AH HSW2 Mathematik Bundeswehrfachschule - hellinger

HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
WR.1.1 Elemente der Mengenlehre
Eine Menge ist die Zusammenfassung von wohlunterscheidbaren Objekten zu einem
begrifflichen Ganzen.
Außer den Zahlen auch Skalare genannt gibt es auch andere mathematische Objekte, die in
Mengen zusammengefasst werden können, wie z.B. vorkommenden Matrizen,
Determinanten, Vektoren usw.
Die Objekte, die zu einer Menge zusammengefasst sind, nennt man Elemente der Menge.
Eine endliche Menge kann man beschreiben, indem man ihre Elemente in geschweiften
Klammern aufzählt (s. 2.1).
Sei M1 = { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, dann ist 5 ∈ M1 und 7 ∉M1.
Sei M2 = { Wappen; Zahl }
Unendliche Mengen werden mit Hilfe einer Eigenschaft beschrieben wie z.B.
A={x|x ∈ N ∧ x>6}
Eine Menge, die keine Elemente enthält heißt leere Menge und wird als {} dargestellt.
Wenn die Anzahl der Elemente einer Menge M abzählbar ist, dann wird mit | M | die
Mächtigkeit der Menge bezeichnet. Die Mächtigkeit der Menge M1 aus ist 6, und die der
Menge M2 ist 2.
Sind alle Elemente einer Mange A in der Menge B enthalten, dann ist A eine Teilmenge von
B und diese Beziehung wird formell als
A⊂ B
geschrieben. Die Menge der geraden Zahlen ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen N .
Folgende Grundoperationen sind für die Verknüpfung von zwei Mengen relevant:
Vereinigung
A ∪ B = { x| x ∈ A oder auch x ∈ B }
Durchschnitt
A ∩ B = { x | x∈ A und zugleich x ∈ B }
Differenz
A \ B = { x | x∈ A und zugleich x ∉ B }
Ist G die Gesamtmenge, dann ist A =G \A das Komplement von A oder die nicht A
Menge
Kartesische Produkt
A x B = { (x; y) | x ∈ A und zugleich y ∈ B }
Beispiele:
{ 2; 3 ; 4 } ∪ {1; 2 ; 3 } = {1; 2; 3; 4 }
{ 2; 3 ; 4 } ∩ {1; 2 ; 3 } = { 2; 3 }
{ 2; 3 ; 4 } \ {1; 2 ; 3 } = { 4 }
{ 1; 5; } x {2 ; 3 } = { (1; 2) , (1 ; 3) ; (5; 2 ) , ( 5; 3) }
1
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
Das kartesiche Produkt R x R wird auch als R 2 geschrieben und liefert die Koordinaten aller
Punkte in einer Ebene.
Die Paare des kartesischen Produktes A x B werden auch 2-Tupel genannt und bilden eine
Relation zwischen den beiden Mengen.
Einige Definitionen werden kürzer, wenn logische Operatoren verwendet werden.
Folgende zwei davon auch Junktoren (Verbinder) genannt könnten die obigen Definitionen
kompakter machen und zwar:
(2.3)
∨ steht für oder auch
∧ steht für und zugleich
Ü1.1.1
Geben Sie die Menge der geraden Zahlen mathematisch korrekt an.
Ü1.2.1
Geben Sie die Menge der ungeraden Zahlen mathematisch korrekt an.
Ü1.3.0
Gegeben sind die Mengen A = { 2; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 12 } und B = { 2; 4 ; -2; 6 ; 12 }
Ü1.3.1
Bestimmen Sie A ∪ B , A ∩ B und A \ B.
Ü1.4.1
Liefern Sie graphische, d.h. im Rahmen einer Zeichnung (mit Hilfe von VennDiagramme), Beispiele für die Grundoperationen Vereinigung, Durchschnitt und
Differenz von Mengen.
Ü1.5.1
Deuten Sie das kartesische Produkt mit drei Faktoren R x R x R = R 3 . Kann in
der Mathematik die Anzahl der Faktoren im obigen kartesischen Produkt beliebig
erhöht werden?
