Blatt 2 - Lehrstuhl für Informatik 12

Rolf Wanka
Erlangen, 24. April 2012
Übungen zur Vorlesung
Approximationsalgorithmen
SS 2012
Blatt 2
Zur Erinnerung: Sei G ein ungerichteter Graph. Dann nennt man die minimale Anzahl an Farben,
mit denen G knotengefärbt werden kann, die chromatische Zahl χ(G) von G. Für das Problem der
Knotenfärbung ist also OPT(G) = χ(G).
AUFGABE 5:
Die Analyse des Algorithmus G REEDY C OL ergab, daß G REEDY C OL (G) ≤ ∆(G) + 1 gilt.
Seien ∆ und c zwei beliebige natürliche Zahlen mit ∆ ≥ c ≥ 2. Konstruieren Sie einen Graphen
G mit maximalem Grad ∆ und χ(G) = c. Vergessen Sie nicht die Begründung für die Korrektheit
Ihrer Konstruktion.
AUFGABE 6:
Betrachten Sie den Algorithmus G REEDY E DGE C OL, der ganz analog zu G REEDY C OL aus der
Vorlesung die Kanten des Eingabegraphen G auf greedy“ Art und Weise färbt.
”
(a) Bestimmen Sie für G REEDY E DGE C OL eine möglichst kleine absolute Gütegarantie κ in Abhängigkeit vom Grad ∆(G).
(b) Zeigen Sie, daß mit dem κ aus (a) der in der Abbildung 1 dargestellte Graph ein κ-Zeuge
gegen G REEDY E DGE C OL ist.
Sei G = (V, E) ein beliebiger ungerichteter Graph mit m = |E| Kanten, der bereits von G REEDY C OL
gefärbt worden ist. Somit sind die Knoten aufgeteilt in die Farbklassen Ui = {u ∈ V | u bekam
Farbe i}. Sei außerdem f (m) die maximale Zahl der Farben,√
die GREEDY C OL über alle Graphen
mit m Kanten vergibt. Unser Ziel ist also zu zeigen: f (m) ≤
2m
Wir schauen jetzt auf die Knoten, die die Farbe 1 bekommen haben. Sei
k=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
(a) Warum gilt die folgende Rekursion für f (hier geht die Arbeitsweise von G REEDY C OL ein)?
f (0) = 1
f (m) ≤ f (m − k) + 1
√
(b) Warum gilt m − k ≤ 21 · k · (k − 1) ? Zeigen Sie damit: 2k + 1 ≥ 2 2m
√ 2m
(c) Nutzen Sie dies alles, um induktiv zu zeigen: f (m) ≤
√
√
Hinweis: Bei der Rechnung kann vermutlich 2m + 1 − 2 2m = ( 2m − 1)2 genutzt werden.
AUFGABE 8:
Das unter dem Namen S ET C OVER bekannte Problem der Mengenüberdeckung minimaler Kardinalität kann folgendermaßen beschrieben werden:
Gegeben sei eine endliche Menge V = {u1 , . . . , un } von Objekten und eine Sammlung S = {S1 , . . . , Sm }
S
von Teilmengen von V mit mj=1 S j = V . Gesucht ist eine möglichst kleine Teilmenge S cov =
Sℓ
{Si1 , . . ., Siℓ } von S mit j=1 Si j = V . In Abbildung 3 sehen Sie ein Beispiel.
Das Enscheidungsproblem, bei dem zu der Sammlung S noch eine Zahl k mitgegeben wird und
bei dem die Frage Gibt es eine Mengenüberdeckung der Kardinalität k ?“ zu beantworten ist, ist
”
NP-vollständig.
S3
⋅⋅⋅
degG (u) .
Benutzen Sie bei der Argumentaion im folgenden auch den Graphen G′ = (V ′ , E ′ ), der übrig bleibt,
wenn aus G die Knoten aus U1 und die zu ihnen inzidenten Kanten entfernt werden.
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
∑
u∈U1
S1
u1
u2
u5
u9
u6
u 10
Abbildung 1: κ-Zeuge gegen G REEDY E DGE C OL
S2
u3
AUFGABE 7:
In der Vorlesung haben wir gesehen, daß der Algorithmus G REEDY C OL zum Eingabegraphen G =
(V, E) höchstens ∆(G) + 1 Farben vergibt. Da ∆(G) = |E| sein kann, ist damit also eine (ziemlich
schlechte, beinahe triviale) allgemeine Schranke von G REEDY C OL (G) ≤ |E| + 1 gezeigt, wenn wir
G REEDY C OL(G) in bloßer Abhängigkeit von |E| angeben wollen.
Ziel dieser Aufgabe ist
in |E| bessere Schranke zu bestimmen, nämlich zu zeigen, daß gilt:
pes, eine
2|E|
G REEDY C OL (G) ≤
S5
S4
u7
u8
u4
u 11
u 12
S6
Abbildung 2: Eine Instanz S von S ET C OVER. S cov = {S3 , S4 , S5 } ist eine minimale Überdeckung.
Zeigen Sie durch Selbstreduktion, daß, falls P 6= NP ist, S ET C OVER nicht mit konstanter absoluter
Gütegarantie approximierbar ist.