¨Ubungen zur Vorlesung Approximationsalgorithmen SS 2010 Blatt 5

Rolf Wanka
Erlangen, 21. Mai 2010
Übungen zur Vorlesung
Approximationsalgorithmen
SS 2010
Blatt 5
AUFGABE 12:
In der Vorlesung wurde durch eine Reduktion des Hamiltonkreis-Problems gezeigt, daß das allgemeine TSP (vermutlich) mit keiner gutartigen Gütegarantie approximert werden kann. Ziel dieser
Aufgabe ist es, durch eine derartige Reduktion einen Bereich für die relative Gütegarantie auszuschließen.
Beim NP-vollständigen Entscheidungsproblem PARTITION ist eine Menge M = {a1 , . . . , an } von n
Objekten gegeben. Die Objekte haben rationale Größen s(a1 ) ≥ · · · ≥ s(an). Die zu beantwortende
Frage ist Kann M disjunkt in zwei Teilmengen A und B zerlegt werden, so daß s(A) = s(B) ?“ Der
”
Einfachheit halber nehmen wir auch an, daß 2s(a1) ≤ s(M) ist, da es sonst sowieso keine solche
Zerlegung geben kann.
Beim Optimierungsproblem B IN PACKING (vgl. Aufgabe 11) ist eine Menge M = {a1 , . . . , an} von
n Objekten gegeben. Die Objekte haben rationale Größen 1 ≥ s′ (a1 ) ≥ · · · ≥ s′ (an) ≥ 0. Die Aufgabe besteht darin, M disjunkt in möglichst wenig Teilmengen B1 , . . . , Bk zu zerlegen, so daß für alle
Bi gilt: s′ (Bi ) ≤ 1. Hier haben wir ein Optimierungsproblem, in dem in der Beschreibung rationale
Zahlen vorkommen, die Wertefunktion dagegen ganzzahlig ist.
(a) Zeigen Sie unter der Annahme P 6= NP: Aus der NP-Vollständigkeit von PARTITION folgt,
daß es keinen Approximationsalgorithmus (polynomieller Laufzeit) für B IN PACKING mit
relativer Güte ρ gibt mit ρ < 32 .
Hinweis: Ein Scaling-Argument führt auch hier zum Ziel: Modifizieren Sie die Größe der
Objekte bei PARTITION geschickt “.
”
(b) Es gibt einen polynomiellen Approximationsalgorithmus für B IN PACKING mit Namen First
11
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Fit Decreasing (FFD). Seine Garantie ist FFD(I) ≤ 11
9 · OPT(I) + 4. Nun ist 9 < 2 . Widerspricht dies nicht dem Ergebnis von (a)?
AUFGABE 13:
(a) Sei Π ein Minimierungsproblem, und sei für ein festes k ∈ IN die Beantwortung der Frage
Ist zur Eingabe I von Π der Wert OPT(I) ≤ k ?“ NP-vollständig.
”
Zeigen Sie: Gibt es einen polynomiellen Approximationsalgorithmus A für Π mit ρA (n) 1 + 1k , dann ist P = NP.
(b) Wenden Sie die Aussage auf das Knotenfärbungsproblem an, um zu zeigen, daß es nicht mit
relativer Güte echt kleiner 4/3 approximiert werden kann.
Hinweis: Zu entscheiden, ob ein Graph 3-färbbar ist, ist NP-vollständig.
AUFGABE 14:
Ein ganz streng polynomielles Approximationsschema ist ein streng polynomielles Approximationsschema (FPAS), dessen Laufzeit nur O(poly(|I|, log( 1ε ))) ist.
Zeigen Sie: Gibt es für ein kombinatorisches Optimierungsproblem, dessen Entscheidungsvariante
NP-vollständig ist und bei dem die Werte mit O(poly(|I|)) Bits dargestellt werden können, ein ganz
streng polynomielles Approximationsschema, dann ist P = NP. Lassen Sie sich dabei von Satz 4.2
inspirieren.
AUFGABE 15:
Beim NP-vollständigen Entscheidungsproblem S UBSET S UM ist eine Folge ā = {a1 , . . . , an } von
natürlichen Zahlen und eine einzelne natürlich Zahl S gegeben. Gesucht ist eine Indexmenge U ,
U ⊆ {1, . . ., n}, so daß ∑i∈U ai = S gilt.
(a) Entwerfen Sie einen pseudopolynomiellen Algorithmus, der S UBSET S UM in Zeit O(n · S)
löst. Verwandeln Sie Ihren Entscheidungsalgorithmus in einen Algorithmus, der U berechnet,
falls es diese Menge gibt.
Hinweis: Betrachten Sie einen Algorithmus, der dynamische Programmierung benutzt, um
die folgende Funktion f (i, g) zu berechnen: f (i, g) = 1, wenn es eine Menge W ⊆ {a1 , . . . , ai }
gibt mit s(W ) = g. Sonst ist f (i, g) = 0.
(b) Was muß man ändern, um das Entscheidungsproblem PARTITION (vgl. Aufgabe 12) mit
einem pseudopolynomiellen Algorithmus zu lösen?