Ü1.6.1
Bestimmen Sie die Mächtigkeit folgender Mengen:
a) A = {1; 2; 3 }
Ü1.7.1
b) B = {a; b; c }
c) C = A ∪ B ∪ {1; ...11 }
Geben Sie folgende Mengen aus R in der Intervallschreibweise an:
a) Offenes Intervall von 2 bis 5,6
b) Rechts halboffenes Intervall von 2 bis 5,6
c) Geschlossenes Intervall von 2 bis 5,6
d) Alle Zahlen die größer als 2 sind.
e) Alle Zahlen die kleiner oder gleich 2 sind.
2
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
WR.1.2 Das Zufallsexperiment und die Wahrscheinlichkeit
Für viele Phänomene gelingt es den Naturwissenschaften eine möglichst genaue
Beschreibung und auch entsprechende Vorhersagen über zukünftige Geschehnisse. Diese
Phänomene werden dann als deterministische Experimente bezeichnet. Es gibt aber auch
Phänomene bei denen eine genaue Beschreibung oder Vorhersagen nicht möglich sind, dann
wird von zufällige Ereignisse gesprochen. Diesen widmet sich die
Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Dafür werden idealisierte Modelle, die als Zufallexperimente bezeichnet werden, verwendet.
Ein Zufallsexperiment ist eine ideale gedankliche Konstruktion.
Jedes Zufallsexperiment besitzt eine Menge möglicher Versuchsausgänge. Jeder
Versuchsausgang wird Elementarereignis genannt. Die Menge all dieser Elementarereignisse
wird Ereignisraum genannt und mit Ω bezeichnet.
Beispiel 1:
Es wird ein (idealer) Würfel geworfen.
Der Ereignisraum ist die Menge der möglichen Augenzahlen Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Er hat 6 Elemente oder die Mächtigkeit 6.
Beispiel 2:
Es werden zwei unterscheidbare (ideale) Würfeln geworfen.
Die möglichen Elementarereignisse sind alle 36 möglichen geordneten Paare
von Augenzahlen
Ω =(1,1);(1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2),... (6,5)und(6,6 )
Beispiel 3:
In einer Urne befinden sich 5 rote, 3 blaue und 2 grüne Kugeln U (5r; 3b; 2g).
Es wird eine Kugel zufällig ("blind") herausgegriffen.
Ω = { r , b , g}
Wenn unsere Möglichkeiten nicht in der Lage sind exakte Voraussagen zu treffen, dann stellt
sich der Wunsch ein, zumindest ein Maß für die Unsicherheit anzugeben, die mit einem
Zufallsexperiment verbunden ist. Ein solches Maß ist die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperiments eine
Wahrscheinlichkeit für sein Eintreten zu.
Für ein beliebiges Ereignis A wird die ihm zugeordnete Wahrscheinlichkeit mit p(A)
bezeichnet.
3
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A ist immer eine reelle Zahl, für
die
p(A) ∈ [0 ; 1]
gilt.
Zwei Extremfälle gibt es:
p(A) = 1. d.h. das Ereignis A tritt mit Sicherheit ein.
p(A) = 0, d.h. das Ereignis A tritt mit Sicherheit nicht ein.
Je größer die Wahrscheinlichkeit p(A), umso "eher" ist anzunehmen, dass das Ereignis A
eintritt.
WR.1.3 Die relative Häufigkeit und die Wahrscheinlichkeit
Im folgenden Zufallsexperiment wird gezählt, wie oft bei n Würfel-Würfe die Augenzahl "2"
eintritt.
n
Wie oft die "2" eintritt
Relative Häufigkeit
6
1; 1; 0; 2; 0
0,1667;0,1667;0;0;0,33
60
7; 10; 8; 9; 9
0,1167; 0,1667;0,133;0,15:0;15
6000
1046; 1026; 986; 993; 963
0,174; 0,171; 0,164; 0,166; 0,161
60000
10058: 10104: 9985
0,167; 0,168; 0,166
Das Zufallsexperiment zeigt, dass die relativen Häufigkeiten mit wachsendem n einander
immer ähnlicher werden und liefert damit eine plausible Erklärung für folgende Definition zur
Berechnung der Wahrscheinlichkeit:
Die Wahrscheinlichkeit p(A) eines Ereignisses A ist die für eine gegen unendlich strebende Anzahl n
von Durchführungen des betreffenden Zufallsexperiments vorausgesagte relative Häufigkeit seines
Eintretens.
