4. Übung - Wahrscheinlichkeit und stochastische Prozesse

4. Übung - Wahrscheinlichkeit und stochastische Prozesse
Felix Knorr (1325541) - [email protected]
15. November 2014
1. Bestimmen Sie die Varianz der Poissonverteilung.
λx −λ
Poissonverteilung: Pλ (X) =
e
x!
2
Varianz: V(X) = E(X ) − (E(X))2 (über Verschiebesatz)
E(X) = λ
E(X 2 ) =
∞
X
k2
k=0
⇒
∞
X
λk
λk −λ
k
e = e−λ
k!
(k − 1)!
k=1
|{z}
(E(X))2 = λ2
∞
X
= e−λ
(k − 1)
k=1
|
k=0→0
∞
X
= e−λ
(k − 1)
k=2
∞
X
λk
λk +
(k − 1)!
(k − 1)!
k=1
{z
}
λk
P∞
(k−1+1)
k=1
(k − 1)!
∞
∞
∞
k=1
k=2
k=1
X λk
X λk
X λk
λk
+ e−λ
= e−λ
+ e−λ
(k − 1)!
(k − 1)!
(k − 2)!
(k − 1)!
|{z}
k=1→0
=e
∞
∞
X
X
λk−2
λk−1
−λ
λ
+e λ
= λ2 + λ
(k − 2)!
(k − 1)!
k=2
k=1
{z
}
{z
}
|
|
−λ 2
eλ
eλ
2
2
2
V(x) = E(X ) − (E(X)) = λ + λ − λ2 = λ
2. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der stetigen Gleichverteilung U (a, b) mit der Dichte
(
1/(b − a) für a ≤ x ≤ b
f (x) =
0
sonst
2 b
1
1
x b2 − a2
(b + a)(b − a)
a+b
E(X) =
x · f (x) dx =
x
dx =
=
=
=
b−a
b−a
2 a
2(b − a)
2(b − 1)
2
−∞
a
3 b 2
Z b
1
a+b
1
x a+b
V(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 =
x2 dx −
=
−
b−a a
2
b−a
3 a
2
3
2
1
b
a3
a+b
1 b3 − a3
(a + b)2
1 (b − a)(a2 + ab + b2 ) a2 + 2ab + b2
=
−
−
=
−
=
−
b−a 3
3
2
3 b−a
4
3
b−a
4
Z
∞
Z
=
b
1 2
(a − b)2
4a + 4ab + 4b2 − 3a2 − 6ab − 3b2 =
12
12
3. Bestimmen Sie zu Beispiel 1 - Übung 3 die Varianzen und die Kovarianz von X und Y
⇒
E(X) = E(Y ) = 1
E(X 2 ) = E(Y 2 ) = 02 ·
E(X)2 = E(Y )2 = 1
20
45
18
1
+ 12 ·
+ 22 ·
+ 32 ·
= 1.5
84
84
84
84
V(X) = V(Y ) = E(X 2 ) − (E(X))2 = 1.5 − 1 = 0.5
1
Cov(X, Y ) = E[(X − X) · (Y − Y)] = E(XY ) − E(X)E(Y ) =
3 X
3
X
x · y · P(X = x, Y = y) − E(X)E(Y )
x=0 y=0
= 0·0·
9
9
1
9
27
9
9
9
1
+0·1·
+0·2·
+0·3·
+1·0·
+1·1·
+1·2·
+1·3·0+2·0·
+2·1· +
84
84
84
84
84
84
84
84
84
1
2·2·0+2·3·0+3·0·
+ 3 · 1 · 0 + 3 · 2 · 0 + 3 · 3 · 0 − 1 · 1 = −0.25
84
4. Bestimmen Sie zu Beispiel 2 - Übung 3 die Varianzen und die Kovarianz von X und Y
4
9
Z 1
⇒
E(X) =
E(X 2 ) =
Z
∞
x2 · fX (x) dx =
−∞
E(X)2 =
16
81
x2 (−4x ln |x|) dx = −4
0
1
Z
x3 ln |x| dx =
0
1
4
1 16
81 − 64
17
V(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = −
=
=
4 81
324
324
2
4
E(Y ) =
⇒ E(X)2 =
3
9
Z ∞
Z 1
Z 1
1
E(Y 2 ) =
y 2 · fY (x) dy =
y 2 (2y) dy = 2
y 3 dy =
2
−∞
0
0
1 4
9−8
1
− =
=
2 9
18
18
Z 1Z y
Z 1Z y
42
4x
8
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) =
x · y · f (x, y) dx dy −
=
x·y·
dx dy −
9
3
y
27
0
0
0
0
Z 1Z y
Z 1 3
4y
8
1
8
9−8
1
8
=
=
dy −
= −
=
=
4x2 dx dy −
27
3
27
3
27
27
27
0
0
0
V(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 =
5. X und Y seien unabhängig poissonverteilt mit Parameter λ und µ. Bestimmen Sie die Verteilung X + Y .
Poissonverteilung: Pλ (X) =
Fλ (z) = P(Z = z) =
z
X
e−λ λx
,
x!
x≥0
z
X
P(X = x, X+Y = z) =
x=0
=
z
X
P(X = x, Y = z−x) =
x=0
P(X = x)P(Y = z − x) =
x=0
e−(λ+µ)
=
z!
x=0
z
X
e−λ λx e−µ µz−x
x!
x=0
z X
z
x
x=0
|
z
X
(z − x)!
=e
−(λ+µ)
= e−(λ+µ)
λx µz−x
P(X = x) P(Y = z − x|X = x)
|
{z
}
Da unabhängig:P(Y =z−x)
z
X
λx µz−x
(z − x)! x!
x=0
| {z }
n!
n
=
k
k! (n − k)!
(λ + µ)z
z!
{z }
n n−k k
x
y
k=0
k
Pn
(x+y)n =
6. X und Y seien unabhängig gleichverteilt auf [0, 1]. Bestimmen Sie die Verteilung von X + Y
1
, a≤x≤b
Gleichverteilung: UX (a, b) = fX (x) =
b−a
In diesem Fall a = 0, b = 1 ⇒ UX (a, b) = 1, 0 ≤ x ≤ 1
X + Y = Z (z ∈ [0, 2]) ⇒ Y = Z − X
Z
fX+Y = fX ∗ fY =
| {z }
Faltung
Fall 1: z ∈ [0, 1]
∞
Z
fX (x)fY (z − x) dx =
−∞
z−x≥0
0
⇒
0≤x≤z
Z
1
Z
fX (x) fY (z − x) dx =
| {z }
z
1 dx = z
0
2
=1
0
1
fY (z − x) dx
| {z }
∈[0,2]
Fall 2: z ∈ [1, 2]
z−x≤1
⇒
z−1≤x≤1
Z
1
1 dx = 1 − z + 1 = 2 − z
z−1
Insgesamt:

0≤z≤1

z
fX+Y (z) = 2 − z 1 ≤ z ≤ 2


0
¸sonst
7. X hat die Dichte fX (x) = 2e−2x [x ≥ 0]. Bestimmen Sie die Quantille x0.25 , x0.5 , x0.75
Z
x
FX (x) =
Z
−∞
FX (xp ) = p
⇒
x
fX (x) dx =
1 − e−2x = p
0
⇒
x
2e−2x dx = −e−2x 0 = 1 − e−2x
1 − p = e−2x
x0.25 = 0.14,
⇒
x0.5 = 0.35,
3
ln(1 − p) = −2x
x0.75 = 0.69
⇒
x=−
ln(1 − p)
2