Ubungen zur Vorlesung - Lehrstuhl für Informatik 12
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Rolf Wanka
Erlangen, 7. Mai 2013
Übungen zur Vorlesung
Approximationsalgorithmen
SS 2013
Blatt 3
L EONHARD E ULER (* 15. April 1707 in Basel, † 18. September 1783 in Sankt
Petersburg) ist einer der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten.
Sein 1736 veröffentlichter Aufsatz Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis beschäftigt sich mit dem Königsberger Brückenproblem. Diese
Veröffentlichung gilt als der Erfindungsaufsatz der Graphentheorie.
Zwei 1758 erschienene, bereits 1752 geschriebene Aufsätze enthalten den
Eulerschen Polyedersatz, den wir in Aufgabe 8 beweisen und dazu nutzen werden, Graphen zu färben.
Viele weitere fundamentale Ergebnisse gehen ebenfalls auf Euler zurück,
1 n
wie z. B. die Bestimmung des Grenzwertes lim 1 +
und die wunderbare
n→∞
n
iπ
Beziehung e = −1, die den Namen Eulersche Identität trägt, um nur noch
ein paar kurz beschreibbare seiner Ergebnisse zu nennen.
Aber auch unser wissenschaftlicher Alltag wird durch Euler mitbestimmt. Die Schreibweise f (x) für
Funktionen geht ebenso auf sein Konto wie das Summenzeichen Σ und die Bezeichnungen π für die Kreiszahl
und i für die imaginäre Einheit, um von e, der Euler-Zahl, ganz zu schweigen, die er wohl e nannte, weil er
sie bei der Untersuchung der natürlichen Exponentialfunktion entdeckte.
AUFGABE 9:
Sei G ein beliebiger zusammenhängender planarer Graph mit n Knoten, m Kanten und f Facetten. (vgl. Abbildung 1(a): Der Graph hat 6 Knoten, 11 Kanten und 7 Facetten, inkl. der Außen-Facette“).
”
Facette
(a)
K5
(b)
K3,3
Abbildung 1: (a) Ein planarer Graph; (b) der K5 und der K3,3 .
(a) Zeigen Sie durch Induktion nach f , daß gilt: n − m + f = 2.
Anmerkung: Diese Aussage ist der berühmte Eulersche Polyedersatz (überlegen Sie sich, was planare Graphen
mit Polyedern zu tun haben).
(b) Sei g die Länge eines kürzesten Kreises in G. Ist G kreisfrei, setzt man g = ∞. g heißt die Taillenweite
(engl.: girth) von G.
Zeigen Sie: m ≤
g
g−2
· (n − 2). Folgern Sie, daß m ≤ 3n − 6 ist.
Nehmen Sie nun an, daß G sogar ein zusammenhängender planarer bipartiter Graph ist. Stellen Sie
eine noch schärfere Beziehung zwischen m und n her.
Hinweise:
(i) Eine Brücke ist eine Kante in einem Graphen, deren Entfernung den Graphen in mehrere Teile
(Zusammenhangskomponenten) zerfallen läßt. Behandeln Sie Brücken gesondert.
(ii) Sei fi die Anzahl der Facetten in einem brückenlosen Graphen, die durch i Kanten begrenzt
werden. Was ist ∑i i · fi ?
Nutzen Sie diese Eigenschaft planarer Graphen, um zu zeigen, daß K5 und K3,3 (vgl. Abbildung 1(b))
nicht planar sind.
Anmerkung: Daß m ≤ 3n − 6 ist, ist eine für Algorithmen auf planaren Graphen sehr nützliche
Eigenschaft, denn sie bedeutet, daß die Zahl der Kanten planarer Graphen linear in der Anzahl der
Knoten ist!
(c) Zeigen Sie, daß G mindestens einen Knoten mit Grad 5 oder kleiner enthält.
(d) Geben Sie einen Algorithmus an, der eine Knotenfärbung von G aus höchstens 6 Farben berechnet.
AUFGABE 10:
Sei G = (V, E) ein Graph.
Eine Knotenüberdeckung (engl.: vertex cover) ist eine Knotenmenge C ⊆ V , so daß für jede Kante {u, v} ∈ E
/ Das NP-vollständige Entscheidungsproblem VC ist die Frage, ob es zu gegebenem Gragilt: {u, v} ∩C 6= 0.
phen und einer Zahl K eine Knotenüberdeckung C gibt mit |C| ≤ K. Beim entsprechenden Optimierungsproblem soll eine kleinste Knotenüberdeckung bestimmt werden.
Eine Knotenmenge U ⊆ V heißt unabhängige Menge (engl.: independent set), wenn für alle u, v ∈ U gilt:
{u, v} 6∈ E. Das NP-vollständige Entscheidungsproblem IS ist die Frage, ob es zu gegebenem Graphen und
einer Zahl K eine unabhängige Menge U gibt mit |U | ≥ K. Beim entsprechenden Optimierungsproblem soll
eine größte unabhängige Menge bestimmt werden.
(a) Zeigen Sie: C ist genau dann eine Knotenüberdeckung von G = (V, E), wenn U = V \ C eine unabhängige Menge ist. Zeigen Sie außerdem: C ist genau dann eine optimale Lösung für VC, wenn
U = V \C eine optimale Lösung für IS ist.
Hinweis: Dies sind die sehr einfachen Reduktionen, die man anwendet, wenn man IS auf VC und
umgekehrt für NP-Vollständigkeitsbeweise reduziert.
(b) Zeigen Sie, daß der nachfolgende Algorithmus G REEDY VC das Problem VC mit relativer Güte 2
approximiert.
A LGORITHMUS G REEDY VC
/
C := 0;
while E 6= 0/ do
wähle eine Kante {u, v} aus G;
C := C ∪ {u, v};
lösche in G die Knoten u und v und die zu ihnen adjazenten Kanten
done;
gib C aus.
(c) Kann man mit der Reduktion aus (a) und dem Algorithmus aus (b) einen guten Approximationsalgorithmus für IS angeben? Welche Güte erreichen Sie?