p(A) =
m
n
WR.1.4 Die Wahrscheinlichkeit für Laplace-Experimente
Die einfachsten Zufallsexperimente, die dadurch gekennzeichnet, dass jeder Versuchsausgang
gleich wahrscheinlich ist werden Laplace-Experimente genannt.
4
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
Ein typisches Beispiel ist der ideale Würfel (Beispiel 1). Selbst wenn die
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der einzelnen Augenzahlen nicht bekannt sind, sorgt
seine perfekte (ideale) Form dafür, dass sie alle gleich groß sind. Diese Information reicht
aber aus, sie konkret zu berechnen: Wird n mal gewürfelt, dann gilt für sehr großes n und
aufgrund der Gleichberechtigung der Augenzahlen voraus, dass jede gegebene Augenzahl n/6
mal eintreten wird. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer beliebigen Augenzahl ist
dann
n
1
p(Eine beliebige Augenzahl) = 6 =
n 6
Allgemein ist für Laplace-Experimente die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des
Ereignisses A durch den Quotienten
p(A) =
Anzahl der günstigen Ausgänge
Anzahl der möglichen Ausgänge
gegeben.
Die Definition wird angewandt auf den Zufallsexperimenten im Rahmen der obigen 3
Beispiele. Die ersten zwei sind Laplace-Experimente.
Beispiel 1
A = " Es wird dier Augenzahl 2 gewürfelt"
Bei 6 Würfel-Würfe ist die Wahrscheinlichkeit p(A) =
1
6
Beispiel 2
B = " Die Summe der Augenzahlen der beider Würfeln ist höchstens 3"
p(B) =
3
36
Beispiel 3
Dieses Experiment ist kein Laplace-Experiment, denn die Ausgänge für die drei Farben sind
unterschiedlich. Durch ein Gedanken-Trick kann man die Ausgänge für die einzelnen Farben
als Laplace-Experimente deuten, so dass auch hier die Berechnung für das Ereignis
C = "Es wird die grüne Kugel gezogen"
über den obigen Quotient
5
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
p(C) =
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
Anzahl der günstigen Ausgänge
Anzahl der möglichen Ausgänge
erfolgen kann.
p(C)=
2
10
WR.1.5 Die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten
Zwei Ereignisse A und B werden als unvereinbar oder disjunkt bezeichnet, wenn sie
einander ausschließend sind, d.h. wenn ihr Durchschnitt leer ist.
Im Rahmen des Zufallsexperimentes aus dem Beispiel 1 sind die beiden Ereignisse
A = "Es wird die Augenzahl 2 gewürfelt"
B = "Es werden ungerade Augenzahlen gewürfelt"
unvereinbar (disjunkt).
Disjunkte Ereignisse können nicht gleichzeitig eintreten deshalb gilt für die
Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung p(A ∪ B) die Additionsregel:
(W.F 1)
p(A ∪ B)= P(A) + P(B)
p(A ∪ B ) =
1 1 4
+ =
6 2 6
Ist A ein Ereignis, dann ist seine Komplementärmenge Ω \A, d.h. die Menge aller
Versuchsausgänge, die nicht in A enthalten sind, das Gegenereignis von A und wird mit A
bezeichnet.
Im Rahmen des Zufallsexperimentes aus dem Beispiel 1 ist das Gegenereignis von
A = " Es wird eine 2 gewürfelt"
A = " Es wird eine andere Zahl , d.h. keine 2, gewürfelt"
Die Ereignisse A und A sind unvereinbar (disjunkt), so dass für die Wahrscheinlichkeit deren
Vereinigung gilt:
p(A ∪ A ) = p(A) + P ( A ) = 1
Daraus ergibt sich die sehr häufig anwendbare Beziehung:
(W.F 2)
p(A) = 1 - p( A )
Zwei Ereignisse A und C werden als vereinbar oder nicht disjunkt bezeichnet, wenn sie
einander nicht ausschließend sind, d.h. wenn ihr Durchschnitt nicht leer ist.
