Lösungshinweise zur Klausur

Berechenbarkeit und Komplexitätstheorie
Wintersemester 16/17
Prof. Dr. Thomas Thierauf
Fak. Elektronik und Informatik
Lösungshinweise zur Klausur
vom 7. Februar 2017
1. Für a ∈ {0, 1}
Z ×Γ δ
(z0 , 0) (z0 , 0, R)
(z0 , 1) (z1 , 1, R)
(z0 , ) (z2 , , L)
(z1 , 0) (z1 , 0, R)
(z1 , 1) (z0 , 1, R)
(z1 , ) (zr , 1, L)
(z2 , a) (z3 , , L)
(z2 , ) (zr , , N )
(z3 , a) (z3 , a, L)
(z3 , ) (za , , R)
2. Für a ∈ {0, 1}
Z ×Γ
δ
(z0 , 0, ) (z0 , 0, 0, R, R)
(z0 , 1, ) (z0 , 1, 0, R, R),
(z1 , 1, , R, L)
(z1 , a, 0) (z1 , a, 0, R, L)
(z1 , a, ) (z2 , a, , N, R)
(z1 , , 0) (za , , 0, N, N )
(z1 , , ) (za , , , N, N )
(z2 , a, 0) (z2 , a, 0, R, R)
(z2 , , 0) (za , , 0, N, N )
(z2 , , ) (za , , , N, N )
3. H0 ≤ L: Sei x eine Eingabe für H0 . Wir konstruieren eine TM M .
Eingabe w: Starte Maschine Mx auf Eingabe x. Falls Mx (x) hält, dann akzeptiere.
Sei y die Kodierung von M , also M = My . Dann gilt x ∈ H0 ⇐⇒ y ∈ L:
1. x ∈ H0 =⇒ L(My ) = {0, 1}∗ unendlich =⇒ y ∈ L
2. x 6∈ H0 =⇒ L(My ) = ∅ endlich =⇒ y 6∈ L
4. Das Weihnachtsmann-Problem ist in NP, da man die Tüten nichtdeterministisch an die
Kinder verteilen kann und anschließend prüft, ob jedes Kind die gleiche Anzahl Bonbons hat.
Wir reduzieren Partition auf das Weihnachtsmann-Problem. Gegeben sind also n Zahlen
a1 , . . . , an . Gefragt ist, ob man diese Zahlen in zwei gleich große Teile zerlegen kann. Beim
Weihnachtsmann-Problem sind n Tüten mit jeweils b1 , . . . , bn Bonbons für k Kinder gegeben.
Wir definieren k = 2 und setzen bi = ai , für i = 1, . . . , n,
Dann gilt (a1 , . . . , an ) ∈ Partition ⇐⇒ (b1 , . . . , bn , k) ∈ Weihnachtsmann-Problem.
5. Das Kino-Problem ist in NP: rate nichtdeterministisch eine Verteilung der Filme und
prüfe, dass die Summe der Laufzeiten in jedem Kinosaal ≤ T ist.
Reduktion von Bin Packing: Sei a1 , a2 , . . . , an , B, k eine Eingabe für Bin Packing.
Definiere ti = ai für i = 1, 2, . . . , n und T = B. Dann gilt: eine Verteilung von a1 , a2 , . . . , an
auf k Bins der Größe B entspricht einer Verteilungen der Filme t1 , t2 , . . . , tn auf die k Kinosäle
mit Gesamtdauer ≤ T , und umgekehrt.
6. Eine minimale Knotenüberdeckung ist {7, 8, 9, 10, 11, 12}. Der 2-ApproximationsAlgorithmus könnte z.B. folgende Knotenpaare wählen: {7, 8}, {9, 10}, {11, 12}. Eine maximale unabhängige Knotenmenge ist {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Eine maximale Clique ist {1, 7, 12}. Die
chromatische Zahl von G ist 3.
Euler Kreis: (1, 7, 2, 8, 3, 9, 4, 10, 5, 11, 6, 12, 7, 8 ,9 ,10, 11, 12).
Hamilton Kreis: (1, 7, 2, 8, 3, 9, 4, 10, 5, 11, 6, 12).
7. Nearest Neighbor: 1 → 4 → 3 → 2 → 5 → 6 → 1, Länge 22.
Nearest Insertion konstruiert eine Tour der Länge 16:
(1) → (1, 4) → (1, 4, 5) → (1, 4, 3, 5) → (1, 4, 3, 2, 5) → (1, 4, 3, 6, 2, 5)
Punkte
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
Note
4,0
3,7
3,3
3,0
2,7
2,3
2,0
1,7
1,3
1,0