecks gerade
ist.
Aufgabe 6
(a) Man bestimme mit Hilfe der Zerlegungsformel die Gerüstanzahl in den folgenden Graphen
(b) Beweisen Sie den Satz von Cayley: Der vollständige Graph Kn der Ordnung n hat nn−2 Gerüste.