Im Rahmen des Zufallsexperimentes aus dem Beispiel 1 sind die beiden Ereignisse
6
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
A = "Es wird die Augenzahl 2 gewürfelt"
C = "Es werden gerade Augenzahlen gewürfelt"
vereinbar (nicht disjunkt).
Vereinbare Ereignisse haben eine gemeinsame Schnittmenge deshalb gilt (wie in der
Mengenlehre einfach zu zeigen ist) für die Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung p(A ∪ C) die
erweiterte Additionsregel auch Sylvester-Regel bezeichnete Form:
(W.F 3)
p(A ∪ C)= P(A) + P(C) - p(A ∩ C)
WR.1.6 Die Multiplikationsregel für die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse
Zwei Ereignisse A und B werden als unabhängig (stochastisch unabhängig) bezeichnet,
wenn das Eintreten des einen nichts an der Chance, dass das andere eintritt, ändert.
Das gilt beispielsweise dann, wenn das Zufallsexperiment aus zwei (oder mehr) unabhängig
voneinander durchgeführten Teil-Zufallsexperimenten besteht.
Beispiel 4
In einer Klasse sind 6 weibliche und 8 männliche Lehrgangsteilnehmer (LT) . Für die
LT werden durch Losung 10 Laptops zur Verfügung gestellt.
Es weden folgend Ereignisse betrachtet:
A = " Die LT ist weiblich"
B = " Durch Losung ein Laptop erhalten"
Es ist offensichtlich, dass die beiden Ereignisse von einander stochastisch unabhängig sind.
Auch das Beispiel 2 liefert beim werfen unterscheidbarer Würfel (rot und schwarz) für die
einzelnen Würfeln stochastisch unabhängige Ereignisse.
Aus den beiden Ereignissen kann auch das Durchschnittsereignis
C=A ∩ B
gebildet werden, d.h. die Menge all jener Versuchsausgänge, die in A und zugleich in B
enthalten sind.
C = "Die weibliche LT, die einen Laptop zugelost bekommen hat"
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von stochastisch unabhängigen Ereignissen gibt
es eine einfache Formel, und zwar
(W.F 4)
p(A ∩ B ) = P(A) ·P(B)
Es gilt auch die Umkehrung, d.h. wenn für die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse die
Beziehung (W.F 4) gilt, dann sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.
7
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
WR.1.7 Die bedingte Wahrscheinlichkeit und die allgemeine Multiplikationsregel
Oft sind nur solche Versuchsausgänge eines Zufallsexperiments von Interesse, bei denen ein
bestimmtes Ereignis B eintritt. Damit tritt eine neue Fragestellung auf:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A unter der
Voraussetzung, dass B eingetreten ist? Diese Wahrscheinlichkeit wird die bedingte
Wahrscheinlichkeit genannt und mit p(A | B) oder p(A) B notiert.
Alle Versuchsausgänge, bei denen B nicht eintritt, werden ignoriert, d.h. es werden nur die
Ereignisse aus A ∩ B betrachtet, so dass für die Berechnung der bedingten
Wahrscheinlichkeit für das das Eintreten eines Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass B
eingetreten ist, gilt
(W.F 5)
p(A | B) =
p(A ∩ B)
p(B)
Daraus ergibt sich auch die allgemeine Multiplikationsregel
(W.F 6)
p( A ∩ B ) = p(A | B) · p(B) = p(B | A) · p(A)
Für komplexe Zufallsexperimente, die in mehreren Schritten vollzogen werden gibt es als
graphische Methoden der Buchführung das Baumdiagramm und die Vierfelder-Tafel. Diese
werden in den nachfolgenden Übungen ausführlich erläutert und erprobt.
Ü1.9 .0
Die Seiten eines idealen Würfels sind folgendermassen beschriftet:
Zwei Seiten mit "Treffer"; : Eine Seite mit "2" ; Zwei Seiten mit "3"; Eine Seite
mit "4".
