(a) (b) Facette - Lehrstuhl für Informatik 12

Rolf Wanka, Sabine Helwig
Erlangen, 18. Dezember 2006
Übungen zur Vorlesung
Effiziente kombinatorische Algorithmen
WS 2006/2007
Blatt 8
AUFGABE 1:
Zwei endliche Automaten heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Sprache akzeptieren.
Seien M1 = (Q1 , Σ, δ1 , s1 , F1 ) und M2 = (Q2 , Σ, δ2 , s2 , F2 ) deterministische endliche Automaten über dem
Alphabet Σ. Entwerfen Sie einen effizienten Algorithmus, der entscheidet, ob M1 und M2 äquivalent sind.
Hinweis: Nehmen Sie an, dass die beiden Startzustände s1 und s2 äquivalent sind und benutzen Sie den
U NION -F IND-Algorithmus, um die Mengen der äquivalenten Zustände zu berechnen.
AUFGABE 2:
Als edge connectivity eines ungerichteten Graphen bezeichnet man die minimale Anzahl an Kanten, die
entfernt werden müssen, um den Graphen in mehrere Zusammenhangskomponenten zu zerlegen. Zeigen
Sie, wie die edge connectivity eines ungerichteten Graphen G = (V, E) durch (|V | − 1)-malige Anwendung
eines Flussalgorithmus auf einem Netzwerk mit O(|V |) Knoten und O(|E|) Kanten berechnet werden kann.
AUFGABE 3:
Ein Graph G = (V, E) heißt planar, wenn man ihn kreuzungsfrei in die Ebene einbetten kann. Eine von
Kanten begrenzte Region der Fläche, in der keine Knoten liegen, heißt Facette. (Die Fläche um den Graphen
”
herum“ zählt auch als Facette.)
Sei nun G = (V, E) ein beliebiger zusammenhängender planarer Graph mit n Knoten, m Kanten und f
Facette
(a)
K5
(b)
K3,3
Abbildung 1: (a) Ein planarer und (b) zwei nicht-planare Graphen.
Facetten.
(a) Zeigen Sie durch Induktion nach f , dass gilt: n − m + f = 2 (Eulersche Polyedersatz).
(b) Sei g die Länge eines kürzesten Kreises in G. Ist G kreisfrei, setzt man g = ∞.
g
· (n − 2). Folgern Sie, dass m ≤ 3n − 6 ist.
Zeigen Sie: m ≤ g−2
Hinweise: (i) Behandeln Sie Brücken gesondert. (ii) Sei fi die Anzahl der Facetten in einem brückenlosen Graphen, die durch i Kanten begrenzt werden. Was ist ∑i i · fi ? (Beachten Sie, dass auch die
Fläche um den Graphen herum“ eine Facette ist.)
”
Nutzen Sie diese Eigenschaft planarer Graphen, um zu zeigen, dass K5 und K3,3 nicht planar sind.
(c) Zeigen Sie, dass G mindestens einen Knoten mit Grad 5 oder kleiner enthält.
(d) Entwerfen Sie einen Algorithmus, der eine Knotenfärbung von G mit 6 Farben berechnet.