Test Wahrscheinlichkeit und Statistik WS 2006/07

Test
Wahrscheinlichkeit und Statistik
WS 2006/07
Achtung: Es es nicht notwendigerweise jeweils genau eine Antwort richtig!
Aufgabe 1. Sei Ω = {0, 1, 2}. Welches der folgenden Mengensysteme ist eine σ-Algebra?
{∅, Ω}
{∅, {1}, {0, 2}, Ω}
{{0}, {1}, {2}}
{∅, {0}, {1}, {2}, Ω}
Aufgabe 2. Seien P ein Wahrscheinlichkeitsmaß und A und B zwei Ereignisse. Wann gilt die
Gleichheit
P (A \ B) = P (A) − P (B)?
A und B unabhängig
A und B disjunkt
A⊂B
B⊂A
Aufgabe 3. Sei X : R → R eine Zufallsvariable mit stückweise konstanter Verteilungsfunktion F . Dann gilt
F ist rechtsstetig F besitzt eine Dichte bzgl. des Lebesgue-Borel-Maßes
F ist linksstetig
F besitzt höchstens abzählbar viele Sprungstellen
Aufgabe 4. Welche der folgenden Verteilungen besitzt eine Zähldichte?
Normalverteilung
geometrische Vert.
Poisson-Vert.
Exponentialvert.
Aufgabe 5. Wie lautet der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit?
Aufgabe 6. Seien X1 , . . . , Xn integrierbare Zufallsvariable. Wann gilt
E(X1 + . . . + Xn ) = EX1 + . . . + EXn ?
Nur falls die ZVn unabhängig sind
Nur falls die ZVn identisch verteilt
Nur falls die ZVn unabhängig und identisch verteilt Immer
Aufgabe 7. Seien Xn (n ∈ N) und X reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. Unter welcher (nichttrivialen) Zusatzvoraussetzung folgt aus Xn → X f.s. die
Beziehung
EXn → EX?
Aufgabe 8. Eine Zufallsvariable nehme die Werte 0, 1, 3 mit Wahrscheinlichkeit 1/4 bzw. 1/2
bzw. 1/4 an. Man ermittle ihren Erwartungswert und ihre Varianz.
Erwartungswert=
Varianz=
Aufgabe 9. Seien X und Y zwei Zufallvariable und > 0. Es gilt
P [max{X, Y } ≤ ] = P [X ≤ ] · P [Y ≤ ], falls X und Y unabhängig
P [max{X, Y } ≥ ] = P [X ≥ ] · P [Y ≥ ], falls X und Y unabhängig
P [X + Y ≥ ] ≥ P [X ≥ /2] + P [Y ≥ /2]
P [X + Y ≥ ] ≤ P [X ≥ ] + P [Y ≥ ]
Aufgabe 10. Seien X eine Zufallsvariable, ε > 0 und r > 0. Ergänzen Sie
P [|X|
ε · E|X|r
ε]
unter Verwendung von Zeichen aus der Menge {<, ≤, >, ≥, −r, r} zu einer wahren Aussage.
Aufgabe 11. Wie ist die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit einer Folge von Zufallsvariablen
Xn gegen eine Zufallsvariable X definiert?
Aufgabe 12. Seien X1 , X2 , . . . integrierbare Zufallsvariable. Unter welchen Voraussetzungen
gilt
n
1X
Xi → EX1 (n → ∞) f.s.?
n i=1
Aufgabe 13. Seien X1 , X2 , . . . unabhängige identisch verteilte quadratisch integrierbare Zufallsvariable. Ergänzen Sie
n
X
(Xi − EXi ) → N (0, 1)-verteilte Zufallsvariable (n → ∞) in Verteilung
i=1
in nichttrivialer Weise so, dass eine wahre Behauptung entsteht.
Aufgabe 14. Seien X und Y zwei beliebige Zufallsvariable mit charakteristischen Funktionen
ϕX bzw. ϕY , ferner sei a ∈ R. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
ϕX (at) = aϕX (t)
ϕaX (t) = ϕX (at)
ϕX+Y (t) = ϕX (t) + ϕY (t) ϕXY (t) = ϕX (t) · ϕY (t)
Aufgabe 15. Seien X und Xn Zufallsvariable mit zugehörigen charakteristischen Funktionen
ϕ bzw. ϕn (n ∈ N). Falls ϕn punktweise gegen ϕ konvergiert, dann gilt
Xn → X f.s.
sin(Xn ) → sin(X) nach Wahrscheinlichkeit
Xn → X in Verteilung E sin(Xn ) → E sin(X)
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