Ü1.9.1
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p1, dass bei einem Wurf nicht "Treffer"
gewürfelt wird?
Ergebnis: p1 =
Ü1.9.2
4
6
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p2, dass bei zwei Würfe genau einmal Treffer
gewürfelt wird?
Ergebnis: p2 =
Ü1.10.0
4
9
Ein Glücksrad hat 4 gleiche Teilflächen. Auf zwei davon steht die "3" und auf den
anderen beiden die "1" und die "4".
8
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ü1.10.1
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p1, dass beim einmaligen Drehen der Pfeil
auf eine ungerade Zahl zeigt?
Ergebnis: p1 =
Ü1.10.2
3
4
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p2, dass nach zwei Drehungen die Summe der
angezeigten Zahlen 7 ist?
Ergebnis: p2 =
Ü1.11.0
2
8
Wird ein Reißnagel vom Typ I in die Luft geworfen, dann landet er in 30% der
Fälle auf dem Kopf andernfalls in Seitenlage. Der Reißnagel wird drei Mal
geworfen.
Ü1.11.1
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p1, dass er drei Mal in Seitenlage landet?
Ergebnis: p1 =0,3 3
Ü1.11.2
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p2, dass beim dritten Wurf zum ersten Mal
auf den Kopf landet?
Ergebnis: p2 = 0,147
Ü1.11.3
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p3, dass er abwechselnd auf beiden Lagen
landet?
Ergebnis: p3 = 0,21
Ü1.11.4
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p4, dass er höchstens einmal in Seitenlage
landet?
Ergebnis: p4 = 0,216
Ü1.12.0
Ein idealer Würfel wird drei Mal geworfen.
Ü1.12.1
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p1, dass die Augenzahl 1 drei Mal fällt?
1
Ergebnis: p1 = ( )3
6
Ü1.12.2
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p2, dass die Augenzahl 6 beim dritten Wurf
zum ersten Mal fällt.
Ergebnis: p2 =
Ü1.12.3
25
216
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p3, dass verschiedene Augenzahlen
geworfen werden.
Ergebnis: p3 =
5
9
9
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ü1.12.4
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p4, dass beim zweiten Wurf die Augenzahl
2 fällt.
Ergebnis: p4 =
Ü1.12.5
1
6
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p5, dass zwei oder drei gleiche
Augenzahlen fallen.
1 5
1
Ergebnis: p5 = 6 ⋅ 3 ⋅ ( ) 2 ⋅ + 6 ⋅ ( )3
6 6
6
Ü1.12.6
Die geworfenen Augenzahlen werden addiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit p6
ist die Summe 4?
Ergebnis: p6 =
Ü1.13.0
1
72
Drei Klassen haben folgende LT-Zahlen: HS2a( 10 w ;20m) ; HS2b( 20 w ;10 m)
und HW2( 15 w; 15 m). Die Klassen bekommen eine Konzertfreikarte zur
Verlosung innerhalb der Klasse.
Ü1.13.1
Mit welcher Wahrscheinlichkeit p1 geht in der HS2b die Freikarte an einem
männlichen LT?
Ergebnis: p1 =
Ü1.13.2
10
30
Mit welcher Wahrscheinlichkeit p2 gehen in alle drei Klassen die Freikarten an
weiblichen LT?
Ergebnis: p2 =
Ü1.13.3
1
9
Mit welcher Wahrscheinlichkeit p3 gehen die Freikarten an zwei weibliche und
einen männlichen LT?
Ergebnis: p3 =
Ü1.13.4
7
18
Für alle drei Klassen gibt es nur eine Backstage-Karte, die unter den drei Klassen
verlost wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit p4 erhält eine weibliche LT aus der
HS2b die Karte?
Ergebnis: p4 =
Ü1.14.0
2
9
In einer Schublade sind 18 blaue und 12 andersfarbige Kugelschreiber. Bei sieben
blauen Kugelschreibern und bei fünf der anderen ist die Mine eingetrocknet. Aus
der Schublade wird zufällig ein Kugelschreiber gewählt.
