Blatt 2 - Informatik 12

Rolf Wanka
Erlangen, 30. April 2010
Übungen zur Vorlesung
Approximationsalgorithmen
SS 2010
Blatt 2
AUFGABE 4:
Betrachten Sie den Algorithmus G REEDY E DGE C OL, der ganz analog zu G REEDY C OL aus der
Vorlesung die Kanten des Eingabegraphen G auf greedy“ Art und Weise färbt.
”
(a) Bestimmen Sie für G REEDY E DGE C OL eine möglichst kleine absolute Gütegarantie κ in Abhängigkeit vom Grad ∆(G).
(b) Zeigen Sie, daß mit dem κ aus (a) der in der Abbildung 1 dargestellte Graph ein κ-Zeuge
gegen G REEDY E DGE C OL ist.
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
Wieviele Möglichkeiten gibt es, daß v̄ mit zwei Knoten aus der gleichen Reihe beginnt?
(b) Seien v1 und v2 in verschiedenen Reihen und durch eine Kante miteinander verbunden.
– Wieviele Farben vergibt G REEDY C OL VAR, falls v3 in der gleichen Reihe wie v1 ist,
und warum?
– Wieviele Farben vergibt G REEDY C OL VAR, falls v3 ebenfalls mit v1 durch eine Kante
verbunden ist, und warum?
Wieviele Möglichkeiten gibt es insgesamt, die ersten drei Knoten v1 , v2 , v3 auf die beiden hier
beschriebenen Arten zu wählen?
(c) Wieviele Farben vergibt G REEDY C OL VAR, wenn keiner der in (a) und (b) beschriebenen
Fälle eintritt?
Berechnen Sie nun p.
AUFGABE 6:
Das unter dem Namen S ET C OVER bekannte Problem der Mengenüberdeckung minimaler Kardinalität kann folgendermaßen beschrieben werden:
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
(a) Wieviele Farben vergibt G REEDY C OL VAR, falls v1 , v2 ∈ R1 sind, und warum? (Analog für
v1 , v2 ∈ R2 )
⋅⋅⋅
Abbildung 1: κ-Zeuge gegen G REEDY E DGE C OL
AUFGABE 5:
Wir hatten in der Vorlesung gesehen, daß der in Abbildung 2 dargestellte Graph Gbad ein (∆(Gbad )−
1)-Zeuge auch gegen den Algorithmus G REEDY C OL VAR ist.
Gegeben sei eine endliche Menge V = {u1 , . . . , un } von Objekten und eine Sammlung S = {S1 , . . . , Sm }
S
von Teilmengen von V mit mj=1 S j = V . Gesucht ist eine möglichst kleine Teilmenge S cov =
Sℓ
{Si1 , . . ., Siℓ } von S mit j=1 Si j = V . In Abbildung 3 sehen Sie ein Beispiel.
Das Enscheidungsproblem, bei dem zu der Sammlung S noch eine Zahl k mitgegeben wird und
bei dem die Frage Gibt es eine Mengenüberdeckung der Kardinalität k ?“ zu beantworten ist, ist
”
NP-vollständig.
S3
S1
S5
S4
u1
u5
u9
u2
u6
u 10
S2
Abbildung 2: Gbad
Sei n die Anzahl der Knoten, und möge G REEDY C OL VAR jeweils den nächsten zu färbenden
Knoten zufällig aus den ungefärbten Knoten auswählen. In dieser Aufgabe wollen wir zeigen, daß
diese Variante von G REEDY C OL VAR mit Wahrscheinlichkeit
3
2n − 5
= 1−
p=
2n − 2
2n − 2
auf Gbad eine optimale 2-Färbung findet.
Mit R1 bezeichnen wir die Knoten der oberen Reihe, mit R2 die der unteren Reihe. Es gilt: |R1 | =
|R2 | = n2 . Sei v̄ = (v1 , v2 , . . ., vn ) die Reihenfolge, in der die Knoten von G REEDY C OL VAR besucht
werden. Es gibt n! verschiedene Möglichkeiten für v̄.
u3
u7
u8
u4
u 11
u 12
S6
Abbildung 3: Eine Instanz S von S ET C OVER. S cov = {S3 , S4 , S5 } ist eine minimale Überdeckung.
Zeigen Sie durch Selbstreduktion, daß, falls P 6= NP ist, S ET C OVER nicht mit konstanter absoluter
Gütegarantie approximierbar ist.