12. ¨Ubungsblatt - Universität Konstanz

Datenstrukturen und Algorithmen
WS 01
Universität Konstanz
Lehrstuhl für Praktische Informatik
Prof. Dr. D. Wagner / T. Willhalm
12. Übungsblatt
Abgabe: 25. Januar 2002, 12 Uhr in den Fächern vor dem Sekretariat E212
Aufgabe 1 (4 Punkte)
(a) Ein Euler-Kreis ist ein geschlossener Weg (d.h. erster und letzter Knoten des Weges sind
identisch) in einem Graphen, der jede Kante genau einmal benutzt. Zeigen Sie, dass im
obigen Graphen kein Euler-Kreis existiert.
(b) Ein Euler-Pfad ist ein Weg in einem Graphen, der jede Kante genau einmal benutzt. Zeigen
Sie, dass im obigen Graphen jeder Euler-Pfad die unteren Knoten als Endknoten hat.
(c) Schreiben Sie einen Algorithmus mit Laufzeit in O(n + m), der bei einem Graphen mit n
Knoten und m Kanten feststellt, ob er einen Euler-Kreis enthält. Begründen Sie, warum ihr
Algorithmus korrekt ist.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
(a) Ein aufspannender Baum in einem Graphen ist ein zusammenhängender Teilgraph, der ein
Baum ist und alle Knoten enthält.
Zeigen Sie: Ein aufspannender Baum in einem einfachen, ungerichteten, zusammenhängenden
Graphen G = (V, E) hat |V | − 1 Kanten.
(b) Zeigen Sie: Haben alle Knoten eines einfachen, ungerichteten Graphen einen Grad kleiner
oder gleich 2, dann besteht jede Zusammenhangskomponente aus einem isolierten Knoten,
einem einfachen Weg oder einem einfachen Kreis.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Gegeben sei ein ungerichteter, einfacher und zusammenhängender Graph mit m Kanten, sowie
zwei Knoten des Graphen s und t. Schreiben Sie eine Prozedur, die in O(m) Zeit eine inklusionsmaximale Menge kantendisjunkter Wege von s nach t bestimmt.
Dabei gilt: Zwei Wege mit Anfangsknoten s und Endknoten t sind kantendisjunkt, wenn sie keine
gemeinsamen Kanten enthalten. Für die inklusionsmaximale Menge muss gelten, dass sich kein
weiterer Weg hinzufügen lässt. (Es kann aber auch eine andere Menge von kantendisjunkten Wegen
geben, die größer ist.)
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Gegeben sei die Adjazenzmatrix A = (aij )i,j∈V ∈ {0, 1}n×n eines einfachen ungerichteten Graphen
(k)
G = (V, E) mit n = |V |. Für k ∈ IN0 bezeichne Ak = (aij )i, j ∈ V deren k-te Potenz. Zeigen Sie,
dass akij für i, j ∈ V die Anzahl der Wege der Länge k von i nach j angibt.