10
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ü1.14.1
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel mit absoluten
Häufigkeiten für die Ereignisse B (Blauer Kugelschreiber) und MA (Mine
ausgetrocknet) .
Ergebnis:
B
B
MA
7
5
12
MA
11
7
18
18
12
30
Ü1.14.1
Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel mit den entsprechenden
Wahrscheinlichkeiten und geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an:
a) p( B ∩ MA ) =
b) p( B ∪ MA ) =
c) p( B | MA) =
d) Untersuchen Sie ob, die Ereignisse B und MA stochastisch unabhängig sind.
Ü1.14.3
Erstellen Sie ein Baumdiagramm für das Zufallsexperiment von Ü1.14.0 und
geben Sie alle Elementarereignisse mit den Elementarwahrscheinlichkeiten an.
Berechnen Sie damit folgende Wahrscheinlichkeiten:
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der zufällig ausgewählte Kugelschreiber
nicht eingetrocknet?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit schreibt ein zufällig ausgewählte blauer
Kugelschreiber?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kugelschreiber schreibt, wenn
(unter der Voraussetzung) er blau ist?
Ü1.15.0
In einer Urne befinden sich eine schwarze, eine rote und eine blaue Kugel. Es
werden nacheinander und ohne Zurücklegen zwei Kugeln entnommen.
Ü1.15.1
Erstellen Sie ein Baumdiagram mit den entsprechenden
Zweigwahrscheinlichkeiten und geben Sie alle Elementarwahrscheinlichkeiten an.
Ü1.15.2
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A = "Keine der gezogenen Kugeln ist rot."
B = " Unter den gezogenen Kugeln ist eine rote."
C = "Es werden zwei rote Kugeln gezogen. "
11
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ü1.16.0
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
In einer Urne befinden sich 3 schwarze und 2 rote Kugeln. Die Personen A und B
vereinbaren folgendes Spiel:
A und B ziehen abwechselnd Kugeln (ohne Zurücklegen). Gewinner ist, wer
zuerst eine rote Kugel zieht.
Ü1.16.1
Mit welcher Wahrscheinlichkeit p gewinnt A, wenn jeder jeweils genau eine
Kugel ziehen darf und A beginnt?
Ergebnis: p = 0,6
Ü1.17.0
Beim Buchen eines Fluges kann man mit der Kreditkarte (C) oder per
Überweisung ( C ) zahlen. Bei 140 zufällig ausgewählten Buchungen wurde in
90% die Touristenklasse gebucht. 70% aller Buchungen wurden mit der
Kreditkarte bezahlt. Zwei Buchungen der Businessklasse (B) wurden durch
Überweisung bezahlt. Die relativen Häufigkeiten werden als
Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
Ü1.17.1
Bestimmen Sie mit Hilfe einer Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeiten folgender
Ereignisse:
E1= "Ein Kunde bucht Touristenklasse oder zahlt nicht mit der Kreditkarte."
E2 = "Gegenereignis von C ∪ B "
Beschreiben Sie das Ereignis E2 möglichst einfach in Worten.
E3 = " Ein Kunde zahlt mit der Kreditkarte, wenn bereits bekannt ist, dass er
die Touristenklasse bucht"
Ü1.18.0
(Aus Prüfung 2012)
Zur Verfügung stehen zwei Glücksräder I und II:
1
3
2
2
1
3
Glücksrad I
Glücksrad II
Zuerst wird das Glücksrad I ausgewählt und einmal gedreht.
Erzielt man eine ungerade Zahl, so wird das Glücksrad I noch einmal gedreht.
Ansonsten wird das Glücksrad II einmal gedreht. Die Elementarereignisse sind
zweistellige Zahlen.
12
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ü1.18.1
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit den zugehörigen Zweigwahrscheinlichkeiten.
Ü1.18.2
Angenommen, man hat zweimal dieselbe Zahl erzielt. Bestimmen Sie, wie groß
unter dieser Bedingung die Wahrscheinlichkeit p ist, dass diese Zahl ungerade ist.
