Blatt 09 - Mathematisches Seminar - Christian-Albrechts

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Mathematisches Seminar
Prof. Dr. Jan Kallsen
Stephan Denkl
WS 2009/10
Blatt 9
Mathematical Finance
Aufgabe 1 (Hedgen mit europäischen Optionen)
Wir betrachten einen Markt mit konstantem Numeraire S 0 = 1, einer Aktie S 1 mit
kumulativem Dividendenprozess D1 , sowie liquide gehandelten Call- und Put-Optionen
S 2 , S 3 auf S 1 mit Fälligkeit N und Basispreis K > 0. Eine Bank emittiert ein Derivat
1
mit Auszahlung DN
zum Zeitpunkt N .
Geben Sie eine, aus den Wertpapieren (S 0 , S 1 , S 2 , S 3 ) bestehende, Duplikationsstrategie
für das Derivat an.
Aufgabe 2 (Call-Put-Symmetrie)
Es sei $n der Dollarkurs in Euro zum Zeitpunkt n und dementsprechend En = 1/$n der
Eurokurs in Dollar. Am Markt sei eine Call-Option C auf einen Dollar mit Fälligkeit N
und Basispreis K gehandelt, d. h. mit Auszahlung CN = ($N − K)+ Euro. Ferner sei in
den USA eine Put-Option P auf einen Euro mit Fälligkeit N und Basispreis K1 gehandelt,
d.h. mit Auszahlung PN = ( K1 − EN )+ Dollar.
Was können Sie mittels Arbitrageargumenten über den Zusammenhang der Preisprozesse
C, P aussagen?
Aufgabe 3 (Charakterisierung des Binomialmodells)
Sei S = (S 0 , S 1 ) ein positiver und nicht deterministischer Preisprozess mit Sn0 = (1+r)n für
1
n ∈ {0, . . . , N } und r > 0. Für Xn := SS1n gelte, dass X1 , . . . , XN stochastisch unabhängig
n−
und identisch verteilt sind. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen:
1. Der Markt ist vollständig und arbitragefrei.
2. Es liegt das Binominalmodell aus Abschnitt 4.4.3 vor.
Aufgabe 4 (Forward-Start-Option)
Im Binomialmodell aus Abschnitt 4.4.3 sei S 2 der faire Preisprozess einer Forward-StartOption auf S 1 , welche zum Zeitpunkt M < N zu einer europäischen Call-Option mit
1
Basispreis SM
und Fälligkeit N wird, d. h. ihre Auszahlung bei N beträgt
1 +
2
1
− SM
) .
SN
= (SN
Bestimmen Sie den Anfangspreis S02 der Option.
Hinweis: Verwenden Sie die Formel für den Preis einer europäischen Call-Option aus
Abschnitt 4.4.3.
Abgabe: Dienstag, 26. Januar 2009, zu Beginn der Vorlesung