¨Ubung zum Lehrerweiterbildungskurs `Stochastik` WiSe 2012/2013

Übung zum Lehrerweiterbildungskurs ’Stochastik’
WiSe 2012/2013 und SoSe 2013
Wiederholung/Aufgabe 1 (Pfadregeln, Erwartungswert)1
Wir betrachten folgendes sehr vereinfachte Modell einer Call-Option2 auf
eine Aktie der L-AG (“Underlying” genannt), die zur Zeit (3. April 2013)
einen Kursstand von 145 Euro hat. Ihre Bank bietet Ihnen dazu folgendes
“Geschäft” an: Wenn der Kurs ST zum (Fälligkeits-)Zeitpunkt T =April 2014
größer als der (“Strike”) K = 112 ist, bekommen Sie von ihr die Differenz zu
K ausgezahlt, wenn er kleiner ist, bekommen Sie nichts.
Die Frage ist: Wieviel ist Ihnen eine solche Call-Option wert und was kann
die Bank als Verkäufer der Option verlangen? In einem ersten Ansatz wird
vernachlässigt, dass zwischendurch geschicktes Kaufen und Verkaufen, auch
Leerverkauf, den Gewinn verbessern kann. Außerdem wird nur von folgenden
Zeitpunkten für den Börsenhandel ausgegangen:
t = 0 (heute,3.April 2013), t = 1 (August 2013), t = 2 (Dezember 2013), T
(April 2014).
Da auf steigende Kursverläufe gesetzt wird, geht man davon aus, dass sich
pro Zeitschritt der Kurs der Aktie mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 34
um 20% nach oben und mit einer Wahrscheinlichkeit von q = 14 um 20%
nach unten entwickelt. Wie groß ist in diesem stark vereinfachten Modell die
erwartete Auszahlung?
Lösungsskizze
Das Modell lässt sich mit Hilfe eines Binomialbaums darstellen, der hier
(mit identifizierten Knoten gleichen Kurses) gezeichnet ist. Zu den EndKursständen S3 zum Zeitpunkt T gibt es dann als Auszahlung C 138,56
bzw. 55,04 bzw. 0 Euro (s.rechts in der Figurt).
Der zum Baum gehörende Grundraum Ω besteht aus den 8 Pfaden, die zu
den Blättern führen. Für die zugehörige Wahrscheinlichkeit P auf Ω sind die
Elementarwahrscheinlichkeiten dann die Pfad-Wahrscheinlichkeiten.
1
frei nach Francesca Biagini und Daniel Rost: Money out of nothing? ...Mitt.d.DMV
21-1 (2013)p.18ff.
2
Eine solche Call-Option ist ein gängiges Finanzinstrument zur Absicherung gegen steigende Kursverläufe, z.B. wenn man vorhat, die “L-Aktie” zum Zeitpunkt T zu erwerben,
aber nicht mehr als K Euro zahlen möchte.
Alternativ kann man die Binomialverteilung heranziehen, da das oberste
Blatt nach 3 Erfolgen (Kurssteigerungen), das darunter mit 2 Erfolgen erreicht werden. Also 3 27
,
P (ST = 250, 56) = 33 p3 = 43 64
2
3 2
P (ST = 167, 04) = 2 p (1 − p) = 43 14 = 27
.
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Der Erwartungswert von C unter P ist damit
E(C) = 138, 56 ·
27
27
+ 55, 04 ·
= 81, 675.
64
64
Anmerkung: Es wäre allerdings nicht ratsam, in diesem Modell für die Option Euro 81,68 zu bezahlen, denn durch geschicktes Handeln (z.B. eine sogenannte “Hedge-Strategie”) lässt sich mit einem weitaus geringeren Einsatz
dieselbe Auszahlung erreichen, wie sie die Option liefert. Der faire Preis der
Option ist daher nicht der Erwartungswert der Auszahlung der Option.
2