Ergebnis: p =
Ü1.19.0
5
7
(Aus Prüfung 2014)
Für zwei Ereignisse A und B gelten:
P(A) = 0,26 , P(B) = 0,47 und P(A ∪ B) = 0,59 .
Ü1.19.1
Begründen Sie, warum die beiden Ereignisse A und B vereinbar sind.
Ü1.19.2
Veranschaulichen Sie das Ereignis A ∩ B in einem Venn – Diagramm, und
berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.
Ü1.19.3
Angenommen, das Ereignis B ist eingetreten. Berechnen Sie unter dieser
Bedingung die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A.
Ergebnis: p(A | B) = 0,3
Ü1.20.0
In einer Urne befinden sich löse, die auf rosa und grauen Papier gedruckt sind. Es
wurden drei Mal so viele rosa Lose wie graue gedruckt. Der Anteil von Nieten bei
den rosa Losen beträgt 40% und bei den grauen 30 %.
Ü1.20.1
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit den Zweigwahrscheinlichkeiten und
bestimmen Sie den Anteil von grauen Losen unter allen Losen, wenn die
Wahrscheinlichkeit für Treffer 0,4 beträgt.
Ergebnis: 18 %
Ü1.21.0
(Aus Prüfung 2014)
In einer anderen Schachtel sind fünf Kugeln. Zwei Kugeln tragen die Zahl 0, zwei
Kugeln tragen die Zahl 1 und eine Kugel trägt die Zahl 5.
Bei einem Glücksspiel darf man für einen gewissen Einsatz nacheinander Kugeln
ohne Zurücklegen aus der Schachtel ziehen.
Das Spiel ist sofort zu Ende, wenn man die Kugel mit der Zahl 0 zieht.
Es ist auch dann zu Ende, wenn die Summe der gezogenen Zahlen den Wert 5
übersteigt.
Die Summe der gezogenen Zahlen wird in € ausbezahlt. Zieht man gleich im
ersten Zug die Kugel mit der Zahl 0, wird nichts ausbezahlt.
Ü1.21.1
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm zu diesem Zufallsexperiment.
13
HSW2 Mathematik
WR-1 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ü1.21.2
Bundeswehrfachschule München
© A. H.
Berechnen Sie, bis zu welcher Höhe des Einsatzes ein Spieler bei diesem Spiel
auf lange Sicht gewinnen würde.
Ergebnis: Bis zu einem Einsatz von 2,26 €
Ü1.22.0
(Aus Prüfung 2005)
In einer Urne sind 1 goldene, 2 silberne und 5 blaue Spielmünzen. Aus der Urne
werden zufällig ohne Zurücklegen zwei Münzen gezogen.
Ü1.22.1
Zeichnen Sie zu diesem Zufallsexperiment ein Baumdiagramm.
Ü1.22.2
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A = B ∪ C , wenn B und C
wie folgt definiert sind:
B = "Die zweite gezogene Münze ist silbern."
C = " Beide gezogenen Münzen haben verschiedene Farben."
Ü1.23.0
(Aus Prüfung 2008)
Ein Spieler benutzt zwei verdeckte Kartenstapel aus denen er ohne Zurücklegen
abwechselnd zieht.
Stapel I enthält zwei Herzkarten und zwei Pikkarten. Stapel II enthält zwei
Pikkarten und eine Herzkarte. Der Spieler zieht die erste Karte aus dem Stapel I
und das Spiel ist beendet, wenn eine Herzkarte gezogen wird.
Ü1.23.1
Zeichnen Sie zu diesem Zufallsexperiment ein Baumdiagramm.
Ü1.23.2
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
A = " Der Spieler zieht die Herzkarte vor dem 4. Zug."
Ergebnis: P(A) =
8
9
B = " Die Herzkarte stammt aus Stapel I "
Teilergebnis: P(B) =
7
9
C = A ∪B
Ergebnis: P(C) =
Ü1.23.3
17
18
Angenommen, Ereignis A ist eingetreten. Berechnen Sie, wie wahrscheinlich es
ist, dass die Herzkarte aus dem Stapel II stammt.
Ergebnis: p(B |A ) =
3
16
14