Blatt 6 - Lehrstuhl für Informatik 12

Rolf Wanka
Erlangen, 22. Mai 2012
Übungen zur Vorlesung
Approximationsalgorithmen
SS 2012
Blatt 6
AUFGABE 15:
In der Vorlesung wurde durch eine Reduktion des Hamiltonkreis-Problems gezeigt, daß das allgemeine TSP (vermutlich) mit keiner gutartigen Gütegarantie approximert werden kann. Ziel dieser
Aufgabe ist es, durch eine derartige Reduktion einen Bereich für die relative Gütegarantie auszuschließen.
Beim NP-vollständigen Entscheidungsproblem PARTITION ist eine Menge M = {a1 , . . . , an } von n
Objekten gegeben. Die Objekte haben rationale Größen s(a1 ) ≥ · · · ≥ s(an). Die zu beantwortende
Frage ist Kann M disjunkt in zwei Teilmengen A und B zerlegt werden, so daß s(A) = s(B) ?“ Der
”
Einfachheit halber nehmen wir auch an, daß 2s(a1) ≤ s(M) ist, da es sonst sowieso keine solche
Zerlegung geben kann.
Beim Optimierungsproblem B IN PACKING (vgl. Aufgabe 14 auf Blatt 5) ist eine Menge M =
{a1 , . . . , an } von n Objekten gegeben. Die Objekte haben rationale Größen 1 ≥ s′ (a1 ) ≥ · · · ≥
s′ (an ) ≥ 0. Die Aufgabe besteht darin, M disjunkt in möglichst wenig Teilmengen B1 , . . ., Bk zu
zerlegen, so daß für alle Bi gilt: s′ (Bi ) ≤ 1. Hier haben wir ein Optimierungsproblem, in dem in der
Beschreibung rationale Zahlen vorkommen, die Wertefunktion dagegen ganzzahlig ist.
(a) Zeigen Sie unter der Annahme P 6= NP: Aus der NP-Vollständigkeit von PARTITION folgt,
daß es keinen Approximationsalgorithmus (polynomieller Laufzeit) für B IN PACKING mit
relativer Gütegarantie ρ gibt mit ρ < 32 .
Hinweis: Ein Scaling-Argument führt auch hier zum Ziel: Modifizieren Sie die Größe der
Objekte bei PARTITION geschickt “.
”
(b) Es gibt einen polynomiellen Approximationsalgorithmus für B IN PACKING mit Namen First
11
3
Fit Decreasing (FFD). Seine Garantie ist FFD(I) ≤ 11
9 · OPT(I) + 4. Nun ist 9 < 2 . Widerspricht dies nicht dem Ergebnis von (a)?
AUFGABE 16:
(a) Sei Π ein Minimierungsproblem, und sei für ein festes k ∈ IN die Beantwortung der Frage
Ist zur Eingabe I von Π der Wert OPT(I) ≤ k ?“ NP-vollständig.
”
Zeigen Sie: Gibt es einen polynomiellen Approximationsalgorithmus A für Π mit ρA (n) 1 + 1k , dann ist P = NP.
(b) Wenden Sie die Aussage auf das Knotenfärbungsproblem an, um zu zeigen, daß es nicht mit
relativer Güte echt kleiner 4/3 approximiert werden kann.
Hinweis: Zu entscheiden, ob ein Graph 3-färbbar ist, ist NP-vollständig.
AUFGABE 17:
Wir untersuchen in der Vorlesung die Gütegarantie des folgenden Algorithmus G REEDY C OL 2.
A LGORITHMUS G REEDY C OL 2
t := 1;
while V 6= 0/ do
G := der durch V induzierte Graph;
Ut := G REEDY IS(G);
{Siehe →}
färbe alle Knoten in Ut mit Farbe t;
V := V −Ut ;
t := t + 1;
done;
gib die berechnete Färbung aus.
A LGORITHMUS G REEDY IS
/
U := 0;
while V 6= 0/ do
G := der durch V induzierte Graph;
u := ein Knoten mit minimalem Grad in G;
V := V − ({u} ∪ ΓG (u));
U := U ∪ {u};
done;
gib U aus.
In dieser Aufgabe schauen wir auf die relative Abweichung.
Für k ≥ 0 sei Gk = (Vk , Ek ) der folgende, rekursiv definierte Graph:
• G0 besteht aus nur einem Knoten.
• Gk erhält man aus Gk−1 , indem jeder Knoten aus Vk−1 einen neuen Nachbarn bekommt, mit
dem nur er verbunden ist.
(a) Zeichnen Sie G4 . Wieviele Knoten und Kanten hat Gk ?
(b) Welches ist für k ≥ 1 die chromatische Zahl χ(Gk ) von Gk ?
(c) Wieviele Farben vergibt G REEDY C OL 2 für k ≥ 1 auf Gk , oder, anders gefragt, wie groß ist
G REEDY C OL 2(Gk )/OPT(Gk )?
AUFGABE 18:
Ein ganz streng polynomielles Approximationsschema ist ein streng polynomielles Approximationsschema (FPAS), dessen Laufzeit nur O(poly(|I|, log( 1ε ))) ist.
Zeigen Sie: Gibt es für ein kombinatorisches Optimierungsproblem, dessen Entscheidungsvariante
NP-vollständig ist und bei dem die Werte mit O(poly(|I|)) Bits dargestellt werden können, ein ganz
streng polynomielles Approximationsschema, dann ist P = NP. Lassen Sie sich dabei von Satz 4.2
inspirieren.